ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ИЗНОСА ОБОРУДОВАНИЯ
Если бы люди не любили все усложнять, мы до сих пор имели бы дело с каменным топором.
Литгазета. Фразы
§2.1. Износ оборудования и методы определения сумм амортизации
В анализе производственных инвестиций нельзя обойтись без рассмотрения проблемы износа (depreciation)и амортизации (depreciation allowance}стоимости основных средств, далее для краткости — оборудования. Поскольку данная проблема подробно обсуждается в многочисленных курсах бухгалтерского учета, отечественных и переводных1, остановимся на ней только в той мере, в какой это представляется необходимым для понимания следующих разделов книги.
Бухгалтерское начисление износа — способ распределения затрат на приобретение оборудования в течение ожидаемого срока его производственного использования. Этот способ позволяет, с одной стороны, включать износ оборудования в себестоимость продукции, с другой, как утверждает теория, — накопить денежные средства, достаточные для приобретения нового оборудования взамен изношенного.
1См., напр.: Энтони Р.. Рис Дж: Учет: ситуации и примеры. М.: Финансы и статистика, 1993: Фридман Д., Ордуэй Н. Анализ и оценка приносящей доход недвижимости. М.: Дело, 1995.
Начисленный износ, как известно, адекватно уменьшает текущую балансовую стоимость оборудования.
В мировой практике используются различные подходы к начислению износа (сумм амортизационных списаний, начислений) и определению остаточной балансовой стоимости. Классифицируем их по нескольким признакам.
В качестве базы, с которой связывается износ оборудования, чаще всего принимают предполагаемое время эксплуатации оборудования (полезный срок его жизни), реже — ожидаемый объем работы.
По степени равномерности списания стоимости оборудования различают равномерную (линейную) и неравномерную (нелинейную) амортизацию. Последняя может быть реализована различными способами. Например, суммы списания могут изменяться согласно некоторому принципу или по специальному графику и т. д.
Можно также разделить методы списания на нормальные, ускоренные и замедленные. Простейший, но не единственный способ ускоренного списания износа — сокращение срока амортизации.
Важным с экономической точки зрения при определении амортизационных сумм является учет принципа неравноценности денег во времени (см. предисловие). Некоторые методы исходят из этого принципа, другие не учитывают его. Проще говоря, существуют методы, предусматривающие начисление процентов на амортизационные суммы и не предусматривающие его.
Естественно, что разные методы определения сумм амортизации приводят к различным результатам. Отсюда очевидна некоторая условность получаемых результатов. Вместе с тем возможность выбора метода, если таковая имеется, создает определенную гибкость, позволяет учитывать особенности производственных условий. Знакомство с разными моделями износа оборудования, даже если они еще и не применяются в отечественной практике, представляется полезным как в теоретическом,•гак и в практическом отношении. Рано или поздно российская практика придет к ним.
Каждый из методов начисления амортизации можно формализовать с учетом его особенностей и представить в виде соответствующей модели. При записи таких моделей воспользуемся следующими основными символами:
Р — первоначальная стоимость инвестиций в оборудование
(capital investment, capital expenditure);
L— ликвидационная стоимость — остаточная стоимость в конце срока эксплуатации оборудования (terminal value, final value) ;
n— срок амортизации в годах;
Dt— сумма амортизации в году t;
Вt—балансовая (остаточная, несамортизированная) стоимость оборудования в конце года t.
Запишем два простых соотношения, определяющих динамику балансовой стоимости:
Соответственно Dt =Bt-1 -Вt , причем D1= Р - В1. Ниже эти соотношения конкретизируются с учетом особенностей рассматриваемых методов начисления амортизации и возможности их применения.
§2.2. Линейная модель
В отечественной практике в основном применяется линейный метод (straight-line method) определения сумм амортизации. Однако он далеко не всегда отвечает условиям производства, сложившейся экономической обстановке и т. д. Иначе говоря, его нельзя рассматривать как некий обязательный стандарт, пригодный во всех случаях жизни. Пожалуй, единственное его достоинство — это простота. Кратко остановимся на нем. Кстати, это необходимо и для того, чтобы иметь базу сравнения результатов, полученных разными методами начисления износа. По определению
Остаточная стоимость в конце года t после очередного списания износа
Как видно из формулы (2.4), накопленная сумма амортизации D,линейно увеличивается, в свою очередь, балансовая стоимость адекватно уменьшается во времени (рис 2.1).
Очевидно, что при заданных параметрах Р и Lежегодная сумма амортизации зависит от общего срока амортизации, причем эта зависимость нелинейная (рис 2.2). Увеличение срока в наибольшей мере сказывается на размерах амортизации в начале шкалы сроков.
Развитием рассмотренного метода являются два способа начисления амортизации: пропорционально отработанному времени (machine hour method)и пропорционально объемам производства. Износ в расчете на единицу отработанного времени составит
где V — общая ожидаемая продолжительность работы оборудования.
Соответственно
Что касается второго из упомянутых методов, то он может применяться в случаях, когда речь идет об однородной продукции, и, следовательно, можно считать, что при наличии ограничений на общий объем работы износ пропорционален объему выпуска. Например, износ транспортных средств принимается пропорциональным протяженности их пробега при известном общем ресурсе, и т. д. Таким образом, здесь можно использовать формулы (2.5) — (2.7), в которых под Vпонимается общий ожидаемый объем продукции, а под vj — продукция в году j.
Оба метода являются линейными относительно принятых в них баз для начисления амортизации.
ПРИМЕР 1
Балансовая стоимость оборудования — 100 млн. руб., ожидаемый срок эксплуатации — 5 лет, ликвидационная стоимость — 4 млн. руб. Допустим, объем производства в одну смену постоянен. Предполагается следующее распределение загрузки оборудования в пределах общего срока: первый год — 200 смен, следующие три года — 400 смен, последний год — 300, всего 1700 смен.
При применении линейного метода ежегодные суммы амортизации в расчете на год составят:
В свою очередь, в расчете на 100 смен (V = 17) получим:
Расчет амортизационных начислений по двум методам приведен в следующей таблице.
| t | Метод | ||||
| Линейный | Объемов производства | ||||
| D | Bt | Vt | DVt | Bt | |
| 02 3 4 5 | 19,2 19,2 19,2 19,2 19,2 | 100,0 80,8 61,6 42,4 23 2 4,0 | 2 4 4 4 3 | 11,294 22,588 22,588 22,588 16,942 | 100,000 88,706 66,118 43,530 20,942 4,000 |
| Итого | 96,0 | — | 17 | 96,000 | — |
Ускоренная амортизация в рамках линейного метода достигается путем повышения нормы амортизации, что адекватно сокращению срока работы оборудования.
§ 2.3. Нелинейные методы без начисления процентов на суммы амортизации
К нелинейным относится ряд методов начисления амортизации, что обеспечивает большую гибкость в отношении учета конкретных условий производственной деятельности. Эти методы можно разделить на две подгруппы: без учета начисления процентов на суммы амортизации и с их учетом, иначе говоря, с учетом фактора времени и без него.
К первой подгруппе отнесем следующие методы:
а) с постоянной долей списания остаточной балансовой стоимости (constant percent depreciation);
б) метод сумм порядковых чисел (sum of digits method);
в) табличный метод.
Ко второй (они рассмотрены в § 2.4) относятся методы:
г) накопленного резерва (sinking fund);
д) аннуитетов (annuity method).
Обсудим их в той последовательности, в которой они были перечислены.
а) Постоянная доля списания балансовой стоимости
Согласно этому методу (далее для краткости назовем его методом постоянных долей) на каждом шаге во времени списывается постоянная доля балансовой стоимости оборудования, т. е.
или
где r —доля сокращения балансовой стоимости за каждый амортизационный период.
Амортизационные суммы рассчитываются следующим образом:
Задача, следовательно, сводится к определению доли r, если она первоначально не задана, а установлен размер ликвидационной стоимости L.Для ее решения рассуждаем так. Балансовая стоимость за весь период эксплуатации оборудования сокращается с величины Р до L. Отсюда справедливо соотношение:
Если величина ликвидационной стоимости известна, основе(2.11) находим:
Очевидно, что в случае, когда L= 0 (полный износ), данный метод расчета r применить нельзя.
Если г задано, а L заранее не определено, то расчетная сумма остаточной стоимости на конец последнего года находится как разность:
Иногда метод постоянной доли комбинируется с линейным методом: в первые годы применяется постоянная доля списания, затем суммы амортизации определяются линейным методом. Этим достигается ускоренное списание в начале срока эксплуатации оборудования. Так, если за первые т лет предусматривается списать М% первоначальной балансовой стоимости оборудования, то в эти годы списывается по 100r %. Причем
В оставшиеся (п - т) лет суммы амортизации составят:
Иллюстрация расчета по данному методу приведена в примере 2.
б) Метод сумм порядковых чисел
Этот метод (далее для краткости назовем его методом сумм), так же как и предыдущий, нацелен на ускорение процесса амортизации. Доли списания стоимости оборудования здесь уменьшаются с каждым шагом во времени. Соответственно сокращаются абсолютные суммы износа. Для определения долей списания поступают следующим образом. Последовательным годам службы оборудования приписывают порядковые номера: t=1,2, ..., n. Сумма этих номеров, обозначим ее Q, принимается за основу для расчета долей списания . Известно, что
Доли списания амортизируемой стоимости оборудования (т. е. первоначальной балансовой стоимости за вычетом ликвидационной стоимости) последовательно определяются как j/Q,
где j — номер года начисления износа в обратном порядке, т. е. с конца срока. Например, при пятилетнем сроке j= 5, 4, 3, 2, 1. В общем виде можно записать:
Таким образом, для первого года доля списания амортизируемой стоимости равна n/Q, для второго — (n - 1)/Qи т. д. Для последнего года эта доля составляет 1/Q .По определению, можно записать:
Так, для первого года получим:
Балансовая стоимость на конец года t(после очередного списания) последовательно определяется как
1Такой прием применяется в финансовых расчетах в тех случаях, когда желательно сокращать величину списания долга с каждым шагом во времени. Частным случаем метода сумм является "правило 78". Название этого метода связано с тем , что сумма порядковых номеров месяцев за год равна 78. Пример применения см.: Е. Ч. (с. 191).
Возможен и другой способ определения этой величины:
После некоторых преобразований последнего выражения получим
ПРИМЕР 2
Для иллюстрации двух последних методов вернемся к данным примера 1. Для метода с постоянной долей списания находим по формуле (2.12)
Таким образом, каждый раз списывается 47,47% от остаточной стоимости оборудования. В свою очередь, для метода сумм находим
Доказательство вынесено в Математическое приложение к главе, ем. i) 2.6.
| t | Постоянные доли | Метод сумм | ||
| Dt | Bt | Dt | Вt | |
| 0 1 2 3 4 5 | _47,47 24,94 13,10 6,88 3,61 | 100,00 52,53 27,59 14,49 7,61 4,00 | _32,00 25,60 19,20 12,80 6,40 | 100,00 68,00 42,40 23,20 10,40 4,00 |
| Итого | 96,00 | — | 96,00 | — |
в) Табличный метод
В ряде стран государственные органы регламентируют ускоренное списание износа. Причем предлагаемая методика часто не связана с сокращением общего срока амортизации. Она заключается в разработке специальных таблиц долей списания первоначальной балансовой стоимости. Приведем соответствующие данные для США1. Например, при пятнадцатилетнем сроке амортизации предусматривались следующие доли списания от первоначальной амортизируемой стоимости: для первых пяти лет 12, 10, 9, 8, 7%, далее четыре года по 6% и затем шесть лет по 5%. Размер ликвидационной стоимости во внимание не принимается.
Сравнение результатов начисления износа различными методами. Как следует из сказанного выше, различные методы начисления износа в разной степени ускоряют амортизацию. В связи с этим возникает проблема сравнения результатов. На рис. 2.3 показана сравнительная динамика балансовой стоимости оборудования (кривая а характеризует метод постоянных долей, б — метод сумм, в — линейный метод). Как видим, второй из сравниваемых методов ближе к равномерному списанию, чем первый.
1 Miles M. Investment Math Made Easy. Prentice Hall,1986. С. 193.
Последовательно начисляем износ в размере
и т. д.
от амортизируемой стоимости. Суммы амортизации и динамика балансовой стоимости для обоих методов показаны в таблице.
Найдем балансовую стоимость на конец третьего года без построения таблицы. Для этого используем формулу (2.16). Получим
В качестве аналитического измерителя степени равномерности списания можно предложить срок, в течение которого амортизируется половина стоимости оборудования. Назовем такой срок медианным (рис. 2.4). Медианный срок можно подсчитать относительно первоначальной балансовой стоимости оборудования или относительно его амортизируемой стоимости. Впрочем, различие будет небольшим. Чем меньше эта величина, тем скорее протекает процесс амортизации. Обозначим медианный срок через w.В некоторых случаях для его расчета удается найти простое аналитическое выражение. Например, для линейной модели получим:
а без учета ликвидационной стоимости w = n/2.
Для метода долей величину w находим из равенства
В силу чего
Для метода сумм величину w проще найти интерполяцией данных, характеризующих изменение балансовой стоимости.
ПРИМЕР 3
По данным примера 2 для метода постоянных долей получим
Для метода сумм применим интерполяцию. Находим размеры балансовой стоимости на конец первого и второго года: B1= 68,0 (что >50% стоимости) и B2=42,4 (что < 50 %). Таким образом, 50% первоначальной стоимости приходится на второй год. С помощью линейной интерполяции находим
При равномерном начислении амортизации
Приближенно (без учета ликвидационной стоимости)
Таким образом, самое быстрое списание при одинаковом общем сроке амортизации достигается с помощью метода постоянных долей.
Что касается замедленной амортизации, необходимость в которой крайне редко возникает на практике, то такое условие проще всего реализовать табличным методом или с помощью метода накопленного резерва, о котором речь пойдет ниже.
§ 2.4. Нелинейные методы с начислением процентов на суммы амортизации
г) Метод накопленного резерва
Представим себе ситуацию, когда амортизационные суммы аккумулируются в особом резерве (фонде) для дальнейшего целевого использования — приобретения нового оборудования взамен изношенного. (В действительности эти деньги обычно "работают" в качестве текущих активов фирмы.) Причем, как и в любом другом случае накопления средств, на вложенные в этот резерв деньги начисляются проценты. Далее предположим, что в конце срока амортизации сумма накопленного резерва должна быть равна стоимости выбывшего оборудования с учетом ликвидационной стоимости. Пусть взносы, необходимые для создания резерва, постоянные. Тогда поток платежей представляет собой постоянную финансовую ренту пост-нумерандо, наращенная сумма которой равна необходимому резерву.
Перепишем формулу наращенной суммы постоянной ренты постнумерандо (1.9), использовав символы, принятые в данной глазе.
откуда сумма разового взноса в резерв
где sn;t — коэффициент наращения постоянной финансовой ренты.
Процесс увеличения резерва с учетом последовательных взносов в конце года и наращения процентов определяется как
где t — интервал от начала списания до момента оценки.
Из последнего выражения становится понятным, что сумма резерва ускоренно возрастает с каждым шагом во времени. Соответственно должны расти и амортизационные списания. Таким образом, за первый год износ составит величину D,за второй — D(1 + i)и т. д. Износ за год t определяется как
Указанные суммы списываются в конце каждого года с остаточной стоимости. Таким образом, балансовую стоимость на конец первого года после списания износа находим как
на конец второго года она составит:
Для года /
или, определяя последовательно,
Очевидно, что процесс амортизации по этому методу оказывается замедленным. Медианный срок приближенно можно найти из равенства
откуда
Отметим, что величина разового взноса в резерв меньше суммы амортизации по линейному методу. Причем, чем выше ставка, применяемая при накоплении, тем больше разница между суммой взноса D и годовым размером линейной амортизации.
ПРИМЕР 4
Для данных примера 1 при условии, что на аккумулируемые средства начисляются проценты по ставке 15% годовых, найдем сумму ежегодного взноса в резерв:
D = (100 - 4)/s5,15 = 96/6,74238 = 14,238 .
Напомним, что по линейному методу годовая сумма амортизации равна в этом примере 19,2. Процесс формирования резерва и динамика балансовой стоимости показаны в таблице.
| t | D | Dt | Dst;i | Вt |
| 01 2 3 4 5 | -14,238 14,238 14,238 14,238 14,238 | _14,238 16,374 18,830 21.655 24,903 | _14,238 30,612 49,442 71,097 96,000 | 100,000 85,762 69,388 50,558 28,903 4,000 |
| Итого | 96,000 |
Как видим, в первые годы процесс списания балансовой стоимости здесь более медленный, чем при линейном начислении износа. Половина амортизируемой стоимости амортизируется за 3 года. Напомним, что по линейному методу w = 2,6.
На рис 2.5 проиллюстрирован процесс увеличения износа и сокращения балансовой стоимости оборудования по методу накопленного резерва.
Метод накопленного резерва применяется и при решении задачи, непосредственно не связанной с расчетом сумм амортизации, но по своему содержанию близкой к нему. Познакомимся с проблемой в общем виде. Речь идет об использовании некоторого ограниченного ресурса, который имеется на начало процесса производства. Таким ресурсом чаще всего являются разрабатываемые запасы полезных ископаемых. Их истощение необходимо учитывать в себестоимости продукции (depletion allowance). Инвестор в процессе эксплуатации месторождения должен, во-первых, накопить денежный резерв для возобновления производства на новом участке, а во-вторых, получить прибыль от инвестиций в разработку месторождения.
Возможны две альтернативные постановки задачи. Первая заключается в определении цены объекта разработки, эквивалентной ожидаемому доходу при принятой норме доходности инвестиций. Вторая состоит в определении дохода, эквивалентного заданной цене. Остановимся только на второй постановке задачи.
Допустим, инвестиции в приобретение участка и его подготовку к разработке составили Р (условно назовем эту величину ценой участка), ожидаемый срок эксплуатации — n лет. Если норма доходности инвестиций установлена в размере jпроцентов, а на перечисляемые в резерв средства начисляются проценты по ставке i, то отдача от инвестиций должна составить сумму Pjи для создания резерва необходимо выделять P/sn;t .
В целом ежегодные поступления определяются как
В частном случае, когда ставки у и iоказываются одинаковыми, получим (см. § 2.6):
где аn;t— коэффициент приведения постоянных рент постнумерандо.
ПРИМЕР 5
Пусть цена карьера (приобретение участка, его освоение и т. д.) составляет 100 млрд. руб., срок разработки — 5 лет, норма доходности от инвестиций — 15%, ставка процента при накоплении резерва — 20%.
Находим s5;20= 7,4416 . Следовательно,
Из этой суммы 15 млрд. руб. представляют собой инвестиционный доход. Остальные деньги поступают в резерв.
д) Метод аннуитетов
Строго говоря, метод накопленного резерва, как, впрочем, и другие рассмотренные выше методы, противоречит принципу изменения ценности денег во времени. Дело в том, что накопленные в порядке амортизации средства, если они действительно накопляются, неэквивалентны в финансовом смысле затратам на приобретение оборудования. В самом деле, инвестор вкладывает в оборудование сумму Р, амортизирует ее каким-либо способом в течение n лет и создает резерв в той же сумме Р. Таким образом, инвестор, по крайней мере теоретически, несет некоторый ущерб. Иное дело, если при амортизации принимается во внимание необходимость начисления процентов на инвестируемые средства. В этом случае баланс между вложениями в оборудование и амортизационными списаниями достигается следующим образом:
откуда размер амортизационных затрат, включая процент на инвестированный капитал, составит:
Иначе говоря, модель износа базируется на таком же принципе, что и общепринятый метод обслуживания долга. Конкретно это означает, что затраты на приобретение оборудования рассматриваются как некоторая задолженность, растущая до момента первого списания износа. В этот момент часть суммы D идет на уплату процентов, а остаток — на погашение основного долга, т. е. на уменьшение балансовой стоимости. Процесс повторяется до полной амортизации стоимости оборудования.
Определим для года (t+ 1) размер остаточной балансовой стоимости:
Разность в скобках равна сумме износа.
ПРИМЕР 6
По данным примера 1 при условии, что i= 15%, находим
Для первого года B1 = 100 - (29,23 8 -15,000) = 85,762 .
Размеры износа, расходы по амортизации и остаточная стоимость для конца каждого года показаны в таблице, где
А = D - B.i.
| t | D | % | А | Bt |
| 0 1 2 3 4 5 | _29,238 29,238 29,238 29,238 29,238 | _15,000 1 2,864 10,408 7,583 4,335 | _14,238 16,374 18,830 21,655 24,903 | 100,000 85,762 69,388 50,558 28.903 4,000 |
| Итого | 96,000 |
§ 2.5. Налог на имущество
и выбор модели износа
Налог на имущество зависит от двух параметров — остаточной стоимости имущества и установленной налоговой ставки. В свою очередь, его остаточная стоимость определяется сроком амортизации и принятым методом (моделью) начисления износа.
Для начала определим общую сумму налогов за весь срок их выплат (срок амортизации) без приведения к начальному моменту времени (обозначим эту сумму N).Для этого обратимся к линейной модели, в которой L= 0. Общность вывода от этого не пострадает. Для сроков амортизации, равных двум и трем годам, имеем:
где Т— налоговая ставка.
Из приведенных формул следует вывод: увеличение срока амортизации неизбежно приводит к росту суммы налога на имущество.
Зависимость суммы налогов от срока можно представить и аналитически. Проще всего это сделать для линейной модели. Суммарная величина налога на имущество в общем виде определяется как
где Nt — налог в конце года t;
Вt — остаточная стоимость на конец года до очередного списания износа.
Определим остаточную балансовую стоимость для линейной модели и выполним ряд преобразований. В результате для случая, когда L = 0, находим простую зависимость:
Влияние срока здесь представлено в явном виде — каждый год прироста срока увеличивает общую сумму налога на величину, равную РТ/2. Для общего случая, когда L > 0, зависимость суммы налогов от срока получим (см. § 2.6) в виде
Зависимость общей суммы налогов от срока амортизации и здесь остается линейной. Заметим, что ликвидационная стоимость увеличивает эту сумму.
Обсуждение данной проблемы будет неполным, если не учесть моменты времени, когда выплачивались налоги. Для этого дисконтируем налоговые платежи по некоторой процентной ставке i. Для линейной модели при сроке два и три года получим
где V — приведенная сумма налога;
v —дисконтный множитель по ставке i.
Как видим, и в этом случае вариант с меньшим сроком оказывается предпочтительным для налогоплательщика.
Очевидно, что выбор модели износа также влияет на общую сумму налоговых платежей. Аналитическое сравнение приведенных сумм налогов для разных применяемых моделей износа и сроков амортизации не столь элементарно, как это было сделано выше для линейной модели. Проще на основе конкретных данных подсчитать и сравнить соответствующие величины, тем более что результат сравнения зависит и от уровня применяемой для дисконтирования процентной ставки.
§ 2.6. Математическое приложение
а. Доказательство формулы (2.16) Исходное равенство
Находим долю остаточной стоимости в амортизируемой сумме:
Поскольку
то
откуда
б. Доказательство соотношения
в. Доказательство формулы (2.24)
Остаточная стоимость в конце года tдо очередного списания износа определяется как
Соответственно
И, наконец,
