ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Вы, профессор, вопя ваша, что-то нескладное придумали! Оно, может, и умно, но больно непонятно. Над вами потешаться будут.
М. Булгаков
§3.1. Общая постановка задачи. Линейная модель
В практике финансово-экономического анализа довольно часто возникает необходимость определить барьерное (критическое, предельно допустимое) значение некоторого параметра. Под барьерным значением параметра понимается такая его величина, превышение которой приводит к положительному или отрицательному конечному экономическому результату в рамках некой производственной или финансовой системы. Например, если речь идет об определении объема производства какого-то продукта, то критическим его значением является такой объем выпуска, при котором полученная прибыль равна нулю. Превышение этого объема дает прибыль, производство в меньшем объеме оказывается убыточным. Подобная и многие другие, сходные по общей постановке задачи решаются с помощью метода барьерной (критической) точки (break-even analysis).Этот метод широко используется в финансовом проектировании, при разработке бизнес-планов и при решении ряда финансовых проблем.
Наиболее простая постановка задачи осуществляется с помощью линейной модели. Разумеется, такая постановка не является единственно возможной. Некоторые пути для дальнейшего развития метода предлагаются в следующих параграфах главы. Причем часть из рассмотренных здесь проблем, например, барьерные точки для налоговых ставок и барьерные точки в условиях неопределенности, до сих пор не обсуждалась в финансовой литературе.
Заметим, что до недавнего времени метод барьерной точки применялся в статическом варианте. Экономические показатели рассматривались в рамках одного, сравнительно короткого периода. В последнее время делаются попытки применить метод к потокам платежей, охватывающим ряд последовательных временных интервалов. В этих случаях с помощью дисконтирования стал учитываться важнейший фактор — время (а именно сроки инвестирования и сроки отдачи от инвестиций).
Для начала рассмотрим наиболее простой и весьма условный вариант статической постановки задачи, к которому обычно прибегают при объяснении сути метода. Пусть необходимо найти критический объем производства одного вида продукта при условии, что все необходимые для анализа количественные зависимости описываются линейными выражениями, иначе говоря, применяется линейная модель.
Для записи такой модели примем обозначения:
Q— объем производства в натуральном или условно-натуральном измерении;
F— постоянные производственные затраты, затраты, не
зависящие от объема выпуска;
с — пропорциональные затраты (в расчете на единицу
продукции);
р — цена единицы продукции;
S— общая сумма затрат;
V — стоимость выпущенной продукции;
Р — размер прибыли до уплаты налогов.
Переменные Q, F, S, V, Р определяются в расчете на одинаковый интервал времени, обычно на один год.
Для начала найдем стоимость выпущенной продукции и соответствующую сумму затрат:
Искомый критический объем производства или барьерную точку (break-even point)получим на основе равенства стоимости выпущенной продукции и суммы затрат: V = S .Именно равенство двух разнородных экономических показателей, каждый из которых является функцией управляющего параметра (в рассматриваемом случае — объема производства), лежит в основе метода барьерной точки.
Обозначим барьерный объем производства Qk.Тогда, используя (3.1) и (3.2), получим
Таким образом,
Как видим, значение барьерной ставки пропорционально постоянным затратам и обратно пропорционально разности цены и величины переменных затрат. При уменьшении этой разности величина барьерной точки ускоренно возрастает.
Прибыль (до выплаты налогов) по определению составит:
Графическая иллюстрация постановки задачи и ее решения приведена на рис. 3.1. Решение находится в точке пересечения двух линий, одна из которых характеризует динамику затрат S, другая — изменение дохода V по мере увеличения выпуска. Объемы производства, которые меньше критического Qk, приведут к убыткам. Превышение этого объема дает прибыль (линия Р). Чем выше размер постоянных и переменных затрат, тем больше критический объем производства. Прибыль после уплаты налогов (пропорциональных прибыли) характеризуется на рис. 3.1 пунктирной линией М.
ПРИМЕР 1
Ожидается, что р = 50, с =30, F=100. Находим
Графическое изображение условий задачи и ее решение представлены на рис. 3.2.
Рассмотренный метод базируется на реальных данных бухгалтерского учета или ожидаемых их величинах. Капиталовложения учитываются посредством включения в затраты амортизационных отчислений. Заметим, что все участвующие в расчете параметры рассматриваются как константы. Между тем с течением времени они, безусловно, изменяются, и найденная для одного момента времени критическая точка не окажется таковой для другого момента. Важно также подчеркнуть, что время как важнейший финансовый фактор не принимается здесь во внимание. Такой подход вполне оправдан, если капиталовложения уже осуществлены и встает вопрос только о выборе видов производимой продукции и их объемов.
Сказанное выше позволяет сформулировать общее определение для обсуждаемого метода как способа расчета барьерного значения управляющего параметра исходя из равенства двух "конкурирующих " функций этого параметра. Содержание управляющего параметра и функций, как видим, определяется конкретными условиями решаемой задачи. В рассмотренном примере управляющим параметром является объем производства, "конкурирующими" функциями — доход (выручка) и затраты.
Вариантом рассмотрения задачи является определение минимально допустимого срока выпуска продукции при заданных годовых объемах производства, т. е. срока окупаемости. Объем производства выступает здесь как параметр, а срок выпуска — как управляющая переменная. Вместо годовых постоянных затрат учитывается общий размер инвестиций и сопряженных затрат (параметр F).Тогда "конкурирующие" функции имеют вид
где n — срок выпуска.
Барьерный срок окупаемости nk(методы расчета срока окупаемости для разных ситуаций рассматриваются в гл. 6) определяется как
§ 3.2. Нелинейные модели
Линейная модель во многих случаях дает практически приемлемое описание ситуации. Однако могут возникать ситуации, когда процесс формирования затрат и (или) стоимости продукции более адекватно описывается нелинейными функциями и имеются достаточно надежные данные для получения соответствующих кривых. Вид и параметры таких кривых могут быть установлены, например, в ходе статистического анализа, или их можно задать экспертно.
Барьерный выпуск продукции. Вернемся к задаче по определению критического объема продукции, но в условиях, когда одна или обе "конкурирующие" функции являются нелинейными. Рассмотрим несколько возможных постановок задач. Пусть для начала стоимость продукции — линейная функция выпуска, а затраты на производство описываются нелинейной функцией. Предполагается, что удельные затраты сокращаются по мере роста масштабов производства, а цена единицы продукции не изменяется. Такое сочетание затрат и стоимости продукции представлено на рис. 3.3.
Стоимость продукции находится по формуле (3.1). Допустим, общая сумма переменных затрат описывается степенной функцией
с Q h, причем 0 < h < 1. В этом случае общая сумма затрат составит:
Разность "конкурирующих" функций в барьерной точке равна нулю:
Решение сводится к нахождению корня этого выражения.
ПРИМЕР 2
Исходные данные: F= 100,р = 50, с = 40, h= 0,5. Соответственно имеем
Сочетание двух нелинейных зависимостей, каждая из которых не имеет точки максимума, показано на рис. 3.4. Предполагается, что удельные затраты и цены сокращаются по мере роста выпуска продукции.
Например, если обе функции являются степенными:
то искомый барьерный уровень находим на основе выражения
Пусть теперь обе функции являются параболами второй степени (рис. 3.5):
где а, Ь. с, d —параметры парабол.
Прибыль в зависимости от уровня выпуска составит:
а барьерный объем выпуска находится из уравнения
Добавим, что в рассмотренных условиях можно рассчитать объем выпуска, максимизирующего размер прибыли (обозначим его как Qm). Для этого, как известно, достаточно найти производную функции прибыли и приравнять ее нулю. В случае, когда прибыль описывается выражением (3.6), находим
Как видим, положение точки максимума полностью определяется параметрами соответствующих парабол. Причем необходимым условием существования максимума являются следующие соотношения: d > b; a> с. Если b > dи а > с, то прибыль монотонно растет вместе с увеличением выпуска.
Нелинейную модель можно представить и в неформализованном виде — как таблицу данных, характеризующих затраты и стоимость продукции в зависимости от размера выпуска.
ПРИМЕР 3
В приведенной ниже таблице и на диаграмме (рис. 3.6) содержатся данные о затратах, стоимости продукции и ожидаемой прибыли.
| Q | F | с | Р | S | V | Р |
| 0 5 10 15 20 25 | 100 100 100 100 100 100 | _30 27 22 20 20 | _50 50 45 40 30 | 100 250 370 430 500 600 | _250 500 675 800 750 | _0 130 145 300 150 |
Барьерный выпуск равен 5. Наибольшая прибыль приходится на выпуск, равный 20.
Сравнение финансовых показателей на основе барьерных величин. Перейдем к решению простой задачи, иллюстрирующей возможности метода при решении некоторых проблем в финансово-кредитной области. Допустим, необходимо выбрать один из двух вариантов поступлений денежных средств:
S1; S2со сроками n1; n2 причем S2 > S1, n2 >n1,иначе постановка задачи не имеет экономического смысла — выбор очевиден. Решение основано на сравнении величин современной стоимости соответствующих денежных сумм. Таким образом, выбор зависит от существующего или ожидаемого уровня доходности денежных инвестиций в виде процентной ставки (управляющая переменная j). При выборе варианта следует ориентироваться на значение барьерной ставки1, т. е. ставки, при которой оба варианта оказываются равноценными по доходности.
Рассмотрим метод решения этой задачи для двух вариантов расчета современных стоимостей по простой и сложной процентным ставкам. Для определения барьерных уровней ставок найдем равенства "конкурирующих'' функций — современных стоимостей двух платежей Р1 = P2.Для простой ставки имеем
1 Более сложные примеры определения уровня барьерной ставки см.: Е. Ч. (с 55, 56), а расчет значения барьерной цены — Е. Ч. (с. 226-228).
а для сложной —
где i— величина барьерной ставки.
Решив равенство (3.7), получим
Из выражения (3.9) находим необходимое условие для существования барьерной ставки:
Графическая иллюстрация решения представлена на рис. 3.7.
Как видно на рис. 3.7, при j < iпредпочтителен вариант S2 .
ПРИМЕР 4
.S1 =1; S2 = 1,15; n1 = 7; n2= 12 (сроки платежей указаны в месяцах).
Находим S1>l,15x—, следовательно, решение существует. Получим
Таким образом, при рыночной простой ставке, меньшей 45,6%, предпочтительнее более отдаленная выплата при всех прочих равных условиях.
Перейдем к определению барьерного значения сложной ставки. На основе (3.8) находим
откуда
В итоге
При ставке, превышающей 25,1%, предпочтительнее оказывается первый вариант.
§ 3.3. Барьерные точки
для налоговых ставок
В современной России налоговое законодательство нуждается в существенном совершенствовании. Ни для кого не секрет, что очень часто именно налоги являются тем фактором, который сни-жает, а иногда и полностью устраняет экономический стимул для инвестирования в производственную деятельность, для развития или даже просто выживания существующего производства.
В данном параграфе рассматривается одна из проблем налогообложения, на которую не обращалось внимание, — внутренние взаимосвязи экономических производственных параметров, определяемые налоговыми выплатами. Учет таких взаимосвязей достигается с помощью их формализации и последующего анализа. Указанный подход к проблеме налогов позволяет определить барьерные точки для налоговых ставок, т. е. ставок, при которых производственная деятельность теряет экономический смысл (себя не окупает), установить влияние налогов на положение барьерного выпуска продукции и попутно найти интересный в экономическом смысле показатель — обобщенный налоговый тариф. Кроме того, можно выявить факторы, в том числе и неочевидные, определяющие экономические результаты производственной деятельности в зависимости от способов налогообложения.
Для того чтобы не увязнуть в технических деталях существующих нормативов налогообложения, в которые, к тому же, непрерывно вносятся изменения, а решение сформулированных выше задач стало более наглядным, обсуждаются только общие, принципиальные подходы к расчету налоговых выплат, без конкретной привязки к российским налоговым законам, тем более что разработка последних далека от завершения.
Рассмотрим только два вида налогов на производственную деятельность, имеющих различную базу начисления: налог на прибыль и налог на стоимость, добавленную обработкой, НДС (в отечественной терминологии — налог на добавленную стоимость). Известно, что помимо указанных налогов существуют различного вида платежи и отчисления. Часть из них включается в себестоимость продукции, остальные — нет. Если такие платежи учитываются в затратах, то они рассматриваются лишь как факторы, сокращающие прибыль и (или) увеличивающие цену продукции, и далее в анализе не затрагиваются. Что касается платежей, не включаемых в себестоимость и выплачиваемых из прибыли1, в связи с чем они по своей сущности
К таким отчислениям относятся взносы в государственный пенсионный фонд (взносы в негосударственные пенсионные фонды осуществляются из прибыли), на медицинское страхование, на нужды образования и т.д. По действовавшим в 1997 г. нормативам насчитывалось семь видов отчислении, а общий размер взноса был равен 41% фонда заработной платы.
или по своим последствиям для налогоплательщика не отличаются от основных налогов (в их числе — взносы в пенсионный фонд и т. п.), то соответствующие платежи в рамках выполненного ниже анализа рассматриваются как фактор, увеличивающий уровень налоговой ставки на прибыль, и раздельно не учитываются. Их выделение в анализе принципиально ничего не меняет.
Какая бы база для определения суммы налогов ни применялась, источник их выплат, как известно, один — прибыль. Поскольку в России оба указанных вида налогов взимаются одновременно (национальное изобретение), то возможны ситуации, когда вся или почти вся прибыль уходит в налоги. Ниже будут определены условия, в которых возникает такая ситуация. В связи со сказанным возникает задача определения общей налоговой нагрузки на прибыль. Иначе говоря, следует выяснить, в какой мере можно практически реализовать известный призыв "Давайте делиться!".
Решим эту задачу формальными методами. Для записи формул введем обозначения:
Р — прибыль до уплаты налогов;
М — чистая прибыль;
V — стоимость продукции;
S— объем затрат;
N — норматив НДС;
T — ставка налога на прибыль;
g —доля стоимости, добавленной обработкой, в стоимости продукции.
Налоговые ставки T и N выражены в десятичных дробях. Хотя указанные налоги начисляются одновременно, для начала в методических целях рассмотрим их влияние порознь. Если прибыль до уплаты налогов определена, как в (3.4), то после уплаты последних она составит:
Допустим на минуту, что предусматривается только НДС, тогда
При одновременном начислении и выплате двух видов налогов чистая прибыль предприятия в абсолютном измерении составит:
До решения поставленной задачи — определения барьерных значений налоговых ставок — необходимо найти ряд зависимостей, относящихся к этим ставкам. Для большей наглядности и упрощения дальнейших выкладок освободимся от абсолютных величин. В последующих записях используем принятые выше обозначения, кроме того, обозначим:
s —удельный вес затрат в цене продукции;
р — относительный размер прибыли до уплаты налогов;
m— относительный размер чистой прибыли (прибыли
после уплаты налогов).
По определению
Разделим обе стороны равенства (3.13) на V и после несложных преобразований находим
Из равенства (3.14) следует, что размеры чистой прибыли зависят не только от налоговых ставок, но и от структуры цены продукции. Причем при фиксированных налоговых ставках чистая прибыль сокращается по мере увеличения доли стоимости, добавленной обработкой (параметр g), и в случае, когда
прибыль полностью поглощается налогами.
Продолжим анализ. Для этого предварительно определим структуру параметра g:
где а — удельный вес в цене продукции элементов стоимости, добавленной обработкой, которые не входят в прибыль (заработная плата, амортизационные отчисления).
Перепишем (3.13), используя последнее выражение:
Как следует из формулы (3.16), прибыль облагается двойным налогом (по ставкам Т u N).Второй очевидный вывод — база для начисления НДС на величину а больше, чем для начисления налога на прибыль.
Итак, при заданных налоговых ставках размер чистой прибыли полностью определяется двумя элементами структуры цены — р и а. Причем для получения некоторой чистой прибыли явно недостаточно соблюдения, казалось бы, очевидного условия: Т + N < 1.
Единственным источником для выплат налогов на производственную деятельность является, как известно, прибыль. Поэтому при наличии нескольких видов налогов и баз для налогообложения логично свести соответствующие тарифы к одной расчетной ставке налога на прибыль. Назовем результат обобщения ставки налога на прибыль и НДС эквивалентной налоговой ставкой. Обозначим ее как D.Ставка налога на прибыль в размере Dприводит к таким же результатам, что и одновременное начисление налогов по ставкам Т и N. Из условия равенства сумм налогов можно записать:
откуда следует
Как видим, эквивалентная ставка D зависит не только от исходных налоговых ставок, но и от структурного параметра а/р. Эта ставка больше суммы исходных ставок на величину
(a/p)N .На основе (3.17) получим неравенство, при выполнении которого производитель получит некоторую чистую прибыль; иначе говоря, эквивалентная налоговая ставка будет меньше 100%:
ПРИМЕР 6
Пусть для некоторого производства получены следующие исходные данные: р = 20%, а = 30% (соответственно g= 0,5). Налоговые ставки, допустим, составляют: Т= 25%, N=21,5%. На основе приведенных выше данных получим:
налог на прибыль р Т = 0,2 х 0,25 = 0,05, НДС определяется как gN = (0,2 + 0,3) х 0,215 = 0,1075 .
Предельное значение параметра g, при котором прибыль полностью идет на налоги, равно согласно (3.15) величине:
что несколько превышает фактическое его значение, следовательно, имеется чистая прибыль.
Общая сумма налогов равна 0,1575. Таким образом, двойное начисление налогов сокращает чистую прибыль до 0,0425. Эту же величину можно найти по формуле (3.14)
m= 0,2 - [0,2 х (0,25 + 0,215) + 0,3 х 0,215] = 0,0425 . Таким образом, прибыль фактически облагается по ставке
Рассчитаем чистый доход по этой ставке:
m = 0,2 х (1 - 0,7875) = 0,0425 .
Как видим, эквивалентная налоговая ставка на 0,3225 больше суммы исходных ставок. В итоге в распоряжении предприятия при заданных налоговых ставках и сложившейся структуре цены продукции остается меньше 22% прибыли.
Продолжим пример. Допустим, речь идет о предприятии с высокими производственными трудозатратами, в связи с чем отношение g/pравно не 2,5, а 3,5. Тогда
т. е. эквивалентная налоговая ставка оказывается больше 100% и, следовательно, расчетная сумма налогов превышает прибыль.
Перейдем теперь к определению барьерных (критических) налоговых ставок. Под последними будем понимать такие расчетные размеры ставок Т или N,при которых чистая прибыль равна нулю при всех прочих заданных условиях; иначе говоря, налоги равны прибыли. Из сказанного следует, что для сохранения экономического смысла налоговые нормативы должны быть меньше соответствующих барьерных ставок. Для решения этой задачи вернемся к уравнению (3.17), определяющему ставку D. Очевидно, что в нормальных экономических условиях должно выполняться неравенство D < 1, или в развернутой записи:
Приведенное неравенство определяет область допустимых с экономической точки зрения сочетаний размеров налоговых ставок. Из него также следует, что налоговые ставки не являются независимыми при условии, что они должны отвечать очевидному экономическому требованию (3.18). Графическая иллюстрация этой области представлена на рис. 3.8.
Сплошная наклонная линия здесь соответствует D = 1 . Сочетания налоговых ставок, которые лежат на ней, являются предельными (т. е. вся прибыль идет на налоги, например в точке а). Ставки, находящиеся ниже этой линии, позволяют получить некоторую чистую прибыль (точка d). Например, в примере 6 допустимыми являются ставки, удовлетворяющие условию
Барьерные значения ставок можно найти на основе неравенства (3.17) или, что более наглядно, применив уравнение (3.14). Для этого приравняем прибыль после уплаты налогов нулю, тогда
Если одна из налоговых ставок задана, то для второй можно найти барьерное значение. Обозначим барьерные ставки соответственно как 7kи Nk. Сначала определим барьерную ставку
для налога на прибыль. При условии, что заданной является ставка НДС, находим
Ставка налога на прибыль, которая меньше барьерной, создает возможность для получения чистой прибыли. Из приведенного равенства также следует, что положительное значе
ние барьерной ставки существует только тогда, когда
Если же
то для налога на прибыль не остается "жизнен
ного пространства", вся прибыль идет на НДС.
Как видим, барьерное значение ставки налога на прибыль является линейной функцией от норматива налога на НДС при заданных параметрах p и g.
Аналогичным образом получим барьерное значение ставки НДС при условии, что заданной является ставка налога на прибыль:
Зависимость чистой прибыли от ставки N при заданной ставке T и всех прочих равных условиях показана на рис. 3.9. Как видим, прибыль существует только в диапазоне 0 — а ставки N. Размеры ставки, превышающие критический уровень, приводят к расчетной отрицательной прибыли.
ПРИМЕР 7
Вернемся к данным примера 6 и найдем критическое значение ставки налога на прибыль:
Таким образом, ставка налога на прибыль, которая меньше 46,25%, обеспечивает в данных условиях (напомним, что НДС равен 21,5%) получение некоторой чистой прибыли. Что касается барьерной ставки для НДС, то она составит:
при условии, что налог на прибыль равен 25%.
Из сказанного выше следует, что двойной принцип налогообложения имеет "внутренние" пороки, следствием которых являются:
• резкое увеличение налоговых сумм, причем создается возможность для полного поглощения прибыли налогами даже при относительно низких налоговых ставках;
• неустойчивость в определении этих сумм, поскольку последние зависят от такой варьирующей характеристики, как структура стоимости продукции.
Включение в анализ дополнительных видов налогов только усилит отрицательные последствия двойной системы налогообложения.
§ 3.4. Положение барьерных точек при неопределенности в исходных данных
Барьерное значение выпуска продукции определялось выше для линейной и нелинейной моделей при условии, что все исходные данные установлены однозначно. В этой ситуации получают только одно расчетное значение выпуска. В действительности все не так просто. Так, цену продукции, вероятно, можно с большей надежностью определить для будущего лишь в виде некоторого интервала р'- р". Обратившись к линейной модели,
получим интервал значений барьерного выпуска продукции Qk-Q"k(рис. 3.10).
Аналогичное можно сказать и об остальных параметрах в формуле (3.3). Таким образом, при условии, что неоднозначными являются постоянные или переменные затраты, получим диапазоны барьерных показателей выпуска для линейной модели (рис. 3.11 и рис. 3.12).
На рис. 3.13 иллюстрируется совместное влияние на положение барьерного выпуска продукции неопределенности в цене продукции и переменных затратах. На этом же рисунке показана зависимость размера прибыли от выпуска продукции для двух крайних сочетаний значений параметров р и с. В свою очередь, неоднозначность в ожидаемой цене продукта и постоянных затратах приводит к результату, который показан на рис. 3.14.
На рис. 3.15 показана ситуация, при которой интервалами заданы значения всех трех параметров — четыре критические точки: а, b, с, d,причем точка а соответствует минимальным затратам и максимальной цене, точка b —максимальным затратам и цене, точка с — максимальным затратам и минимальной
цене, точка d —минимальным затратам и цене. В зависимости от выдвинутых условии можно получить ряд диапазонов для барьерной точки: а — b, и — с и т. д. Определение диапазонов значений управляющей переменной является частным случаем анализа, о котором речь пойдет в гл. 6.
Что касается способов определения интервалов для значений параметров, то в большинстве случаев вполне оправданно экспертное их оценивание (см.гл.8).
Расчет интервалов для барьерных значений управляющих переменных дает более полное представление о реально ожидаемых результатах производственной деятельности. Рассмотренный метод определения таких интервалов представляет частный случай анализа чувствительности, о котором речь пойдет в гл. 6.
§ 3.5. Барьерные точки
объемов производства, финансовый подход к их определению
Постановку задачи по определению барьерного объема выпуска продукции можно расширить, учитывая дополнительные условия. Представим себе, что разрабатывается проект по производству некоторого нового вида продукции. Выпуск продукции намечен в течение n лет в равных объемах по годам. Что касается затрат, то сохраняется их деление на постоянные (не связанные с объемами производства) и переменные (пропорциональные выпуску продукции). Таким образом, и текущие затраты, и поступления от реализации продукции можно представить в виде потоков платежей. Здесь возможны два конкурирующих подхода к решению. В первом, который условно назовем бухгалтерским, инвестиции не принимаются во внимание непосредственно — они учитываются через амортизационные отчисления. Последние включают в текущие затраты. Во втором, финансовом подходе инвестиции играют ключевую роль: они выступают в качестве самостоятельного фактора, в то время как амортизация не учитывается в текущих расходах.
Как видим, оба метода избегают двойного счета инвестиционных затрат.
Указанные методы применяются на практике и, естественно, дают разные результаты. Начнем с бухгалтерского, согласно которому необходимо определить тот минимальный объем выпуска, при котором затраты окупятся, но не принесут прибыли. Иначе говоря, метод предполагает ориентацию на прибыль.
Найдем размер прибыли в зависимости от объема выпуска продукции для одного временного интервала:
где р и с имеют тот же смысл, что и выше (см. § 3.1);
f — постоянные расходы за год;
d — сумма амортизационных списаний за тот же период. Пусть сумма амортизации определена линейным способом, т. е. d = const.
Если принять во внимание тот факт, что выпуск продукции (поступления дохода) и затраты представляют собой потоки платежей, то "конкурирующие" функции определяются как современные стоимости соответствующих потоков, а именно:
PV(pQ)и PV(f+d+cQ),где PV— оператор определения современной стоимости соответствующего потока. Графическая иллюстрация положения барьерной точки выпуска представлена на рис. 3.16.
Конкретизируем сказанное и найдем барьерную точку выпуска для условия, согласно которому выпуск и реализация продукции равномерно распределены в пределах года. В связи с этим без заметной потери точности в расчетах отнесем эти величины к серединам соответствующих лет.
Барьерный объем выпуска продукции составит (см. § 2.6):
что, по существу, совпадает с формулой (3.3). Отличие от последней состоит только в выделении в числителе в качестве самостоятельного слагаемого суммы амортизационных расходов.
Предположим теперь, что все участвующие в расчете удельные характеристики изменяются во времени, т. е. вместо p, c,f, d имеем pt ,сt , ft, dt. Переменные параметры, несомненно, более
адекватны реальности. Например, затраты на производство растут в связи с увеличением расходов на ремонт по мере износа оборудования, в то же время постоянные затраты могут уменьшаться. В ряде случаев есть основание задаться некоторой закономерностью изменения цен продукции во времени и т. д. Равенство современных стоимостей "конкурирующих" функций в этом случае имеет вид
Отсюда
ПРИМЕР 8
В таблице приведены исходные данные для расчета барьерного выпуска на основе потоков платежей. Все параметры, кроме сумм амортизации, здесь переменные величины и рассчитаны на 1000 единиц выпуска продукции.
| t | Р | с | f | d |
| 12 3 4 5 | 50 50 46 46 42 | 28 28 30 30 31 | 20 20 16 16 12 | 30 30 30 30 30 |
Для дисконтирования применим процентную ставку 15%. Необходимые для расчета по формуле (3.22) данные приведены в следующей таблице.
| t | Vn | f+d | (f+d)vn | pvn | cvn |
| 12 3 4 5 | 0,93250 0,81087 0,70511 0,61314 0,53316 | 50 50 48 45 42 | 46,62500 40,54350 32,43506 28,20444 22,39284 | 46,62500 40,54350 33,84528 27,59130 22,39283 | 26,11000 22,70436 21,15330 18,39420 16,52804 |
| Итого | — | 170,20008 | 170,99791 | 104,88990 |
Перейдем к финансовому методу, который в отличие от бухгалтерского учитывает размер капитальных вложений, непосредственно осуществленных для реализации проекта, и поток чистых поступлений (без учета амортизационных отчислений). В частном случае, когда удельные характеристики постоянны, имеем следующую последовательность платежей:
где К—размер инвестиций.
Современная стоимость такого потока представляет собой чистый приведенный доход (показатель NPV),с которым мы
уже встречались в гл. 1 (§ 1.6). В принятых здесь обозначения? и с привязкой чистых поступлений к середине соответствующих периодов можно записать:
По определению, в барьерной точке NPV=0. Отсюда
Первое слагаемое в скобках равно члену финансовой ренты, современная стоимость которой равна сумме инвестиций.
Поток чистых поступлений можно расчленить без потери в точности для последующих расчетов на два потока — поступлений (положительные величины) и расходов (отрицательные величины). Соответственно при постоянных параметрах этих потоков имеем pQ и cQ+f.Графическая иллюстрация изменения современных стоимостей указанных потоков в зависимости от выпуска представлена на рис. 3.17.
ПРИМЕР 9
Применим оба метода анализа, бухгалтерский и финансовый, для анализа инвестиционного проекта, который характеризуется следующими данными: К=1100, р = 50, с = 30, f= 5, d =100, n = 10 лет. Дисконтирование осуществляется по ставке 12% годовых.
По формуле (3.21) находим
В свою очередь, финансовый метод дает
Как видим, последний ответ существенно отличается от предыдущего.
При сравнении формул (3.21) и (3.24) становится очевидным, что расхождение в результатах оценки барьерной точки выпуска связано с тем, что
Иначе говоря, член ренты, амортизирующей капиталовложения, должен быть больше амортизационных отчислений. Равенство в приведенном соотношении будет наблюдаться только в случае, когда i = 0. В этом случае аn;0 = n.
При бухгалтерском подходе из поля зрения аналитика выпадает выгода от возможного иного пути использования ресурсов. В связи с этим введем важное в современной экономике понятие условной (вменённой) потери прибыли (opportunity costs)в результате неиспользования альтернативного курса действий. Для иллюстрации приведем следующий пример. Пусть ресурсом для конкретности является производственное здание. У владельца имеются две альтернативы его использования:
• осуществить некоторый производственный проект, предусматривающий использование этого здания;
• продать здание (или сдать его в аренду).
Если владелец реализует проект, то он теряет вторую возможность получения дохода. Таким образом, хотя при реализации проекта здание не приобретается, его стоимость должна включаться в инвестиционные издержки. Здесь уместно привести следующую иллюстрацию'. Компания Локхид обратилась в 1971 г. в Конгресс США по поводу убыточности производства военных самолетов TriStar L-1011.Обращение аргументировалось тем, что коммерческая привлекательность производства была определена с учетом барьерной точки выпуска в размере около 200 самолетов. Однако эта величина не учитывала ранее сделанных капиталовложении в сумме 1 млрд. долл. С учетом указанных вмененных затрат барьерная точка повышается до 500 самолетов.
§ 3.6. Математическое приложение
Доказательство формулы (3.21)
Для того чтобы убедиться в справедливости (3.21), найдем барьерную точку выпуска для условия, согласно которому современная стоимость доходов равна современной стоимости затрат. При расчете современных стоимостей полагаем, что выпуск и реализация продукции равномерно распределены в пределах года. В связи с этим без заметной потери точности в расчетах отнесем эти величины к серединам соответствующих лет. В терминах финансовой математики соответствующие потоки представляют собой постоянные годовые ренты с платежами в середине периодов. Пусть PV— оператор определения современной стоимости соответствующего потока платежей. Современная стоимость потока переменных и постоянных затрат, в которые включены и амортизационные начисления, в этом случае составит
где an;i— коэффициент приведения постоянной ренты;
v— дисконтный множитель.
В свою очередь, современная стоимость поступлений находится как
Из равенства полученных современных стоимостей:
находим искомое соотношение
1Brealey R., Myers S. Principles of Corporate Finance. 3 ed. 1981. P. 214. Анализ сложившейся ситуации см.: Reinhcirdt U. Break-Even Analysis for Lockheed's TriStar: An Application of Financial Theory. Journal of Finance. 1973. Sept. V.28.