ГЛАВА 4. ДИВЕРСИФИКАЦИЯ И РИСК
Если человек начинает с определенности. то закончит сомнениями. если же он готов начать с сомнений. то закончит определенностью. Ф. Бэкон
Не складывайте яйца в одну корзину Житейская мудрость
§4.1. Риск
В финансовом анализе производственных инвестиций мы неизбежно сталкиваемся с неопределенностью показателей затрат и отдачи. В связи с этим возникает проблема измерения риска и его влияния на результаты инвестиций.
Широко распространенный термин "риск", как известно, понимается неоднозначно. Его содержание определяется той конкретной задачей, где этот термин используется. Отметим, что даже самое общее определение понятия "риск" не оставалось неизменным во времени. Говоря о первом в экономике научном его определении, обычно ссылаются на Ф. Найта', который предложил различать риск и неопределенность. Риск имеет место тогда, когда некоторое действие может привести к нескольким взаимоисключающим исходам с известным распределением их вероятностей. Если же такое распределение неизвестно, то соответствующая ситуация рассматривается как неопределенность. Как нам представляется, скорее здесь речь идет не об определении риска, а лишь о наличии информации, характеризующей риск.
' Knight F. Risk, Uncertainty and Profits. L., 1921
В экономической практике, особенно финансовой, обычно не делают различия между риском и неопределенностью. Чаще всего под риском понимают некоторую возможную потерю, вызванную наступлением случайных неблагоприятных событий. В некоторых областях экономической деятельности сложились устойчивые традиции понимания и измерения риска. Наибольшее внимание к измерению риска проявлено в страховании. Измеритель риска как возможной потери страховщика был использован еще в конце XVIII в.¹В других направлениях финансовой деятельности под риском также понимается некоторая потеря. Последняя может быть объективной, т. е. определяться внешними воздействиями на ход и результаты деятельности хозяйствующего субъекта. Так, например, потеря покупательной способности денег (инфляционный риск) не зависит от воли и действий их владельца. Однако часто риск как возможная потеря может быть связан с выбором того или иного решения, той или иной линии поведения. Заметим также, что в некоторых областях деятельности риск понимается как вероятность наступления некоторого неблагоприятного события. Чем выше эта вероятность, тем больше риск. Такое понимание риска оправданно в тех случаях, когда событие может наступить или не наступить (банкротство, крушение и т. д.).
Когда невозможны непосредственные измерения размеров потерь или их вероятностей, риск можно измерить с помощью ранжирования соответствующих объектов, процессов или явлений в отношении возможного ущерба, потерь и т. д. Ранжирование обычно основывается на экспертных суждениях.
Естественной реакцией на наличие риска в финансовой деятельности является стремление компенсировать его с помощью так называемых рисковых премий (risk premium),которые представляют собой различного рода надбавки (к цене, уровню процентной ставки, тарифу и т. д.), выступающие в виде "платы за
риск".
¹Обсуждение "классической" и современных теорий риска в страховании, в том числе теории коллективного риска, можно найти в кн.: BorcliК. The Mathematical Theory of Insurance. Lexington Press,1974. Из отечественных публикаций следует указать на книгу Г. И. Фалина "Математический анализ рисков в страховании" (РЮИД, 1994).
 
Второй путь ослабления влияния риска заключается в управлении риском. Последнее осуществляется на основе различных приемов, например, с помощью заключения форвардных контрактов, покупки валютных или процентных опционов и т. д. Одним из приемов сокращения риска, применяемых в инвестиционных решениях, является диверсификация, под которой понимается распределение общей инвестиционной суммы между несколькими объектами. Диверсификация — общепринятое средство сокращения многих видов риска. С увеличением числа элементов набора (портфеля) уменьшается общий размер риска. Однако только в случае, когда риск может быть измерен и представлен в виде статистического показателя, управление риском получает надежное основание, а последствия диверсификации поддаются анализу с привлечением методов математической статистики.
В инвестиционном анализе и страховом деле риск часто измеряется с помощью таких стандартных статистических характеристик, как дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Обе характеристики измеряют колебания дохода от инвестиций. Чем они больше, тем выше рассеяние показателей дохода вокруг средней и, следовательно, значительнее степень риска.
Напомним, что между дисперсией Dи средним квадратиче-ским отклонением ст существует следующее соотношение:

В свою очередь, выборочная дисперсия относительно средней находится как

где n — количество наблюдений;
х — средняя случайной переменной х.
Как известно, среднее квадратическое отклонение имеет то неоспоримое достоинство, что при близости реального распределения (речь здесь идет о распределении дохода от инвестиций) к нормальному, что, строго говоря, должно быть статистически проверено, этот параметр может быть использован для

определения границ, в которых с заданной вероятностью следует ожидать значение случайной переменной. Так, например, с вероятностью 68% можно утверждать, что значение случайной переменной х (в нашем случае доход) находится в границах ~х±s , а с вероятностью 95% — в пределах х±2s и т. д. (рис. 4.1).
§ 4.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода
Определим теперь, что дает диверсификация для уменьшения риска, и выявим условия, когда эта цель достигается. В качестве объекта анализа примем некоторый абстрактный портфель ценных бумаг (далее для краткости — портфель). Такой выбор объясняется методологическими преимуществами — в этом случае проще выявить зависимости между основными переменными. Однако многие из полученных результатов без большой натяжки можно распространить и на производственные инвестиции.
В § 4.1 отмечалось, что в качестве измерителя риска в долгосрочных финансовых операциях широко распространена такая мера, как дисперсия дохода во времени. Диверсификация портфеля при правильном ее применении приводит к уменьшению этой дисперсии при всех прочих равных условиях. Диверсификация базируется на простой гипотезе. Если каждая компонента портфеля (в рассматриваемой задаче — вид ценной бумаги) характеризуется некоторой дисперсией дохода, то доход
от портфеля имеет дисперсию, определяемую его составом. Таким образом, изменяя состав портфеля, можно менять суммарную дисперсию дохода, а в некоторых случаях свести ее к минимуму.
Итак, пусть имеется портфель из n видов ценных бумаг. Доход от одной бумаги вида iсоставляет величину d,.Суммарный доход А равен:

где а, — количество бумаг вида i.
Если d_tпредставляет собой средний доход от бумаги вида ;', то величина А характеризует средний доход от портфеля бумаг в целом.
Для начала положим, что показатели доходов различных видов бумаг являются статистически независимыми величинами (иначе говоря, не коррелируют между собой). Дисперсия дохода портфеля (обозначим ее D)в этом случае находится как

где D_i— дисперсия дохода от бумаги вида i.
Для упрощения, которое нисколько не повлияет на результаты дальнейших рассуждений, перейдем от абсолютного измерения количества ценных бумаг к относительному. Пусть теперь а, характеризует долю в портфеле бумаги вида i. Соответственно 0 < а, < 1; Sa, =1.
Для зависимых в статистическом смысле показателей дохода отдельных бумаг дисперсию суммарного дохода находим следующим образом':

¹Доказательства справедливости формул (4.2) и (4.3) можно найти в пособиях по математической статистике.
где D_i — дисперсия дохода от бумаги вида i;
r_ij —коэффициент корреляции дохода от бумаг вида
i и j;
s _iи s _j —среднее квадратическое отклонение дохода у
бумаг вида i и j.
Коэффициент корреляции двух случайных переменных х и у¹, как известно, определяется по формуле:

где х, у — средние (в нашем случае средние доходы двух видов бумаг).
Для расчетов часто применяется следующая рабочая формула:

Поскольку коэффициент корреляции может быть как положительной, так и отрицательной величиной, то при положительной корреляции дисперсия суммарного дохода увеличивается, при отрицательной — сокращается. В самом деле, при заметной отрицательной корреляции положительные отклонения от среднего дохода одних бумаг погашаются отрицательными отклонениями у других. И наоборот, при положительной корреляции отклонения суммируются, что увеличивает общую дисперсию и риск.
Напомним следующие свойства коэффициента корреляции:
• коэффициент не имеет размерности, следовательно, он сопоставим для разных рядов данных;
• величина r_xyлежит в пределах от -1 до +1. Значение r=+1 говорит о
том, что между переменными существует полная положительная корреляция, т. е. наблюдается функциональная линейная зависимость — с увеличением x линейно растет у. При r=-1 наблюдается отрицательная линейная зависимость.
Проследим теперь, каково влияние масштаба диверсификации на размер риска. Под масштабом диверсификации будем понимать количество объектов, возможных для инвестирования (количество видов ценных бумаг). Обратимся к условному примеру, который позволяет наиболее отчетливо выделить влияние указанного фактора. Итак, пусть портфель состоит из бумаг различного вида, но имеющих одинаковую дисперсию дохода s ²₀. Удельные веса в портфеле каждого вида бумаг также одинаковы, а общая сумма вложений равна 1. Положим, что показатели доходности у отдельных видов бумаг статистически независимы, т. е. применима формула (4.2). В этих условиях для оценки величины среднего квадратического отклонения дохода портфеля получим:

где n — количество видов ценных бумаг.
Воспользуемся приведенной формулой и определим дисперсию дохода для портфеля, состоящего из двух и трех видов бумаг. Так, для двух бумаг имеем

Для трех видов бумаг квадратическое отклонение портфеля составит 0,58s ₀. Таким образом, с увеличением числа составляющих портфеля риск уменьшается даже при одинаковой дисперсии составляющих элементов, однако действенность диверсификации снижается. Соответствующая зависимость изображена на рис. 4.2.
Увеличение масштабов диверсификации оказывает наибольшее влияние на начальных стадиях — при малых значениях п. Например, в рамках рассмотренного примера переход от одного вида бумаг к четырем сокращает квадратическое отклонение на 50%, а от одного к восьми — на 65%.
Полученные выше выводы в отношении тенденции изменения среднего квадратического отклонения в зависимости от числа составляющих при условии, когда дисперсии составляющих одинаковы, справедливы и для более общих случаев. Однако зависимость этого параметра от степени диверсификации проявляется здесь не столь четко.
Посмотрим теперь, как изменяются доход и величина риска при изменении структуры портфеля. Для этого вернемся к формулам (4.2) и (4.3) и запишем их только для двух видов бумаг (X и Y).Такой анализ вряд ли имеет практическое значение. Однако с его помощью наглядно демонстрируются последствия "смешения" ценных бумаг с различными доходностью и дисперсией. Для независимых доходов получим:

и для зависимых доходов

Причем а_y= 1 - а_x.
В этом случае среднее значение суммарного дохода определяется как

Положим, что d_y>d_x. и s _y > s _x. Тогда увеличение доли
бумаг второго вида увеличивает доходность портфеля. Так, на основе (4.7) получим



Что касается дисперсии, то, как следует из (4.6), положение не столь однозначно и зависит от знака и степени корреляции. В связи с этим подробно рассмотрим три ситуации:
полная положительная корреляция доходов (r_xy= +1) , полная отрицательная корреляция (r_xy= -1), независимость доходов или нулевая корреляция (r_xy = 0).
В первом случае увеличение дохода за счет включения в портфель бумаги вида Yпомимо Х сопровождается ростом как дохода, так и дисперсии. Для портфеля, содержащего оба вида бумаг, квадратическое отклонение находится в пределах s _x < s < s _y(рис. 4.3).
Для частного случая, когда s _x = s _y = s , получим по формуле (4.6) D =s ².Иначе говоря, "смешение" инвестиций здесь не окажет никакого влияния на величину дисперсии.
При полной отрицательной корреляции доходов динамика квадратического отклонения доходов от портфеля более сложная. По мере движения от точки Х к точке У эта величина сначала сокращается и доходит до нуля в точке В, затем растет (рис. 4.4).

В последней из рассматриваемых ситуаций (r_xy= 0) квадратическое отклонение при увеличении доли бумаги Y проходит точку минимума, равного s _m, далее оно растет до s _y
(рис. 4.5).

Совместим теперь все три графика на одном (рис. 4.6). Как видим, все возможные варианты зависимости "доход — среднее квадратическое отклонение" находятся в треугольнике XBY.

Из сказанного непосредственно следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдается только при отрицательной или, в крайнем случае, нулевой корреляции.
ПРИМЕР 1
Портфель должен состоять из двух видов бумаг, параметры
которых:

Доход от портфеля: А = 2а_x + 3a_y.Таким образом, доход в
зависимости от величины долей находится в пределах 2 < А < 3 . Дисперсия суммы дохода составит:

Определим доход и дисперсию для портфеля с долями, равными, допустим, 0,3 и 0,7. Получим по формулам (4.5) и (4.6):

Таким образом, при полной положительной корреляции D= 0,854, при полной отрицательной корреляции D=0,484. В итоге с вероятностью 95% можно утверждать, что суммарный доход находится в первом случае в пределах

во втором он определяется пределами

При нулевой корреляции доходов пределы составят

Продолжим анализ с двумя бумагами и проследим, как влияет включение в портфель безрисковой (risk free)инвестиции'.
Для этого заменим в портфеле бумагу Yс параметрами

на бумагу с такой же доходностью, но с нулевой дисперсией. Доходность портфеля от такой замены, разумеется, не изменится. Что же касается дисперсии, то она теперь составит:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дохода портфеля теперь зависят от удельного веса безрисковой составляющей:

Таким образом, "разбавление" портфеля безрисковой бумагой снижает риск портфеля в целом, а квадратическое отклонение дохода портфеля определяется убывающей линейной функцией доли безрисковой бумаги. Если d_x > d_y(в противном случае проблема выбора портфеля отпадает — он должен состоять только из безрисковых бумаг), то доход от портфеля по мере увеличения доли безрисковой бумаги уменьшается от d_xдо d_y
а величина квадратического отклонения сокращается от s _xдо 0(рис. 4.7). И наоборот, рост доли рисковой бумаги увеличивает как риск, так и доход.
Последнее утверждение для портфеля, состоящего из двух видов бумаг, иллюстрируется уравнением (4.10):

¹В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством.

В свою очередь, на основе (4.9) находим

В итоге получим интересное соотношение

Дробь в приведенном выражении иногда называют рыночной ценой риска. Если эта величина равна, скажем, 0,5, то при росте квадратического отклонения на 1% доход увеличится на 0,5%.
§4.3. Минимизация дисперсии дохода
Приведенные выше выражения для дисперсии суммарного дохода позволяют рассмотреть проблему диверсификации инвестиций и риска еще в одном аспекте, а именно определить структуру портфеля, которая минимизирует дисперсию и, следовательно, риск. Для нахождения минимума дисперсии вернемся к определяющим ее формулам. Если предположить, что нет статистической зависимости между доходами от отдельных
видов инвестиций, то найти оптимальную в указанном смысле структуру портфеля не так уж и сложно. Положим, что портфель состоит из двух видов бумаг —Х и Y.Их доли в портфеле составляют а_xи 1-a_x, а дисперсии— D_xи D_y. Общая дисперсия определяется по формуле (4.5). Поскольку эта функция является непрерывной, то применим стандартный метод определения экстремума. Находим, что минимальное значение дисперсии суммы имеет место тогда, когда


Формулу (4.12) обычно приводят в аналитической финансовой литературе. Однако для того чтобы ею можно было воспользоваться, необходимо иметь значения дисперсий. По-видимому, при расчетах на перспективу удобнее оценить или задать экспертным путем не сами дисперсии, а их отношение

Разделим теперь числитель и знаменатель (4.12) на D , получим

При наличии корреляции между показателями доходов обратимся к (4.6). Минимум этой функции имеет место в случае, когда

или, с помощью отношения дисперсий (4.13), получим

Как видно из приведенных формул, расчетная величина доли одной из бумаг может в некоторых условиях оказаться отрицательной. Из этого следует, что этот вид бумаги не должен включаться в портфель.
ПРИМЕР 2
Вернемся к данным примера 1 и определим структуру портфеля с минимальной дисперсией. Напомним, что s _x = 0,8;
s _y = 1,1 .
При полной положительной корреляции расчетные значения доли первой бумаги составят по формуле (4.15)

Соответственно а_y< 0 . Следовательно, минимальная дисперсия имеет место в случае, когда портфель состоит из одной бумаги вида X. Средний доход от портфеля равен 2.
При полной отрицательной корреляции находим

Дисперсия в этом случае равна нулю (рис. 4.4), а средний доход составит 2,421.
При отсутствии корреляции получим по формуле (4.12)

Дисперсия дохода при такой структуре портфеля равна 0,418, а средний доход — 2,346.
Пусть теперь портфель состоит из трех видов бумаг — X, Y, Z.Их доли а_x, а_yи а_z = 1 -(a_x + a_y) . Дисперсия дохода
от портфеля при условии независимости доходов от отдельных видов бумаг составит:

Минимум дисперсии достигается, если структура портфеля определяется следующим образом:

Не будем останавливаться на ситуации, когда доходы трех видов бумаг статистически зависимы. Перейдем к общей постановке задачи и определим структуру портфеля с n составляющими. Положим, что доходы статистически независимы. Опустим доказательства (см. § 4.4) и приведем результат в матричном виде:

где е — единичный вектор, характеризующий структуру портфеля.

где А — вектор, характеризующий (п -1) элементов структуры портфеля.
Матрица Dимеет размерность (n -1) х (n -1).
ПРИМЕР 3
Эксперты оценили следующие отношения дисперсий для
портфеля, состоящего из четырех видов бумаг:


По формуле (4.17) получим

Заметим, что структуру портфеля, минимизирующую дисперсию дохода с n составляющими при наличии корреляции, определить так же просто, как это было сделано выше, нельзя. Однако решение существует, хотя его получение — достаточно хлопотное дело. Даже в матричном виде результат весьма громоздок, в силу чего эта задача здесь не обсуждается.
Анализ диверсификации представляет собой первый этап в исследовании портфеля инвестиций. Следующим этапом является максимизация дохода. Эта проблема также связана с измерением риска и требует обстоятельного специального обсуждения, выходящего за рамки настоящей работы. Поэтому ограничимся лишь замечанием о том, что предлагаемый для ее решения метод Марковица' в теоретическом плане не вызывает возражений. Что касается его практического применения, то здесь, на наш взгляд, скрыты серьезные "подводные камни". Достаточно подробное и простое изложение теории Марковица читатель может найти в книге Ю. Ф. Касимова "Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг" (М.:
Филинъ,1998).
§ 4.4. Математическое приложение
Минимум дисперсии дохода при отсутствии корреляции, формула (4.17).
Дисперсия в этом случае определяется выражением (4.2), которое для п долей запишем как
¹MarkowitzII. М. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952. May.

В свою очередь,

где

Окончательно имеем:

Преобразуем (1) с использованием (2) и определим (n-1) частных производных.

Разделим каждое уравнение системы (3) на D_nи приравняем его нулю. После некоторых преобразований получим:

Представим систему уравнений (4) в матричном виде:

После чего получим искомое уравнение (4.17):

В частном случае, когда n = 2 и, следовательно, матрица D
содержит только один элемент

получим выражение