ГЛАВА 5. ИЗМЕРИТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ. ЧИСТЫЙ ПРИВЕДЕННЫЙ ДОХОД

ГЛАВА 5. ИЗМЕРИТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ. ЧИСТЫЙ ПРИВЕДЕННЫЙ ДОХОД
Длительная иллюзия обладает всеми атрибутами правды.
А. Франс
§5.1. Характеристики эффективности производственных инвестиций
Основные финансовые критерии. Финансовый анализ производственных инвестиций в основном заключается в измерении (оценивании) конечных финансовых результатов инвестиций — их доходности для инвестора. С такой задачей сталкиваются как на этапе первоначального анализа финансовой "привлекательности" проекта, так и при разработке бизнес-плана. Отрицательный вывод обычно дает основание отказаться от дальнейшего, более основательного и углубленного изучения проекта'. Без расчета такого рода измерителей нельзя осуществить и сравнение альтернативных инвестиционных проектов. Разумеется, при принятии решения о выборе объекта для инвестирования принимаются и другие критерии, помимо финансовых, например, экологические последствия осуществления проекта, различные социальные и гуманитарные соображения, возможность создания дополнительных рабочих мест, развитие производственной базы в данной местности и т. д. Нельзя исключить и такие ситуации, когда нефинансовые требования, например политические, могут оказаться решающими. В данной и следующей главах обсуждение ограничено только финансовыми критериями.¹В свое время автор данной книги оценил на основе обсуждаемой в главе методики финансовые последствия участия СССР в международном проекте по разработке металло-содержащих конкреций, находящихся на морском дне около о. Ямайка. Результат анализа был отрицательным. Как оказалось, к такому же выводу пришли и финансовые аналитики из Массачусетсского технологического института
Заметим, что интерес к тонким методам измерения эффективности обычно не возникает при очевидной высокой доходности проектов, превышающей существующий уровень ссудного процента. Так, в послевоенные годы в США при 20% доходности инвестированного акционерного капитала и 3-4%-м уровне ссудного процента менеджеры нефтяных и газовых компаний не применяли сложные критерии. И только в конце 50-х годов, когда наступило заметное снижение доходности бурения новых скважин, возникла необходимость в разработке и применении более надежных и строгих критериев.
Первое, что, вероятно, бросается в глаза при рассмотрении методик измерения эффективности инвестиций, это их разнообразие. За рубежом каждая корпорация, руководствуясь сложившимся опытом управления финансовыми ресурсами, их наличием, целями, преследуемыми в тот или иной момент, а иногда и амбициями, применяет свою методику. Вместе с тем в последние два десятилетия сформировались и общие подходы к решению данной задачи.
Применяемые в финансовом анализе методики и критерии можно разбить на две большие группы по тому, учитывают они фактор времени или нет. Учет фактора времени опирается на дисконтирование, в связи с чем методы и измерители первой группы часто называют дисконтными. Ко второй относят методы без дисконтирования распределенных во времени денежных сумм (затрат и отдачи от них). Условно назовем последние бухгалтерскими. Обычно в финансовом анализе одновременно используется не менее двух характеристик — основная и дополнительная. Причем часто сочетаются показатели, получаемые дисконтными и бухгалтерскими методами. В данной главе внимание сконцентрировано на дисконтных методах. В современной зарубежной практике в средних и крупных фирмах они
являются преобладающими. Мелкие фирмы обычно ограничиваются субъективными оценками и бухгалтерскими методами. Методы первой группы уже начали применять (весьма интенсивно) и в отечественной практике.
В основном используют четыре показателя, основанные на дисконтировании:
• чистый приведенный доход (netpresent value);
• внутренняя норма доходности (internal rate of return);
• дисконтный срок окупаемости (discounted payback method);
• индекс доходности (profitability index, benefit-cost ratio).
Кратко можно сказать, что перечисленные показатели отражают результат сопоставления обобщенных, суммарных отдач от инвестиций со стоимостью самих инвестиций. Причем эти сопоставления производятся под разным углом зрения. Определим их содержание.
Под чистым приведенным доходом N понимается разность дисконтированных показателей чистого дохода и инвестиционных затрат. Если показатели дохода и инвестиционных затрат представлены в виде единого потока платежей, то N равно современной стоимости этого потока, в котором инвестиции показаны с отрицательным знаком, а доходы — с положительным. Чистый приведенный доход представляет обобщенный конечный результат инвестиционной деятельности в абсолютном измерении.
Относительной мерой эффективности реализации инвестиционного проекта является внутренняя норма доходности J. Этот параметр характеризует такую расчетную процентную ставку, которая при ее начислении на суммы инвестиций обеспечит поступление предусматриваемого (ожидаемого) чистого дохода. Иначе говоря, эта ставка "уравновешивает" инвестиции и доходы, распределенные во времени.
Современная стоимость доходов, полученных за дисконтированный срок окупаемости n_ok, должна быть равна сумме инвестиций, т. е. окупить инвестиции с учетом разновременности получаемых доходов. Заметим, что данная характеристика совпадает, но только по названию (срок окупаемости), с показателем, применяемым в отечественной практике (бухгалтерский метод).
Последний из перечисленных выше измерителей эффективности капиталовложений — индекс доходности, или отношение "доход — затраты" равен отношению современной стоимости поступлений к стоимости инвестиций. Он близок по своему содержанию к показателю рентабельности. Обозначим этот измеритель эффективности как U.
Для того чтобы суть перечисленных показателей была более наглядной, обратимся к частному, но достаточно распространенному случаю. Пусть инвестиции совершаются мгновенно (такое условие может встретиться и на практике, например при приобретении законченного производственного объекта), а доходы поступают регулярно в виде постоянной ограниченной ренты постнумерандо. В этом случае чистый приведенный доход находится так:

где К — мгновенные инвестиционные затраты;
a_n;i— коэффициент приведения постоянной ренты (см.
гл. 1);
R— член потока доходов;
n — продолжительность периода поступления дохода;
i —ставка, принятая для дисконтирования.
Если капиталовложения не мгновенны, а распределены во времени, то под К понимается сумма инвестиций с начисленными процентами к концу срока инвестиций.
Внутренняя норма доходности J находится на основе условия

Дисконтированный срок окупаемости n_okустанавливается из соотношения

Наконец, индекс доходности U определяем следующим путем:

Во всех этих формулах используются одни и те же исходные данные, но в разных комбинациях и с разными коэффициентами приведения.
Перечисленные параметры являются основными в анализе инвестиционных проектов. Разработаны также некоторые дополнительные характеристики, основанные не на приведении затрат и доходов к началу срока реализации проекта, а на наращении всех или части доходов на конец этого срока. Некоторые из этих методик предполагают разделение потока доходов на два интервала. Первый интервал охватывает поток доходов в пределах срока окупаемости n_ok, второй — поток доходов после
этого срока, так называемые новые деньги (см. гл. 6).
Что касается бухгалтерских методов измерения эффективности, то они имеют определенную ценность для анализа и применяются в целях получения самых общих характеристик при предварительной оценке инвестиционного проекта или тогда, когда нет необходимости в серьезном его анализе. К таким показателям относятся:
• срок окупаемости (payback, payout period);
• отдача капитальных вложений (profit-to-investment ratio);
• удельные капитальные затраты.
Первый из этих показателей широко известен в отечественной практике, и нет необходимости детально останавливаться на нем. Его можно рассматривать и как некоторый измеритель риска: чем он больше, тем выше риск при всех прочих равных условиях. Эта характеристика заметно отличается от дисконтного срока окупаемости n_ok. Вместе с тем между ними имеется функциональная взаимозависимость. Ниже она будет показана.
Под отдачей капиталовложений понимают отношение суммы доходов за весь ожидаемый период отдачи к размеру инвестиций. Такой измеритель не имеет смысла при высокой инфляции.
Удельные капитальные затраты характеризуют инвестиционные издержки в расчете на единицу выпуска однородной продукции, например, капиталовложения на 1 тонну дневной добычи нефти и т. п.
Естественно, что разные показатели, определенные для набора инвестиционных проектов, совсем не обязательно дадут оди-
наковые результаты в отношении предпочтительности того или иного проекта. Они имеют разный смысл и измеряют эффект с различных точек зрения. Неоднозначность результатов, получаемых при оценивании эффективности проектов, объясняет, почему многие фирмы для повышения надежности при отборе вариантов инвестирования ориентируются на два и более измерителя.
Как показал опрос крупнейших нефтяных компаний США' (103 компании с годовым оборотом не менее 500 млн. долл., на долю которых приходилось 92% сбыта нефти и газа в стране в 1982 г.), 98% из них использовали в качестве основного или дополнительного по крайней мере один из перечисленных выше измерителей первой группы, а многие — несколько. В табл. 5.1 содержатся данные о частоте применения соответствующих показателей, полученные в результате опроса². Хотя приведенные данные, несомненно, устарели, вряд ли ситуация заметно изменилась.
Как следует из табл. 5.1, наиболее часто в качестве основного измерителя используется внутренняя норма доходности, на втором месте — срок окупаемости, наконец, третье место принадлежит чистому приведенному доходу. Для окончательного решения привлекаются и дополнительные критерии, в том числе и неформальные, например, связанные с экологией и безопасностью персонала. Наиболее популярна следующая триада формальных показателей (45% опрошенных компаний): внутренняя норма доходности и срок окупаемости в качестве основных и чистый приведенный доход как дополнительный измеритель. 9% компаний вовсе не прибегали к бухгалтерским методам.
В обзоре отмечено, что результативность формального анализа тем выше, чем крупнее компания. Мелкие (из числа обследованных) компании (с годовыми инвестициями менее 10 млн.
¹Scheneck G.К.. Boyle H. F. Investment Analysis: US Oil and Gas Producers Score High in University Survey, 1985; Hydrocarbon Economics and Evaluation Symposium. Dallas, 1985. May. 14-15.
Многие фирмы использовали в качестве основных или дополнительных несколько измерителей, поэтому общий результат в каждой колонке превышает 103.

Методы измерения	Измерители
Методы измерения	Основной Дополнительный
Дисконтные Внутренняя норма доходности Чистый приведенный доход Другие методы Бухгалтерские Срок окупаемости Рентабельность Другие методы	69 14 32 39 12 21 49 34 18 30 14 23

долл.) приняли на основе формальных критериев 25% проектов, крупные (с инвестициями, превышающими 500 млн. долл.) обосновывали на базе рассматриваемых критериев 92% из принятых проектов.
В данной главе рассматривается только один из упомянутых выше показателей — чистый приведенный доход (остальные см. в гл. 6).
Потоки платежей в инвестиционном анализе. Основная задача при разработке модели, с помощью которой намереваются проанализировать долгосрочный инвестиционный проект, в том числе измерить его финансовую эффективность, заключается в формировании ожидаемого потока платежей*. Первым шагом в этом направлении является разработка структуры потока во времени — разбивка его на этапы, различающиеся своим содержанием и закономерностями формирования доходов и затрат.¹В известном пакете программ КОМФАР (COMFAR),разработанном в ЮНИДО для финансовой оценки производственных проектов, заметное, если не главное, место занимает создание информационной базы в виде потока платежей. Для формирования потока необходимо определить производственные затраты по основным статьям (сырье, энергия и т. д.), объемы производственных запасов, размеры оборотного капитала, структуру затрат на создание основных фондов, источники и размеры привлеченного капитала и т. д. Все эти и многие другие данные задаются по годам. Что касается показателей эффективности, то указанная программа позволяет рассчитать два основных критерия: чистый приведенный доход и внутреннюю норму доходности.
При этом должны быть приняты во внимание как ожидаемые внешние условия (например, динамика цен на продукцию), так и производственные параметры (объемы производства, уровень производственных затрат и т. д.).
Пусть для определенности речь идет о предприятии по добыче минерального сырья. Тогда процесс осуществления проекта можно разбить на следующие основные этапы: цикл изыскательских работ, проектирование, строительство, закупка оборудования, его монтаж и наладка. В свою очередь, процесс отдачи разбивается на периоды: освоение, нормальная эксплуатация, истощение месторождения. Каждый из них характеризуется своими уровнями доходов и расходов в виде фиксированных величин, статистических распределений или зависимостей от некоторых внешних условий или производственных параметров. Например, расходы на изыскание и проектирование часто можно рассматривать как постоянные в определенном отрезке времени, а на строительство — как переменные. Закупка оборудования связана с разовыми выплатами и т. д. Что касается доходов, то в каждом из выделенных производственных периодов они могут рассматриваться как непрерывные величины, причем в первом они растущие, во втором стабильные, в третьем сокращающиеся.
Часто отдельные отрезки потока платежей могут быть представлены в виде постоянных, или переменных дискретных, или, наконец, непрерывных рент. Сформированные таким путем показатели затрат и поступлений дают возможность определить члены потока платежей для каждого временного интервала.
В общем виде член потока платежей для каждого временного интервала определяется следующим образом при условии, что выплачивается налог на прибыль:

где R— член потока платежей;
G— ожидаемый общий доход от реализации проекта, сумма выручки за период;
С — текущие расходы;
D— расходы, на которые распространяются налоговые льготы;
Т — налоговая ставка;
К — инвестиционные расходы;
S— различные компенсации, сокращающие текущие затраты.
Приведенное уравнение характеризует общий подход к определению члена потока. Оно может быть уточнено и развито с учетом конкретных условий и принятой в фирме методики расчетов. Выражение (5.5) разработано без учета источников финансирования. Если во внимание принимается привлечение заемных средств для осуществления капитальных вложений — их погашение и выплата процентов, то член потока платежей определяется следующим образом:

где I — сумма выплаченных процентов за заемные средства;
В — полученные в текущем году заемные средства;
Р — погашение основного долга.
В данном выражении предполагается, что выплата процентов за кредит освобождается от налогов.
В первые годы реализации проекта члены потока являются отрицательными величинами, так как затраты превышают поступления. Нельзя исключить ситуации, когда отрицательными оказываются потоки платежей и в отдельных интервалах срока эксплуатации, например, в связи с модернизацией технологического процесса. Схематично график потока платежей показан на рис. 5.1.
Инвестиционные затраты включают все виды расходов, необходимых для реализации проекта: проектно-изыскательские работы, закупка лицензий, заказ и оплата оборудования, строительство, монтаж и наладка оборудования и т. д. Что касается поступлений от инвестиций, то в расчет принимаются только чистые доходы. Причем под чистым доходом понимается не бухгалтерская прибыль, а доход, полученный в каждом временном отрезке за вычетом всех реальных расходов, которые

связаны с его созданием. Важно подчеркнуть, что амортизационные списания здесь не учитываются в расходах, так как соответствующие затраты сделаны раньше — при инвестировании средств в реализацию проекта. Теоретически такой подход более последователен, так как фактор времени надо учитывать. применительно ко всем затратам.
Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. Большинство исходных для анализа данных являются оценочными, примерными. Более того, поскольку оценка текущих затрат и поступлений делается на перспективу, то неизбежно возникает необходимость в их прогнозировании или выработке четко сформулированных гипотез о динамике важнейших параметров инвестиционного процесса. Это существенно затрудняет проведение финансового анализа. Однако положение не безнадежное. Одним из практических методов для обеспечения выработки инвестиционного решения является анализ отзывчивости, или чувствительности (sensitivity analysis).Основная цель этого анализа состоит в предоставлении лицу, принимающему решение, не точечных показателей эффективности, а их интервалов, соответствующих некоторым предположениям о возможной динамике ключевых факторов производственной системы' (подробнее об этом см. гл. 6).
Эта проблема была частично затронута в гл. 3 применительно к определению барьерных значений экономических показателей.
Ставка приведения. Какой бы дисконтный метод оценки эффективности инвестиций ни был выбран, так или иначе он связан с приведением как инвестиционных расходов, так и доходов к одному моменту времени, т. е. с расчетом соответствующих современных стоимостей потоков платежей. Важным моментом здесь является выбор уровня ставки процентов для дисконтирования. Назовем эту величину ставкой приведения (при сравнении нескольких вариантов инвестиций логично называть эту величину ставкой сравнения). Какую ставку следует принять в конкретной ситуации — это дело экономического суждения. Чем она выше, тем в большей мере отражается фактор времени, так как отдаленные платежи оказывают все меньшее влияние на современную стоимость потока. Следовательно, получаемые обобщенные величины доходов от инвестиций являются в определенной степени условными характеристиками. В зависимости от конкретных сложившихся условий учет фактора времени может меняться, и то, что представлялось предпочтительным в одних условиях, может не оказаться таковым в других. Однако (и это важно подчеркнуть) полученное для одного уровня процентной ставки ранжирование нескольких проектов по их финансовой эффективности сохраняется в пределах большого диапазона уровня ставки, т. е. наблюдается известная инвариантность результатов (эта проблема рассматривается ниже).
Выбор уровня процентной ставки для дисконтирования, за редкими исключениями, не является однозначным и зависит от ряда факторов. Обычно ориентируются на существующий или ожидаемый усредненный уровень ссудного процента. Практически для этого используют конкретные ориентиры — доходность ряда ценных бумаг, банковских операций и др. с учетом условий деятельности инвестора. По данным упомянутого выше опроса нефтяных компаний, наиболее часто крупные компании применяли три варианта ставки: усредненную стоимость капитала (усредненную доходность акций, ставок по кредиту и т. д.), субъективные оценки, основанные на опыте корпорации, существующие ставки по долгосрочному кредиту для определенной категории заемщиков.
В западной литературе ставку, принятую для дисконтирования потоков платежей в инвестиционном проекте, рассматри-
вают как минимально привлекательную ставку доходности (minimum attractive rate of return, MARR).В отечественной практике эту ставку, вероятно, следует рассматривать как норматив доходности, приемлемый для инвестора. Если финансовый анализ предполагает расчет внутренней нормы доходности, то этот норматив рассматривается как некоторое пороговое (минимально допустимое) значение данной нормы (подробнее об этом см. гл. 6).
При выборе ставки приведения нельзя не учитывать финансовое положение инвестора, его способность предвидеть и учесть будущие условия и т. п. Важным моментом является учет риска. Риск в инвестиционной деятельности независимо от ее конкретных форм в конечном счете проявляется в виде возможного сокращения отдачи от вложенного капитала по сравнению с ожидаемой, причем это сокращение происходит во времени. В качестве общей рекомендации по учету риска сокращения отдачи, инфляционного обесценения дохода, изменения конъюнктуры и других отрицательных факторов обычно предлагается вводить рисковую надбавку к уровню процентной ставки, применяемой при определении современной стоимости потоков платежей.
Одна и та же компания может применять различные ставки приведения для оценки инвестиционных проектов, имеющих разное назначение, сроки реализации и т. д. Например, вполне оправданным является применение более низких ставок при оценивании проекта расширения действующего производства, чем при создании нового предприятия.
§ 5.2. Чистый приведенный доход
В качестве основного измерителя эффективности большое распространение получил чистый приведенный доход. Этот показатель отражает общий абсолютный результат инвестиционной деятельности, ее конечный финансовый эффект. Он имеет ясную логическую основу и применим при решении широкого круга финансовых проблем, в том числе при расчете различных показателей эффективности, его легко рассчитать.
Методы расчетов (дискретный поток платежей). Пусть капиталовложения и доходы представлены в виде потока платежей, тогда искомая величина находится как современная стоимость этого потока, определенная на начало действия проекта. Таким образом,

где R_t— размер члена потока платежей в году t;
v —дисконтный множитель по ставке i(ставке приведения, принятой норме доходности).
Напомним, что членами потока платежей являются как положительные (доходы), так и отрицательные (инвестиционные затраты) величины. Соответственно, положительной или отрицательной может быть и величина N. Последнее означает, что доходы не окупают затраты при принятой норме доходности и заданном распределении капитальных вложений и поступлений во времени.
Пусть теперь поток платежей представлен в виде двух последовательных потоков: инвестиций и чистых доходов. Тогда чистый приведенный доход определяется как разность

где К_t — инвестиционные расходы в году t, t = 1, 2,..., n;
R_j — чистый доход в году j, j = 1, 2,..., n₂;
n₁ — продолжительность инвестиционного периода;
n₂ — продолжительность периода поступлений дохода.
Обычно в практической, финансовой (а особенно в учебной) литературе годовые данные о размерах членов потока приурочиваются к окончаниям соответствующих лет. Однако зачастую отдельные компоненты потока можно с достаточным основанием рассматривать как равномерно распределенные затраты (поступления) в пределах года. В таких условиях можно приписывать соответствующие величины к серединам годовых интервалов (см. гл. 1).
ПРИМЕР 1
Сравниваются по финансовой эффективности на начало осуществления проекта два варианта инвестиции. Потоки платежей характеризуются следующими данными, которые относятся к окончаниям соответствующих лет:
А: -100 -150 50 150 200 200 —
Б: -200 -50 50 100 100 200 200
Варианты заметно различаются между собой по характеру распределения платежей во времени. Если норматив доходности (ставка сравнения) принят на уровне 10%, то

Таким образом, если исходить из величины чистого приведенного дохода, то при принятой процентной ставке сравниваемые варианты в финансовом отношении оказываются почти равноценными. Несколько изменим условия задачи и, полагая, что доходы поступают равномерно в пределах года, сдвинем члены потоков платежей к серединам годовых интервалов. Тогда соотношение результатов для двух вариантов изменится, хотя общий вывод о примерной равноценности вариантов сохраняется.
Находим

В случаях, когда поток доходов можно описать как постоянную или переменную ренту, расчет N заметно упрощается. Так, если доходы поступают в виде постоянной годовой ренты, причем ожидается, что они равномерно распределены в пределах года, то

где R— годовая сумма дохода.
Если капиталовложения мгновенны, а доходы регулярно поступают сразу после инвестирования, то

ПРИМЕР 2
Проект предполагается реализовать за 3 года. Планируются следующие размеры и сроки инвестиций: в начале первого года единовременные затраты — 500, во втором — только равномерные расходы, их общая сумма — 1000, в конце третьего года единовременные затраты — 300. Отдачу планируют получать 15 лет:
в первые 3 года — по 200, далее в течение 10 лет ежегодно — по 600, в оставшиеся 3 года — по 300. Доходы поступают равномерно в пределах годовых интервалов.
Пусть ставка приведения равна 10%, тогда современная стоимость капиталовложений составит:

В свою очередь, современная стоимость поступлений равна

Отсюда N = 1101,2, т. е. капиталовложения окупаются.
Несколько изменим условия примера. Допустим, капиталовложения в первом году составляют не 500, а 1700.
Тогда N=-100.Таким образом, капиталовложения при заданной процентной ставке не окупаются, несмотря на то что их общая сумма (3 000) существенно меньше общей суммы поступлений (7 500).
Для того чтобы содержание показателя N было более наглядным, приведем следующую иллюстрацию. Имеется инвестиционный проект. Его условия: единовременные капиталовложения в сумме 12, доход поступает б лет в равных размерах — по 4 в конце каждого года. Для дисконтирования применена ставка 10%. По формуле (5.10) получим N = 5,42.
Теперь представим, что инвестиции полностью осуществлены за счет привлеченных средств. Весь период осуществления можно условно разбить на два интервала. В первом весь доход используется на покрытие задолженности до полного ее погашения. Во втором доход идет в пользу инвестора. Поток платежей, выплат процентов и суммы погашения задолженности, а также величины поступления чистого дохода инвестору показаны в табл. 5.2 (данные на конец каждого года).

t	Поток платежей	Остаток задолженности	Проценты	Погашение долга	Доход инвестора
0 1 2 3 4 5 6	-12 4 4 4 4 4 4	12,000 9,200 6,120 2,732	_1,200 0,920 0,612 0,273	_2,800 3,080 3,388 2,732	—— — — 0,995 4,0 4,0

В конце первого года часть доходов (в сумме 1,2) идет на уплату процентов, остальное используется для погашения основного долга. В конце третьего года задолженность после всех выплат по обслуживанию долга равна 2,732. Она погашается в конце следующего года. Оставшаяся в этом году неизрасходованной сумма (с учетом выплаты процентов)и поступления в следующих годах представляют собой чистый инвестиционный доход: 4 - (2,732 + 0,273) = 0,995. Современная величина доходов, поступающих в четвертом и следующих периодах, составит:

Именно такая величина была получена для данных условий по формуле (5.10).
Во всех рассмотренных случаях предполагалось, что ставка приведения не изменяется во времени. Однако нельзя исключать ситуации, когда, например, в связи с ожиданием увеличения риска неполучения дохода можно применить возрастающую во времени процентную ставку. Общая методика расчета при этом не изменится.
Методы расчетов (непрерывный поток платежей). Обсудим теперь методики, применяемые в случаях, когда потоки платежей и процентные ставки являются непрерывными. Такие потоки в некоторых ситуациях более адекватны реальному по
ложению дел. Сказанное относится к потокам как затрат, так и доходов. Остановимся на следующих видах потоков: постоянном, линейно изменяющемся во времени, с экспоненциальным
ростом.
Учесть фактор непрерывности постоянного потока платежей можно двояким путем. Во-первых, путем переноса момента платежа на середину интервала, а во-вторых, с помощью коэффициентов приведения и наращения непрерывной переменной ренты (доказательства последних приведены в § 5.5). Оба подхода дают практически одинаковые результаты для постоянного и линейно изменяющегося потоков.
ПРИМЕР 3
Определим только доходную часть чистого приведенного дохода инвестиционного проекта, согласно которому ожидаются ежегодные поступления в размере 100 ед. в течение 10 лет. Поступления в пределах года постоянны. Дисконтирование осуществляется по процентной ставке i=10%, соответственно сила роста ¹В известном пакете программ КОМФАР (COMFAR),разработанном в ЮНИДО для финансовой оценки производственных проектов, заметное, если не главное, место занимает создание информационной базы в виде потока платежей. Для формирования потока необходимо определить производственные затраты по основным статьям (сырье, энергия и т. д.), объемы производственных запасов, размеры оборотного капитала, структуру затрат на создание основных фондов, источники и размеры привлеченного капитала и т. д. Все эти и многие другие данные задаются по годам. .d =1п1,1=0,0953102.
Точное значение искомой величины современной стоимости находим, применив непрерывный коэффициент приведения:

При переносе момента платежа в середину каждого года потока получим

Однако если еще более упростить расчет и перенести общую сумму поступлений (1000 ед.) в середину всего срока поступлений, то получим всего

Ошибка, как видим, существенна.
При линейном изменении членов потока платежей ("треугольное" распределение платежей во времени) последние

определяются следующим образом (смысл обозначений легко понять из рис. 5.2):

где R — ежегодный прирост членов потока.
В общем виде современная стоимость непрерывного потока платежей находится так:

где д — сила роста,
е — основание натурального логарифма.
Подставив в эту функцию величину R,,получим (доказательство см. в § 5.5):

где a_n— коэффициент приведения непрерывной ренты.
Первое слагаемое равно современной стоимости постоянного потока с доходом в единицу времени, равным Рц. Второе слагаемое соответствует современной стоимости "треугольного" потока платежей.
ПРИМЕР 4
Найдем современную стоимость ожидаемого потока доходов. Последний состоит из трех периодов. В первом (3 года освоения) отдача ежегодно увеличивается на 100 ед., причем в первом году (уровень на начало года) доход равен 200 ед. Во втором периоде (10 лет) доход стабилен — ежегодно по 600 ед., в последнем (3 года) доход ежегодно уменьшается на 200 ед. Во всех периодах доход поступает непрерывно. Дисконтирование осуществляется по ставке 10% годовых (дискретных).
Для первого периода воспользуемся формулой (5.13). Таким образом, современная стоимость доходов в первом периоде составит:

Находим:

Окончательно имеем А₁ = 894,6 .
Современная стоимость доходов второго периода, рассчитанная на начало периода отдачи от проекта, составит:

Наконец, для третьего периода искомую величину рассчитаем опять-таки с помощью формулы (5.13). Результат, полученный на ее основе, дисконтируем за срок, равный 13 годам.

Современная стоимость доходов в целом составит:

В частном случае, когда заданным является суммарный размер доходов за весь период М, причем доход линейно увеличивается от нуля до R_nсовременная стоимость составит (см. § 5.4):

Рассмотрим еще один важный случай — рост доходов по экспоненте. По определению

где b — непрерывный темп прироста.
Таким образом, современная стоимость доходов составит:

Используя формулу (4), приведенную в § 5.4, получим:

ПРИМЕР 5
Ожидается, что поток платежей непрерывен, причем поступления будут увеличиваться с ежегодным дискретным темпом прироста 10%. При дисконтировании применена непрерывная ставка 20%. Необходимо найти коэффициент приведения для подобного рода ренты за 5 лет.

§ 5.3. Свойства
чистого приведенного дохода
Остановимся на особенностях чистого приведенного дохода, важных для его понимания и практического применения. Чистый приведенный доход — это абсолютный показатель и, следовательно, зависит от масштабов капитальных вложений. Данное обстоятельство необходимо учитывать при сравнении нескольких инвестиционных проектов.
Обратим внимание на существенную его зависимость от временных параметров проекта. Выделим два из них: срок начала отдачи от инвестиций и продолжительность периода отдачи. Сдвиг начала отдачи вперед уменьшает величину современной стоимости потока доходов пропорционально дисконтному
множителю v^t, где t — период отсрочки.
ПРИМЕР 6
Пусть по каким-либо причинам момент начала отдачи в примере 1 (вариант А) отодвигается, например, всего на один год. В этом случае

Теперь этот вариант заметно проигрывает по величине чистого приведенного дохода по сравнению с вариантом Б.
Что касается продолжительности периода отдачи, то его чрезмерное увеличение создает иллюзию повышения эффективности. Однако размеры отдаленных во времени доходов вряд ли можно считать вполне надежными и обоснованными. Кроме того, затраты и поступления, ожидаемые в далеком будущем, мало влияют на величину чистого приведенного дохода и ими, как правило, можно пренебречь. Проиллюстрируем сказанное. Пусть речь идет о доходе, поступающем в виде постоянной ренты. Зависимость N от срока ренты n показана на рис. 5.3. В начальный момент N = -К. В точке n = а капиталовложения точно окупаются поступившими доходами. По мере увеличения

срока поступлений дохода увеличивается величина N. Однако прирост ее замедляется, а само значение N стремится к некоторому пределу A.
Выбор момента, относительно которого дисконтируются члены потока платежей (focal date),также влияет на величину N. Обычно для этого выбирается начало реализации проекта. Сдвиг вперед момента времени для оценивания N увеличивает абсолютные значения обеих составляющих чистого приведенного дохода.
Пусть в проекте предусматриваются мгновенные капиталовложения К и постоянная отдача в течение n лет в виде постоянной ренты постнумерандо, отдача ожидается спустя t лет после начала реализации проекта. При приведении потока платежей к начальному моменту получим:

В свою очередь, оценивая проект на начало периода отдачи, имеем:

Последнее выражение можно получить, умножая предыдущее равенство на множитель наращения (1 + i)^t.В общем виде имеем:

где n₀;n_t —величины чистого приведенного дохода, рассчи танные на начало реализации инвестиционного процесса и некоторый момент со сдвигом, рав ным t.
При сравнении нескольких проектов должно соблюдаться естественное требование — этот момент должен быть общим для всех проектов. Заметим также, что предпочтительный вариант проекта остается таковым при любом выборе момента. Знак величины N не изменяется при сдвиге момента для оценивания.
Проследим теперь влияние процентной ставки на величину N. Из (5.7) следует, что с ростом ставки приведения размер чистого приведенного дохода сокращается. Зависимость N от ставки i для случая, когда вложения осуществляются в начале инвестиционного процесса, а отдачи примерно равномерные, видна на рис. 5.4.
Как показано на рис. 5.4, когда ставка приведения достигает величины J,финансовый эффект от инвестиций оказывается нулевым. Ставка J является важной характеристикой в инвестиционном анализе. Ее содержание и метод расчета обсуждаются в гл. 6. Здесь же отметим, что любая ставка, меньшая, чем J, приводит к положительной оценке N (точки а и b), и, наоборот, дисконтирование по ставке выше J дает отрицательную величину чистого приведенного дохода (точка с) при всех прочих равных условиях. Изменение ставки приведения оказывает заметное влияние на абсолютную величину N. Например, для

условий, согласно которым инвестиции осуществляются равномерно в течение 3 лет ежегодно по 100, а доходы будут поступать 7 лет также по 100 денежных единиц, находим следующие значения N в зависимости от уровня процентной ставки:

I	5	10	15	20
N	220,8	105,0	28,8	-22,2

Нулевая величина чистого приведенного дохода в этом примере имеет место при условии i = J = 17,5% .
Для наблюдаемых в практике потоков платежей зависимость не будет столь гладкой и "правильной", как на рис. 5.3. Картина рассматриваемой зависимости становится иной, если члены потока меняют знаки больше одного раза. Например, в силу того что через определенное количество лет после начала отдачи предусматривается модернизация производства, требующая значительных затрат. В этом случае кривая зависимости N от i будет заметно отличаться от кривой на рис. 5.4. Так, на рис. 5.5 показана ситуация, когда величина N трижды меняет свой знак.
Влияние размеров затрат и доходов на N очевидно. Величина N находится в линейной зависимости от каждого из указанных показателей. Причем, чем отдаленнее срок поступления или затрат, тем меньше это влияние.
Теперь остановимся на сравнении (ранжировании) нескольких вариантов проекта по величине N. На первый взгляд, представляется, что такое сравнение весьма условно, так как N зависит от уровня ставки. Однако итог ранжирования проектов обладает высокой устойчивостью (инвариантностью) по отношению к ставке приведения. Для пояснения обратимся к случаю, когда сравниваются три проекта. Обозначим их как А, Б и В. Капиталовложения во всех случаях мгновенные, а потоки доходов представляют собой постоянные ренты постнумерандо с одинаковыми сроками, но разными размерами отдачи. Потоки платежей и расчетные значения N и J показаны в табл. 5.3. Наибольшие значения N и Jyварианта Б. При расчете N применена ставка 12%.

T	А	Б	В
0 1 2 … 10	-20 5 5 … 5	-25 7 7 … 7	-25 6 6 … 6
NJ(%)	8,25 21,4	14,55 25,0	8,90 20,2

Кривые зависимости N от i для вариантов А и Б показаны на рис. 5.6. Как видим, для любых значений i положительные значения N варианта Б больше, чем у А. В свою очередь, при сравнении вариантов А и В (см. рис. 5.7) обнаруживаем, что чистый приведенный доход по варианту В больше, чем у А при применении любой ставки, вплоть до 15,1%. Если ставка приведения превышает этот уровень, то места проектов по уровню чистого приведенного дохода меняются.
Приведенный пример иллюстрирует тот факт, что выбор процентной ставки часто совсем не сказывается на ранжировании проектов или не оказывает на него влияние в большом диапазоне значений ставки. Точка пересечения кривых А и В

является критической, или барьерной (см. гл. 3). Барьерная точка определяется из равенства чистых приведенных доходов ("конкурирующие" функции) двух сравниваемых проектов:
N_A= N_B.Из данного равенства следует

где v —дисконтный множитель по неизвестной барьерной ставкеj;
R_Atи R_Bt— чистые доходы от проектов по варианту А и В.
Барьерная ставка определяется так же, как и внутренняя норма доходности (см. § 6.1).
§ 5.4. Математическое приложение
а. Некоторые стандартные функции

б. Производная и интеграл функции у = е^at.
Для расчета современной стоимости и наращенной суммы непрерывного потока платежей необходимо определить производную и интеграл функции у = е^at, где а — постоянная величина, t — продолжительность потока платежей.