ГЛАВА 6. ИЗМЕРИТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ: ВНУТРЕННЯЯ НОРМА ДОХОДНОСТИ И ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Великая научная идея редко внедряется путем постепенного убеждения своих противников... В действительности дело происходит так, что оппоненты постепенно вымирают, а растущее поколение с самого начала осваивается с новой идеей...
М. Планк
§ 6.1. Внутренняя норма доходности
Не менее важным показателем для финансового анализа производственных инвестиций наряду с чистим приведенным доходом является внутренняя норма доходности. Под этим критерием понимают такую расчетную ставку приведения, при которой капитализация получаемого дохода дает сумму, равную инвестициям, и, следовательно, капиталовложения окупаются, но не приносят прибыль. Иначе говоря, при начислении на сумму инвестиций процентов по ставке, равной внутренней норме доходности J,обеспечивается получение распределенного во времени дохода, эквивалентного инвестициям. В терминах метода барьерных точек J является управляющей переменной, а "конкурирующими" функциями будут современные стоимости капитальных вложений и отдачи от них.
Чем выше эта норма, тем больше эффективность инвестиций. Данный параметр может быть как поло
жительной, так и отрицательной величиной. Последнее означает, что инвестиции не окупаются. Величина этой ставки полностью определяется "внутренними" условиями, характеризующими инвестиционный проект. Никакие предположения об использовании чистого дохода за пределами проекта не рассматриваются.
Пусть i —приемлемый для инвестора уровень ставки процента (выше она была названа минимально привлекательной ставкой доходности или нормативом доходности). Очевидно, что разность ставок (J-i) характеризует эффективность инвестиционной (предпринимательской) деятельности. С чисто финансовых позиций инвестиции имеют смысл только тогда, когда J> i.При J < iнет оснований для осуществления инвестиций, так как доходность ниже принятого норматива; если же под i понимается стоимость заемных средств, то инвестиции просто убыточны.
Расчет внутренней нормы доходности часто применяют в качестве первого шага анализа инвестиций (см. § 5.1). Для дальнейшего анализа в западной практике отбираются только те проекты, которые обеспечивают некоторый приемлемый для данной компании уровень доходности. Последний зависит от многих объективных и субъективных обстоятельств и охватывает весьма большой диапазон возможных значений даже для однородных видов предприятий. Так, при обследовании нефтяных компаний США (см. гл. 5) было получено следующее распределение величины этого показателя' (табл. 6.1).
| Приемлемый уровень доходности (%) | Доля в общем числе обследованных фирм(%) |
| Менее 5 | 4 |
| От 5 до 10 | 8 |
| Свыше 10 до 25 | 6 |
| Свыше 25 до 50 | 19 |
| Свыше 50 до 80 | 26 |
| Свыше 80 | 23 |
| Не ответили | 14 |
1SchemckG.K., Boyle. Op. cit.
Методы расчетов. В общем случае, когда инвестиции и доходы задаются в виде потока платежей, искомая ставка' определяется на основе решения уравнения (6.1) относительно v
где v — в данном случае представляет собой дисконтный множитель по искомой ставке J;
t — время от начала реализации проекта;
Rt —член потока платежей (вложения и чистые дохо ды).
Инвестиции имеют в этом равенстве отрицательный знак, доходы — положительный. Если все члены потока имеют один знак, то, естественно, искомую ставку получить нельзя. Положительное значение J имеем, когда сумма дисконтированных доходов больше размера инвестиций, отрицательное — в противоположном случае.
Чистый приведенный доход, при условии что дисконтирование членов потока производится по ставке J, по определению равен нулю (см. рис 5.4). На рисунке кривая пересекает ось i только один раз — в точке J. Это типовой случай. Однако при специфическом распределении членов потока во времени последовательные члены потока платежей могут изменять свой знак несколько раз (например, если ожидаются в будущем крупные затраты на модернизацию процесса производства). В этих случаях кривая пересекает эту ось несколько раз (см. рис.5.5). Соответственно можно получить несколько значений искомой ставки (несколько корней многочлена), удовлетворяющих (6.1).
1В большинстве стандартных пакетов содержатся программы для расчетов внутренней нормы доходности по заданным показателям потока платежей (Exel, SuperCulc, Lotus, Framework, Financial Analystи т. д.). С помощью некоторых специализированных калькуляторов также можно рассчитать эти ставки, но обычно только для постоянного потока платежей.
В редких, но теоретически возможных случаях чистый приведенный доход оказывается положительной величиной при любом значении ставки i (см. рис. 6.1). Величина J здесь просто отсутствует. Если имеется множественность значений J или оно отсутствует, то при сравнении нескольких инвестиционных проектов следует воспользоваться другими измерителями эффективности.
Расчет искомой ставки осуществляется различными методами, дающими разные по точности ответы. Различаются они и по трудоемкости. В западной учебной литературе часто ограничиваются методом последовательного подбора значения ставки до выполнения условия N=0.Действительно, при наличии опыта и сравнительно коротком потоке платежей такой подход довольно быстро дает удовлетворительные результаты.
ПРИМЕР 1
Рассчитаем J для данных примера I (вариант А) (см. § 5.2). Напишем уравнение, в котором для сокращения записи примем l+J=r.Исходная функция, определяющая чистый приведенный доход,
Решение заключается в определении корня шестой степени. Применим метод последовательного подбора. Возьмем в качестве исходной ставку, равную, допустим, 15%. Найдем величину чистого приведенного дохода по этой ставке: N(1,15) = 104,2, т.е. заметно отличается от нуля. Принятое значение ставки мало.
Изменяя величину ставки в нужном направлении, приближаемся к условию N(r)= 0 . Повысим r до уровня, допустим,
1,25. Имеем N(1,25)=29,0. Ноль в значении функции опять не достигнут.
Далее находим N(1,3)= 4,9 . Можно окончить расчет и удовлетвориться достигнутой точностью или продолжить его и еще раз увеличить ставку, например до 31%. В этом случае N(1,31) =0,8. Увеличивать точность расчета далее, вероятно, не имеет смысла.
Можно применить и линейную интерполяцию, если из прошлого опыта известен примерный диапазон значений для J.На рис. 6.2 приведен график, на основе которого легко получить интерполяционную формулу следующего вида:
где i1 i2— границы диапазона для ставки J;
N1,N2 —величины чистого приведенного дохода при дисконтировании по ставкам i1.,i2
На рис. 6.2 точное значение внутренней нормы доходности равно J. Расчетная ее оценка составляет J'.Очевидно, что чем уже интервал ставок i1 - i2тем меньше погрешность этой оценки.
ПРИМЕР 2
Ожидается, что внутренняя норма доходности для потока платежей примера 1 находится в интервале 25—35%.
Находим N1 = 29,0; N2 = 13,25 (знак минус не принимаем во внимание). В итоге
Оценка размера внутренней нормы доходности оказалась заниженной. Уточним ее. Для этого несколько сузим интервал значений ставки. Воспользуемся уже полученными значениями N:для ставки 28,14% N = 13,9, а для ставки 35% N= 13,25.
По интерполяционной формуле получим J'=31,59%. Проверка: N = -1,59, т. е. расчетное значение близко к нулю. Точность оценки заметно повысилась.
Более "серьезные" методы определения J основываются на различных итерационных процедурах, к которым, в частности, относятся метод Ньютона—Рафсона и метод секущей или какие-либо численные процедуры, например метод поразрядного приближения.
В случае, когда инвестиции "мгновенны", а поток доходов может быть представлен в виде постоянной ренты, задача упрощается и сводится к определению ставки J на основе знакомого нам равенства:
Из этой формулы следует
' См.: Четыркин Е. М.. Васильева Н. Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Финансы и статистика, 1990. С. 297.
Таким образом, задача заключается в расчете искомой ставки по заданному коэффициенту приведения постоянной ренты (см. гл. 1).
ПРИМЕР 3
Инвестиции к началу срока отдачи от них составили 4 млрд. руб. Доход ожидается на уровне 0,7 млрд. руб. в год, поступления в течение 10 лет.
Если полагать, что поступления происходят равномерно в пределах года (соответственно их можно приурочить к серединам соответствующих лет), то коэффициент приведения ренты, необходимый для определения искомой нормы, можно записать следующим образом:
В свою очередь, если поток доходов непрерывен и постоянен, то непрерывная внутренняя норма доходности Dнаходится на основе коэффициента приведения непрерывной ренты:
Влияние факторов. На величину внутренней нормы доходности влияют те же факторы, что и на чистый приведенный доход, а именно размеры инвестиционных расходов и доходов и специфика их распределений во времени. Однако влияние здесь обратное: все, что увеличивает N,сокращает значение J.В частном случае, когда инвестиции мгновенны, а доходы можно представить в виде постоянной ренты, зависимость нормы доходности от факторов обретает конкретный вид (рис 6.3). В том случае, когда K/R= п, внутренняя норма доходности равна нулю (точка а на рис. 6.3). Соотношение инвестиций и годового дохода оказывается эффективным только тогда, когда оно меньше величины b.
Зависимость внутренней нормы доходности от продолжительности поступлений дохода очевидна: чем она больше, тем выше эта норма при всех прочих равных условиях. Однако ее прирост затухает по мере увеличения п.
При использовании внутренней нормы доходности в качестве ориентира для выбора и принятии инвестиционного решения следует иметь в виду, что
• данный параметр эффективности не учитывает масштабов проекта;
• существует возможность (правда, редкая) в некоторых ситуациях получить неоднозначные оценки эффективности, а иногда они вовсе отсутствуют;
. при отсутствии опыта расчета или соответствующих программ получение значения критерия может быть связано с некоторыми затруднениями.
Здесь уместно привести два дополнительных замечания, затрагивающих как внутреннюю норму доходности, так и чистый приведенный доход. Так, если инвестиционный проект охватывает ряд самостоятельных объектов, каждый из которых характеризуется определенными капитальными затратами и отдачами от них, то для этих составных частей можно определить частные показатели чистого приведенного дохода. Чистый приведенный доход проекта в целом равен сумме частных показателей. Этого нельзя сказать о внутренней норме доходности.
Потребность в применении того или другого показателя эффективности связана с различием в их содержании. Если речь
идет о максимизации массы дохода, то резонно выбор проекта основывать на чистом приведенном доходе (такой выбор, разумеется, не обеспечивает наиболее эффективного использования затраченных средств). При стремлении максимизировать относительную отдачу ориентируются на внутреннюю норму доходности.
§ 6.2. Срок окупаемости
Срок окупаемости, как уже отмечено выше, определяется в двух вариантах: на основе дисконтированных членов потока платежей и без дисконтирования. Обозначим первый как nok, второй как т. Величина nokхарактеризует число лет, которое необходимо для того, чтобы сумма дисконтированных на момент окончания инвестиций чистых доходов была равна размеру инвестиций (барьерная точка для срока). Второй показатель в общем смысле аналогичен первому, но время получения доходов не учитывается и доходы не дисконтируются. Иначе говоря, разновременные доходы, одинаковые по своей величине, рассматриваются как эквивалентные.
В предельно простом случае срок окупаемости т определяется как отношение суммы инвестиций к средней ожидаемой величине поступаемых доходов:
Такой расчет имеет смысл при относительно незначительных колебаниях годовых доходов относительно средней. Если же поступления дохода заметно изменяются во времени, то срок окупаемости определяется последовательным суммированием поступлений дохода до тех пор, пока сумма чистого дохода не окажется равной величине инвестиций:
где t — срок получения дохода.
С финансовых позиций более обоснованным является дисконтный срок окупаемости nok. Последний представляет собой расчетное необходимое время для полной компенсации инвестиций поступающими доходами с дисконтированием обоих потоков по некоторой процентной ставке (ставке приведения).
Пусть размеры капитальных вложений к концу срока инвестирования составляют величину К. Доходы поступают в виде нерегулярного потока платежей Rt. Необходимо найти такой срок, при котором будет выполнено равенство:
Если капиталовложения производятся несколько лет, то отсчет сроков окупаемости можно осуществить как от начала разработки проекта (первая инвестиция), так и после завершения всего запланированного объема инвестиций.
ПРИМЕР 4
Найдем сроки окупаемости (величины т и nok) для потока платежей (вариант А) примера 1 (см. § 5.2). Напомним, что он состоит из следующих членов: -100; -150; 50; 150; 200; 200. Общая сумма капитальных вложений равна 250. Суммируем годовые доходы и приравняем их к размеру инвестиций:
50 +150 + 200x; = 250, где х — доля годового дохода. Отсюда х = 50/200 =1/4 и т = 2 + 0,25 = 2,25 года. Для варианта Б того же примера получим т = 3,5 года.
Для определения дисконтного срока окупаемости установим размер ставки приведения i = 10%. Сумма капиталовложений с наращенными процентами к концу второго года равна 260.
Современная стоимость поступлений за первые два года, рассчитанная на момент начала отдачи, составит для А 169,4, т. е. меньше 260, а за три года поступлений — 319,7, т. е. больше этой суммы. Отсюда срок окупаемости примерно равен
nok= 2 + (260 -169,4): 15 0,3 = 2,6 года после завершения инвестиций, где 150,3= 200 х1,Г3.
Аналогичным образом для варианта Б получим
Остановимся на ситуации, когда капиталовложения заданы одной суммой, а поток доходов постоянен и дискретен (постоянная ограниченная рента). Тогда из условия полной окупаемости за срок nokпри заданной процентной ставке / и ежегодных поступлений постнумерандо следует:
Отсюда
Аналогичным образом находим дисконтные сроки окупаемости для других видов регулярных поступлений дохода. В каждом таком случае капиталовложения приравниваются к современной стоимости соответствующих финансовых рент. Так, для р-срочной ренты постнумерандо получим:
ПРИМЕР 5
Определим дисконтный срок окупаемости для данных примера 3 при условии, что поступления дохода происходят:
а) равномерно в пределах года;
б) раз в конце года;
в) в конце каждого месяца. Дисконтирование осуществим по ставке 10% годовых.
а. Припишем суммы годовых доходов к серединам годовых интервалов. После чего применим (6.8) с небольшим уточнением, вызванным тем, что выплаты производятся не в конце каждого года,а в середине:
б. По (6.8) находим nok=8,89 года. в. При условии, что р = 12, по (6.9) получим
Для сравнения заметим, что без учета времени поступления доходов срок окупаемости составит всего m= 5,71 года (см. пример 3).
В свою очередь, для непрерывного постоянного потока доходов можно записать:
где d —ставка непрерывных процентов (см. § 1.3). Из приведенного равенства следует:
Остановимся еще на одном важном случае — непрерывном поступлении доходов при постоянном темпе их прироста B. Приравняем современную стоимость такой ренты к величине капитальных вложений. На основе такого равенства (см. (5.15), где К = А) получим:
При положительной величине темпа прироста срок окупаемости сокращается.
ПРИМЕР 6
Пусть поток поступлений непрерывен, доходы ежегодно увеличиваются на 10%, начальный доход равен 25. Капитальные вложения равны 100.
Пусть теперь поступления дохода не изменяются во времени. Тогда по формуле (6.10) находим
Далеко не всякий уровень дохода при всех прочих равных условиях приводит к окупаемости инвестиций, если применять дисконтный метод. Срок окупаемости существует, если не нарушаются определенные соотношения между доходами и размером инвестиций. Так:
• если постоянные доходы поступают ежегодно, то R > iK;
• при поступлении доходов в виде p-срочной ренты
• при непрерывном поступлении доходов R > ln(l + i)Kили R>8K;
• если доход поступает непрерывно и изменяется с некоторым постоянным темпом роста /?, то R > (§ - f3)K.
Приведенные неравенства, вероятно, окажутся полезными для быстрой оценки сложившейся ситуации. Если указанные требования не выполняются, то инвестиции не окупятся за любой срок. Он в этом случае будет равен бесконечности. В то же время срок окупаемости, подсчитанный без учета фактора времени, при нарушении указанных условий обязательно будет иметь некоторое конечное значение, что искажает действительное положение дел.
ПРИМЕР 7
Пусть К= 4, ожидаемая годовая отдача — 0,2, если i= 10%, то имеем R = 0,2 < 0,4. Таким образом, при заданном уровне поступлений условие окупаемости не выполняется.
Однако упрощенный способ определения срока окупаемости говорит об обратном: m= 4/0,2 = 20 лет.
Влияние факторов и взаимосвязь сроков окупаемости. На
дисконтный срок окупаемости влияют два фактора: распределение поступлений во времени ("профиль" доходов) и ставка приведения. Влияние первого фактора очевидно — концентрация отдач к концу срока проекта, да и вообще любая отсрочка поступлений доходов увеличивает срок окупаемости. Что касается второго фактора, то его влияние столь же понятно — с увеличением ставки приведения срок окупаемости растет. Для постоянных доходов и мгновенных капитальных вложений зависимость срока окупаемости от процентной ставки показана на рис. 6.4. При i = R/Kкапиталовложения не окупаются, дисконтный срок окупаемости оказывается равным бесконечности.
Коль скоро оба рассмотренных срока окупаемости характеризуют одно и то же свойство инвестиционного процесса, то между ними должна существовать некоторая зависимость, которая в значительной мере определяется видом распределения
доходов во времени. Аналитически можно проследить эту зависимость для случая с поступлениями дохода в виде постоянной дискретной ренты. Определим оба показателя срока окупаемости через размер инвестиций и постоянные ежегодные поступления:
Откуда следует, что
Приведенная зависимость полностью определяется уровнем процентной ставки. Причем при mi> 1 инвестиции не окупаются.
Графическая иллюстрация зависимости двух видов сроков окупаемости от отношения K/Rпредставлена на рис. 6.5.
Как показано на рис. 6.5, величина nokвсегда больше т при условии, что i> 0. Различие между показателями срока окупаемости увеличивается по мере роста отношения K/R.
Основной недостаток срока окупаемости, на который, впрочем, неоднократно обращалось внимание, заключается в том,
что он (в любом его виде) не учитывает весь период функционирования инвестиций и, следовательно, на него не влияет вся та отдача, которая находится за его пределами. Особенно наглядно это проявляется в ситуациях, когда отдачи неравномерны во времени.
Вероятно, такой измеритель, как дисконтный срок окупаемости, не должен служить основным критерием отбора инвестиционных проектов. Если срок окупаемости больше, чем принятое ограничение длительности осуществления проекта, то проект исключается из списка возможных альтернативных инвестиционных решений.
§ 6.3. Индекс доходности
Рентабельность инвестиций может быть измерена двумя путями — бухгалтерским и с учетом фактора времени (с дисконтированием членов потока платежей). В обоих случаях доход сопоставляется с размером инвестиций. Так, на основе бухгалтерского метода получим два варианта индекса доходности:
или
В последней записи этот индекс полностью совпадает с принятым у нас показателем рентабельности.
Интересно проследить влияние взаимозависимости бухгалтерского срока окупаемости и показателя рентабельности. Для этого обратимся к случаю, когда доходы постоянны во времени. Упомянутые показатели определяются на основе следующих равенств:
откуда следует:
Рентабельность и срок окупаемости находятся в обратной зависимости.
При дисконтировании членов потока платежей индекс доходности определяется следующим образом:
если капиталовложения приведены к одной сумме К, то
если же капитальные затраты распределены во времени, то
ПРИМЕР 8
По данным примера 1 (см. § 5.2), приведенные к началу срока инвестиционного проекта капиталовложения для варианта А составили 214,9, а доход — 377,1. Для варианта Б — соответственно 223,1 и 383,5. Показатели рентабельности
Если поток доходов представляет собой постоянную ренту постнумерандо, а капиталовложения мгновенны, то
ПРИМЕР 9
Поток доходов и остальные условия инвестирования показаны в примере 3. Определим индекс доходности в случае, когда дисконтирование производится по ставке 10%.
Аналогичным путем можно определить рентабельность и для иных видов распределения доходов во времени.
§ 6.4. Соотношения
относительных измерителей эффективности
Относительные финансовые показатели эффективности инвестиций имеют сходную задачу и базируются в конечном счете на одной методике — сопоставлении доходов и затрат. Однако каждый из них решает задачу под своим углом зрения. Можно ожидать, что подобные измерители взаимосвязаны, причем в общем динамика одного показателя непропорциональна изменению другого. Знакомство с такими зависимостями полезно для лучшего понимания существа рассмотренных показателей и их применения в практических ситуациях.
Зависимости между попарно взятыми показателями эффективности легко выявить аналитическим путем для случаев, когда поток доходов может быть представлен в виде дискретной финансовой ренты, а капиталовложения мгновенны. Для того чтобы обнаружить интересующие нас связи в общем виде, этого достаточно.
Ниже приведены две группы соотношений: между дисконтированными показателями эффективности, между дисконтированными и бухгалтерскими измерителями. Доказательство каждого из этих соотношений базируется на принципе финансовой эквивалентности (см. § 6.9).
Начнем с двух важнейших показателей первой группы — чистого приведенного дохода и внутренней нормы доходности.
На основе формул (5.1) и (5.2) находим следующую зависимость:
Здесь i —ставка, которая применяется при определении чистого приведенного дохода N. Величина N оказывается положительной, если i < J.Графическая иллюстрация данной зависимости представлена на рис. 6.6.
Зависимость внутренней нормы доходности и дисконтированного срока окупаемости определяется следующим образом (см. § 6.9):
С повышением срока окупаемости внутренняя норма доходности сокращается. График этой зависимости представлен на рис. 6.7.
Зависимость внутренней нормы доходности и индекса доходности получим на основе формул (5.2) и (5.4):
Графическая иллюстрация данного соотношения показана на рис. 6.8. Как следует из формулы (6.20), при J= 0 имеем U= О, при J= iимеем U=1; наконец, если J> i,то U> 1.
Последняя зависимость этой группы — индекс доходности и срок окупаемости. На основе (5.3) и (5.4) имеем
График зависимости представлен на рис. 6.9.
Остановимся теперь на некоторых соотношениях показателей второй группы. Найдем соотношения рентабельности с индексом доходности, дисконтированным сроком окупаемости и внутренней нормой доходности.
Две первые зависимости иллюстрируются на рис. 6.10. Рентабельность прямо пропорциональна индексу доходности. Коэффициент пропорциональности больше единицы и зависит от размера ставки i.Напомним, что при i= 0 аn;t = n.
Рассмотрим соотношения срока окупаемости и дисконтированных показателей эффективности (зависимость т и nokбыла показана выше, см. (6.12)). Получим:
Срок окупаемости обратно пропорционален индексу доходности и равен коэффициенту приведения ренты, рассчитанному по внутренней норме доходности. Графики соответствующих зависимостей см. на рис. 6.11.
Приведенные соотношения получены для частного случая, когда капиталовложения мгновенны, а отдача от них представляет собой ограниченную постоянную ренту постнумерандо. В действительности поток доходов далеко не всегда следует указанной закономерности, отклоняясь от нее в ту или иную сторону. В силу этого найденные строгие зависимости "размываются".
§ 6.5. Сравнение результатов оценки эффективности
Применяемые при сравнении нескольких инвестиционных проектов показатели часто дают разные результаты по их предпочтительности. Нельзя забывать и то, что дисконтные показатели эффективности (кроме J)зависят от принятой в расчетах процентной ставки. Неоднозначность получаемых при оценивании проектов результатов объясняет, почему многие инвесторы для повышения надежности выбора применяют несколько критериев (об этом см. гл. 5). Для того чтобы сказанное было более наглядным, приведем следующую иллюстрацию. Сравним по шести критериям шесть инвестиционных проектов (табл. 6.2). Два первых одинаковы по общей сумме капиталовложений и отдач, но их распределения во времени имеют существенные различия. Проект В отличается от Б только тремя дополнительными годами поступления дохода. Аналогичное распределение поступлений и у варианта Д. Однако начало поступлений дохода здесь запаздывает на один год. Наконец, вариант Г отличается от Б тем, что на восьмом году реализации проекта предусматривается модернизация производства (в связи с этим расходы превышают доходы) с последующим увеличением срока поступлений дохода.
Перейдем к результатам оценивания эффективности данных вариантов. Соответствующие показатели приведены в нижних строках табл. 6.2. Сравним варианты А и Б. По всем критериям, за исключением и, первый вариант предпочтительнее второго. Объясняется это только различием распределений во времени как капиталовложений, так и доходов. При сравнении вариантов Б и В находим, что продление срока поступлений улучшает все показатели, кроме сроков окупаемости, так как на них дополнительные годы отдачи не отражаются. В свою очередь, вариант Д отличается от В заметным ухудшением всех показателей (кроме и), что объясняется запаздыванием поступлений доходов всего лишь на один год. У этого варианта самая низкая внутренняя норма доходности. Вариант Г, отличающийся от В наибольшим сроком поступлений и их объемом, имеет лучший показатель чистого приведенного дохода, но не внутренней нормы доходности.
| t | А | Б | В | Г | Д |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | -100 -150 50 150 200 200 50 | -200 -50 50 100 100 200 200 | -200 -50 50 100 100 200 200 100 100 100 | -200 -50 50 100 100 200 200 -150 150 150 150 150 100 100 100 | -200 -50 0 50 100 100 200 200 100 100 100 |
| S K S R | -250 650 | -250 650 | -250 950 | -400 1150 | -250 950 |
| m u N J nok U | 2.25 2,6 187,9 32.9 2,6 1,87 | 3,0 2,6 160,3 25,3 4,0 1,72 | 3,0 3,8 288,0 30,5 4,0 2,29 | 4,0 2,9 391.4 30,5 5,1 2,09 | 4,0 3,8 241,5 24,5 4,0 1,91 |
§ 6.6. Дополнительные измерители эффективности
В западной практике применяется ряд дополнительных показателей эффективности производственных инвестиций, которые базируются на наращении процентов. К ним, в частности, относится показатель, который в литературе называют средним приростом доходов (growth rate of return/.
Предполагается, что все доходы от проекта реинвестируются по ожидаемой ставкеj Суммарный доход на некоторый момент времени Т составляет вместе с начисленными на поступления процентами сумму В. Поскольку инвестиции осуществлены в размере К, то логично записать следующее соотношение между инвестициями и предполагаемым суммарным доходом:
где GR— средний темп прироста капитала. Откуда
Если рассматривается непрерывный поток доходов, то имеем КеqT= В и, следовательно,
где q —непрерывный темп прироста капитала.
Как следует из формул (6.23) и (6.24), искомые величины являются расчетными уровнями процентных ставок для роста капитала от К до В.
Известный интерес представляет взаимосвязь этих ставок и чистого приведенного дохода. По определению
1IkokuС. U. Economic and Investment Decisions. N. Y., 1985.
Таким образом,
Подставив (6.25) в (6.22), получим
Из последней записи следует
и
ПРИМЕР 10
Обратимся к первым двум потокам платежей табл. 6.2.
| А: | -100 | -150 | 50 | 150 | 200 | 200 | 50 |
| Б: | -200 | -50 | 50 | 100 | 100 | 200 | 200 |
Положим, что все платежи производятся в конце года. Тогда при условии, что у = 10%, получим КA=260 и КБ=270. По формуле (6.26) получим
В свою очередь, для непрерывного потока доходов найдем
гдеd — непрерывная ставка реинвестирования дохода.
и, наконец,
Из (6.26) следует, что показатель GRможно рассматривать как меру, адекватную чистому приведенному доходу в том смысле, что при положительной величине N темп прироста капитала больше ставки реинвестирования j.В формулах (6.26) и (6.27) рассматриваемый темп функционально связан с отношением N/K.Отсюда следует, что ранжирование инвестиционных
проектов по величине GR приведет к аналогичным результатам, что и ранжирование по N.
Иногда весь период отдачи делят на два подпериода с разными условиями начисления процентов. В первом — до конца срока окупаемости — начисления производятся по принятому нормативу доходности, во втором — к "новым деньгам" применяется ставка реинвестирования'. В ряде случаев обходятся без срока окупаемости, разделяя весь предполагаемый срок на две равные половины. Как видим, подходы к решению проблемы измерения эффективности здесь весьма произвольные.
§ 6.7. Моделирование
инвестиционного процесса
Параметры эффективности можно получить и для сложных инвестиционных схем. В этих случаях уместно прибегнуть к разработке специальных экономико-математических моделей, состоящих из математических выражений, описывающих как процесс формирования потоков платежей, так и соотношений, позволяющих рассчитать искомые величины. Основное пре-
1Campbell J. M. Petroleum Evaluation For Financial Disclosures'. 1982.
имущество использования модели, как известно, заключается в одновременном учете в ней всех необходимых требований, условий и предположений. Имеется определенная свобода в пересмотре этих установок в ходе работы с моделью, а сами результаты (показатели) оказываются непротиворечивыми. Модель позволяет получить варианты поведения исследуемого явления (в нашем случае —инвестиционного процесса) для разнообразных сочетаний исходных условий и принятых предположений, например состояния денежно-кредитного рынка, уровня инфляции, спроса на выпускаемую продукцию и т. д. Особенность модели, разрабатываемой для инвестиций в производство, составляет то, что в ней базовым является блок, в котором формируются затраты и отдачи от инвестиций для каждого временного интервала со специфическим их распределением в его пределах. Во втором блоке модели определяются искомые показатели эффективности.
Очевидно, нет смысла строить детальную модель, если имеется в виду только получение оценки для одного варианта условий. Преимущества модельного подхода в этом случае не используются. Модель дает возможность осуществить так называемый анализ отзывчивости, или чувствительности (sensitive analysis),о котором речь пойдет в следующем параграфе. Здесь только кратко заметим, что названный анализ заключается в выявлении наиболее важных (ключевых) входных параметров модели и получении системы оценок эффективности инвестиций для широкого диапазона значений этих параметров. Таким образом, лицу, принимающему решение, предоставляется не единственная, точечная оценка, а развернутая картина (в виде таблиц и графиков) значений эффективности для разнообразных возможных и ожидаемых ситуаций.
Первый шаг при разработке базового блока модели заключается в определении структуры потока платежей во времени (разбиение его на этапы). Причем и затраты и доходы в модели должны быть увязаны как с внешними (экзогенными) условиями, так и с производственными параметрами, например в связи с ожидаемой динамикой цен на производимую продукцию (внешние условия) и возможными изменениями объемов производства и уровней текущих производственных затрат. Данные о затратах и доходах в зависимости от конкретных условий могут
быть постоянными и переменными, дискретными и непрерывными. Например, данные о затратах на изыскательские работы и проектирование можно рассматривать как постоянные в некотором ограниченном интервале времени, строительство и закупку оборудования — как переменные, а эксплуатационные расходы — как постоянные затраты и т. д. Доходы часто представляют собой непрерывный поток поступлений.
Модель разрабатывается на основе трех видов данных — уровней или объемных характеристик (выпуск продукции, затраты на строительство и т. д.), временных параметров (моменты начала или окончания отдельных этапов, сроки), "нормативных" показателей (удельные расходы, процентные и налоговые ставки, ожидаемые цены и др.). Часть этих данных заложена в техническом проекте, другая получается из разных источников, включая специальные исследования и экспертные оценки.
Приведем иллюстрацию. Пусть для большей определенности речь пойдет о создании предприятия по добыче каких-либо полезных ископаемых. Последовательность основных этапов во времени показана на рис. 6.12.
Обозначения:
К. — величина затрат на этапе j;
nj— протяженность этого этапа;
tk— расстояние от начального момента или между этапами (периоды отдачи на рисунке не показаны);
К1— приобретение участка земли (разовые затраты);
K2— изыскательские работы;
К3— проектирование;
К4— строительство;
К5— закупка и поставка оборудования;
k6 —монтаж и наладка оборудования.
Для простоты положим, что в пределах каждого этапа затраты распределены равномерно. Если это не так, то на протяжении соответствующих этапов можно выделить подпериоды с относительно равномерными инвестиционными расходами.
Общий срок создания предприятия составит:
Определим современную стоимость инвестиционных расходов относительно начального момента времени. При расчете этой величины используем следующий подход: если протяженность этапа равна году или менее, то вся сумма расходов относится к середине периода, если этап занимает несколько лет, то поток платежей рассматривается как постоянная рента. Для каждого из перечисленных этапов находим следующие искомые значения современных стоимостей и их сумму:
где v —дисконтный множитель по ставке i.
Что касается периода отдачи, то положим, что он состоит из двух интервалов — в первом, сроком n7лет, ожидается годовой доход (за вычетом текущих затрат) в размере R7, во втором, протяженностью n8доход падает (месторождение истощается)
примерно на 100h% в год. Для простоты годовую сумму дохода можно без большой потери точности отнести к середине года. Современная стоимость поступлений составит:
Рассмотренная модель может быть детализирована во многих отношениях, и прежде всего путем раскрытия механизма формирования переменных К. и R.. Например, последнюю величину можно представить в модели как
где Qkj.— объем продукции вида k,выпущенной в периодеj;
рkj— чистый доход от реализации единицы этой продукции.
В свою очередь, можно ввести в модель расчет показателя чистого дохода и таким образом увязать ее с рядом внешних условий: ценами на продукцию, уровнем заработной платы, стоимостью сырья и т. д. Чем полнее будут охвачены факторы, формирующие затраты и чистый доход, тем больше возможностей для анализа и сокращения риска. Более того, если имеются варианты использования разного сырья и (или) технологий, а также какие-либо альтернативы в строительстве, то это также должно быть отражено в модели.
Приведенная выше модель является дискретной. Однако ее можно трансформировать и представить некоторые составляющие в виде непрерывных величин. В этом случае существенно увеличивается гибкость при описании соответствующих сторон инвестиционного процесса. Например, достаточно просто учесть влияние систематического изменения цен и другие непрерывно действующие факторы. Вернемся к нашей модели. Пусть ожидается, что цены на продукцию предприятия в первом периоде будут расти со средним годовым непрерывным темпом прироста Р. Тогда суммарный доход в первом году этого периода составит
а за все n7, лет
Переменные Qи р означают годовой выпуск и цену на начало года. Современная стоимость дохода, определенная на начальный момент разработки проекта, равна
где е — основание натуральных логарифмов;
d — непрерывная ставка, принятая для дисконтирования, ее соотношение с дискретной ставкой; d = ln(l + i).
§ 6.8. Анализ отзывчивости
Зависимость потоков затрат и поступлений от множества данных, относящихся к будущему, не позволяет получить однозначные ответы о степени эффективности: цены на продукцию могут понизиться, затраты могут возрасти и т. д. Практически полезно для сокращения риска в условиях неопределенности получить крайние оценки, иначе говоря, применить сценарный подход. Согласно этому методу, получают три оценки. Первая — для базового варианта исходных данных и предпосылок, сформулированных для наиболее вероятного сочетания условий создания и функционирования предприятия. Далее находятся аналогичные оценки для пессимистичного и оптимистичного вариантов условий. Совокупность таких расчетных оценок дает возможность более полно представить финансовые последствия инвестиций.
Более информативным является анализ отзывчивости (или, как его иногда называют, анализ чувствительности). Речь идет об отзывчивости показателей эффективности проекта на изменения данных в базовом варианте условий, в рамках которых формируются потоки платежей.
Можно выделить четыре этапа при осуществлении анализа отзывчивости:
1. Выбор показателя эффективности, относительно которого проверяется отзывчивость системы на изменение того или иного параметра базового варианта условий.
2. Отбор ключевых переменных модели, т. е. данных, отклонения значений которых от базовых заметно отразятся на величине показателя эффективности. Число таких параметров не должно быть слишком большим, иначе резуль-тат анализа трудно воспринять и использовать. В итоге показатель эффективности определяем как функцию только ограниченного числа ключевых переменных модели. Остальные переменные рассматриваются в модели как константы.
3. Определение вероятных или ожидаемых диапазонов значений ключевых переменных.
4. Расчет значений показателя эффективности для принятых диапазонов ключевых переменных и представление результатов расчетов в табличной форме и в виде графиков.
В качестве показателя эффективности, очевидно, следует принять одно из двух: чистый приведенный доход или внутреннюю норму доходности. Что касается отбора ключевых переменных, то можно предложить следующую методику. Последовательно изменять величину каждого объемного показателя на k%,временной характеристики на t%и нормативной величины — на d°/oи затем для дальнейшей работы отобрать только те переменные, изменение которых влияет на эффективность более, чем предусмотрено некоторым принятым пороговым уровнем.
На рис. 6.13—6.18 даны графики, характеризующие зависимость чистого приведенного дохода N от одного фактора: изме
нения годового объема производства Q,годовых размеров эксплуатационных затрат Z,цены единицы продукции z,темпа прироста цены t,, общего срока создания предприятия п, уровня
ставки приведения iпри условии, что все остальные переменные модели зафиксированы на базисном уровне. При определенных размерах ключевых параметров финансовая эффективность проекта может оказаться отрицательной.
Обратимся к рис. 6.15. Если ожидается, что цена единицы продукции будет находиться в пределах от а до b, а все остальные переменные имеют базовые значения, то величина чистого приведенного дохода находится в интервале от А до В.
В анализе отзывчивости можно применить и диаграмму, на которой совмещаются все частные графики (spider diagram)(см. рис. 6.19). На оси абсцисс этого графика показано изменение переменной относительно ее базового значения. Такая диаграмма дает возможность сравнить и ранжировать отзывчивость показателя эффективности на одинаковые сдвиги в значениях разных ключевых переменных. Наибольшее отрицательное влияние оказывает параметр В, положительное — С. Опыт показал, что, как правило, наиболее значимыми в этом отношении являются временныeпараметры.
Выбор наиболее "отзывчивой" переменной позволяет там, где это возможно, сконцентрировать усилия на изменении значений переменных в нужном направлении и тем самым повысить эффективность проекта в целом.
§ 6.9. Математическое приложение
а. Доказательство формулы (6.11)
Приравняем современную стоимость непрерывной ренты с постоянным темпом прироста платежей сумме капитальных вложений.
отсюда
Окончательно имеем
б. Взаимозависимость параметров Jи nok(формула (6.19)) По определению, см. (5.2) и (5.3),
откуда
Решим это равенство относительно nok :
