Любое управление в экономике связано с выработкой и принятием управленческих решений, воплощающихся в управляющие воздействия. В ходе поиска и анализа возможных решений, выбора предпочтительного из них, формирования управляющих воздействий субъекты управления стремятся установить, насколько им удалось отобрать лучший вариант, как реально "сработает" принятое решение и каковы будут его последствия. Хотелось бы, конечно, прежде чем осуществлять управляющее воздействие, принимать окончательное решение проверить его действенность и последствия, прибегая к эксперименту.
Но натурный эксперимент в экономике осуществить очень трудно, ведь любая экономическая деятельность связана с людьми, а пробовать на людях разные варианты управления, проверять их последствия опасно. Вдобавок люди ведут себя в условиях эксперимента не так, как в реальной действительности. К тому же экономические эксперименты в натуре весьма дорогостоящи и продолжительны, в большинстве случаев субъект управления не имеет возможности затягивать принятие решений, ожидая пока они будут опробованы посредством эксперимента.
Поэтому в ходе выработки управленческих решений лица, готовящие их, продумывают варианты, результаты, последствия решений в своем воображении, в мысленном представлении. При этом фактически используются логические модели процессов управления, мысленные сценарии их протекания. Но возможности даже квалифицированного, опытного специалиста воспроизвести в своем мозгу картину поведения объекта управления под влиянием управляющих воздействий довольно ограниченны. Приходится привлекать на помощь математические расчеты, дополняющие мысленные представления, иллюстрирующие ожидаемую картину управляемого процесса в виде цифр, кривых, графиков, таблиц. Использование математических методов при формировании представлений об экономических объектах и процессах в ходе экономического анализа, прогнозирования, планирования называют применением экономико-математических методов.
Наиболее распространенная форма, основной инструментарий воплощения экономико-математических методов — это экономико-математическое моделирование. Моделирование представляет воспроизведение образа реального объекта в виде его модели, а модель и есть образ реального объекта или процесса в вещественной или описательной форме. Математическое моделирование опирается на математическое описание моделируемого объекта (процесса) в виде формул, зависимостей с помощью математических символов, знаков. Если же моделируемый посредством математических зависимостей, соотношений объект или процесс имеют экономическую природу, то соответствующая модель называется экономико-математической.
Экономико-математическая модель представляет формализованное описание управляемого экономического объекта (процесса), включающее заранее заданные, известные параметры, показатели и искомые неизвестные величины, характеризующие вместе состояние объекта, его функционирование, объединенные между собой связями в виде математических зависимостей, соотношений, формул. Отметим, что к экономико-математическим моделям принято относить не только чисто математическое описание объектов и процессов, но и логические связи в виде, например, матриц, графов, структурных схем.
Естественно, что экономико-математическая как и любая другая модель не способна воплотить и отразить все свойства моделируемого объекта (процесса), такая задача и не ставится перед моделированием. Модель способна быть только аналогом моделируемой системы, отражающим основные, существенные свойства изучаемой, управляемой системы, которые наиболее важны с позиций управления.
Благодаря моделированию субъект управления или аналитики, готовящие и обосновывающие управленческие решения, способны в ходе анализа иметь дело не с реальным объектом управления, а с его аналогом в виде модели. Это значительно расширяет возможности поиска лучших способов управления, не нарушает функционирование реального объекта управления в период выработки управленческих решений, то есть позволяет избежать экспериментов с реальным объектом, заменяя их экспериментами, проводимыми на моделях, с помощью моделей. Появляется возможность применить вычислительную технику, использовать компьютеры, для которых математический язык моделей является самым удобным. Благодаря компьютерам можно производить многовариантные модельные расчеты, что повышает шансы на отыскание лучших вариантов.
Казалось бы, тем самым применение экономико-математических моделей в управлении устраняет большинство трудностей выработки и обоснования управленческих решений, открывает дорогу рациональному, даже оптимальному управлению. В действительности это далеко не
так. Главное требование к экономико-математическим моделям заключается в том, что они должны обладать адекватностью, то есть соответствовать моделируемым экономическим объектам или процессам, являющимся предметом управления.
Требование адекватности не носит абсолютного характера, так как по своему определению модель призвана отражать только существенные свойства реального объекта управления и его поведения, имеющие определяющее значение в процессе управления. Но в том-то и дело, что в подавляющем большинстве случаев экономико-математические модели оказываются неспособными адекватным образом воплотить в себе, отразить и выразить свойства, наиболее существенные для управления, в полной мере удовлетворяют требованию адекватности лишь частично, а то и вообще в малой степени.
Причина заключается в том, что основным объектом управления экономикой являются люди, а достоверно описать математическим языком поведение людей как объектов управления, находящихся под влиянием управляющих воздействий, не представляется возможным. К тому же, построив экономико-математическую модель функционирования управляемого объекта, мы не обладаем непосредственной возможностью убедиться, что она отражает существенные для данного процесса свойства объекта управления. Нужна еще проверка соответствия на реальном объекте, то есть реальный эксперимент, который трудно провести в экономике. Обычно проверку адекватности экономико-математической модели реальному моделируемому объекту управления осуществляют на основе данных о функционировании этого объекта в прошлом. Но такая проверка соответствия модели реальному объекту, если она даже возможна, не позволяет придти к уверенному выводу, ибо не соответствует новым условиям функционирования моделируемого объекта.
Попытка отразить в экономико-математической модели все существенные свойства объекта управления наталкивается также на множественность и изменчивость этих свойств, присущие управляемым экономическим объектам как сложным системам. На поведение экономических объектов под воздействием управления значительно влияют их связи и взаимодействия с другими объектами и с окружающей средой, трудно поддающиеся математическому моделированию так называемые граничные условия, которые трудно воспроизвести даже в физическом моделировании.
Выраженная динамичность управляемых социально-экономических процессов проявляется в непрерывном изменении их параметров, а то и структуры системы, в которой протекают эти процессы. Такую изменчивость, динамичность не удается полноценно, адекватно воспроизвести в математической модели. Большинство экономико-математических моделей носит дискретный и статичный характер, тогда как моделируемые процессы во многом непрерывны и динамичны. Динамичны и условия, в которых функционирует моделируемый объект управления. За период, охватывающий отрезок времени между моделированием и реальным функционированием управляемого объекта, которое должна предсказать модель, условия функционирования объекта, заложенные в модель, могут настолько измениться, что поведение объекта будет заведомо отличаться от предсказанного математической моделью.
Наконец, нельзя упускать из вида действие факторов случайности и неопределенности на управляемые экономические объекты и процессы, учет которых в экономико-математических моделях очень затруднен. Отработанный, применяемый аппарат экономико-математического моделирования опирается в основном на использование детерминированных моделей, в которых случайность, проявляющаяся в поведении объекта управления, в явной форме не учитывается. В принципе известны и стохастические модели, оперирующие методами теории случайных процессов, теории вероятности и математической статистики, но пока они имеют узкую область применения в управлении.
Недостаточная адекватность экономико-математических моделей реальным объектам и процессам, которые они моделируют, никоим образом не отрицает их применение в управлении, но ограничивает роль математического моделирования объектов управления. Чаще всего результат экономико-математического моделирования есть предмет для рассуждения лиц, участвующих в управлении, принимающих решения, дающий им возможность расширить, дополнить представления об ожидаемом функционировании объекта управления при тех или иных управляющих воздействиях, а также о результативности управления в разных его вариантах. В этом свете на первый план выходит консультирующая роль экономико-математического моделирования, модели подсказывают управленцам многое то, на что они могли бы не обратить внимания, расширяют поле обзора способов, средств и потенциально возможных результатов управления.
Реализуемость экономико-математического моделирования с использованием современной компьютерной техники, средств передачи и отображения информации позволяет благодаря моделям многократно повысить количество рассматриваемых вариантов управления, различающихся по характеру управленческих решений, диапазону изменения факторов, влияющих на объект управления. Благодаря этому применение экономико-математических моделей в управлении позволяет приблизиться к рациональным, а в пределе—и к оптимальным решениям, обеспечивающим лучшее использование экономических ресурсов, достижение высокой эффективности управления.
Экономико-математические методы и модели представляют обширный и достаточно мощный научно-исследовательский, аналитический
инструмент познания. Благодаря тому, что экономико-математическое моделирование распространяет свои возможности на все уровни управления, начиная от экономики страны и заканчивая экономикой предприятия, фирмы, небольшой компании, отдельного хозяйства, можно объединять отдельные модели в систему моделей, имитирующую реакцию объектов разных уровней на макроэкономические управляющие воздействия. При умелом использовании многоуровневые системы экономико-математических моделей позволяют судить о необходимой увязке мероприятий реформы управления на разных уровнях, достижении их непротиворечивости.
Многолетним мировым опытом доказано, что экономико-математические модели способны служить мощным средством научного анализа, прогнозирования, аналитического планирования самых разных социально-экономических процессов.
Однако возможности непосредственного использования экономико-математических моделей в практическом управлении конкретными социально-экономическими объектами выглядят менее впечатляющим образом. Частично это обусловлено обрисованными выше трудностями применения математических моделей к задачам управления экономикой. Но есть и другие ограничительные условия, препятствующие использованию таких моделей как прямого инструмента социально-экономического управления, о которых повествуется в следующем разделе.
8.2. О некоторых особенностях применения экономико-математических моделей и компьютеров в управлении
Нельзя не отметить, что внедрение и использование экономико-математических методов в практике управления продвигаются медленными темпами, степень их применения намного ниже потенциально возможной, а влияние на качество управленческих работ еще невелико. Автоматизированные системы управления во многом не оправдали возлагающихся на них больших надежд, их эффективность недостаточна. При ощутимых успехах в создании аналитических моделей, используемых в качестве научного анализа и прогнозирования экономических процессов, достижения в применении моделей в реальной технологии управления гораздо более скромны. Большинство управленческих задач, решаемых с применением моделей, надолго остаются в так называемой "опытной" эксплуатации, применяются параллельно с "немодельной" технологией, которая остается основной. В качестве пользователей моделей выступают преимущественно их разработчики.
Образуется заметный разрыв между масштабами исследовательской деятельности в области экономико-математических методов планирования и управления, которой заняты многие академические и прикладные научно-исследовательские организации, и конечным практическим использованием результатов этой деятельности, глубиной их воздействия на качество управленческих работ. В отдельных случаях под флагом экономико-математических исследований выполняются схоластические работы математического жанра, абстрагированные от реальной практики, не имеющие приложений, представляющие по сути бесплодную игру в математические символы. Вычурные и впечатляющие по форме, они лишены реального содержания. По поводу таких исследований почти двадцать лет тому назад высказал свое суждение выдающийся математик, академик Л.С.Понтрягин, написавший в одной из своих статей : "Я имею в виду математическую мистификацию практических задач, от которой не бывает пользы ни уму, ни сердцу. В последнее время можно встретить, например, так называемые экономико-математические работы, насыщенные сложной математической символикой, но не содержащие ни одного конкретного численного примера, — непонятные, недоступные и фактически ненужные экономистам, а сточки зрения математиков — представляющие ничтожную ценность, либо вообще не обладающие ею" [4].
Конечно, только отдельные экономико-математические построения представляют сознательную математическую мистификацию. Чаще лица, пытающиеся совершенствовать математический аппарат экономики, исходят из творческих побуждений. Обычно они внутренне уверены, что созданные ими модели приложимы к решению задач управления и относят факт неприменения обильно предлагаемых математических методов на счет противодействия работников органов управления вследствие их неподготовленности к восприятию нового. Конечно, определенное влияние психологического барьера со стороны планово-управленческих работников имеется, но оно порождается не просто неприятием нового, а чаще неверием в реальность и эффективность многих предлагаемых математических моделей управления, а также отрицательными результатами ряда попыток применить эти модели. Характерно, что определенный скепсис в отношении практической приложимости экономико-математического моделирования высказывал и такой выдающийся "модельер", как лауреат Нобелевской премии по экономике В.В.Леонтьев.
Моделирование социально-экономических систем намного сложнее моделирования естественных процессов и технических объектов в связи с необходимостью учета факторов социальной природы. Если технические объекты инвариантны по отношению к использующим их социальным системам, то этого никак нельзя сказать об экономических объектах. Математические модели экономики, используемые в управлении, должны отражать такие аспекты, как социальная направленность целей, сопоставление и рационализация потребностей, учет и согласование
интересов разных групп и коллективов, распределительные отношения, стимулы, сочетание централизации и децентрализации, организационные структуры. Эти качественные стороны экономических процессов трудно выразить в числовой форме, поэтому соответствующие управляющие воздействия вырабатываются не столько путем расчетов, сколько на основе неформализованных процедур анализа, согласования, обсуждения, экспертной оценки, принятия решений. Поэтому управление необходимо строить на основе сочетания формализованных и неформализованных методов, а в системах управления должны сочетаться экономико-математические модели, расчеты, неформализованные процедуры анализа, оценки, принятия решений, соединенные в общую технологическую схему.
Недостаточно эффективное внедрение экономико-математических методов и моделей в практику управленческих работ объясняется и неподготовленностью к их восприятию, неудачным, неумелым приложением математических методов, порождающим недоверие к ним.
Часто наблюдается ситуация, когда математически строго поставленная экономическая задача, метод решения которой прошел экспериментальную проверку на условной информации, не встраивается затем в реальную технологию управленческого процесса. Приходится тратить годы усилий и множество средств, чтобы отработанный в исследовательских условиях метод стал достоянием практики. Подобная картина возникает в тех случаях, когда при отработке экономико-математического метода или модели первичными являются математическая форма и метод, тогда как Экономическая постановка задачи, ее место в технологии управленческого процесса, обеспеченность исходной информацией отодвигаются на второй план. Нельзя создать эффективный метод и алгоритм решения экономической задачи без учета особенностей организации и технологии управленческого процесса, частью которого должна стать эта задача. Если Этим обстоятельством пренебрегают, то "математический кирпич" невозможно уложить в здание управленческой технологии.
Недопустимо формальное заимствование и перенесение сложившихся понятий и определений, связанных с решением математических задач, на Задачи экономической, управленческой природы. Понятие "задача", "решение задачи" вошли в управленческую практику в связи с использованием в ней математических методов, применением вычислительной техники, автоматизацией управления экономическими объектами и процессами. В ходе автоматизации управления основным средством изучения и преобразования технологии разработки управленческих решений стало ее представление в виде устойчивых последовательно-параллельных цепочек взаимосвязанных экономических задач. Формирование на этой основе функционально-структурных схем планирования и управления сыграло немалую роль в анализе структуры и содержания управленческих процессов, положило начало особой ветви их сетевого моделирования. Матрично-сетевые схемы, в узлах которых сосредоточены управленческие функции, реализуемые путем решения соответствующих задач, стали основной формой моделей, пришедших на смену преимущественно словесным описаниям (вербальным моделям) управленческих процессов. Благодаря функционально-структурному моделированию управленческая технология стала реальным объектом проектирования.
Однако попытки структуризации и формализации технологии разработки управленческих документов и решений с использованием схем, определяющих содержание и порядок решения экономических задач, натолкнулись на определенные трудности. Реальная технология оказалась сложнее, чем моделирующая ее схема. Хотя в процессе управления действительно решаются задачи, фиксированные в схемах, сетевых моделях или просто в перечнях задач, конкретное содержание задач и последовательность их решения не стабильны, а изменяются в зависимости от отдельных условий, таких, как особенности периода формирования решения, изменение целевой установки, выявление новых возможностей, уточнение ресурсов, появление дополнительной информации и др. То, что было неизвестно на первом этапе разработки, становится известным на другом, отдельные целевые показатели переводятся в разряд ограничений, меняются местами "входы" и "выходы" задачи, задаваемые и искомые показатели. Все это приводит к необходимости анализа исходного понятия "управленческая задача", сопоставления его с понятием "математическая задача", выявления общности и различий этих понятий.
В общем случае экономико-управленческая задача может быть сформулирована следующим образом: исходя из поставленных субъектом управления или заданных ему целевых установок, в соответствии с имеющими место политическими, социальными, научно-техническими, производственно-технологическими, экологическими условиями и факторами, а также ресурсными ограничениями установить, каким образом можно и следует перевести объект управления из его исходного в желаемое, соответствующее целям управления состояние. Таким образом, условие управленческой задачи должно содержать: целевую установку, ограничения на область допустимых решений, характеристику искомых показателей и заданий, исходные данные для определения искомых величин, связи искомых показателей с другими, обусловленные их экономическим содержанием и организацией работ. Решение задачи представляет выведение искомых величин из условий задачи и в этом смысле экономико-управленческая задача аналогична математической. Но есть и существенные отличия.
Разработчики экономико-математических методов и моделей обычно исходят из того, что классическая математическая постановка задачи целиком согласуется со сформулированной выше общей постановкой планово-управленческой задачи. В действительности это далеко не так. Одно из самых лаконичных определений математической задачи имеет вид: "Дано А, определить X". При этом предполагается, что постановке (формулировке) задачи заведомо присущи определенные свойства. Укажем их.
Свойство разрешимости задачи относительно искомого Х предполагает, что условия А достаточно, чтобы найти Х с помощью формального алгоритма преобразований, отыскание которого дает ключ к решению. Если данных А, приводимых в условии, недостаточно для определениях, задача считается некорректно поставленной.
Свойство определенности задачи означает, что существует алгоритм, позволяющий отыскать (в детерминированном или вероятностном смысле) все множество значений X, удовлетворяющих условиям задачи. В противном случае задача считается неопределенной, имеющей бесчисленное множество или вообще не имеющей решений.
Математик предпочитает иметь дело с корректно поставленными, разрешимыми, определенными задачами. Разрабатывая метод решения экономической, управленческой задачи, он всячески стремится поставить ее так, чтобы она была корректной и определенной в математическом смысле. Того же он требует от экономиста, если последний ставит задачу. Между тем уже в попытке "строгой" математической постановки экономико-управленческих задач кроется источник недоразумений и неудач, ибо многие экономические задачи в их формальном толковании воспринимаются как некорректные, неопределенные, не имеющие или имеющие множество решений, хотя в экономическом смысле поставлены правильно.
Такой на первый взгляд непонятный и противоречивый вывод в действительности имеет под собой реальную основу, так как о правильности постановки экономической задачи нельзя судить с формально-математических позиций. Ряд специфических особенностей принципиально отличает реальные экономико-управленческие задачи от формально трактуемых математических задач, вследствие чего, прежде чем применять математические методы и строить математические модели, необходим тщательный, глубоко продуманный и обоснованный процесс сведения экономической задачи к производной от нее математической задаче.
Во-первых, как уже указывалось, при решении экономико-управленческих задач требуется принимать во внимание качественные факторы, не поддающиеся формализации в их исходном виде, не выраженные в количественной, числовой форме непосредственно в условии задачи. Перевод этих условий и факторов в конкретные количественные параметры, составляющие необходимую информацию для математической постановки и решения экономической задачи управления, зачастую осуществляется экспертным образом работником, который формулирует и решает задачу, или компетентными специалистами. Поэтому при постановке и разработке методов экономико-управленческих задач надо предусматривать неформальные процедуры формирования информации, дополняющей условие задачи.
Во-вторых, экономико-управленческая задача в исходном виде чаще всего не имеет полного законченного условия, само условие формируется, дополняется в процессе решения задачи и ее взаимодействия с другими задачами. Динамичность условия задачи, проявляющаяся в уточнении, изменении в процессе решения входной информации и постепенном снятии неопределенности по мере запроса и получения информации из других параллельно решаемых задач, превращение ее из некорректной в корректную самим процессом решения представляют одну из характерных особенностей реальных экономических задач управления.
В-третьих, при решении ряда управленческих задач необходимо учитывать фактор неопределенности, связанный с влиянием трудно предсказуемых условий, которые не могут быть заданы заранее. В этом случае в процессе решения задачи приходится вводить гипотезы, снимающие неопределенность, варьируя тем самым условие задачи.
Все указанные особенности управленческих задач способны породить сомнение в том, что их постановка и решение вообще могут быть уделом математика. Отсюда вытекает высказываемый иногда пессимизм в отношении целесообразности и перспективности применения математических методов и моделей в управлении. Между тем неверие в эффективность использования экономико-математических методов в управлении — столь же крайняя точка зрения, как и полярно противоположное мнение об их всесилии. Соблюдение ряда условий, выбор рациональных путей и средств использования могут твердо гарантировать возможность получения высокой отдачи математических методов и моделей, электронно-вычислительной техники, применяемых в планировании и управлении.
Необходимо существенно приблизить разработку экономико-математических моделей к управленческой практике, повсеместно перейти к принципам модельных разработок, согласно которым экономическая постановка задач первична, а математическая модель производна, вторична и должна разрабатываться под реальные, конкретные управленческие задачи. Целесообразно осуществлять разработку экономико-математических методов и моделей в творческом союзе с управленцами, работниками органов управления. Участие компетентных специалистов в постановке задачи должно распространяться и на отработку методов ее решения, поскольку специалист способен подсказать, как дать количественную оценку качественным факторам, учесть неформальный характер отдельных условий, формировать недостающую информацию в процессе решения задачи. Потребность в осуществлении специалистами орга
нов управления неформализованных процедур проявляется не только в процессе решения задачи, но в еще большей мере — на стыках задач, при их объединении в систему расчетов. Бытующее среди экономистов-математиков стремление к прямому объединению отдельных модельных построений в систему моделей, предназначенных для сквозного решения экономических задач управления разного содержания и уровня, не соответствует требованиям реальной технологии управленческого процесса. Кроме того, если работник аппарата управления не участвует в формировании промежуточных решений, увязке отдельных задач, он перестает чувствовать механизм кристаллизации решений и не доверяет ему, а последующий анализ чаще всего показывает, что решение не удовлетворяет многим условиям, которые работник не смог внести ввиду "скрыто-!сти" промежуточных результатов.
; В этом свете непременным условием эффективного использования экономико-математических методов и моделей, реализуемых посредством применения современной вычислительной техники, призвано стать Г формирование диалоговых систем решения экономических задач [управления и использование диалоговых режимов работы. Диалогизация автоматизированных управленческих работ должна осуществляться таким образом, чтобы все большая часть промежуточной "узловой" информации поступала на дисплей компьютера с целью обеспечения работнику возможности периодического вмешательства в процесс расчета и осуществления корректировки управляющих параметров, уточнения информации, выбора вариантов на основе имеющегося у работника "фона условий и установок". Наряду с диалогом, фиксированным в программе заранее, программное обеспечение должно давать возможность пользователю инициировать диалог в других точках, которые он выбирает походу решения задачи. Технологическую основу для реализации гибкого диалога создают диалоговые системы на базе сочетания | персональных компьютеров с крупными компьютерами, большими машинами, в которых они выступают в роли интеллектуальных термина-, лов, а также развитие терминальной сети. Широкое внедрение персональных компьютеров, максимально приближенных к рабочему месту ; управленца, значительно способствует диалогизации автоматизированных систем планирования и управления.
Настоятельно необходим поиск математического аппарата решения управленческих задач с учетом указанных выше особенностей их постановки. Видимо, назрела разработка математической теории решения 'задач с итеративно уточняемой постановкой и возможностью гибкого Задания и изменения параметров в условии задачи. Характерной чертой математических методов решения управленческих задач должна стать оценка чувствительности решения к изменению условий задачи. В этом [ направлении многообещающей становится разработка проблемно-ориентированного программно-математического обеспечения в виде универсальных математических алгоритмов решения широкого класса экономических задач управления с автоматической настройкой на индивидуальную задачу.
Универсальные проблемно-ориентированные средства решения управленческих задач с использованием алгоритмов, автоматически (в диалоговом режиме) адаптируемых к содержанию конкретной задачи, составу ее входной и выходной информации, способны революционным образом преобразовать управленческую технологию, радикально ускорить ее автоматизацию. Такие средства дают возможность отказаться от разработки методов и алгоритмов решения каждой управленческой задачи в отдельности, т.е. осуществить переход от позадачной технологии формирования управленческих решений к "модульной", в которой схема расчета генерируется в процессе его осуществления в соответствии с содержанием решаемой задачи и универсальным алгоритмом. Основная идея состоит в том, чтобы на базе заранее установленных и зафиксированных связей между экономическими показателями, образующих своего рода базу знаний, с учетом наличной информации, имеющейся в банке данных, исходной установки и информации, заданной в условии задачи и дополняемой в ходе решения, осуществлять выбор оптимальной схемы проведения расчета с помощью поискового машинного алгоритма в режиме диалога. Универсальные проблемно-ориентированные средства решения позволяют избежать огромных затрат труда и времени на разработку алгоритмов решения непрерывно растущего массива управленческих задач.
Для эффективного использования экономико-математических моделей в управлении важно различать модели, предназначенные для непосредственного использования и встраивания в управленческую технологию, и аналитические, исследовательские, используемые для проведения прогнозно-аналитических расчетов и обоснований. К последним моделям не следует предъявлять требований полного соответствия их переменных показателям, используемым в управлении, также как и тесной взаимосвязи моделей с управленческой технологией, направленности на решение заданных, конкретных задач управления, базирования входной информации модели на имеющуюся статистику и нормативную базу.
Аналитические модели призваны, во-первых, формировать первичные ориентиры, т.е. аналитические значения экономических показателей, используя которые работники управления смогут эффективнее и качественнее вырабатывать планово-управленческие решения традиционными "немодельными" методами. Такие модели служат для прогнозно-аналитических расчетов, предваряющих или сопровождающих практическое управление. Это модели исследовательского типа, которые
"вырабатывают" предварительную или вспомогательную информацию об управляемых процессах, определяют ориентировочные значения показателей или величины аналитических расчетных показателей, на основании которых определяются или уточняются показатели проектов, планов, программ, постановлений. Во-вторых, соответствующим образом построенные теоретико-математические модели позволяют получать качественные выводы о поведении экономических объектов управления в тех или иных условиях и ситуациях. В-третьих, работа над аналитическими моделями создает научный задел для дальнейшего совершенствования системы экономико-управленческих моделей. На этих моделях могут экспериментально проверяться многие предложения поискового и исследовательского характера.
Аналитические модели функционируют вне реального управленческого процесса, не "вписаны" в его технологию, накладывающую ряд ограничений на организацию и временные параметры процесса, что облегчает осуществление расчетов по моделям, придает большую "свободу действий" в настройке модели и ее отладке, которая бывает неизбежной при любом практическом "запуске" сложных недостаточно отработанных моделей или даже при замене исходной информации отработанной модели. Наконец,оперирование аналитическим модельным аппаратом не обязательно целиком передавать в руки управленцам. Такие модели могут существовать в стенах научно-исследовательских организаций, расчеты по ним проводятся вычислительными центрами при участии разработчиков моделей, а в органы управления передаются итоговые результаты моделирования с требуемым комментарием. Конечно, участие "потребителей" в формировании исходной базы аналитических модельных расчетов и в их осуществлении желательно и способно облегчить использование этих результатов, но такое условие не следует выдвигать непременно.
Благодаря своей известной автономии по отношению к регламентированному управленческому процессу аналитические модели поддаются непрерывному совершенствованию. Эти модели можно использовать как одиночные, из них удается формировать аналитические модельные комплексы и аналитические системы моделей. Заметная степень свободы в выборе числа и вида переменных позволяет состыковать аналитические модели в одноуровневые и даже многоуровневые системы. На базе аналитических моделей может быть экспериментально проверен целый ряд направлений совершенствования экономико-математического моделирования, которые намечается применять в реальных процессах управления.
Создание и внедрение в практику управления компьютерных сетей дают возможность ввести принципиально новый элемент—автоматизированное рабочее место (АРМ) работника органов управления, позволяющее обеспечить широкий набор услуг при работе с информацией, документами. Создание АРМ должно осуществляться с учетом функций и характера труда различных категорий работников: так, например, АРМ руководящих работников должны предусматривать возможность оперативно получать обобщенные данные о разрабатываемом проекте решения, осуществлять сравнительный анализ вариантов решений.
В условиях внедрения единой информационной сети и системы АРМ в управленческих органах открываются широкие возможности комплексного совершенствования технологии и организации управления. С точки зрения технологии перечисленные средства создают реальную основу для перевода всего процесса управления на "безбумажную" технологию, при которой в виде бумажных документов оформляются лишь окончательные результаты той или иной стадии работ, а все виды промежуточного обмена информацией (прежде всего внутри органа) производятся с помощью компьютерной сети. С точки зрения организации внедрение этих средств позволит эффективно осуществлять диспетчеризацию управленческого процесса и контроль за его ходом.
8.3. Основные виды экономико-математических моделей, применяемые в управлении
Существует значительное разнообразие видов, типов экономико-математических моделей, пригодных для использования в управлении экономическими объектами и процессами и в той или иной степени применяемых на практике. В предыдущем изложении были выделены аналитические и прикладные, детерминированные и стохастические модели. Экономико-математические модели делятся также на макроэкономические и микроэкономические в зависимости от уровня моделируемого объекта управления, на динамические, характеризующие изменение объектов управления во времени, и статические, описывающие взаимосвязи между разными параметрами, показателями объекта в одно и то же время. Дискретные модели отражают состояние объекта управления в отдельные, фиксированные моменты времени, а непрерывные характеризуют непрерывное изменение показателей деятельности объекта во времени. Имитационными называют экономико-математические модели, используемые в целях имитации управляемых экономических объектов и процессов с применением средств информационной и вычислительной техники. По типу математического аппарата, применяемого в моделях, выделяются экономико-статистические корреляционно-регрессионные модели, модели линейного и нелинейного программирования, матричные модели, сетевые модели. Возможны и другие способы классификации экономико-математических моделей.
В ходе последующего изложения отдельные виды экономико-математических моделей, применимые и применяющиеся в управлении, выделены прежде всего по признаку области их практического приложения в задачах управления экономикой и связи с объектами управления. Краткое описание моделей, входящих в группу данного вида, позволяет понять сущность и назначение моделей этой группы,сферу их использования. Практическая приложимость моделей отдельных видов, групп иллюстрируется простейшими, в основном, условными примерами, так как подробное описание моделей и демонстрация их приложимости на конкретных, реальных примерах не входит в задачу книги, является предметом специальной литературы по экономико-математическому моделированию и его применению в экономике и в управлении экономикой[2].
8.3.1. Факторные модели
В группу экономико-математических факторных моделей входят модели, включающие, с одной стороны, экономические факторы, от которых зависит состояние и изменение управляемого экономического объекта, и, с другой стороны, —зависящие от этих факторов параметры (показатели) состояния объекта. Если факторы известны, заданы, то модель позволяет определить искомые, неизвестные параметры. Возможна и обратная постановка задачи, при которой заданы желаемые показатели состояния экономического объекта, а надо с помощью модели установить значения факторов, обеспечивающих достижение требуемых показателей. При подобной постановке факторы представляют искомые управляющие воздействия, способные придать объекту управления желаемое состояние, перевести его в это состояние. Факторные модели чаще всего представлены достаточно простыми в математическом отношении линейными или степенными функциями, характеризующими связь между факторами и зависящими от них параметрами экономического объекта (процесса).
Пример 1. Модель в виде производственной функции
Исходим из положения, что валовой национальный продукт страны ВНП, выраженный в миллиардах рублей, зависит от количества занятых экономической деятельностью людей L(в тысячах человек) и объема вложенного в экономику капитала К, исчисленного в миллиардах рублей, следующим образом
Такую зависимость в экономике принято называть производственной функцией, в которой L и К играют роль факторов производства.
Пусть известно, например, что А =0,6; a = 0,5; b = 0,5; L= 60000. Требуется найти объем капиталовложений К, обеспечивающий получение ВПН=2000 миллиардов рублей в год. Из условия следует, что
откуда находим, что К= 4*106 / (0,36*6*104) » 200 миллиардов рублей.
Пример 2. Факторная модель производительности труда
Исходим из положения, что производительность труда работника ПТ, исчисленная в стоимости производимой им за один час рабочего времени продукции, выражается следующей формулой в виде линейной зависимости производительности от трех факторов
ПТ=а1Т+а2Ф+а3ЗП,
где Т — стаж работы по специальности в годах;
Ф — фондооснащенность работника, выраженная в стоимости используемых им технических средств производства в рублях;
ЗП — часовая заработная плата работника в рублях.
Коэффициенты а1, а2, а3 соответственно равны: а1= 0,5; а2=0,001 ;а3= 3,0.
Применяя указанную факторную модель и полагая, что работник имеет стаж работы Т = 20 лет, а стоимость используемых им технических средств производства составляет Ф = 16000 рублей, определим, какую часовую зарплату надо выплачивать работнику, чтобы его производительность ПТ составила 50 рублей в час. Подставляя исходные данные в формулу модели, получаем:
50 = 0,5 • 20 + 0,001 • 16000 + 3,0 • ЗП
Отсюда ЗП=(50-0,5•20-0,001•16000 )/3 =8 рублей в час.
Естественно, что модель позволяет решать и ряд других задач управления производительностью труда. Например, можно по отчетным данным фирмы о значениях ПТ, Т, Ф, ЗП вычислить коэффициенты а1, а2, а3, характеризующие интенсивность влияния разных факторов на производительность труда в данной фирме. Пусть на примере трех работников фирмы установлено, что:
1) для работника, имеющего стаж Т=10 лет, фондооснащенность ф=20000 рублей и зарплату 10 рублей в час, производительность труда ПТ равна 95 рублей в час;
2) для второго работника, имеющего стаж 16 лет, фондооснащенность Ф=15000 рублей и зарплату 8 рублей в час, производительность труда ПТ составила 78 рублей в час;
3) для третьего работника, имеющего стаж 20 лет, фондооснащенность 25000 рублей и зарплату 12 рублей в час, производительность труда ПТ составила 120 рублей в час.
Тогда на основании факторной модели производительности труда выполняются следующие соотношения:
В результате получена система из трех уравнений с тремя неизвестными, решая которую, находим, что
а1= 0,5; а2 =0,002; а3 = 5,0
Знание этих, установленных по опытным данным значений коэффициентов интенсивности действия факторов позволяет менеджерам фирмы прогнозировать уровень производительности труда на фирме, руководствуясь формулой
ПТ=0,5Т+0,002Ф+5,0*ЗП.
8.3.2. Балансовые модели
Балансовые экономико-математические модели, как следует из их названия, выражают в математической форме баланс определенного вида экономического продукта, включая и денежные средства.
В самом общем виде балансовое соотношение имеет вид:
Приход = Расход ± Изменение запасов
В этом соотношении приход понимается как общее поступление экономического продукта из самых разных источников за определенный период времени, а расход — как суммарное расходование того же продукта на самые разные нужды за то же время. Знак плюс соответствует случаю, когда приход больше расхода и запасы (остатки) изменились в сторону увеличения, а знак минус—случаю, когда приход меньше расхода и запасы уменьшились, а то и вовсе возник дефицит продукта.
Уравнение баланса или система уравнений, если составляется многопродуктовый баланс, характеризуют наличие, производство, потребление, закупку, продажу, экспорт, импорт продукта определенным хозяйствующим субъектом. Им может быть государство (страна), регион, предприятие, компания, семья.
На первый взгляд балансовые модели выглядят очень простыми. Однако, когда приходится составлять балансы многих продуктов в материальной и денежной форме на разные периоды времени, то соотношения баланса, будучи в большинстве случаев линейными уравнениями по отношению к входящим в них неизвестным, искомым величинам, представляют довольно сложные системы уравнений.
В управлении экономикой на разных уровнях балансовые модели дают возможность субъекту управления определять, какие объемы производства, поступления продуктов, товаров или величины и источники денежных доходов необходимы для удовлетворения нужд, запросов, потребностей, обеспечения расходов объекта управления на определенный период времени. Кроме того, балансовые модели позволяют установить требуемые соотношения, пропорции между объемами производства, производственного потребления разных видов продукции, ресурсов, совместно применяемых в производственных процессах. Такие модели позволяют установить соответствие между объемными показателями в материально-вещественном (физическом) и денежном измерении с помощью цен. Балансовые модели есть главный инструмент достижения согласованности между производством и потреблением, доходами и расходами, а также контроля, проверки целевого использования ресурсов.
Следует, правда, иметь в виду, что в большинстве случаев балансовые соотношения можно назвать экономико-математическими моделями лишь с определенной степенью условности, поэтому в реальной практике чаще говорят о балансовых расчетах, чем о балансовых моделях. Это относится, например, к построению плановых и отчетных балансов предприятий, балансов в виде государственных, региональных, местных, семейных бюджетов, балансов денежных доходов и расходов населения. Вместе с тем такие виды балансов, как межотраслевой баланс производства и использования продукции, многопродуктовые балансы, оптимизационные балансы, представляющие систему многих связанных между собой балансовых соотношений, правомерно относятся к экономико-математическим моделям.
Пример. Простейшая двухпродуктовая балансовая модель
Предположим, что производится два товара, один — в количестве х1и другой — в количестве х2, измеренном в одних и тех же единицах. На производство первого товара тратится 0,1 общего выпуска этого же товара (например, на производство топлива затрачивается 10% производимого топлива) и 0,15 единиц второго товара. Кроме того, 3300 единиц первого товара производится на другие нужды. На производство единицы второго товара затрачивается 0,2 единицы первого товара и 0,05 единиц второго товара (например, на производство металла затрачивается 5% производимого металла). Кроме того, 6600 единиц второго товара Производится на другие нужды. Надо определить х1, и х2, то есть требуемые объемы производства одного и второго товара.
Двухпродуктовая балансовая модель выглядит следующим образом:
В модели приняты обозначения:
х1 —объем производства первого товара;
х2— объем производства второго товара;
a11 —доля первого товара, затрачиваемая на его же производство;
а12—доля первого товара, затрачиваемая на производство второго;
a21 —доля второго товара, затрачиваемая на производство первого;
а22— доля второго товара, затрачиваемая на его же производство;
х1Д — объем производства первого товара на другие нужды;
х2Д — объем производства второго товара на другие нужды. Приводимая простейшая балансовая модель представляет систему
двух линейных уравнений относительно неизвестных х1, и х2.
Согласно условиям задачи а11= 0,1; а12 = 0,15; а21= 0,2; а22= 0,05; х1Д =3300; х2Д = 6600. В итоге приходим к системе уравнений баланса:
Решая систему, находим искомые объемы производства
х1= 5000 единиц; х2= 8000 единиц.
Исходная модель может быть использована и для решения других Задач, неизвестными могут быть, например, х1и х1Д или х2и х2Д при заданных значениях других величин, входящих в модель.
8.3.3. Оптимизационные модели
Обширный класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные модели, позволяющие выбрать из всех возможных решений самый лучший, оптимальный вариант. В математическом смысле оптимальность понимается как достижение экстремума (максимума или минимума) критерия оптимальности, именуемого также целевой функцией. Оптимизационные задачи решаются посредством применения моделей с помощью методов математического программирования, реализуемых обычно с применением электронно-вычислительной техники.
Оптимизационная модель формируется в общем виде следующим образом: "Надо отыскать значения управляемых параметров (показателей) х1, х2,......хП, характеризующих управляемый экономический объект или процесс, придающие максимальное или минимальное значение целевой функции F(х1, х2,......хП) при соблюдении ограничений, накладываемых на область изменения показателей х1, х2,......хП, и связей между ними в виде f(х1, х2,......хП) ≤ a".Если целевая функция, ограничения, связи между искомыми показателями выражены в виде линейных зависимостей, то оптимизационная модель сводится к задаче линейного математического программирования и саму модель также называют линейной.
Оптимизационные модели чаще всего используются в задачах отыскания лучшего способа использования экономических ресурсов, позволяющего достичь максимальный целевой эффект. Кстати, математическое программирование возникло на основе решения задачи об оптимальном раскрое листов фанеры, обеспечивающем наиболее полное использование материала. Поставивший эту задачу известный российский математик и экономист академик Л.В. Канторович был впоследствии удостоен Нобелевской премии по экономике.
Пример 1. Простейшая задача на максимизацию прибыли компании
Компания производит два продукта в количестве х1и х2тонн за месяц соответственно. Тонна первого продукта приносит 12 тысяч рублей прибыли, а тонна второго продукта — 8 тысяч рублей. Производственные мощности компании позволяют выпускать не более 100 тонн двух продуктов вместе, при этом производство первого продукта не может превышать более чем в три раза производство второго. Надо определить оптимальный объем производства, приносящий компании максимальную прибыль.
Применительно к данной задаче целевая функция (критерий оптимальности) имеет вид
Объемы выпуска х1и х2есть заведомо положительные величины, то есть
х1≥0; х2≥0. Между значениями х1и х2имеются связи
Таким образом, приходим к типичной задаче линейного математического программирования, когда надо отыскать значения управляющих параметров х1, х2, придающие максимальное значение целевой функции 12 х1+ 8х2с учетом фиксированных связей и ограничений.
Постановку и решение этой задачи удобно проиллюстрировать графически, отобразив связи и ограничения в системе координат х1, х2, как изображено на рис. 8.1.
В силу положительных значений х1и х2(х1≥0, х2≥0)решение следует искать в первом квадранте. Ограничение по суммарному выпуску (х1+х2 ≤ 100) сужает область поиска до находящейся внутри треугольника ОАС, ограниченного сверху прямой х1+ х2= 100. Ограничение х1≤ 3х2еще более сужает область допустимых по условию задачи значений x1и х2, заключая ее в треугольник ОАВ, ограниченный снизу прямой x1 = 3х2.Среди всех значений x1и х2, заключенных внутри ОАВ, оптимальным соответствует точка В. В этой точке, соответствующей координатам x1= 75; х2= 25, достигается наибольшее из допустимых значений x1, равное 75. К наибольшему же значению x1, и надо стремиться, так как первый вид продукции приносит в расчете на одну тонну больше прибыли, чем второй (12 > 8), то есть надо выбирать наибольшее из возможных, допустимых значений x1. Оптимальному решению соответствует, таким образом, точка В, в которой целевая функция достигает своего максимального значения
12 x1+8 х2=12-75+8-25=1100 тысяч рублей
Легко проверить, что внутри треугольника ОАВ любое другое сочетание, кроме x1=75; х2=25, обеспечивает меньшую суммарную прибыль.
Пример 2. Транспортная задача
Рассмотрим вначале общую постановку этой достаточно сложной оптимизационной задачи и построим ее экономико-математическую модель, которую потом проиллюстрируем простейшим примером.
Пусть имеется nпоставщиков товара и mего потребителей. Каждый "i"поставщик способен поставлять потребителям за определенное время количество товара, равное Ni|, а каждый "j"потребитель нуждается в количестве товара, равном Mj, Обозначим через хij„ количество товара, поставляемое "i" поставщиком "j" потребителю. Тогда общий объем поставок Q,равный объему спроса всех потребителей, выразится соотношением:
есть сумма поставок всем т потребителям со стороны "i" поставщика.
есть сумма потребностей "j" потребителя, удовлетворяемых поставками всех nпоставщиков.
Примем далее, что стоимость перевозки товара "i" поставщиком "j" потребителю равна с„. Тогда общая стоимость перевозок, зависящая от прикрепления "i" поставщика к "j" потребителю, то есть от значений xijравна (8.2)
Оптимизационная задача заключается в том, чтобы найти значения xij ,то есть величины поставок (перевозок) товара от каждого поставщика к каждому потребителю, при которых общая стоимость перевозок F(x11, х12,…хij…хnm)будет минимальной. Решение задачи должно удовлетворять следующим ограничениям:
1) все значения xijнеотрицательны, то есть
xij ≥ 0, (8.3)
2) возможности перевозок и запросы потребителей удовлетворяются полностью, что выражено соотношением (8.1).
Экономико-математическая модель транспортной задачи, в представленном виде характеризуемая целевой функцией (8.2) и ограничениями ; (8.1), (8.3), представляет оптимизационную модель задачи линейного математического программирования. Решение таких задач при больших значениях количества поставщиков товара "n" и количества потребителей товара "m" требует применения сложных математических методов. Поэтому проиллюстрируем решение транспортной задачи на простом примере, в котором отыскание оптимального решения не составит большого труда.
Пусть имеются два поставщика и три потребителя товара. Возможности поставки и спрос потребителей, а также стоимость перевозок единицы груза приведены в следующей таблице:
Таблица
| Потребители | Потребность в товаре, тонн | Поставщики | Возможность перевозки, тонн | Стоимость доставки единицы товара потребителю, руб. за тонну | ||
| Потребитель 1 | Потребитель 2 | Потребитель 3 | ||||
| 1 | 50 | 1 | 100 | C11=10 | C12=9 | C13=11 |
| 2 | 70 | 2 | 60 | C21=8 | С22=10 | C23 = 9 |
| 3 | 40 | |||||
Задача заключается в том, чтобы найти значения объемов поставок х11, х12, х13первого поставщика первому, второму и третьему потребителям и объемы поставок х21, х22, х23второго поставщика соответственно первому, второму и третьему потребителям, при которых суммарные затраты
будут наименьшими. Одновременно должны соблюдаться условия
характеризующие полное удовлетворение потребностей потребителей полное использование возможностей поставщиков товара.
Так как самой дешевой является стоимость доставки единицы товара вторым поставщиком первому потребителю, то используем эту возможность полностью и примем х21 =50 тонн и тем самым полностью удовлетворим его потребность. Оставшуюся возможность доставки 60—50 =10 тонн товара со стороны второго поставщика предоставим третьему потребителю, то есть х23=10. так как расход на доставку ему единицы товара (C23=9)меньше, чем второму потребителю (С22=10) и меньше, чем доставка первым поставщиком (С13=11). Отсюда следует, что х23= 10 тонн. Возможности второго поставщика на этом исчерпаны и оставшиеся потребности должны быть удовлетворены первым поставщиком. Он поставит второму потребителю х12= 70 тонн и третьему потребителю х13 =30 тонн, так как 10 тонн этот потребитель уже получил от второго поставщика. Ну а поставки товара первым поставщиком первому потребителю, также, как и поставки вторым поставщиком второму потребителю окажутся ненужными, так что х11= 0 и х22= 0. В итоге искомое решение задачи имеет вид
Х11 =0; Х12=70; Х13=30; Х21=50; Х22=0; Х23=10,
а суммарные расходы на поставку товаров, равные
0*10+70*9+30*11+50*8+0*10+10*9=1450 рублей
и есть минимально возможные. Средняя стоимость перевозки одной тонны товара составит 1450 / (100+60) = 1450 / 160 ≈ 9 рублей за тонну, между тем как
100+60 160 "Ьи отсутствии оптимизации средняя цена равна
С11+С12+С13+С21+С22+С23) / 6 (10+9+11+8+10+9) / 6 = 9,5 рублей за тонну.
8.3.4. Модели управления запасами
Модели управления запасами призваны дать субъекту управления ответ на вопрос о том, какой уровень запаса ресурсов следует иметь, как он должен изменяться во времени, обновляться в связи с поступлением и расходованием ресурсов, чтобы обеспечить бесперебойность, надежность протекания экономических процессов и в то же время минимизировать издержки, связанные охранением, пополнением и расходованием запасов. Так как уровень спроса неожиданно возникающих потребностей в расходовании запасаемых ресурсов носит чаще всего случайный характер, то модели управления запасами должны быть стохастическими, вероятностными. Но в упрощенной постановке возможно и использование детерминированных моделей.
Наиболее распространены модели управления складскими запасами. Рассмотрим вначале, как формируется экономико-математическая модель управления складскими запасами в общей постановке.
Обозначим текущий уровень запаса продукта на складе в момент времени tвеличиной 3(t).Тогда справедливо равенство
где ЗНАЧ - начальный запас товаров на складе в момент t=0;
P(t) -поступление товаров на склад за время t;
R(t) -расходование товаров со склада за время г. Очевидно, что в любой момент запас товаров на складе не может
быть отрицательным, то есть
3(t)>0, (8.5)
Поступление и расходование товаров со склада обычно производится партиями. Обозначив объем поставки в одной партии через р|, а объем расходуемой партии r|, преобразуем исходное соотношение к виду
где n —количество поставляемых партий товара;
m —количество расходуемых партий товара.
Это равенство можно рассматривать как базисное в модели управления запасами. В зависимости от того, какие величины, показатели в нем заданы, а какие являются искомыми, различают разные виды моделей управления запасами. В модель могут входить также ограничительные Условия и дополнительные связи между показателями, переменными величинами. Часто в модель включаются показатели, характеризующие затраты на поставку, хранение, отправку товаров со склада и задача Ставится в плоскости минимизации затрат. Вместо одного вида товара
иногда приходится рассматривать несколько видов, что усложняет задачу.
Пример. Задача_минимизаиии расходов на доставку и хранение товара на складе
Товар поставляется на склад партиями, каждая партия имеет один и тот же объем х. За доставку одной партии товара склад уплачивает С1, рублей, величина С1не зависит от объема партии. За время Т склад получает количество товаров, равное Q.Хранение единицы объема товара в единицу времени обходится складу в С2рублей. Товар со склада равномерно поставляется заказчикам, которые сами оплачивают перевозку товаров со склада. Требуется установить оптимальный объем партии поставки х, при котором суммарные затраты склада на доставку и хранение товара будут минимальными.
Установим вначале затраты на доставку товара за время Т. Так как количество партий равно частному отделения общего объема поставок
Q на объем одной партии х, то затраты равны С1Q/х. Затраты на хранение установим, исходя из того, что полученная складом партия товара х расходуется равномерно, таким образом, на складе хранится в среднем количество товара, равное половине поставленной партии, то есть х/2 .
Умножая это количество на время Т и на удельные затраты хранения единицы товара в единицу времени, получаем, что общие затраты на хранение равны С2хТ/2 таким образом, суммарные затраты С составляют
Надо найти значение объема партии х, при котором суммарные затраты С окажутся минимальными. Как известно из математики, в точке экстремума непрерывной функции С(х) производная от нее по аргументу х равна нулю. Следовательно
откуда находим исковое значение Х0, то есть оптимальный объем партии товара
Это и есть решение задачи.
Например, если С1= 6000 рублей за доставку партии товара, С2= 300 рублей за хранение тонны товара на складе в течение суток, общий объем поставки Q = 100 тонн за время Т= 40 суток, то
то есть для минимизации затрат на доставку и хранение товара на складе надо поставлять его на склад партиями по 10 тонн в каждой партии.
8.3.5. Игровые модели
Игровые экономико-математические модели представляют математическое описание экономических ситуаций, в которых происходит столкновение, противопоставление интересов двух или нескольких противоборствующих сторон (игроков), преследующих разные цели и действующих таким образом, что линия, способ действия одного из участников |зависит от действий другого. Математическая модель подобной конфликтной ситуации получила название игры,участвующие в ней лица, противостоящие стороны именуются игроками, а исход противостояния сторон называют выигрышем и, соответственно, проигрышем. Если выигрыш игрока равен проигрышу его противника, то такая игра двух яиц называется игрой с нулевой суммой или антагонистической.
Игровые модели позволяют участникам игры выбрать так называемую оптимальную стратегию, то есть установить в зависимости от складывающейся ситуации способ действий, позволяющий максимизировать возможный выигрыш или минимизировать возможный проигрыш. Наиболее простой тип игры — парная конечная игра двух игроков, в которой каждый из них обладает выбором из конечного числа стратегий. Обрисуем модель такой игры в общих чертах, а затем приведем иллюстрированные примеры ее использования.
Предположим, что в игре участвуют игроки А и В. Игрок имеет в своем распоряжении nстратегий, способов действий: А1, А2,..., Аn, а игрок Ц располагает возможностью реализовать mстратегий: B1, B2,.... Вm,. В зависимости от того, какую стратегию Аi(i =1,2,... n) выберет игрок А и какую стратегию Вj, (j= 1, 2, ... m) выберет игрок В, зависит исход игры каждого из них, то есть выигрыш аij,одного из игроков и, соответственно, проигрыш другого. Таким образом, любой паре стратегий (Аi,Вj.) соответствует определенное значение выигрыша аij. В итоге совокупность всех возможных выигрышей в данной игре образует матрицу, столбцы которой соответствуют стратегии одного игрока, а строки — стратегии другого. Такую матрицу называют платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид платежной матрицы, строки которой соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы —стратегиям игрока В, изображен на рис. 8.2.
| | B1 | В2 | | | Bm |
| A1 | a11 | a12 | | | a1m |
| A2 | a21 | a22 | | | a2m |
| | | | | | |
| | | | | | |
| An | an1 | an2 | | | anm |
Рис. 8.2. Платежная матрица парной игры
При выборе своей стратегии Аj, из набора nвозможных стратегий A1 , А2,..., Anигрок А должен учитывать, что его соперник В выберет в ответ стратегию Bj из набора возможных стратегий, стремясь свести выигрыш игрока А к минимуму. Пусть наименьший из всех возможных выигрышей игрока Аiпри выборе им стратегии Ai|, то есть наименьшее значение аij,в "i" строке платежной матрицы равно аj , то есть ai = min aij.Наибольшее из значений аi (i=1,2,.... n) обозначим а, следовательно а = mах аi;. Такое максимальное значение из набора минимальных выигрышей игрока, соответствующих всему спектру применяемых им стратегий, называют нижней ценой или максимальным выигрышем из минимальных— максимином. Максимин представляет гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В, так как игрок А может выбрать ту стратегию, которая приносит ему наибольший выигрыш из минимально возможных.
Игрок В, стремясь уменьшить выигрыш игрока А и понимая, что А стремится к максимальному выигрышу, выбирая свою контрстратегию В, анализирует прежде всего максимально возможные выигрыши игрока А. Пусть среди всех выигрышей игрока А при выборе игроком В стратегии Bjмаксимально возможное значение равно bj., то есть bj. = mах bij.Наименьшее из всех возможных значений b. (j=1,2,...,m) обозначим b, то есть b = min bj.Такое минимальное значение из набора максимальных выигрышей игрока, соответствующее всему спектру применяемых им стратегий, называют верхней ценой игры или минимальным выигрышем из максимальных — минимаксом. Минимакс представляет неизбежный проигрыш игрока В при любой стратегии игрока А, ибо игрок А будет, естественно, стремиться максимизировать проигрыш игрока В и соответствующим образом выбирать свою стратегию.
Известный в теории игр принцип минимакса рекомендует игрокам выбирать из соображений осторожности, уменьшения риска максимин-
ную стратегию при стремлении получить наибольший выигрыш или минимаксную при стремлении минимизировать проигрыш. Проиллюстрируем это положение на простых примерах.
Пример. Модель игры Человека с Природой
Во многих случаях результат деятельности людей зависит не только от выбора ими той или иной стратегии, но и от ситуаций, складывающихся во внешней среде. Классический случай — влияние погодных условий, природных явлений на итоги экономической деятельности. Люди как бы играют с Природой, которая создает разные ситуации, не благоприятствующие получению людьми лучших результатов. Какую ситуацию "выберет" Природа в своей игре с людьми — трудно предвидеть и потому приходится учитывать возможные ситуации.
Пусть Человек располагает возможностью осуществлять три стратегии действий А; в целях получения прибыли, а Природа способна создать четыре вида ситуаций В., каждая из которых влияет тем или иным образом на величину прибыли. Составим платежную матрицу, в клетках которой зафиксированы рассчитанные определенными методами (которые в примере не рассматриваются) величины возможной прибыли. Например, матрица прибылей в тысячах рублей имеет вид:
| | B1 | В2 | B3 | B4 |
| A1 | 25 | 32 | 29 | 27 |
| A2 | 29 | 36 | 28 | 32 |
| А3 | 27 | 28 | 31 | 24 |
Применим максиминную стратегию, стремясь получить наибольшую прибыль. Выделим в каждой из строк матрицы минимальные значения прибыли, которые могут быть получены при осуществлении одной из возможных стратегий А1, А2, А3и самых неблагоприятных условиях, создаваемых Природой. Это 25 тысяч рублей при стратегии A1 , 28 тысяч рублей при стратегии A2и 24 тысячи рублей при стратегии А3. Максимальное из этих значений — 28 тысяч рублей соответствует максиминной стратегии А2, которую и следует выбрать, обеспечив тем самым гарантированное получение этой величины прибыли при любых условиях, ситуациях, создаваемых Природой.
Проиллюстрируем теперь минимаксную стратегию, используя платежную матрицу, в клетках которой указаны величины потерь, возникающих при осуществлении стратегий А1, А2, A3в условиях В1, В2, В3, В4. Пусть матрица имеет вид
| | B1 | В2 | B3 | B4 |
| A1 | 53 | 55 | 48 | 51 |
| A2 | 49 | 52 | 50 | 56 |
| A3 | 51 | 53 | 52 | 47 |
Выделяем в каждой из строк матрицы максимально возможные при осуществлении данной стратегии потери. Это—55 при стратегии А1,56— при стратегии А2и 52 — при стратегии А3.Минимальное из этих значений равно 52 и соответствует стратегии А3,которая и является минимаксной.
8.3.6. Сетевые модели
Специфическое свойство и основной признак этого вида моделей, используемых в планировании и управлении совокупностью взаимосвязанных действий, операций состоит в том, что они представлены в форме сетевых графиков выполнения работ, именуемых также сетевыми графами. Главными элементами, своего рода "строительными кирпичами" таких моделей являются работы и события. Под "работой" в сетевой модели имеются в виду любые действия, итог которых состоит в переводе управляемого объекта из одного состояния в другое. Событие же отражает результат работы, выполняемой на определенном этапе.
На рис.8.3. приведен упрощенный сетевой график работ по выпуску книги, в котором буквами обозначены работы, а цифрами — события.
Рис. 8.3. Примерный сетевой график подготовки и выпуска новой книги
Исходное событие 1 — возникновение идеи, замысла у автора, за ним следует работа "а" — подготовка материалов, написание первого варианта рукописи, завершающиеся событием 2 — появлением первичной рукописи, с которой автор обращается в издательство.
Рукопись книги издательство передает на заключение рецензенту (работа "б") и готовит также собственное заключение (работа "в") с учетом передаваемого заключения рецензента (работа "г"). Так что событие 3 — это заключение рецензента, а событие 4 — итоговое заключение издательства. При положительном заключении готовится договор с автором на издание книги (работа "д"), который в завершенном виде представляет событие 5. Затем рукопись передается редактору (работа "е"), который исправляет ее, доводя до более кондиционного состояния, характеризуемого как событие 6. Автор тоже работает над рукописью параллельно с редактором (работа "ж"), и после передачи редактором доработанной рукописи (работа "з") в издательстве наступает событие 7 — готовая к набору рукопись книги. Издательство передает рукопись в типографию (работа "и") в требуемом виде, что отражается в событии 8, а типография печатает книгу (работа "к"), в результате чего появляется готовая книга — завершающее событие — 9.
Сетевые графики служат эффективным средством увязывания работ и событий во времени, устанавливая период осуществления каждой работы и время наступления каждого события. Это способствует управлению ходом работ, их координации. 1 При установлении общей продолжительности всех работ и времени их завершения по сетевому графику большую роль играет понятие "критического" пути. Когда работы разветвляются, как, например, работы "б", "в", "г" в приведенном сетевом графике, то время перехода от события 2 ^событию 4 будет зависеть от того, какой путь продолжительнее во времени: "б" + "г" или "в". Более продолжительный путь, называемый критическим, лимитирует общее время проведения работ, так как при наличии разветвляющихся работ короткая по времени работа не ускоряет итоговое событие, ведь приходится все равно ждать, пока будет закончена параллельная более продолжительная работа. Поэтому при разработке сетевых моделей большое внимание уделяется выявлению критического пути и установлению возможностей его сокращения, что приближает срок завершения всех работ и наступления конечного события.
литература К РАЗДЕЛУ II
1. Елисеев В.А. Научные основы управления промышленным предприятием. —Донецк, 1971.
2. Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
3. Курс экономики: Учебник/под ред. Б.А. Райзберга.—М.: ИНФРА-М, 1997.
4. Райзберг Б.А., Пекарский Л.С. Качество планово-управленческой работы. — М.: Экономика, 1987.
5. Фатхутдинов Р.А. Стратегический менеджмент. Учебник для вузов. 3-е изд. — М.: Бизнес-школа "Интел-Синтез", 1999.
6. Фатхутдинов Р.А. Инновационный менеджмент: Учебник для вузов. — М.: ЗАО "Бизнес-школа "Интел-Синтез", 1998.
7. Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения: Учебник для вузов, — М.: ЗАО "Бизнес-школа "Интел-Синтез", 1998.
8. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге. — М.: Финстатинформ, 1996.
- Цыгичко В.Н. Руководителю — о принятии решений. — М.: ИНФРА-М, 1996.