Комплексные числа

	Загрузить архив:
	Файл: ref-12984.zip (53kb [zip], Скачиваний: 151) скачать

Средняя общеобразовательная школа №111 класс

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение”   Ф. Клейн.

Автор:Исаев Рома  (полная версия реферата и много других полезных материалов на моём сайте ) Обязательно загляние!

Учитель: Моторина Дина Юрьевна

Дубна, 2002

План:

1. Введение                                                                                      2

2. История возникновения комплексных чисел                     3

а) Развитие понятия о числе                                                           3

б) На пути к комплексным числам                                                4

в) Утверждение комплексных чисел в математике                    5-6

3. Комплексные числа и их свойства                                        7

а) Понятие комплексного числа                                                     7

б) Геометрическое изображение комплексных чисел               8-9

в) Тригонометрическая форма комплексного числа                   9

4. Действия с комплексными числами                                    10

а) сложение                                                                                     11

б) вычитание                                                                                   11

в) умножение                                                                               10-11

г) деление                                                                                        11

5. Решение уравнений с комплексными переменными    12-13

6. Приложение                                                                             14

7. Заключение                                                                              15      

8. Список литературы                                                                15                                      

Введение

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным  дискриминантом.Этиуравнения не имеютрешения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель настоящего реферата знакомство с историей появления комплексных чисел, их свойствами,действиями над ними, а также с решением уравнений с комплексным переменным.

История возникновения комплексных чисел

1. Развитие понятия о числе

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

2. На пути к комплексным числам

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (x=1), а если оно имееттри действительных корня (x₁=1x_2,3 =XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень,извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида ,

3. Утверждение комплексных чисел в математике

Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire(мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .Термин “комплексные числа”так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): (подробнее смотри приложение). С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например,в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида (переместительности): например,

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Комплексные числа и их свойства

1. О комплексных числах

В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они называются комплексными. Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа , а i – число нового рода, называемое мнимой единицей. “Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовемабсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b – ординатой комплексного числа

a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i равно –1, т.е.

                                       i²= -1.                                                           (1)

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частностиправилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i).

Примеры. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0i означает –2.

Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись         bi обозначает то же, что 0 + bi. Два комплексных a + bi,a’ + b’i считаются равными, если у них   соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a’, b = b’. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующимсоображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:

2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы  i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел

Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рис.2, где точка K изображает число 5. Это число можно изобразить также отрезком ОK, учитывая не только его длину, но и направление.

   Каждая точка С “числовой прямой” изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОС соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на “числовой прямой” не остаётся места для комплексных чисел.

   Но комплексные числа можно изобразить на “числовой прямой”. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа.

Примеры. На рис. 2 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В (-4,-5) изображает комплексное число –4 - 5i.

Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси OХ, а чисто мнимые – точками оси OУ.

Примеры. Точка К на рис. 2 изображает действительное число 5, точка L – чисто мнимое число 3i. Начало координат изображает число 0.

Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А’ на рис. 2 изображают сопряжённые числа3 +5i   и3 -5i.

Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число a + bi можно изобразить не только точкой M (рис. 1), но также вектором ОM .

Замечание. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами

          

3. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модульrи аргумент  q. Формулами

                   a = r cos q ,     r=a/cos q         

                   b = r sin q ,     r=b/sin q

r – длина вектора (a+bi) , q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cosq + isinq), где r > 0   т.е. z=a+biили z=r*cosq + r*sinq

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.

          

Действия с комплексными числами

1. Сложение комплексных чисел

Определение:Суммой комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называют комплексное число (a + a’) + (b + b’)i.

Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i.Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4.(-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+biи a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются   действительными   числами,   для   которыхсправедливы указанные законы.

2. Вычитание комплексных чисел.

Определение. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i.

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

                                  

3. Умножение комплексных чисел.

Определение.Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число

                                     (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.

Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i^2­­­­ = -1.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i ^{2 ­} = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a²+ b ²

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительныйзаконумножения  поотношениюк сложению.

                 

4. Деление комплексных чисел.

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di)=

Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i.Получим:

((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi.

Решение уравнений с комплексными переменными

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z² = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень  z = 0,если а = 0;

2) имеет два действительных корняz_1,2 = _, если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

           На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень .

          Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z² = a, если:

1) а = -1;2) а = -25;3) а = -3.

1) z² = -1. Так как i² = -1, то это уравнение можно записать в виде z² = i², или z² - i² = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z₁ = i, z₂ = -i.Ответ. z_1,2 = i.

2) z² = -25.Учитывая, что i² = -1,преобразуем это уравнение:

z² = (-1)25,

z² = i² 5², z² - 5² i²= 0,(z-5i)(z+5i) = 0, откуда z₁ = 5i, z₂ = -5i.Ответ:

z _1,2 =

3) z² = -3, z² = i²(², z² - (²i² = 0, (z -

Ответ: z_1,2 = .

       

Вообще уравнение z² = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z_1,2= i.

     Используя равенство i² = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: i, i, i

Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az² + bz + c = 0, где а, b, с - действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:  

Z_1,2 =.

           Задача 2. Решить уравнение z²-4z+13=0. По формуле             находим: z_1,2 = = 2 i.            

           Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z₁=2+3i и z₂=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z₁+z₂=(2+3i)+(2-3i)=4,    z₁z₂=(2+3i)(2-3i)=13.   

Число 4 - это 2-й коэффициент уравнения z²-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z₁ и z₂- корни уравнения az²+bz+c = 0,z₁+z₂ = z₁z₂ =   

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z₁=-1-2i.

Второй корень z₂ уравнения является числом, сопряженным с данным    корнем    z_1,то есть   z₂=-1+2i.По теореме Виета находим

P=-(z₁+z₂)=2, q=z₁z₂=5.   Ответ z^2-2z+5=0.

Приложение.

В качестве приложения я хочу рассмотреть формулу (иногда в литературе она имеет название теоремы) Муавра. Она имеет большое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать синусы и косинусы углов (n*x), где n – любое целое число, через простые функции sinxиcosx.

Формула:

где i – мнимая часть комплексного числа, i² = -1

Пример:

cos3q + i*sin3q =(cosq + i*sinq)³ = cos³ q + 3i cos² q * sinq + 3i² * cosq * sin² q + i³ sin³ q = cos³ q - 3cosq * sin² q + i*(3cos² q * sinq - sin³ q)

Приравнивая абсциссы и ординаты, получаем:

cos3q = cos³ q - 3cosq * sin² q

sin3q = 3cos² q * sinq - sin³ q

Таким же образом можно значительно упростить sin4x, cos4x (sin5x, cos5x и т.д.)   до выражений, содержащих sinx и cosx

Заключение *

Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.

Именно поэтому нам расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях. Основные элементы учения о комплексных числах рассмотрены мною в данном реферате.

* примечание:

комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики.

                                                                     

Список литературы.

                                                 

А.П. Савин “Энциклопедический словарь юного математика”

М.Я. Выгодский“Справочник по элементарной математике”

И.С. Петраков “Математические кружки в 8-10 классах”

М.И. Сканави “Сборник задач по математике (геометрия)”