Вычислительные методы алгебры (лекции)
§1
§1. Учет погрешностей вычислений.
При решении математических задач могут возникнуть погрешности по различным причинам:
При составлении математической модели физического процесса или явления приходится принимать условия, упрощающие постановку задачи. Поэтому математическая модель не отражает реальный процесс, а дает его идеализированную картину. Погрешность, возникающая при этом, называется погрешностью постановки задачи.
Часто приходится для решения задачи применять приближенный метод (интеграл заменяют квадратурной суммой, производную заменяют разностью, функцию - многочленом). Погрешность, возникающая при этом, называется погрешностью метода.
Часто исходные данные заданы не точно, а приближенно. При выполнении вычислений погрешность исходных данных в некоторой степени переходит в погрешность результата. Такая погрешность называется погрешностью действий.
Погрешность, возникающая при округлении бесконечных и конечных десятичных чисел, имеющих большее число десятичных знаков, чем надо в округлении, называется погрешностью округления.
Определение. Пусть х - некоторое число, число а называется его приближенным значением, если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х в вычислениях, <
.>
Определение. Погрешностью <
приближенного значения а числа х называется разность 
, а модуль этой погрешностью называется абсолютной погрешностью.>
Если <
, то а взято с недостатком.>
Если <
, то а взято с избытком.>
Определение. Границей погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число <
, которое не меньше модуля погрешности: 
.>
Говорят, что приближение а приближает число х с точностью до <
, если
,
, 
.>
Пример. Пусть а=0,273 - приближенное значение х с точность до 0,001. Указать границы, в которых заключается х.
<
>
При округлении чисел считают, что границы погрешности округления равна половине единицы округляемого разряда:
<
, - порядок округления разряда.>
Определение. Относительной погрешностью приближенного значения а числа х называется отношение
<
.>
Пример. Округлить до десятых число 27,52 и найти погрешность и относительную погрешность округления:
<
, >
<
,>
<
.>
Также как и абсолютная погрешность относительная погрешность не всегда может быть вычислена и приходится оценивать ее модуль. Модуль относительной погрешности выражается в процентах. Чем меньше модуль относительной погрешности, тем выше качество приближения.
Определение. Границей относительной погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число <
, которое не меньше модуля относительной погрешности: 
.>
Установим связь между границами погрешностей абсолютной и относительной:
<
- граница относительной погрешности;>
<
- граница абсолютной погрешности.>
<
.>