Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Примечание"Подборка основных формул по курсу Функциональный анализ по материалам лекций Бекаревой Н.Д."
Загрузить архив:
Файл: 240-2483.zip (81kb [zip], Скачиваний: 48) скачать

Определение:Элемент наилучшего приближения – L – линейноемногообразие, плотное в E. "e "xÎE $u: ║x-u║

Теорема:Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎEL ║ze║=1 r(ze,L)>1-e

Определение:Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема:О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение:Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема:Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение:L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║

Теорема:Чтобы L было плотно в H óортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение:Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение:Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение:Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение:Непрерывный оператор – AxàAx0 при xà x0

Определение: L(X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема:Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение:Ограниченный оператор - "║x║≤1 $с: ║Ax║≤c

Теорема:A – ограниченный ó"xÎX ║Ax║≤c║x║

Теорема:Для того чтобы А был непрерывен ó чтобы он была ограничен

Теорема: {An} равномерно ограничена è {An}- ограничена.

Теорема:{Anx} – ограниченно ó {║An║}- ограничена.

Определение:Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║à0,nà¥, обозначают AnàA

Определение:Слабая сходимость - "xÎX ║(An-A)x║Yà0, nà¥

Теорема:Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема:Банаха-Штенгауза AnàA nà¥слабо è 1) {║An║}- ограничена 2) AnàA, x’ÌX, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)àY, D(A)ÌX è$ A’:XàY 1) A’x=Ax, xÎD(A)2) ║A’║=║A║

Определение:Равномерная ограниченность - $a "x: ║x(t)║≤a

Определение: Равностепенная непрерывность "t1,t2 $d: ║x(t1)-x(t2)║

Теорема: L(X,Y) полное, если Y – полное.

Определение:Ядро – {xÎX | Ax=0}

Определение:Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=L(X,E)

Определение:Сопряженный оператор A*: Y*àX*

Теорема:Банаха A:XàY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A-1 и ограничен.

Определение:Оператор А – обратимый

Определение:Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.

Теорема:A-1 $и ограничен ó$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║

Теорема:Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XàY – линейный ограниченный функционал è $! yÎH "xÎH f(x)=(x,y)

Определение:MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение:Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема:Хаусдорфа. MÌX компактно ó"e>0 $конечная e-сеть

Теорема:  Арцела.MÌC[a,b] компактно ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение:Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение:s(X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема:Шаудера. AÎs(X,Y) ó A*Îs(X*,Y*)

Линейные нормированные пространства

1.

                              сферическая норма

                                              кубическая норма

                                                   ромбическая норма

                            p>1

2. Пространства последовательностей  

                                                                            p>1

или пространство ограниченных последовательностей

                 пространство последовательностей, сходящихся к нулю

                   пространство сходящихся последовательностей

3. Пространства функций

        пространство непрерывных на функций

                       

    пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций

                       

£p[a,b]пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

- пополнение £p[a,b] (Гильбертово)

                                          

Неравенство Гёльдера    p,q>0

Неравенство Минковского