Задачи с решениями по датчикам

Разделы	Техника
Тип	Работа
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Язык	Немецкий
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Musterlösung zu Übung 1 zur Vorlesung Messtechnik I im SS 2006 Abgabe: KW 20, 19 Punkte

Hausaufgabe 1: NTC und PTC 5 Punkte

Gegeben ist ein NTC mit folgenden Daten: B = 3600 K, RT0 = R(20°C) = 10kΩ. a) (1P) Berechnen Sie den Widerstand bei 80°C! b) (1P) Berechnen Sie die Empfindlichkeit bei 80°C! c) (1P) Berechnen Sie den Temperaturkoeffizienten β bei 20°C und 80°C!

Unten sehen Sie die R(T)-Kennlinie eines PTC dargestellt:

d) (1P) Erklären Sie den Verlauf der Kennlinie!

e) (1P) Nennen Sie für Heiß-und Kaltleiter je eine weitere Anwendungsmöglichkeit außer der Messung der Temperatur und erklären Sie diese!

Musterlösung zu Hausaufgabe 1:

⋅exp 3600K ⋅

=1241Ω

−

353,15K 293,15K

−

) =10000Ω=1241Ω⋅ −

a) R =R₀

⋅exp(B

⋅

TT₀

⋅ −

3600K

=−36

B 3022K 1

c) β= ^{1 dR}

_R⋅ _dT=− _T₂=−₍_{_293,15_K}₎₂=−0,042 _{_K}0,5P

E =

^{⁼^R}(80°

C )

_T²

(353,15

3022K 1

= −0,029 0,5P

⁻2

(353,15K)K

d) (1P) Im kalten Zustand ist der Widerstand des PTC relativ gering und zeigt das charakteristische Verhalten eines Halbleiters mit negativem Temperaturkoeffizient (I), bis zur der Curietemperatur. Dort löst sich die einheitliche Ausrichtung der Kristallite auf und es kommt zu einem sprunghaften Anstieg des Widerstandes mit steigender Temperatur (positiver Temperaturkoeffizient) (II). Im Bereich III dominiert wieder das Halbleiterverhalten. 1P

e) (1P) Ein NTC kann als Einschaltstrombegrenzer zur Motorsteuerung genutzt werden. Zu Beginn ist der Widerstand hoch und es fließt wenig Strom, erst bei nach dem Einschwingen fließt wegen der Eigenerwärmung des NTC mehr Strom. Ein PTC kann als Überlastsicherung oder selbstregelndes Heizelement benutzt werden. Es wird bei konstanter Heizspannung betrieben, Erwärmt sich der PTC zu stark, steigt sein Widerstand stark an, wodurch der Stromfluss wieder reduziert wird. 1P

Hausaufgabe 2: Metallwiderstands-Thermometer 7 Punkte

Zur Temperaturmessung einer Klimaanlage wird ein Pt-100 Metallwiderstandsthermometer verwendet. Der Zuleitungswiderstand beträgt mit Hin-und Rückleitung 2 Ω.

a) (1P) Erklären Sie den Sensoreffekt bei Metallwiderstands-Thermometern!

b) (3P) Mit einem Messgerät wird ein Widerstand von 110 Ω gemessen, welcher Temperatur in °C entspricht dieser Wert? Wie groß i st der Messfehler, wenn man die Zuleitungswiderstände nicht berücksichtigt?

c) (2P) Durch welche Messverfahren werden lange Zuleitungswiderstände messtechnisch kompensiert? Erklären Sie ein Verfahren und fertigen Sie dazu eine Skizze an.

d) (1P) Warum darf die Verlustleistung, die während der Messung im Sensorelement entsteht nicht zu groß werden?

Musterlösung zu Hausaufgabe 2:

a) Mit zunehmender Temperatur wachsen die Wärmeschwingungen der Kristallgitterbausteine des Metalls. Dadurch verringert sich die mittlere freie Weglänge der Elektronen, wodurch ihre Beweglichkeit abnimmt und die Leitfähigkeit kleiner wird. 1P

b) Berechnung der Temperatur:

R(ϑ) = R₀⋅ (1+ Aϑ+ Bϑ²)

R(ϑ)

−1

_⇔_ϑ₂₊A

ϑ−

= 0 1P

R) (

−

R₀

⇒

ϑ− =

−

,3 90802 ⋅10

100

ϑ=

−

,0 2 5802 ⋅10

⋅

−6

,0 2 5802 ⋅10

⋅

,0 5802 ⋅10

⇒

ϑ= 20 5, °C 1P

Ω= 100 0mit R
Ohne Berücksichtigung der Zuleitungswiderstände erhält man eine Temperatur von 25,7 °C,
d.h. einen Messfehler von 25%!		1P
c)	Das beste, aber auch teuerste Verfahren ist die sog. Vierpunktmessung, bei der jeweils für
	Stromzuführung und Spannungsmessung eigene Hin-und Rückleitungen verwendet werden. Die
	Spannungsmessung erfolgt nahezu verlustlos, während der Strom durch eigene Zuleitungen
	eingeprägt wird. Dadurch wird das Messergebnis nicht verfälscht.	1P

1P d) Die im Temperaturfühler umgesetzte Leistung darf nicht zu groß werden, damit das Messergebnis nicht durch die Eigenerwärmung des Widerstandes verfälscht wird. 1P

Hausaufgabe 3: Thermoelement 7 Punkte

Zur Messung der Differenztemperatur Td zweier Flüssigkeiten werden zwei Thermoelemente entsprechend der Anordnung verwendet. T1 und T2 sind die Temperaturen der Flüssigkeiten, U1 und TU2 die der Umgebung.

a) (2P) Erklären Sie den Seebeck-Effekt. b) (2P) Bestimmen Sie den Zusammenhang U = f(Td, TU1, TU2, kCuNi) mit Td = T1 – T2 . c) (1P) Wie groß ist allgemein die Empfindlichkeit E der Spannung U gegenüber der

Differenztemperatur Td?

d) (1P) Berechnen Sie die Spannung U des Thermoelementes, wenn T1 = 50°C und T 2 = 100°C beträgt! Hinweis: kCuPt = 0,7 mV/100K, kNiPt = -1,9 mV/100K, Tu1 = Tu2.

e) (1P) Um welchen Wert ΔU ändert sich U, wenn die Umgebungstemperatur TU1 um 10°C zunimmt?

Musterlösung zu Hausaufgabe 3: Thermoelement

a) Wenn die Verbindungsstelle zweier Leiter oder Halbleiter mit unterschiedlichen Seebeck-Koeffizienten erwärmt wird, entsteht zwischen den beiden Materialien eine thermoelektrische Spannung. Dieser Effekt wird als thermoelektrischer Effekt oder als Seebeck-Effekt bezeichnet. Es handelt sich um einen Volumendiffusionsdefekt. Am heißen Ende eines Thermoelektrischen Materials tritt aufgrund der dort höheren kinetischen Energie der Ladungsträger eine Verarmung an Ladungsträgern auf und am kalten Ende tritt eine Anreicherung an Ladungsträgern auf. 2P

⋅ T₁+ k_NiCu⋅ T_{_U₁}+ k_CuNi⋅ T_{_U₂}+ k_NiC_u⋅ T₂

th ^{⁼^k}CuNi

CuNi ^{^⋅⁽^T⁻^T}2 ^{⁻^T⁺^T}U 2 ^⁾2P

1 U 1

CuNi ^{^⋅⁽^T}d ^{⁻^T}U 1 ^{⁺^T⁾}

U 2

E == k_CuNi1P dT_d

U1 = TU2

(

th ^{⁼^k}CuNi ^{^⋅⁽^T⁻^T}2 ^{⁾⁼⁽^k}CuPt ^{⁻^k}NiPt ^{⁾^⋅⁽^T⁻^T}2 ^{⁾⁼^6,2}^mV^{^{− ⋅}⁵⁰^K⁾^{− =}^3,1^m^V1P}

1 1

100 K

e) U_th= k_CuNi⋅( T − T₂−( T + 10 K )+ T )= k ⋅( 50 K − 100 K − 10 K ) − = ,156 mV = U_thΔ + U

1 U 1 U 2 CuNi

⇒Δ U = k_CuNi− ⋅ 10 K ) − = 6,2 ^mV⋅ 10 K − = ,0 26 mV 1P

⁽100 K

Sonderaufgabe 1: Brückenschaltung

Viele Sensoren ändern ihren elektrischen Widerstand in Abhängigkeit von der Messgröße. Um diesen Effekt messtechnisch umsetzen zu können, wird oft auf die sog. Brückenschaltung zurückgegriffen, die aus vier Widerständen besteht, von denen einer (Viertel-), zwei (Halb-) oder alle vier (Vollbrücke) variabel sind. Die Skizze stellt eine solche Brückenschaltung dar.

a) Berechnen Sie die Brückendiagonalspannung UD in Abhängigkeit von U0 und R1 bis R4!

b) Wie lautet die sog. Abgleichbedingung, d.h. in welchem Verhältnis müssen die Widerstände zueinander stehen, damit die Brückendiagonalspannung UD = 0 V beträgt?

c) Berechnen Sie die Brückendiagonalspannung, wenn alle vier Widerstände den gleichen Grundwert haben, aber ein Widerstand sich variabel mit der Messgröße ändert, d.h. für 1= R2= R3= R0und R4= R0+ Δ R!

Musterlösung zu Sonderaufgabe 1:

a) Berechnung der Brückendiagonalspannung:

^U^D^{⁼^U}⁰R ₁^R+ ²R ₂⁻R ₃^R+ ⁴R ₄

b) Abgleichbedingung:

! _R₄U_D= 0 ⇒U ₀^R₊²_R₂− _R^R⁴_R= 0 ⇒_R₁^R₊²_R₂− _R₃_{₊_R}₄= 0 ^R13 ⁺4

⇔ R R ₃+ R R ₄= R R ₄+ R R ₄⇔ R R ₃= R R ₄

2212 21

c) Berechnung:

R ₀Δ + R _{₌_U}₀2R ₀+ R ₀Δ R − 2R ₀²− 2R ₀Δ R

^U^D^{⁼^U}⁰2 ^RR ⁰₀⁻2R ₀Δ + R ²_{₄_R}₀²_{₊₂_R}₀_{_Δ_R}

_{_Δ_R}für Δ R < < R ₀

1 Δ R

− = U ₀_{₄_R}₀_{₊₂_Δ_R}=− U ₀daher der Name „Viertelbrücke“!

4 R ₀

Sonderaufgabe 2: Metallwiderstands-Thermometer
Zur	Temperaturregelung	eines	Brutschrankes	(Solltemperatur:	38,6°C)	soll	ein
Pt-1000-Widerstandsthermometer			RT	eingesetzt	werden,	das	mit	Hilfe	einer
Brückenschaltung ausgelesen wird. Folgende Daten sind bekannt:

1 = 10000Ω

2 = 11500Ω _U₀3 = 1150Ω

a) Auf welchen Wert muss der variable Widerstand Rpot eingestellt werden (Rpot ≥ 0Ω), damit die Brücke bei der Solltemperatur abgeglichen ist?

b) Wie groß darf die Brückenspannung U0 maximal sein, wenn im Temperaturfühler nicht mehr als 2 mW elektrische Leistung umgesetzt werden soll? Warum darf diese Leistung nicht zu groß werden?

c) Die Brücke wird nun mit einer Spannung von U0 = 2 V betrieben, die Diagonalspannung wird auf einen Komparator (spannungsabhängiger Umschalter) gegeben, mit dem ein Heizelement geschaltet wird. Dieser Komparator hat eine Schalthysterese von ±1 mV,

d.h. das Heizelement wird bei einer Brückendiagonalspannung von -1mV eingeschaltet und erst wieder bei UD = + 1mV ausgeschaltet. Wie stark schwankt dadurch die Temperatur des Brutschranks, wenn andere Einflüsse vernachlässigt werden können?

Musterlösung zu Sonderaufgabe 2:
a)	Die Brücke ist bei 38,6°C abgeglichen, wenn gilt:
	1 4 2 42 1 )6, 38 ( RCR R RR R R R RR Tpot Tpot −°=⇔= +	1P
Für den Pt-1000 gilt:
⋅−⋅+⋅= −− ),0 5802 10 ,3 90802 10 1( ) ( 263 0RR ϑϑϑ						Ω= 1000 0mit R	1P
also: RT(38,6°C) = 1150,0 Ω und damit Rpot = 1.500 Ω.							1P
b)		Der am Temperaturfühler abfallende Spannung UT berechnet sich aus dem Spannungsteiler mit
R4, der Strom aus dem Gesamtwiderstand:
UT			4 0 RR RU T T + ⋅=	IT	4 0 RR U T + =	1P+1P
Die maximal zulässige Brückenspannung ergibt sich aus der maximalen Leistung:

⋅

R_T

)

,303

U I

^PT

^RT

⇒

^RT

⋅

⁽^RT ^R4 ⁾

0max

R_T

Die im Temperaturfühler umgesetzte Leistung darf nicht zu groß werden, damit das Messergebnis nicht durch die Eigenerwärmung des Widerstandes verfälscht wird.

c) Um die Temperaturschwankung zu berechnen, muss bestimmt werden, bei welchen Temperaturen die Brücke eine Spannung von +1 mV bzw. –1 mV liefert. Berechne dazu zunächst die Empfindlichkeit der Anordnung. Beachte: Viertelbrücke mit Arbeitspunkt bei ϑ = 38,6°C.

∂ U ∂ 1 Δ R ∂ 1 ⋅ + ⋅ ²1

= _{_∂_ϑ}= _{_∂_ϑ}₄U₀_R₀= _{_∂_ϑ}₄U ₀^R⁰^⋅⁽^{ϑ α ϑ β}⁾= U₀(α+ 2β ϑ) = ,193 ^mV

Brücke _R₀₄

max

Also ergibt sich: ±ϑ ^{±Δ U}=± ,0 52 K 1P

= Δ

Brücke

pot T

1 0

₄Komparator

Sonderaufgabe 3: Metall-Widerstandsthermometer

Für den Aufbau einer Temperaturmessstelle wird ein

Pt-100-Widerstandsthermometer in Zweileiterschaltung verwendet. Der Messbereich beträgt 150°C bis 200°C, die Zuleitungen zum Thermometer haben einen Widerstand von insgesamt Rj = 10 Ω , die Brückenversorgungsspannung beträgt UV = 5 V. In dem Schaltplan rechts ist die genaue Verdrahtung zu sehen.

a) Dimensionieren Sie die Widerstände so, dass am Messbereichsanfang der Strom durch das Widerstandsthermometer I0 = 2 mA beträgt.

b) Bestimmen Sie die Gleichung für die Brückenausgangsspannung U in Abhängigkeit von der Temperatur der Messstelle.

c) Die Zuleitungswiderstände erhöhen sich aufgrund äußerer Einflüsse auf Rl = 11 Ω . Ermitteln Sie den relativen Fehler am Messbereichsanfang bezogen auf den Messbereichsendwert.

Musterlösung zu Sonderaufgabe 3:

a) T = 150°C RT150 = 157,31 Ω T = 200°C RT200 = 175,84 Ω b) Dimensionierung der Widerstände:

	2 UU V=
	01 I URRRRR V j =+ Δ + ++	)2 (
	Messbereichsanfang:	,0 R =Δ	,0 U =	0II =
	Ω== 157 ,31 150 0 RTR
	aus (1):	Ω=== k mA V I UR V ,1 25 4 5 2 0 ,
	aus (1) & (2):	,1 08269 157 ,31 10 ,1 25 01 Ω= Ω − Ω − Ω =−−= kkRRRR j	)3(
	)( RfU Δ=
	aus (2) & (3):	2 RR UI V + Δ =	)4 (
	(4) in (1):	UU V 2 =	U RR RRR RR U R V V 24 22 2 ⋅ Δ + − Δ + = Δ + ⋅ −	V Rk R 5 25 ⋅ Δ + Ω Δ =
c)
	Fehler am Messbereichsanfang bei Rl = 11 Ω
	Messbereichsanfang:
	Rl	:10 Ω=	UU A 0==
	Rl	:11 Ω=	U k U VA 1 2 5 1' ⋅ Ω⋅ + Ω Ω =	mV ,0 9996 =	mV 1≈
	Messbereichsende:
	Rl	:10 Ω=	UU E =	( ) U RRk RR V TT TT 25 150 200 150 200 ⋅ −⋅ + Ω − =	V k 5 37 ,06 5 , 18 53 ⋅ + =	mV , 18 39 =
	39 , 18 1' = − − = mV mV UU UUF AE AA rel	,5 % 44 =

Sonderaufgabe 4: Temperatursensor

In der Abbildung ist eine R(T)-Kennlinie eines berührenden Temperatursensors gezeigt.

kΩ 30 25 20 15 10 5 0

T [°C] -50 10203040

a) Um welchen Sensortyp handelt es sich? b) Geben Sie eine physikalische Begründung für den Temperaturkoeffizienten des Widerstandes des Sensors!

c) Berechnen Sie den Temperaturkoeffizienten β= ₍¹⋅ ^{d R}!

T R ) d T

d) Stellen sie den Temperaturkoeffizienten als Funktion der Temperatur in °C im Bereich von -5°C bis 40°C graphisch dar!

Musterlösung zu Sonderaufgabe 4:

a)	Thermistor, NTC
b)	NTC	sind	Halbleiter,	d.h.	die	Ladungsträger	sind	Elektronen	und	lokalisiert	an	Atomen.	Der
	Ladungstransport erfolgt durch thermisch angeregte „Sprünge“ der Elektronen. Diese Sprünge benötigen
	Energie, die bei hoher Temperatur leichter verfügbar ist => erhöhte Leitfähigkeit bei erhöhter Temperatur.	1P
c)	Eliminierung von R(T)\|T∞ durch Einsetzen zweier Punkte (R1,T1), (R2,T2) der Kennlinie und auflösen nach
	B:	1P

) ( T R

T R ) (

T =∞

⋅

⇒

exp

)

B =( ln R − ln R ₂)⋅ ^T¹^{⋅ T}²=( ln27500 − Ω ln7500 ⋅ Ω ^{^{26815 ,}^K^⋅^{28815 ,}^K}= 5022 K

T ₂− T 28815 , K − 26815 , K

_{_β₌}1 dR B

⋅

(

T R ) dT ^{− =}T _{_β_{− =}}5022 K

_T2

d) Graph:

-0.05

-0.055

-0.06

beta [1/K]

-0.065

-0.07

-0.075

-0.08 -20-10 0 10 20 30 40

Temperatur [°C]

1 P

Sonderaufgabe 5: Temperaturmessung mit Heißleiter

Ein NTC-Temperaturfühler soll im medizinischen Bereich eingesetzt werden (Temperaturbereich 36°C bis 45°C). Die Temperaturabhängigkeit de s Fühlers wird durch folgende Gleichung beschrieben:

⋅

exp

⋅

−

R R_T

TT₀

Mit R_{_T₀}= 10 0, kΩ bei T₀= 273 K und B = 4052 K

Der Temperaturfühler ist in nebenstehender Brückenschaltung (U0 = 10V) eingebaut.

a) Welchen Wert müssen die Widerstände R haben, damit die Brücke bei 36°C abgeglichen ist? R

b) Geben Sie die Leerlaufspannung Ud0 der Brückendiagonale in Abhängigkeit von RT, U0 und R an.

c) Berechnen Sie die Empfindlichkeit der Messanordnung allgemein und für T=36°C. (Die

Empfindlichkeit ist definiert als die Änderung der Ausgangsgröße dividiert durch die Änderung der Eingangsgröße.) Wie verhält sich die Empfindlichkeit bei unterschiedlichen Messtemperaturen?

Lösung zu Sonderaufgabe 5: Temperaturmessung mit Heißleiter