1

R₁₂

R₁₃

…

…

R_1k

R₂₁

1

R₂₃

…

…

R_2k

…

…

…

…

…

…

R_j1

R_j2

…

R_ji

…

R_jk

…

…

…

…

…

…

R_n1

R_n2

…

R_ni

…

1

вкоторойна диагонали находятся 1, а внедиагональные элементы являются обычными коэффициентами парной корреляции.

Так вот, пусть мы полагали наблюдаемые переменные Eiнезависящими друг от друга, т.е. ожидали увидеть матрицу R[k·k]диагональной, с единицами в главной диагонали и нулями в остальных местах. Если теперь это не так, то наши догадки о наличии латентных факторов в какой-то мере получили подтверждение.

Но как убедиться в своей правоте, оценить достоверность нашей гипотезы — о наличии хотя бы одного латентного фактора,как оценить степень его влияния на основные (наблюдаемые) переменные?А если, тем более, таких факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния?

Ответы на такие практические вопросы призван давать факторный анализ. В его основе лежит все тот же “вездесущий” метод статистического моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории).

Дальнейший ход анализа привыяснению таких вопросов зависит от того, какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[k·k], то мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемсятолько матрицей R[k·k],то мы используем метод факторного анализа в его “чистом” виде.

Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же — установить сам факт наличия латентных переменных(факторов), и если они обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные переменные E_i.

Ход рассуждений при выполнении поиска главных компонент заключается в следующем. Мы предполагаем наличие некоррели-рованных переменныхZ_j( j=1…k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных переменных (суммирование по i =1…k):

Z_j = S A_{j i} ·X

и, кроме того, обладает дисперсией, такой что

D(Z₁) ³ D(Z₂) ³ … ³ D(Z_k).

Поиск коэффициентов A_{j i} (их называют весом j-й компонеты в содержании i-й переменной₎ сводится к решению матричных уравнений и не представляет особой сложности при использовании компьютерных программ. Но суть метода весьма интересна и на ней стоит задержаться.

Как известно из векторной алгебры, диагональная матрица [2·2] может рассматриваться как описание 2-х точек (точнее — вектора) в двумерном пространстве, а такая же матрица размером [k·k]—как описание k точек k-мерного пространства.

Так вот, замена реальных, хотя и нормированных переменных X_iна точно такое же количество переменных Z _jозначает не что иное, как поворот k осеймногомерногопространства.

“Перебирая” поочередно оси, мы находим вначале ту из них, где дисперсия вдоль оси наибольшая. Затем делаем пересчет дисперсий для оставшихсяk-1 осей и снова находим “ось-чемпион” по дисперсии и т.д.

Образно говоря, мы заглядываем в куб (3-х мерное пространство) по очереди по трем осям и вначале ищем то направление, где видим наибольший “туман” (наибольшая дисперсия говорит о наибольшем влиянии чего-то постороннего); затем “усредняем” картинку по оставшимся двум осям и сравниваем разброс данных по каждой из них — находим “середнячка” и “аутсайдера”. Теперь остается решить систему уравнений — в нашем примере для 9 переменных, чтобы отыскать матрицу коэффициентов (весов) A[k·k].

Есликоэффициенты A_{j i}найдены, то можно вернуться к основным переменным, поскольку доказано, что они однозначно выражаются в виде (суммирование по j=1…k)

X _i= S Aji·Z _j.

Отыскание матрицы весов A[k·k] требует использования ковариационной матрицыи корреляционной матрицы.

Таким образом,метод главных компонент отличается прежде все тем, что дает всегда единственное решение задачи. Правда, трактовка этого решения своеобразна.

· Мы решаем задачу о наличии ровно стольких факторов, сколько у нас наблюдаемых переменных, т.е. вопрос о нашем согласии на меньшее число латентных факторов невозможно поставить;

· В результате решения, теоретически всегда единственного, а практически связанного с громадными вычислительными трудностями при разных физических размерностях основных величин, мы получим ответ примерно такого вида — фактор такой-то (например, привлекательность продавцов при анализе дневной выручки магазинов) занимает третье место по степени влияния на основные переменные.

Этот ответ обоснован — дисперсия этого фактора оказалась третьей по крупности среди всех прочих. Всё… Больше ничего получить в этом случае нельзя. Другое дело, что этот вывод оказался нам полезным или мы его игнорируем — это наше право решать, как использовать системный подход!

Несколько иначе осуществляется исследование латентных переменных в случае применения собственно факторного анализа. Здесь каждая реальная переменная рассматривается также как линейная комбинация ряда факторов Fj , но в несколько необычной форме

X _i = S B _ji · Fj+ D _i.

причемсуммирование ведется по j=1…m , т.е. по каждому фактору.

Здеськоэффициент B_jiпринято называть нагрузкойна j-йфактор со стороныi-й переменной,а последнее слагаемое в {3-33} рассматривать как помеху, случайное отклонение для X_i. Число факторовm вполне может быть меньше числа реальных переменных nи ситуации,когда мы хотим оценить влияние всего одного фактора (ту же вежливость продавцов),здесь вполне допустимы.

Обратим внимание на само понятие“латентный”, скрытый, непосредственно не измеримый фактор. Конечно же, нет прибора и нет эталона вежливости, образованности, выносливости и т.п. Но это не мешает нам самим “измерить” их — применив соответствующую шкалу для таких признаков, разработав тесты для оценки таких свойств по этой шкале иприменив эти тесты к тем же продавцам. Так в чем же тогда “ненаблюдаемость”?А в том, что в процессе эксперимента (обязательно) массового мы не можем непрерывно сравнивать все эти признаки с эталонами и нам приходится брать предварительные, усредненные, полученные совсем не в “рабочих” условиях данные.

Можно отойти от экономики и обратиться к спорту. Кто будет спорить, что результат спортсмена при прыжках в высоту зависит от фактора — “сила толчковой ноги”.Да, это фактор можно измерить и в обычных физических единицах (ньютонах или бытовыхкилограммах), но когда?!Не во время же прыжка на соревнованиях!

А ведь именно в это, рабочее время фиксируются статистические данные, накапливается материал для исходной матрицы.

Несколько более сложно объяснить сущность самих процедур факторного анализа простыми, элементарными понятиями (по мнению некоторых специалистов в области факторного анализа — вообще невозможно). Поэтому постараемся разобраться в этом, используядостаточно сложный, но, к счастью, доведенный в практическом смысле до полного совершенства, аппарат векторной или матричной алгебры.

До тогокак станет понятной необходимость в таком аппарате,рассмотрим так называемую основную теорему факторного анализа. Суть ее основана на представлении модели факторного анализа в матричном виде

X [k·1]=B [k·m] · F [m·1]+ D[k·1]

и на последующем доказательстве истинности выражения

R [k·k]=B [k·m] · B^*[m·k],

для “идеального” случая,когданевязки Dпренебрежимо малы.

ЗдесьB^*[m·k]это таже матрицаB [k·m],нопреобразованнаяособым образом (транспонированная).

Трудность задачи отыскания матрицы нагрузок на факторы очевидна — еще в школьной алгебре указывается на бесчисленное множество решений системы уравнений, если число уравнений больше числа неизвестных. Грубый подсчет говорит нам, что нам понадобится найтиk·mнеизвестных элементов матрицы нагрузок, в то время как только около k² / 2 известных коэффициентов корреляции. Некоторую “помощь”оказывает доказанное в теории факторного анализа соотношение между данным коэффициентом парной корреляции (например R₁₂) и набором соответствующих нагрузок факторов:

R₁₂ = B₁₁ · B₂₁ + B₁₂ · B₂₂ + … + B_1m · B_2m .

Таким образом, нет ничего удивительного в том утверждении, что факторный анализ (а, значит, и системный анализ в современных условиях) — больше искусство, чем наука. Здесь менее важно владеть “навыками” и крайне важно понимать как мощность, так и ограниченные возможности этого метода.

Есть и еще одно обстоятельство, затрудняющее профессиональную подготовкувобласти факторного анализа — необходимость быть профессионалом в“технологическом” плане, в нашем случае это,конечно же, экономика.

Но, с другой стороны, стать экономистом высокого уровня вряд ли возможно, не имея хотя бы представлений о возможностях анализировать и эффективно управлять экономическими системами на базе решений, найденных с помощью факторного анализа.

Не следует обольщаться вульгарными обещаниями популяризаторов факторного анализа, не следует верить мифам о его всемогущности и универсальности. Этот метод “на вершине” только по одному показателю — своей сложности, как по сущности, так и по сложности практической реализации даже при “повальном” использовании компьютерных программ. К примеру, есть утверждения о преимуществах метода главных компонент — дескать, этот метод точнее расчета нагрузок на факторы.

4.Классификационная схема характеристик сложности задачи выбора пути в условиях неопределённости

Наличие особых ситуаций на террайне зависит от характеристик его сложности. Ниже приведена возможная классификационная схема характеристик сложности задачи выбора пути в условиях неопределенности.

Для исследования задачи выбора эффективного алгоритма маршрутизации о априорно известному графу использовались следующие десять характеристик сложности задачи [1]:

1. Время построения пути.

2. Длина построенного пути.

3. Число ребер пути.

4. Число отброшенных ребер вдоль пути.

5. Размер фронта волны поиска (массива открытых вершин) на заключительной итерации.

6. Размер тела волны поиска (массив закрытых вершин) на заключительной итерации.

7. Число итераций.

8. Число элементов в волне на момент завершения поиска (сумма пятой и шестой характеристик).

9. Целенаправленность (число ребер в пути, деленное на восьмую характеристику, не считая начальной вершины).

10. Максимальная длина фронта волны поиска (массива открытых вершин).

Для характеристики сложности всего графа могут использоваться гистограммы указанных выше характеристик для выбранного тестового набора задач (в которые могут входить и все возможные задачи на данном графе). Численные эксперименты показали, что для алгоритмов выбора пути по априорно известному графу выполняется свойство несравнимости любых двух алгоритмов даже в пределах достаточно узкого множества возможных задач. Это означает, что если рассматриваются 2 алгоритма А и В, то существует задача, где алгоритм А эффективнее алгоритма В, и существует задача, где алгоритм В эффективнее алгоритма А.

Для исследования алгоритмов выбора пути в условиях неопределенности на террайнах могут использоваться три способа. Первый заключается в том, что на террайне выделяется конечный магистральный граф, для которого может использоваться указанный выше подход.

Второй способ заключается в построении характеристик структуры террайна.

Поскольку террайн представляет собой граф с континуумом вершин и ребер, построенных на основе отношений видимости, то на нем могут быть аналогично определены следующие две основные структурные характеристики графа: диаметр и число доминирования.

Целочисленная метрика k(x,y), задаваемая на точках носителя террайна определяется как минимальное число ребер в допустимом пути (ломаной) из x в y и наоборот. Максимум этой функции по точкам x, y и определяет диаметр террайна. Таким образом, диаметр террайна равен минимально необходимому числу сеансов измерений для передвижения между любыми двумя выбранными точками (в случае, если нет ограничений на радиус действия измерительной системы). Ниже эта характеристика будет обозначаться как γ(V).

Аналогом числа доминирования для террайна является навигационное число. Пусть А – множество точек на террайне, а V – носитель террайна. Если V(A)=V (это означает, что множество видимых из А вершин совпадает со всем террайном), то А называется навигационным множеством. Навигационное множество называется навигационным базисом, если при удалении из А любого элемента оставшееся подмножество точек уже не является навигационным.

Нетрудно видеть, что навигационное множество есть аналог доминирующего множества для конечного графа, а навигационный базис – аналог независимого доминирующего множества. Соответствующие термины для террайна подчеркивают тот факт, что ориентиры на местности должны образовывать навигационое множество для того, чтобы привязка по этим ориентирам была всюду определена.

Навигационное множество называется навигационным множеством k-го порядка, если для любой точки x |A(x)|≥k

Для стандартного террайна множество вершин Р является навигационным множеством по крайней мере четвертого порядка. Пусть nmin(V) и nmax(V) соответствуют минимальной и максимальной возможным размерностям (числу элементов) для навигационного базиса. Очевидно, что эти два числа могут быть различны (см. рис.1).

Рисунок 1

Указанные числа называются минимальным и максимальным навигационными числами террайна.

Литература

1.Райфа Г. Анализ решений. Введение в проблемы выбора в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

2.Кирильченко А.А. Обоснование алгоритмов выбора пути в условиях неопределенности. // Препринт Ин-та прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1991, N 108, 25 с.

3.Кирильченко А.А. Об исследовании эффективности алгоритмов выбора пути в условиях неопределенности. 2. Атлас особых ситуаций и атлас "неустойчивого доминирования" //М.:Препринт Ин-та прикл.матем. им. М.В. Келдыша РАН, 1997, N 44.-27с.

4.Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях.

5.Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях.