Нестандартные методы решения математических задач

Загрузить архив:
Файл: ref-31083.zip (521kb [zip], Скачиваний: 179) скачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

СОДЕРЖАНИЕ

<

Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению (неравенству) того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в ходе данной работы.

Выше сказанное определяет актуальность курсовой работы.

Объект исследования - уравнения и неравенства, не поддающиеся решению с помощью стандартных методов, или отличающиеся громоздкостью стандартного решения.

Целью данной работы является ознакомление с нестандартными методами решения уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели в данной работе решались следующие задачи:

  1. Собрать сведения из истории математики о решении уравнений.

  2. Рассмотреть и применить на практике методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

  3. Рассмотреть и применить на практике дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравнений или неравенств следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «в лоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований.

Курсовая работа состоит из введения, трех глав и списка использованных источников. В первой главе приведены некоторые сведения из истории математики о решении уравнений. Во второй главе рассмотрены методы решения, основанные на использовании свойств функции. Третья глава посвящена рассмотрению дополнительных (искусственных) методов решения.

<

Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений. Есть в ней такая задача:

«Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96». [16]

Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой и которое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + х и 10-х (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100-х2 = 96, для которого указывал лишь положительный корень 2.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э. [14]

Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорезми (787 — ок. 850). В нем рассмотрены и решены (в геометрической форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. При этом рассматривались только положительные корни уравнений.

В работах европейских математиков XIIIXVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Михаэль Штифель (1487 — 1567), который рассматривал уже и отрицательные корни.

В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669—1739) имелось немало задач на квадратные уравнения. Вот одна из них:

«Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колико оная баталия будет иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставить по фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в 2 раза больше числа солдат, расположенных им «в затылок»? [19]

В древневавилонских текстах (3000 — 2000 лет до н. э.) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих и уравнения второй степени. Приведем одну из них:

«Площади двух своих квадратов я сложил: 25<0x01 graphic
. Сторона второго квадрата равна 0x01 graphic
стороны первого и еще 5».>

Соответствующая система в современной записи имеет вид:

<0x01 graphic
>

Эту задачу вавилонский автор решает правильно методом, который мы теперь называем методом подстановки, но он еще не пользовался алгебраической символикой.

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603), служивший шифровальщиком при дворе французского короля, впервые ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, т. е. коэффициентов уравнений. Ф. Виет для обозначения нерасшифрованных букв в донесениях противника использовал редкие буквы латинского алфавита х, у и z, что и положило начало традиции обозначать неизвестные в уравнениях буквами х, у и z. Особенно ценил Виет открытые им формулы, которые теперь называются формулами Виета. Однако сам Виет признавал только положительные корни.

Лишь в ХVII в. после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид.

Вернемся в начало XVI в. Тогда профессор математики болонского университета Сципион дель Ферро (1465—1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида


x3+px=q,

(1)


где р и q - числа положительные.

Это открытие, по обычаям того времени, профессор держал в строгом секрете. О нем знали лишь два его ученика, в том числе некий Фиоре. Утаивание математических открытий тогда было обычным явлением, так как в Италии практиковались математические диспуты-поединки. На многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения на месте или в определенный срок. Чаще всего это были задачи по алгебре, которую называли тогда великим искусством. Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. Вот почему участнику диспута было важно обладать неизвестным другим алгоритмом решения некоторых задач.

После смерти профессора дель Ферро его ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, вызвал на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тарталья (1499—1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений в радикалах, так как предполагал, что Фиоре уже обладал этой формулой. Позднее Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаря благословенной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока».

Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Фиоре не смог решить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, но продолжал держать открытую формулу в секрете.

Другой итальянский математик Джерол. но (1501 — 1576) узнал от Тартальи правило решения кубического уравнения (1) и дал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны. Правда, Тарталья лишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано, познакомившись с рукописями покойного профессора дель Ферро, получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраических вещах, в одной книге», где впервые опубликовал формулу для решения уравнения (1), а кубическое уравнение общего вида предлагал свести к уравнению (1).

После выхода в свет этой книги Кардано был обвинен Тартальей в нарушении клятвы, но формула, открытая дель Ферро и Тартальей, и по сей день называется формулой Кардано.

Такова полная драматизма история открытия формулы корней кубического уравнения (1).

В той же книге Кардано привел алгебраическое решение уравнения четвертой степени. Это открытие сделал один из его учеников Лудовико Феррари (1522 — 1565). После этого начались настойчивые поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трех столетий, и лишь в начале XIX в. норвежский ученый Нильс Хенрик Абель (1802 —1829) и французский ученый Эварист Галуа (1811 —1832) доказали, что уравнения степеней выше четвертой в общем случае в радикалах не решаются.

Математик и философ Рене Декарт (1596 —1650) впервые сформулировал в своей книге «Геометрия» основную теорему алгебры о числе корней уравнения n-й степени. При этом Декарт допускал существование не только истинных (положительных) и ложных (меньших, чем ничего, т. е. меньших нуля — отрицательных) корней, но и воображаемых, мнимых (у Декарта — imaginaires), т. е. комплексных корней.

Еще в древности математики в процессе решения задач сталкивались с извлечением корня квадратного из отрицательного числа; в этом случае задача считалась неразрешимой. Однако постепенно выяснялось, что решение многих задач, задаваемых в действительных числах, получает простое объяснение при помощи выражений a + bi, где i2 = -1, которые в конце концов тоже стали называть числами, но уже комплексными. Первое обоснование простейших действий над комплексными числами дал итальянский математик Раффаэле Бомбелли (ок. 1530 —1572) в 1572 г., хотя еще долгое время к комплексным числам относились как к чему-то сверхъестественному.

Академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707 —1783) внес существенный вклад в вопросы теории комплексных чисел. После его работ комплексные числа получили окончательное признание как предмет и средство изучения. Само название «комплексное число» было предложено в 1831 г. немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 — 1855).

В настоящее время комплексные числа широко употребляются во многих вопросах физики и техники.

Выше речь шла об алгебраических уравнениях, т. е. уравнениях f(x) = O, где f(x) — многочлен относительно х.

Кроме алгебраических уравнений, есть еще и трансцендентные уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенств существенно опирается на свойства функций, которые изучаются в математике относительно недавно.

Особое место среди алгебраических уравнений занимают так называемые диофантовы уравнения, т. е. уравнения, в которых неизвестных больше одной.

Наиболее известными из них являются линейные диофантовы уравнения. Примеры задач, приводящих к линейным диофантовым уравнениям, находим в сборнике задач монаха Алькуина, приглашенного в 795 г. Карлом Великим преподавать в первую из известных школ в г. Аахен. Вот эта задача:

«100 шеффелей (денежных единиц) разделили между мужчинами, женщинами и детьми (число персон 100) и дали при этом мужчинам по 3 шеффеля, женщинам по 2 и детям по <0x01 graphic
шеффеля. Сколько было мужчин, женщин и детей?» [19]>

Обозначив количество мужчин за х, количество женщин за у, мы придем к уравнению Зх + 2y+<0x01 graphic
(100-х-y)= 100.>

Общего решения линейных диофантовых уравнений в те времена еще не знали и довольствовались лишь несколькими решениями, удовлетворяющими условию задачи. У самого Алькуина было приведено лишь одно решение этой задачи: мужчин, женщин и детей было 11, 15 и 74, а задача имеет 784 решения в натуральных числах.

Задачи, приводящие к линейным диофантовым уравнениям, имелись у Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1180 — 1240), в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.

Известное диофантово уравнение Пифагора (VI в. до н. э.) х2 + у2= z2 решают в натуральных числах. Его решениями служат тройки чисел (х; у; z):

x = (m2-n2)l, y = 2mnl, z = (m2 + n2)l,

где т, п, l - любые натуральные числа (т> п). Эти формулы помогают находить прямоугольные треугольники, длины сторон которых являются натуральными числами.

В 1630 г. французский математик Пьер Ферма (1601 — 1665) сформулировал гипотезу, которую называют великой (или большой) теоремой Ферма: «Уравнение хп + уп = zn для натурального п 3 не имеет решений в натуральных числах». Ферма не доказал свою теорему в общем случае, но известна его запись на полях «Арифметики» Диофанта: «...невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четную степень — в виде суммы таких же степеней, или вообще любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Позднее в бумагах Ферма было найдено доказательство его теоремы для п= 4. С тех пор более 300 лет математики пытались доказать великую теорему Ферма. В 1770 г. Л.Эйлер доказал теорему Ферма для п = 3, в 1825 г. Адриен Лежандр (1752 — 1833) и Петер Дирихле (1805 — 1859) — для п = 5. Доказательство великой теоремы Ферма в общем случае не удавалось долгие годы. И только в 1995 г. Эндрю Вайлс доказал эту теорему.

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ

Не всякое уравнение f(x) = g(x) или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций, такие как монотонность, периодичность, ограниченность, четность и др.

2.1 Использование монотонности функции

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2). [13]

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

На показанном на рисунке 1 графике

<0x01 graphic
>

Рисунок 1

Функция y = f (x), <0x01 graphic
, возрастает на каждом из промежутков [ax1) и (x2b] и убывает на промежутке (x1x2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ax1) и (x2b], но не на объединении промежутков 0x01 graphic
>

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f - монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x1 < x2 - корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x1) = f (x2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

  • Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c - некоторая константа.

  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция <0x01 graphic
    убывает. >

  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn где n<0x01 graphic
    N, также возрастает. >

  • Если функция f возрастает и n - нечетное число, то f n также возрастает.

  • Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая -окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a)  f (x). [13]

Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая -окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a)  f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума. [15]

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа - убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого <0x01 graphic
 (x  a) выполняется неравенство f (x)  f (a) 0x01 graphic
, то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D: >

<0x01 graphic
.>

Если для любого <0x01 graphic
 (x  b) выполняется неравенство f (x) > f (b) 0x01 graphic
, то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D. >

<0x01 graphic
.>

Точка наибольшего или наименьшего значения функции на множестве D может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть f(х) — непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Т , тогда уравнение f(x) = С, где С — данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке Т.

2. Пусть f(x) и g(х) — непрерывные на промежутке T функции, f(x) строго возрастает, а g(х) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(х) = =g(х) может иметь не более одного решения на промежутке Т. Отметим, что в качестве промежутка T могут быть бесконечный промежуток (-;+) , промежутки (а;+), (-; а), [а;+), (-; b], отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Пример 2.1.1 [26] Решите уравнение

<0x01 graphic
. [28] (1)>

Решение. Очевидно, что х 0 не может являться решением данного уравнения, так как тогда <0x01 graphic
. Для х > 0 функция 0x01 graphic
непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f(x) = х и 0x01 graphic
. Значит, в области х > 0 функция 0x01 graphic
принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х = 1 является решением данного уравнения, следовательно, это его единственное решение. >

Ответ: {1}.

Пример 2.1.2 [26] Решите неравенство

<0x01 graphic
. (2)>

Решение. Каждая из функций у = 2x, у = 3x, у = 4х непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция <0x01 graphic
. Легко видеть, что при х = 0 функция 0x01 graphic
принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х > 0 имеем 0x01 graphic
, при х < 0 имеем 0x01 graphic
. Следовательно, решениями данного неравенства являются все х < 0. >

Ответ: (-; 0).

Пример 2.1.3 [28] Решите уравнение

<0x01 graphic
. (3)>

Решение. Область допустимых значений уравнения (3) есть промежуток <0x01 graphic
. На ОДЗ функции 0x01 graphic
и 0x01 graphic
непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция 0x01 graphic
. Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Так как , 0x01 graphic
то х = 2 является единственным корнем исходного уравнения. >

Ответ: {2}.

2.2 Использование ограниченности функции

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Если существует число C такое, что для любого <0x01 graphic
выполняется неравенство f (x)  C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D (рисунок 2). [16]>

<0x01 graphic
>

Рисунок 2

Если существует число c такое, что для любого <0x01 graphic
выполняется неравенство f (x)  c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D (рисунок 3).>

<0x01 graphic
>

Рисунок 3

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), <0x01 graphic
лежит в полосе c  y  C (рисунок 4).>

<0x01 graphic
>

Рисунок 4

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (-; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.

Пример 2.2.1 [28] Решите уравнение

sin(x3 + 2х2 + 1) = х2 + 2х + 2. (4)

Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x3 + 2х2 + 1) 1, х2 + 2х + 2 = (x + 1)2 + 1 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при <0x01 graphic
.>

При <0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
, т.е. при 0x01 graphic
уравнение (4) так же корней не имеет .>

Ответ: .

Пример 2.2.2 [14] Решите уравнение

<0x01 graphic
. (5)>

Решение. Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x3 - x - sin x достаточно найти его решения в области х > 0, х 1, поскольку если x0 > 0 является его решением, то и (-x0) также является его решением.

Разобьем множество х > 0, х 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +)

Перепишем начальное уравнение в виде x3 - x = sin x. На промежутке (0; 1) функция g(х) = x3 - x принимает только отрицательные значения, поскольку х3 < < х, а функция h(x) = sin x только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1; +). Для каждого из таких значений х функция g(х) = х3 - х принимает положительные значения, функция h(x) = sin x принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция h(x) = sin x неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.

Если же х > 2, то |sin x| 1, x3 - x = x(x2 - 1) > 23 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +) уравнение также не имеет решений.

Итак, x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: {-1; 0; 1}.

Пример 2.2.3 [28] Решите неравенство

<0x01 graphic
. (6)>

Решение. ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенства на три множества: - < x < -1, -1 < x 0, 0 < x < + и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

Пусть - < x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) =<0x01 graphic
< 0, а f(x) = 2x > 0. Следовательно, все эти x являются решениями неравенства. >

Пусть -1 < x 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - <0x01 graphic
, а f(x) = 2x 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства. >

Пусть 0 < x < +. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - <0x01 graphic
, a 0x01 graphic
. Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.>

Ответ: <0x01 graphic
.>

2.3 Использование периодичности функции

Функция f (x) называется периодической с периодом T  0, если выполняются два условия:

  • если <0x01 graphic
    , то x + T и x - T также принадлежат области определения D (f (x));>

  • для любого <0x01 graphic
    выполнено равенство >

f (x + T) = f (x).

Поскольку <0x01 graphic
то из приведенного определения следует, что 0x01 graphic
. [18]>

Если T - период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где <0x01 graphic
, n  0, также является периодом этой функции. >

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

<0x01 graphic
>

График периодической функции <0x01 graphic
>

График периодической функции обычно строят на промежутке [x0x0 + T), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x, y = cos x (период этих функций равен 2), y = tg x (период равен ) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T  0.

В заключение отметим свойства периодических функций. [19]

  • Если f (x) - периодическая функция с периодом T, то функция g (x) = A · f (kx + b), где k  0 также является периодической с периодом <0x01 graphic
    .>

  • Пусть функции f1 (x) и f2 (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T1 > 0 и T2 > 0. Тогда если <0x01 graphic
    то функция 0x01 graphic
    периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел T1 и T2.>

Пример 2.4.1 [25] Функция <0x01 graphic
периодическая с периодом T = 5. Известно, что 0x01 graphic
. Найдите 0x01 graphic
>

Решение. Преобразуем отдельно каждое слагаемое:

<0x01 graphic
>

<0x01 graphic
>

<0x01 graphic
>

Тогда <0x01 graphic
>

Ответ: 2.

Пример 2.4.2 [24] Найдите период функции

<0x01 graphic
.>

Решение. Преобразуем данное выражение:

<0x01 graphic
>

<0x01 graphic
имеет период 0x01 graphic
;>

<0x01 graphic
имеет период 0x01 graphic
.>

Тогда функция <0x01 graphic
имеет период 0x01 graphic
>

Ответ: .

Пример 2.4.3 [28] Пусть <0x01 graphic
- периодическая функция с периодом 3 такая, что 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.>

Решите уравнение: <0x01 graphic
(7)>

График функции <0x01 graphic
на множестве [0;3) изображен на рисунке 3: >

<

Рисунок 5

Т.к. 3 - период функции <0x01 graphic
, то 0x01 graphic
, тогда уравнение (7) примет вид 0x01 graphic
, рассмотрим два случая.>

1) пусть <0x01 graphic
, т.е. 0x01 graphic
, тогда уравнение примет вид:>

<0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, значит 0x01 graphic
и значит0x01 graphic
, 0x01 graphic
>

2) пусть<0x01 graphic
то 0x01 graphic
, тогда 0x01 graphic
уравнение примет вид:>

<0x01 graphic
; итак 0x01 graphic
, 0x01 graphic
>

т.е. <0x01 graphic
, 0x01 graphic
.>

Ответ: <0x01 graphic
.>

2.4 Использование четности функции

Функция f (x) называется четной, если для любого <0x01 graphic
выполняются равенства: >

1) <0x01 graphic
,>

2) f (-x) = f (x).

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x2 + |x|. [16]

<0x01 graphic
>

График четной функции <0x01 graphic
>

Функция f (x) называется нечетной, если для любого <0x01 graphic
выполняются равенства: >

1) <0x01 graphic
, >

2) f (-x) = -f (x).

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x3.

<0x01 graphic
>

График нечетной функции <0x01 graphic
>

Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция<0x01 graphic
не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения 0x01 graphic
несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x3 + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (-1)  f (1). А это значит, что функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. является функцией общего вида (ФОВ).>

Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Таковой суммой является функция<0x01 graphic
. Первое слагаемое является четной функцией, второе - нечетной.>

Сравнительная иллюстрация функций разной четности изображена на рисунке 6

<

Рисунок 6

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

  • Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.

  • Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.

  • Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

  • Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна). [18]

Пример 2.4.1 [25] Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2x8 - 3аx6 + 4x4 - аx2 = 5

иметь 5 корней? 

Решение. Обозначим f(x) = 2х8 - 3ах6 + 4х4 - ах2. f(x) - функция четная, поэтому, если x0 - корень данного уравнения, то -x0 - тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

2.5 Использование ОДЗ функции

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция <0x01 graphic
определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.). [14]>

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 2.5.1 [24] Решите уравнение

<0x01 graphic
. (8)>

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям <0x01 graphic
и 0x01 graphic
, т. е. ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, т. е. что уравнение не имеет корней. >

Ответ: .

Пример 2.5.2 [22] Решите уравнение

<0x01 graphic
. (9)>

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям <0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, т. е. ОДЗ есть 0x01 graphic
. Подставляя эти значения х в уравнение (9), получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все 0x01 graphic
, являются его решениями. >

Ответ: <0x01 graphic
. >

Пример 2.5.3 [26] Решите неравенство

<0x01 graphic
. (10)>

Решение. ОДЗ неравенства (10) есть все х, удовлетворяющие условию <0x01 graphic
. Ясно, что х = 1 не является решением неравенства (10). Для х из промежутка 0x01 graphic
имеем 0x01 graphic
, а 0x01 graphic
. Следовательно, все х из промежутка 0x01 graphic
являются решениями неравенства (10). >

Ответ: <0x01 graphic
.>

Пример 2.5.4 [26] Решите неравенство

<0x01 graphic
. (11)>

Решение. ОДЗ неравенства (11) есть все х из промежутка <0x01 graphic
. Разобьем это множество на два промежутка 0x01 graphic
и 0x01 graphic
.>

Для х из промежутка <0x01 graphic
имеем 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Следовательно, 0x01 graphic
на этом промежутке, и поэтому неравенство (11) не имеет решений на этом промежутке.>

Пусть х принадлежит промежутку <0x01 graphic
, тогда 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Следовательно, 0x01 graphic
для таких х, и, значит, на этом промежутке неравенство (11) также не имеет решений. >

Итак, неравенство (11) решений не имеет.

Ответ: .

3 НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Существуют и другие нестандартные методы решения уравнений и неравенств, помимо использования свойств функции. Данная глава посвящена дополнительным методам решения.

3.1 Умножение уравнения на функцию

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию — многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней — корней многочлена, на который умножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем. [28]

Пример 3.1.1 [15] Решите уравнение

<0x01 graphic
. (1)>

Решение. Умножив обе части уравнения на многочлен <0x01 graphic
, не имеющий корней, получим уравнение>

<0x01 graphic
, (2)>

равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде

<0x01 graphic
. (3)>

Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому и уравнение (1) их не имеет.

Ответ: .

Пример 3.1.2 [19] Решите уравнение

<0x01 graphic
. (4)>

Решение. Умножив обе части этого уравнения на многочлен <0x01 graphic
, получим уравнение>

<0x01 graphic
0x01 graphic
, (5)>

являющееся следствием уравнения (4), так как уравнение (5) имеет корень <0x01 graphic
, не являющийся корнем уравнения (4).>

Уравнение (5) есть симметрическое уравнение четвертой степени. Поскольку <0x01 graphic
не является корнем уравнения (5), то, разделив обе его части на 0x01 graphic
и перегруппировав его члены, получим уравнение>

<0x01 graphic
(6)>

равносильное уравнению (5). Обозначив <0x01 graphic
, перепишем равнение (6) в виде>

<0x01 graphic
. (7)>

Уравнение (7) имеет два корня: <0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений>

<0x01 graphic
и 0x01 graphic
.>

Решив каждое из этих уравнений, найдем четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5):

<0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. >

Так как корень <0x01 graphic
является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: x1, x2, x3.>

Ответ: <0x01 graphic
.>

3.2 Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения. [24]

Пример 3.2.1 Решите уравнение

<0x01 graphic
. (8)>

Решение. Перепишем уравнение (8) в виде:

<0x01 graphic
. (9)>

Из внешнего вида этого уравнения очевидно, что х = 12 есть его корень. Для нахождения остальных корней преобразуем многочлен

<0x01 graphic
>

<0x01 graphic
>

Так как многочлен <0x01 graphic
не имеет корней, то исходное уравнение имеет единственный корень х = 12.>

Ответ: {12}.

Пример 3.2.2. Решите уравнение

<0x01 graphic
(10)>

Решение. Легко заметить, что <0x01 graphic
и 0x01 graphic
являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное. А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно и решено.>

Ответ: <0x01 graphic
.>

3.3 Использование симметричности уравнения

Иногда внешний вид уравнения — некоторая его симметричность — подсказывает способ решения уравнения.

Пример 3.3.1 [24] Решите уравнение

<0x01 graphic
. (11)>

Решение. Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из корней уравнения (11) есть <0x01 graphic
. Однако найти остальные корни этого уравнения здесь не так просто. Перепишем уравнение (11) в несколько ином виде.>

Поскольку справедливы тождественные равенства

<0x01 graphic
>

<0x01 graphic
,>

то уравнение (11) можно переписать так:

<0x01 graphic
. (12)>

Теперь очевидно, что если <0x01 graphic
корень уравнения (12), то 0x01 graphic
также корень уравнения (12), поскольку>

<0x01 graphic
. (13)>

Покажем, что если <0x01 graphic
, есть корень уравнения (11), то 0x01 graphic
также есть корень этого уравнения.>

Действительно, так как

<0x01 graphic
,>

то отсюда и вытекает это утверждение.

Итак, если <0x01 graphic
, корень уравнения (11), то оно имеет еще корни>

<0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,>

т. е. уравнение (11) имеет корни

<0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.>

Поскольку уравнение (11) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения (11).

Ответ: <0x01 graphic
>

3.4 Исследование уравнения на промежутках действительной оси

Иногда решения уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках. [28]

Пример 3.4.1 Решите уравнение

<0x01 graphic
. (14)>

Решение. Перепишем уравнение в виде <0x01 graphic
или, используя формулу разности>

<0x01 graphic
, (15)>

в виде

<0x01 graphic
. (16)>

Отсюда видно, что один из корней данного уравнения есть <0x01 graphic
. Докажем, что уравнение>

<0x01 graphic
(17)>

решений не имеет.

Разобьем числовую ось на промежутки <0x01 graphic
>

Для любого x из промежутка <0x01 graphic
имеем, что левая часть уравнения (17) положительна, поэтому на этом промежутке уравнение решений не имеет.>

Поскольку

<0x01 graphic
>

<0x01 graphic
,>

то для любого х из промежутка <0x01 graphic
этот многочлен положителен. Это означает, что на промежутке 0x01 graphic
уравнение (17) также не имеет решений. >

Поскольку

<0x01 graphic
>

<0x01 graphic
,>

то для любого x из промежутка <0x01 graphic
этот многочлен положителен. Следовательно, и на промежутке 0x01 graphic
уравнение (17) не имеет решений. >

Итак, данное уравнение (17) имеет единственное решение <0x01 graphic
.>

Ответ: {1}.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе исследования цель курсовой работы достигнута, полностью решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:

  1. Приведены сведения о давности постановки перед человеком задачи решения уравнений и неравенств.

  2. Приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

  3. Рассмотрены и опробованы дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

Продолжение исследования может заключаться в изучении применения свойств синуса и косинуса, применении производной, использовании числовых неравенств, использовании графиков и других нестандартных способов решения уравнений и неравенств.

СПИСОК использованных источников

  1. Абылкасымова А. Е. «Алгебра 10 класс», Мектеп, 2006 г.

  2. Алилов М. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа». Пробный учебник для 10-11 кл. средней школы. М.: «Просвещение», 2002 г.

  3. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. «Лекции и задачи по элементарной математике», М.: Изд. «Наука», 1974 г.

  4. Газета «Математика» №20, 2008 г.

  5. Голубев В. И. «Решение сложных и нестандартных задач по математике», 1995 г.

  6. Горштейн П. И. «Задачи с параметрами», М. «Илекса», 1999 г.

  7. Гусев В. А., Мордович А. Г. «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение», 1990 г.

  8. Далингер В. А. «Нестандартные уравнения и методы их решения», Омск, 1995 г.

  9. Жафяров А. Ж. «Профильное обучение старшеклассников», 2001 г.

  10. Журнал «Математика в школе», 1999-2018 г.

  11. Ивлев Б. М., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Швардцбурд С. И. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа», М: «Просвещение», 1990 г.

  12. Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2008 г.

  13. Кравцев С. В. «Методы решения задач по алгебре», М. «Оникс», 2001г.

  14. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2003 г.

  15. Кушнир А. И. «Математическая энциклопедия», Киев «Астарта», 1995 г.

  16. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. «Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия», 1991 г.

  17. Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа», М.: Высшая школа, 1995 г.

  18. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. «Нестандартные методы решения», 1992 г.

  19. Письменский Д. Т. «Математика для старшеклассников». Издательство, «Айрис». М., 1996 г.

  20. Постникова, С. Я. «Уравнения с параметрами на факультативных занятиях», 2002 г.

  21. Потапов М. К. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2002 г.

  22. С. А. Барвенов «Методы решения алгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.

  23. Сканави М. И. «Сборник задач для поступающих в ВУЗы», М. «Высшая школа», 1988г.

  24. Супрун В. П. «Нестандартные методы решения задач по математике» Минск «Полымя», 2000 г.

  25. Теляковский С. Л. «Алгебра». Учебник для 9 кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение», 1995 г.

  26. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи» Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение», 1987 г.

  27. Шабунин. М. И. «Пособие по математике для поступающих в вузы», 2005г.

  28. Шыныбеков А. Н. «Алгебра 10 класс», Атамура, 2006 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ

<

Задачи для самостоятельного решения:

  1. Докажите, что следующее уравнение не имеет решений:

    1. <0x01 graphic
      .>

    2. <0x01 graphic
      .>

    3. <0x01 graphic
      . >

    4. <0x01 graphic
      . >

    5. <0x01 graphic
      . >

  2. Решите уравнение:

    1. <0x01 graphic
      . >

Ответ: {0}.

    1. <0x01 graphic
      .>

Ответ: {2}.

    1. <0x01 graphic
      . >

Ответ: {-1}.

    1. <0x01 graphic
      . >

Ответ: {2}.

    1. <0x01 graphic
      . >

Ответ: {1}.

    1. <0x01 graphic
      .>

Ответ: {1; -2}.

    1. <0x01 graphic
      >

Ответ: <0x01 graphic
.>

    1. <0x01 graphic
      .>

Ответ: <0x01 graphic
.>

  1. Решите неравенство:

    1. <0x01 graphic
      . >

Ответ: <0x01 graphic
.>

    1. <0x01 graphic
      . >

Ответ: <0x01 graphic
.>

    1. <0x01 graphic
      . >

Ответ: <0x01 graphic
.>

    1. <0x01 graphic
      . >

Ответ: <0x01 graphic
.>

    1. <0x01 graphic
      . >

Ответ: <0x01 graphic
.>

<

8

31

ФОВ

x

y