Презентация по математике Удивительный мир многогранников

Удивительный мир многогранниковАвтор работы: Буханцова Дарья ученица 10 «А» класса МБОУ Кулешовской СОШ №17 Азовского районаРуководитель: Головань О.Г. Цель проекта: выявление основных видов многогранников в окружающем мире. Были поставлены следующие задачи:ознакомиться с видами многогранников в научной литературе; обосновать существование основных видов многогранников; познакомиться с принципами получения многогранников; рассмотреть вопрос о существовании многогранников в окружающем мире; показать связь геометрии с другими науками. Учёные в истории многогранников. Согласно мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.огонь тетраэдр вода икосаэдр воздух октаэдр земля гексаэдр вселенная додекаэдр Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником. Примером многогранника является призма, пирамида. Призма Усечённая пирамида Наклонный параллелепипед Многогранником(многогранной поверхностью)называется поверхность составленнаяиз многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторонуот плоскости каждой его грани.ВыпуклыймногогранникНевыпуклыймногогранник Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками. Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранникаСвойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани Название ТетраэдрКуб Октаэдр Додекаэдр ИкосаэдрЧисло граней и их форма4681220Число ребер612123030Число вершин4862012 Число вершин, рёбер и граней правильных многогранников связано друг с другом интересным соотношением.Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В  Р = 2 Формула ЭйлераЛеонардо Эйлер (1707-1783) Формула ЭйлераСумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В  Р = 2 Названия многогранников пришли из Древней Грециив них указывается число граней: эдра  грань тетра  4 гекса  6 окта  8 икоса  20 додека  12 Свойство правильных многогранников: каждый из них можно вписать в сферуВсе три сферы имеют общий центр, являющийся, к тому же, и центром многогранника. Существует ли больше правильных многогранников?Обозначим через p число сторон у грани правильного многогранника. Так как двугранные углы равны, то все пространственные углы в правильном многограннике также равны. Поэтому в каждой вершине правильного многогранника сходится одно и тоже число граней, которое мы обозначим через q . Используя правильность граней и равенство двугранных углов, древние греки легко получили, что для правильных многогранников пары целых чисел ( p , q ) могут быть лишь такими (3, 3), (4, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 3). Однако благодаря теореме Эйлера можно получить те же пять пар чисел не только для правильных многоугольников, но и вообще для произвольных выпуклых многогранников, у которых каждая грань имеет одинаковое число p сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число q граней.

Действительно, так как каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а каждая грань имеет ровно p ребер, то p · Г равно удвоенному числу ребер в многограннике: p · Г = 2Р. Поскольку каждое ребро имеет ровно два конца, а в каждой вершине сходится ровно q ребер, то q · В = 2Р. Итак, Г = 2Р/ p и В = 2Р/ q (4)Подставим отношение (4) в формулу Эйлера: 2P/ q + 2P/ p = P + 2 (5)Найдем Р из (5): P = 2 pq /(2 · ( p + q ) - pq ) (6)Знаменатель дроби в (6) равен 4 - ( p - 2)( q - 2), а так как знаменатель положителен, то ( p - 2)( q - 2)<4. С другой стороны, как число p сторон у грани, так и число q граней, сходящихся в вершине, не меньше 3. Поэтому уравнение (5) при условии p ≥3, q ≥3 имеет пять и только пять целочисленных решений (p , q ): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3). Отсюда следует, что комбинаторно различных многогранников, у которых все грани одноименные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней, не более пяти.
Правильные многогранники Тетраэдр -правильная треугольная пирамида с равными ребрами, ограниченная четырьмя правильными треугольниками. Тетраэдр  (от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников.   Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдраСумма длин всех ребер Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер. Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру. Правильные многогранники Октаэдр – правильный четырёхугольный диэдр с равными рёбрами, ограниченный восемью правильными треугольниками. Октаэдр (от греческого okto – восемьи hedra – грань) –правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. Октаэдр обладает симметрией. Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер. Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его осей симметрии. Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра проходят через каждые 4   вершины октаэдра,   лежащие в одной плоскости. Шесть  плоскостей симметрии проходят через две вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных ребер.    Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдраСумма длин всех ребер Икосаэдр- поверхность, ограниченная двадцатью правильными треугольниками.Правильные многогранники Икосаэдр (от греческого ico —  шесть и hedra — грань) правильныйвыпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников.   Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдраСумма длин всех ребер Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из  которых  проходит через  середины противоположных параллельных  ребер. Плоскостей симметрии также 15. Куб(гексаэдр)- правильная четырёхугольная призма с равными рёбрами, ограниченная шестью квадратами.Правильные многогранники
Куб (гексаэдр)  (от греческого hex — шесть и hedra — грань) - правильный многогранник, составленный из 6 квадратов.    Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдраСумма длин всех ребер Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят  9 осей симметрии.Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра ( таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3). Правильные многогранники Додекаэдр- поверхность, ограниченная двенадцатью правильными пятиугольниками.
Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) – это правильный многогранник,  составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников. Плоскостей симметрии 9 и проходят они либо через противоположные ребра (таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3). Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.    Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдраСумма длин всех ребер Двойственность многогранниковУ правильных многогранников есть ещё одна особенность Если считать центры граней тетраэдра вершинами нового многогранника, то вновь получим тетраэдр. Центры граней икосаэдра образуют додекаэдр Центры граней куба образуют октаэдр. Центры граней октаэдра образуют куб Центры граней додекаэдра образуют икосаэдр В средние века учения о правильных многогранниках возродил в своих трудах Иоганн Кеплер (1571- 1630) и сделал потрясающее открытие: строение солнечной системы связано с правильными многогранниками. Оказывается, радиусы орбит таких планет ,как Меркурий, Венера, Земля, Марс и Юпитер, связаны с радиусами сфер, вписанных и описанных вокруг правильных многогранников.    Схематично модель Кеплера можно представить следующим образом.     Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Математические расчёты показали, что совпадение с данными Коперника по радиусам планетных орбит было поразительным, но всё-таки не совсем точным. Однако, эта работа привела к открытию истинных астрономических законов- трёх знаменитых законов Кеплера, на базе которых И.Ньютон построил свою теорию тяготения. Полуправильные многоугольники ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИК полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны, и, так называемые, антипризмы с равными ребрами. На рисунке изображены правильная пятиугольная призма и пятиугольная антипризма.Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, возможно, с разным числом сторон, и все многогранные углы равны, причем один из них в другой можно перевести движением самого многогранника. ТЕЛА АРХИМЕДАСамые простые из них получаются из правильных многогранников операцией "усечения", состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр. ТЕЛА АРХИМЕДАЕсли указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр. Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. ТЕЛА АРХИМЕДАИз куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр. ТЕЛА АРХИМЕДАПоверхность ромбокубооктаэдра состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов. Поверхность ромбоикосододекаэдра состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. ТЕЛА АРХИМЕДАПоследние два многогранника – так называемые плосконосый (иногда называют курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхность которых состоит из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками. Усеченный тетраэдрКубооктаэдрРомбоусеченный кубооктаэдрТела АрхимедаУсеченный кубИкосодекаэдрРомбоусеченный икосододекаэдр Усеченный додекаэдрРомбокубооктаэдрКурносый кубУсеченный икосаэдрРомбоикосасододекаэдрКубооктаэдрКурносый додекаэдр Тела АрхимедаТелоАшкинузе ПРАВИЛЬНЫЕ ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Малый звездчатый додекаэдр Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром. Большой звездчатый додекаэдр Если в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получится большой звездчатый додекаэдр. Большой додекаэдр При продолжении граней додекаэдра возникает 2 возможности. Если в качестве граней рассматривать правильные пятиугольники, то получится большой додекаэдр. Большой икосаэдр Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр. Новое «архимедово тело» - псевдоромбокубооктаэдр Получается из ромбокубооктаэдра поворотом его верхней восьмиугольной «крышки» на 45 градусов по оси – открыл Миллер в 1930 г. и независимо от него В. Г. Ашкинузе и Л. Есаулова. Звездчатые кубооктаэдрыПомимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников. На рисунке показаны звездчатые формы кубооктаэдра. Звездчатые икосаэдрыНа рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосаэдра. Всего их 59. Звездчатые икосододекаэдрыНа рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосододекаэдра. Всего их 19. Звездчатые многогранникиМногие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА ПОВАРЕННОЙ СОЛИ. Маленькие шарики – ионы натрия, большие – ионы хлора. Все кристаллы поваренной соли имеют одинаковую кубическую форму. Куб (гексаэдр) Форму  куба имеют кристаллические решётки многих металлов (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, и другие)Куб (гексаэдр) Тетраэдр Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты также являются тетраэдрами. Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра. Метан  горит бесцветным пламенем. С воздухом образует взрывоопасные смеси. Используется как топливо. Тетраэдр   Фосфорноватистая кислота Н3РО2Молекула имеет форму тетраэдра с атомом фосфора в центре, в вершинах тетраэдра находятся два атома водорода, атом кислорода и гидроксогруппа. Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р4 . Такая молекула имеет вид тетраэдра. Элементарная ячейка кристалла алмаза представляет собой тетраэдрТетраэдр  Тетраэдр   Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра. Метан  горит бесцветным пламенем. С воздухом образует взрывоопасные смеси. Используется как топливо. Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты также являются тетраэдрами. Оптимальная конфигурация ядер в молекулеВ молекуле четыре зарядарасположены в вершинах тетраэдраВ молекуле шесть зарядов расположены в вершинах октаэдра Молекула аммиака представляет собой правильный тетраэдрМолекула воды представляет собой правильный тетраэдр Платины гексафторид (PtF6)- один из сильнейших окислителей .Молекула PtF6 - правильный октаэдр.Молекулярная решетка в форме октаэдра
Богатства музея из Средней Сибири приросли самородным железом из Хунгтукунской интрузии, кристаллами анальцима до 20 см, октаэдрами пирохлора до 15 см с р.Татарка на Енисейском кряже.Кристалл пирохлора в форме октаэдра Кристаллы в форме октаэдраКвасцыШпинельФлюоритАлмазПеровскит Кристаллы колчеданакристаллы бора (B)Имеют форму додекаэдраИмеют форму икосаэдра Кристалическая решетка хлорида натрия.Кристалическая решетка льда Вирусология Вирус гепатита В Вирус AIDS имеет форму икосаэдра
Аденовирусы - семейство ДНК-содержащих вирусов, вызывающих у человека и животных аденовирусные болезни.
Вирусы-бактериофагиГоловка вируса-бактериофага также имеет форму икосаэдра
style.rotation
Способная вызвать заражение, вирусная частица вне клетки- вирион.Вирусная частица
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдраВирус герпеса имеет форму икосаэдра Радиолария Молекула ДНК представляет собой вращающийся куб.водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов, — представляющая собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками. Цветочная пыльца Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности.

Применения икосаэдровТитульный листкниги Ж. Кузена«Книга о перспективе».Надгробный памятникв кафедральном соборе Солсбери. МеланхолияАвтор картины Альбрехт Дюрер Додекаэдр встречается в работах художника Я. Барбари.Портрет Луки Пачоли «Тайная вечеря» Сальвадора Дали Сальвадора ДалиВ поисках четвёртого измерения Эта картина Суламифи Вулфинг изображает младенца Христа внутри икосаэдра, что очень уместно, потому что икосаэдр символизирует воду, а Христос был крещён в воде, что символизировало начало нового сознания.Суламифи Вулфинг «Младенец Христос» Рафаэль Санти «Обручение Марии»Рафаэль обладал удивительным даром композиции. Мастерство с которым он соединял элементы композиции в единое целое, острое чувство симметрии, пропорции, золотого сечения, ритма – все эти качества рафаэлевского гения ярко проявились в полотне «Обручение Марии». Графика Эшера В центре данной картины расположен комплекс конструкций поднимающийся на фоне ландшафта с террасами Вертикальная ось создается двумя мощными башнями, каждая из которых увенчана острогранными многогранниками (слева - три пересекающиеся куба, а справа также три пересекающихся правильных октаэдра). Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симмет­ричностью, что дало возможность венгерско­му инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика». Работы современных авторов Многогранники в архитектуре ё Зарайский кремль (Никольская башня)Великая пирамида в ГизеАлександрийский маякХрам Преображения Господня (с.Журавна)Фаросский маяк     Различные геометрические формы находят свое отражение практически во  во всех отраслях знаний:  архитектура,  искусство.      Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике - логике "завоевания" природного ландшафта, которому противопоставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм.

Казанская церковь в МосквеМногогранники в архитектуре В наше время при строительстве домов используют в основном форму куба, прямоугольника, но иногда встречаются и формы пирамиды, даже круга. МечетьКул-Шариф Архитектура этой мечети представляет собой сочетание различных многогранников. Храм знаний в алмазе… Именно так будет выглядеть новое здание Национальной библиотеки Беларуси. Эскиз обсерватории. Здание имеет форму многогранника. Тяжелое перекрытие (1) опирается на кирпичную стену (2). Комфортный доступ к инструменту обеспечивает лестница (3). Сооружение стоит на фундаменте (4).Обсерваториия на дачном участке С. В. Киселева Общий вид обсерватории построенной автором Обман зрения в Праге Так в Праге оформили вход на станцию "Малостранска". Кольца соеденины таким образом, что создаётся иллюзия того, что мы видим сферу хотя на самом деле, кольца лежат в одной плоскости. Современнаяархитектура
виде додекаэдров изготавливают “всенаправленные” динамики, как на картинке Многогранники в нашем доме Рупор(уголковый отражатель) для тестирования радараБуй. Наверху виден уголковый отражатель сигналов радара Катафо́т (др.-греч. κατα- — «назад; вниз» + φως, fos — «свет») — устройство обеспечения безопасности, широко применяемое в дорожном строительстве и транспорте.Тетраэдр в технике Октаэдр в изображениях на полях Странные предметыВ последнее время на территории различных стран находят весьма странные предметы. Например, на Севере Европы во многих местах были найдены бронзовые полые вещицы, от 4 до 11 сантиметров в диаметре, имеющие форму додекаэдра и икосаэдра. Игральные кости Многогранники в ювелирном деле Уголковый отражатель — устройство в виде прямоугольного тетраэдра со взаимно перпендикулярными отражающими плоскостями. Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Отражатели для оптического диапазона, как правило, изготовляются в виде прямоугольного тетраэдра из прозрачного материала (стекло, прозрачные пластики). Лучи света отражаются от граней за счет эффекта полного внутреннего отражения. Весь отражатель состоит из множества тетраэдров. Решение задачи о заполнении пространства Кубами можно заполнить пространство. Рассмотрим часть кубической решетки и покажите, что ими можно заполнить пространство. Решение. Средний куб оставим нетронутым, а в каждом из "окаймляющих" кубов проведем плоскости через все шесть пар противолежащих ребер. При этом "окаймляющие" кубы разобьются на шесть равных пирамид с квадратными основаниями и боковыми ребрами, равными половине диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому кубу, и образуют вместе с последним ромбический додекаэдр. Отсюда ясно, что ромбическими додекаэдрами можно заполнить все пространство. Как следствие получаем, что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному объему куба, ребро которого совпадает с меньшей диагональю грани додекаэдра.Задача Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба. Задача Наоборот :Обозначим  центры граней октаэдра .Каждая грань октаэдра граничит с тремя другими ,  так что центр каждой грани будет соединен ребрами с тремя соседними .так как  расстояние между центрами граней , имеющих общее ребро , одинаковы , то получится фигура , имеющая    восемь вершин ; и с каждой вершины выходят по три одинаковых ребра и все грани представляют собой квадраты. Значит, эта фигура - куб . Что и требовалось доказать .ЗадачиОбозначим  центры граней куба C1,  C2,  C3,  C4,  C5,  C6.  Каждая грань куба граничит с четырьмя другими ,так что каждая из точек С будет соединена с четырьмя другими.Так как  расстояния между центрами граней, имеющих общее ребро, в кубе одинаковы, то получим фигуру, имеющую 6 вершин, в каждой из которых сходится по n ребер, и все грани представляют собой правильные треугольники. Значит эта фигура - октаэдр.Решение Задача: Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке . Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника. Анкета Просим вас поставить галочку в нужном квадратике и ответить на вопрос анкеты, проведя соответствие между фигурой и стихией.Учитель  Ученик  Родитель Варианты: огонь, вода, земля, воздух, Вселенная. Результаты исследования и выводы Миром красоты и гармонии мы называем многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников – «Тела Платона», 13 полуправильных выпуклых многогранников – «Тела Архимеда» и 4-х невыпуклых многогранников – «Тела Пуансо – Кеплера» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин.Заключение. Звезда
Квазиусеченный звездчатый додекаэдр
Квазиусеченный гексаэдр
Битригональный додекаэдр