Урок по геометрии в 9 классе Соотношения между сторонами и углами треугольника

Урок по геометрии в 9 классе «Соотношения между сторонами и углами треугольника»


Познавательные цели:
Изучить теорему Стюарта, а также формулу площади выпуклого четырехугольника. Совершенствовать навыки решения задач на применение различных теорем, свойств, следствий по данной теме, устранить пробелы в знаниях, проверить умения и знания обучающихся, в ходе тестирования.
Развивающие цели:
Развивать аналитическое, логическое мышления, развивать память и сообразительность.
III. Воспитательные цели:
Формирование увлеченности, активности, самостоятельности, аккуратности, смелости, уверенности. Воспитание культуры речи и познавательного интереса к учебному предмету.
Оборудование: Интерактивная доска, инструменты, компьютер ,проектор.

Ход урока.
Организационный момент.
Сегодня у нас завершающий урок по теме: «Соотношения в треугольнике», поэтому в начале урока вспомним все теоремы, замечания, следствия по данной теме.
Теорема синусов. (замечание)
Ответ: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
а/ sin A = в/ sin B = c/ sin C = 2R
Теорема косинусов
Ответ: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
а2 = в2 +с2 – 2авcosA
Как выражается квадрат медианы АМ треугольника
·АВС
Ответ: АМ2= АВ2 / 2 + АС2 / 2 - ВС2/ 4
Чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма.
Ответ: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
d12 + d22 = 2a2+2в2
5) Площадь треугольника (новые формулы)
1) S
·=1/2 ав sinC
2) S
·= авс/4R
3) S
·= 2R2 sinA sinB sinC
4) S
·= 1/2pr
II. Изучение новой темы
Теорема Стюарта.
Если точка Д лежит на стороне ВС
·АВС, то
АД2=АС2 * (ВД/ВС)+АВ2 * (ДС/ВС) – ВД* СД
Справка Метью Стюарт (1717 – 1785)
Эта теорема была сообщена шотландскому математику М.Стюарту его учителем Р.Симсоном, однако ученик сумел опубликовать её в 1746 году, на 3 года раньше своего учителя







А
В 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415С
Д
Докозательство
По теореме косинусов имеем:
АС2=АД2+ДС2 – 2АД*ДС cosАД^С | x ВД
АВ2СД=АД2СД+ВД2 – 2АД*ВДcosАД^В | х СД

АС2ВД=АД2ВД+ДС2ВД – 2АД*ДС*ВД cosАД^С
АВ2СД=АД2СД+ВД2СД – 2АД*СД*ВС cos АД^В
Так как, углы смежные, то
cos АДС =cos (180-ADB)= - cos ADB
AC2ВД+АВ2СД=АД2ВС+ДС*ВД*ВС:ВС
Теорема доказана.

ЗАДАЧА
В С
Дано:
АВСД-параллелограмм состоронами:
4 и 6 см,
О АС – диагональ = 8см.
Найти: ВД



А Д

Решение.
ДО2= 62*4/8+42*4/8-4*4=36З1/2+16*1/2-16=18+8-16=10
ДО=
·10; ВД=2
·10 (см)


ТЕОРЕМА. Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.






Дано:
АВСД – выпуклый четырехугольник,
АС и ВD- диагонали,

· – угол между ними.

Доказать:

SABCD= 1/2 AС*BD sin
·.

Доказательство.
Опишем около ABCD параллелограмм KLMN так, что KN // BD // LM;
KL // AC // MN.
SKLMN=KNKLsin^K=BD*AC sin
·

S
·BCD=1/2 SBDML
+
S
·BAD= Ѕ SBDNK

SABCD=1/2 SKLMN= 1/2 BDAC sin
·.



ЗАДАЧА

Дано:
АВСD- выпуклый четырехугольник
АС и ВD – диагонали
АС _|_ ВD

Доказать:
SABCD=1/2 ACBD.

Решение.
SABCD=1/2 AC*BD* sin
·
SABCD=1/2 AC*BD* sin 90°= 1/2 AC*BD.
Sin 90°=1 С


ЗАДАЧА

Дано:
Х Х Основание АВ равнобедренного
В1 А1
·АВС равно 4 см.
Медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в О точке О.
60о Найти: АА1, если ^ В1ОА=60°

60о 60о

А С В


Решение.
cos30o=
·3/2
cos30o=AC1/AO
AO=2/(
·3/2)=4
·3/3
АА1=4
·3/3:2*3=2
·3 (см)
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины
ВОПРОС Что еще можно найти в данной задаче?
Стороны АС и ВС, Р
·АВС
АА12=Х2/2+АВ2/2-х2/4
(2
·3)2 – 42/2=х2/4;
12 – 8=х2/4
4=х2/4
Х2=16
Х=4
Следовательно,
·АВС – равносторонний
Р=4*3=12 (см)

S
·АВС
S
·АВС=1/2СВsinA
S
·АВС=1/2*4*4sin60o=1/2*16*
·3/2=4
·3 (см2)

R – описанной окружности
S=авс/4R,
R=4
·3/3 (см)
АО=R=4
·3/3 см
а/sinA=2R
R=a/2sinA=4/(2*
·3/2)=4
·3/3 (см)

r – вписанной окружности
S=1/2Pr
r=2S/p=2
·3/3


Тестирование на компьютере.
Домашнее задание.№1034, 1035.






15