Общие сведения о системах счисления
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 10 класс Автор: Глухова Татьяна Ивановна-учитель информатики МБОУ Салганской СОШ * Это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемого цифрами. Все системы счисления делятся на две большие группы: Позиционные Непозиционные Единичная Древнеегипетская Римская Алфавитная и др. ДесятичнаяДвоичнаяВосьмеричнаяШестнадцатеричная и др. В позиционных сс количественный эквивалент(значение) цифры зависит от её места (позиции) в записи числа В непозиционных сс количественный эквивалент(значение) цифры не зависит от её места (позиции) в записи числа В римской системе счисления семь чисел обозначаются буквами: Остальные числа записываются комбинацией этих знаков. Если числа в комбинации идут от больших к меньшим, числа складываются:XXI – 10+10+1=21MMVIII – 1000+1000+5+1+1+1=2008,если от меньших к большим – значение числа вычитается из следующей буквы:IV=5-1=4 I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Пример непозиционной системы счисления: Какие числа записаны следующими римскими цифрами:XXVIII=XLIV=MCDLI=DCLIX=MCMXCIX = 28
44
1451
659
1999 Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для записи чисел в данной системе счисления. Десятичная система счисления: основание q=10. Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Например: 12710Двоичная система счисления: основание q=2Алфавит: 0,1. Например : 100112Восьмеричная система счисления: основание q=8Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7. Например: 2358Шестнадцатеричная система счисления: основание q=16Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Например: 4F1716 Любое целое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых – единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д.1652 = 11 000 + 6100 + 510 + 211652=1*103 +6*102+5*101+2*100 1652-свёрнутая форма записи числа Развёрнутая форма числа 10012
1456
21358
1A516
27,48 101012=1*24+0*23+1*22+0*21+1*20 0123456789 десятичная 1. Перевод целых чисел из десятичной системы Перевод целого десятичного числа в двоичноеПеревод целого десятичного числа в восьмеричноеПеревод целого десятичного числа в 16-ное 2. Перевод в десятичную систему Перевод двоичного числа в десятичноеПеревод восьмеричного числа в десятичноеПеревод 16-го числа в десятичное * Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получится частное, меньшее 2.Записать полученные остатки в обратной последовательности, начиная с последнего неполного частного. 4610→1011102 01 двоичная Пример: Перевод целого десятичного числа в двоичное: * 48 10= X2
10510 = X2
20410 = X2 ПЕРЕВЕДИТЕ ЧИСЛА: * Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получится частное, меньшее 8.Записать полученные остатки в обратной последовательности, начиная с последнего неполного частного. 4610→568 01234567 восьмиричная Пример: Перевод целого десятичного числа в восьмеричное: * ПЕРЕВЕДИТЕ ЧИСЛА: 48 10= X8
10510 = X8
20410 = X8 0123456789ABCDEF шестнадцатеричная * Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на 16 до тех пор, пока не получится частное, меньшее 16.Записать полученные остатки в обратной последовательности, начиная с последнего неполного частного. 4610→2E16 Пример: Перевод целого десятичного числа в 16-ное: * ПЕРЕВЕДИТЕ ЧИСЛА: 48 10= X16
10510 = X16
20410 = X16 * 1011012 = X10
1101112 = X10
11110012 = X10 ПЕРЕВЕДИТЕ ЧИСЛА: * 1238 = X10
178 = X10
1568 = X10 ПЕРЕВЕДИТЕ ЧИСЛА: * 1F16 = X10
AB16 = X10
9D16 = X10 ПЕРЕВЕДИТЕ ЧИСЛА: Для преобразования десятичных дробей в число любой системы счисления последовательно выполняют умножение на основание системы счисления, пока дробная часть произведения не будет равна нулю. Полученные целые части числа являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются. В итоге получаем, что 0, 37510 = 0,0112 Пример: Если число Х имеет целую и дробную часть, то переводим целую часть по правилу для целых чисел, а дробную (вместе с нулем и десятичной запятой "0,") по правилу для дробей. Потом к переведенной целой части "приклеиваем" справа переведенную дробную (убрав из нее "0,"). Пример: Перевести число 15, 2510 Значит 15,2510 = 1111,012 * Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную Двоичные триады 000 001 010 110 100 101 110 111 Восьмеричные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 * Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную Двоичные тетрады 0000 0001 0010 0110 0100 0101 0110 0111 Шестнадцатеричные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 Двоичные тетрады 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Шестнадцатеричные цифры 8 9 A B C D E F * Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную: Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных чисел. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трёх двоичных разрядов (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа – в группу из четырёх разрядов (тетраду)Например: 1. Преобразуем дробное восьмеричное число A8 = 0,478 в двоичную систему счисления:0,478 = 0,1001112 2. Переведём целое шестнадцатеричное число A16 = AB16 в двоичную систему счисления:A16 = 101010112 Арифметические операции в позиционных системах счисления * 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Сложение чисел в двоичной системе счисления. Обратите внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания системы счисления. Для двоичной системы счисления эта величина равна двум. Сложение в позиционных системах счисления Цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 двоичнаясистема 0 1+1=2=2+0 1 1 1+0+0=1 0 1+1=2=2+0 1 0 1+1+0=2=2+0 1 0 1+1=2=2+0 1 Ответ: 1000102 2 1 5 4 + 7 3 6 2 4+6=10=8+2 1 1 5+3+1=9=8+1 1 1+7+1=9=8+1 1 3 1+2=3 восьмеричнаясистема 1 Ответ: 31128 шестнадцатеричнаясистема 8 D 8 + 3 B C 4 8+12=20=16+4 1 9 13+11+1=25=16+9 8+3+1=12=C16 C 1 Ответ: C9416 * Вычитание чисел в двоичной системе счисления 0 - 0 = 0 0 - 1 = 11 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 Обратите внимание на то, что при вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой. Вычитание в позиционных системах счисления При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица основания двоичнаясистема Ответ: 10102 восьмеричнаясистема Ответ: 364448 шестнадцатеричнаясистема Ответ: 84816 1 0 1 0 1 - 1 0 1 1 0 1-1=0 1 1 2-1=1 0 0-0=0 1 2-1=1 1 0 4 3 5 0 6 - 5 0 4 2 4 6-2=4 1 4 8-4=4 4 4-0=4 6 8+3-5=11-5=6 1 3 С 9 4 - 3 В С 8 16+4-12=20-12=8 1 4 16+8-11=24-11=13=D16 8 11-3=8 1 При умножении многозначных чисел в различных позиционных системах применяется алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты умножения и сложения записываются с учетом основания системы счисления двоичнаясистема Ответ: 1010111112 1 1 0 1 1 х 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1+1+1=3=2+1 1 1+1+1=3=2+1 1 1+1=2=2+0 1 1 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Деление в любой позиционной системе производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. При этом необходимо учитывать основание системы счисления. двоичнаясистема Ответ: 10,12 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 , 0 0 1 0 Сколько единиц в двоичной записи числа 195?5234 Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно:5674 Задания из ЕГЭ Как представлено число 7510 в двоичной системе счисления?100101121001012110100121111012 Задания из ЕГЭ Количество цифр в двоичной записи десятичного числа, которое можно представить в виде 2+8+16+64+128+256+512, равно78910 Задания из ЕГЭ №1 Мартышка-мама связала 111 - ти своим непослушным детишкам по перчатке на каждую руку и ногу. Но они порвали все свои перчатки, кроме младшего, который порвал только 11. Сколько перчаток попадет маме в починку? Ответ в 8-й сс Мартышка висит на хвосте и жует бананы. В каждой руке по 101 банану, а в каждой ноге – на 1 банан больше, чем в руке. Сколько бананов у мартышки?Ответ в 2-й сс №2