Презентация по математике для 9 класса по теме «Арифметическая прогрессия»

Арифметическая прогрессия Учебное пособие для 9 классаКалинина С.В. Содержание Введение Понятие арифметической прогрессии Формула n-го члена арифметической прогрессии Сумма первых n членов арифметической прогрессии Характеристическое свойство арифметической прогрессии Об авторе Тест Понятие арифметической прогрессии пример Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии. Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая прогрессия, у которой Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, … - это арифметическая прогрессия, у которой Пример 3. 8, 8, 8, 8, 8, … - это арифметическая прогрессия, у которой Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями , запомни Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d<0.Для обозначения арифметической прогрессии используется знак . Формула n-го члена арифметической прогрессии Рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью d. и т.д. пример Для любого номера справедливо равенствоЭто формула n-го члена арифметической прогрессии. ? Пример. Дана арифметическая прогрессия .Известно, что . Найти .Положим n=22, воспользуемся формулой , получим пример Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии в виде Введем обозначения: ПолучимПодробнее Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия, у которой . Составим формулу n-го члена: Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N натуральных чисел.Угловой коэффициент этой линейной функции равен d – разности арифметической прогрессии. Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии Пусть -конечная арифметическая прогрессия - сумма первых n членов арифметической прогрессии -сумма членов прогрессии в порядке возрастания их номеров. -сумма членов прогрессии в порядке убывания их номеров. Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получимВ каждой из скобок записана сумма, равная сумме . Всего таких скобок n. Следовательно, запомни пример Формула суммы n членов арифметической прогрессии ? Пример. Дана конечная арифметическая прогрессияИзвестно, что Найти , т.е. . Решение. Имеем Значит, Интересно! С формулой связан один из эпизодов биографии К.Гаусса. Однажды на уроке учитель, чтобы занять первоклассников пока он будет заниматься с учениками третьего класса, велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. и таких чисел будет 50. осталось умножить 101*50. Это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. Характеристическое свойство арифметической прогрессии Теорема Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого(и последнего, в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. Доказательство Пусть дана арифметическая прогрессия Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом Известно, что Сложив эти равенства, получим :Это значит, что каждый член арифметической прогрессии(кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. пример ? Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого n>1 выполняется равенство то - арифметическая прогрессия. Перепишем последнее равенство в видеТ.е. разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это означает, что задана арифметическая прогрессия. Пример. При каком значении xчисла 3x+2, 5x-4, 1x+12 образуют конечную арифметическую прогрессию?Решение. Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношениюРешая это уравнение, находим:При этом значении x заданные выражения 3x+2, 5x-4, 11x+12 принимают, соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. это – арифметическая прогрессия, ее разность равна -17.Ответ: x=-5,5. Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессиейа) 2; 4; 8; 16 б) -7; -7; -7; -7 в) 1; 3; 9; 272. Какая из данных арифметических прогрессий является возрастающей?а) 15; 12; 9; 6 б) 3; 3; 3; 3 в) 5; 8; 11; 143. Найдите , если . а) 5 б) 13 в) -214. Найдите , если .а) 54 б) 27 в)95.Известно, что . Найдите n.а) 41 б) -23 в) 236. Известно, что . Найдите d.а) -3 б) 3 в) 2 Верно! Неверно… Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если .а) 294 б) 41 в) 572. Известно, что . Найдите d.а) 5 б) 3 в) 93. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой . а) 497 б) 511 в)1022 Калинина Светлана ВладимировнаУчитель математики МБОУ Нечунаевская СОШАлтайский край Шипуновский район Данное учебное пособие предназначено для учащихся 9 класса общеобразовательной школы.Основная цель учебного пособия состоит в формировании знаний и умений по теме «Арифметическая прогрессия».Пособие состоит из нескольких разделов, каждый из которых содержит теоретические сведения, примеры, задания для самоконтроля.После изучения данной темы учащиеся могут проверить свои знания и умения, выполнив тест, прилагаемый к данному учебному пособию. Верно! Неверно… Успехов !!!