Открытый урок по алгебре на тему Арифметическая прогрессия (9 класс)

Урок-практикум «Арифметическая прогрессия» 
(решение задач)
Тип урока: повторительно-обобщающий.
Цели:
(дидактическая) обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической прогрессии; совершенствовать навыки нахождения пчлена и суммы п первых членов арифметической прогрессии с помощью формул;Расширить представления учащихся о числовых последовательностях
формирование умений использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии при решении практических задач.
применять свои знания в практических ситуациях;
расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач.
(развивающая) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речьпознавательную активность учащихся, навыки взаимопроверки, самопроверки. Развивать навыки решения задач; Развивать умения выполнять индуктивные умозаключения, подмечать закономерности и выражать их на математическом языке. Научить переводить реальные задачи на математический язык.
(воспитательная) воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам, умение работать в группе, паре, выслушивать мнение других.
Оборудование: мультимедийный проектор; наглядные таблицы, плакаты; раздаточный дидактический материал; справочный материал.
План урока:
Орг.момент, приветствие, пожелания.
Оценочный лист
Кроссворд
Сообщение темы,
Исторический момент
Сообщение целей урока.
Актуализация опорных знаний и умений: фронтальная работа // индивидуальная.
Работа в парах. Проверка, оценивание.
Релаксация
Тренировочные упражнения-закрепления.// решение задач в быту и жизни//
Психологическая разгрузка.
Рефлексия
Выставление оценок, творческое домашнее задание.
Завершение урока //стихотворение, буклет для учащихся//
ХОД УРОКА.
1. Орг.момент, приветствие, пожелания.
Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами повторительно-обобщающий урок.
Эмоциональный настрой нашей совместной работы.
(На доске в столбик записаны слова: хочу, могу, умею, делаю) учитель, показывая на каждое из этих слов, даёт расшифровку.
ХОЧУ: я хочу пожелать вам, ребята, увеличить объём своих знаний в 1,5 раза; хочу пожелать вам «Ни пуха, ни пера!».
МОГУ: сообщаю, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.
УМЕЮ: мы умеем применять с вами рациональные способы для решения задач.
ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит ход решения», а вместе с вами сегодня мы движемся только вперед.
49364903225802. Итак, ребята, чем мы будем заниматься на сегодняшнем уроке. (Слайд № 1)
«А узнаем, разгадав кроссворд»
1. Число, с помощью которого можно получить следующий член прогрессии, зная предыдущий.
2. Последовательность считается заданной, если указан …
3. Одно из основных понятий математики, может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов.
4. Величайший немецкий король математики, который решил в десятилетнем возрасте очень быстро задачу о нахождении суммы первых ста натуральных чисел.
5. Способ задания последовательности с помощью формулы.
6.Последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Ключевое слово «Задача» Арифметическая прогрессия. (Учащиеся называют тему урока)
Как вы видите, все понятия взяты из темы «Арифметическая прогрессия», среди этих понятий прозвучала фамилия короля математики Гаусс Карл Фридрих.
Игровой момент. Давайте поприветствуем, /выходит ученик в костюме, рассказывает историческую справку о себе/.
3. Исторический момент (Слайд № 4).
На проекторе высвечивается фотография, где дети считают сумму ….(Карл Гаусс) // портрет//
Историческая справка о К.Гауссе (индивидуальное домашнее задание ученика).
Гаусс Карл Фридрих (30.04.1777 - 23.02.1855)
Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50×101=5050. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Ему принадлежат формулировка и доказательства множества свойств и теорем математики. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 года Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле. Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора…
Вопрос: Какую известную математическую фразу я сказал? («Математика-царица всех наук, а арифметика-царица математики»)
Открыли тетради и записали сегодняшнее число и тему урока.
4.Определение целей урока(Слайд № 5)
Итак, мы с вами отгадали кроссворд, познакомились с Карлом Фридрихом Гауссом. Давайте, совместно определим цели нашей работы на уроке. Для этого я вам предлагаю прочитать некоторые мысли, выбрать наиболее подходящие для нашей работы и дополнить их:
139700-704215Умение применять формулы…
-95885-5885815Умение грамотно говорить …
Умение обобщать, систематизировать…
Умение логически мыслить…
Умение пересказывать…
Умение молчать…
Я, думаю, что вы не раз использовали в своей речи пословицу «Сделал дело, гуляй смело!», теперь сформулируйте её для нашего урока алгебры, оставив без изменения её смысл (решил задачу, молодец).
А теперь посмотрите друг на друга и скажите, какие между вами могут сложиться отношения на уроке, и в целом?
Итак, ребята, молодцы! Если всё, сказанное вами, обобщить, то мы получим цели урока… (Слайд № 6)
Оценочный лист. А теперь обратите внимание у вас на столах лежат оценочные листы. Отметьте пожалуйста в первой графе на сколько вы оцениваете свои знания в области Арифметическая прогрессия на данном этапе нашего с вами урока. Отложите их, мы к ним ещё вернемся в конце урока и сравним полученный результат.
5. Индивидуальная работа.( актуализация опорных знаний)
К доске я приглашаю 4 ребят, которые желают поработать индивидуально. Посмотрите внимательно, вам предложены задания уровней А, В, С.
(ап)- арифметическая прогрессия.
А А В С
Дано: а10=126,d=4.Найти: а1.  Дано:а25=84, а1=12.Найти: d. Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут? Является ли число 156 членом арифметической прогрессии (ап), в которой а1=24, а22=60.
Фронтальная работа. Ну, а нам с вами ребята, необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме:
Дайте определение арифметической прогрессии (слайд №7)
(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число)
Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией? (слайд 7)
(Каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего на одно и тоже число.)
2.Проверьте: является ли последовательность арифметической прогрессией: (слайд №8)
-2; -4; -6; -8; -10;…
-13; -3; 13; 23;…
(Первая последовательность является арифметической, а вторая – нет).
- Назовите первый член этой прогрессии?(а1=-2)
- Чему равна разность этой прогрессии? (d=-2)
- Назовите шестой член этой прогрессии?(а6=-12)
3. Укажите формулу n-го члена арифметической прогрессии (слайд №9)
А. аn=а1+(n+1), Б. аn=2а1+(n+1)d, В. аn=2а1+(n-1)d, Г. аn=а1+(n-1)d
(Вариант Г)
4. Укажите формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии: (слайд 10)
А. , Б. , В. , Г.
(Варианты А, В)
Коллективная работа: проверка и оценивание учащихся, работающих у доски по решению задач. Комментирование учащихся. Заметили ли вы, что решая задачи вы полагались на те знания, которые были получены вами ранее (а именно: оформление, перевод условия задачи на математический язык, алгоритм решения уравнений, использование формул арифметической прогрессии)
5. Для того чтобы вы окончательно убедились в своих твёрдых знаниях теоретического материала и формул, поработаем в парах.
274002572390Вам предлагается карточка, в которой вы вместе с соседом по парте должны «найти пару», соединив их стрелкой.
Проверка (Слайд №16)(Взаимопроверка после выполнения путём сравнения с правильными ответами на слайде)
Итак, работы все оценены, передайте их с последней парты на первую.
Я еще раз проверю и выставлю оценки.
6. Назад в историю ( слайд №17-21)
Краткая историческая справка о истории развития учения о прогрессиях, иллюстрируются (сообщение учащегося)
Мы не стоим на одном местеи вся наша жизнь стремительно движется вперед. Давайте вспомним, что означает слово прогрессия?
«Прогрессия" – латинское слово (означает "движение вперед"), оно было введено римским автором Боэцием в 6 веке.
Оказывается, что задачи на арифметические прогрессии возникали в связи с запросами хозяйственной жизни общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. Ещё во втором тысячелетии до н.э. в египетских папирусах и вавилонских клинописных табличках встречаются примеры прогрессий. В папирусе Ахмеса содержится такая задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность между каждым человеком и его соседом равна 1/8 меры». Теоретические сведения, связанные с прогрессиями, встречаются впервые в дошедших до нас документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Несмотря на древность первой задачи на прогрессии, в нашем школьном обиходе они появились сравнительно недавно, но имеют большое практическое значение.
7. Релаксация.
Зная эти формулы, можно решить много интересных практических задач.
8. Тренировочные упражнения.Решение задач в жизни и быту. ( закрепление)(слайд №22)
№1. Предлагаю решить задачу из учебника №614 стр.152(на доске и в тетрадях)
При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.
Самостоятельно запишите условие задачи, 1 учащийся работает у доски и комментирует решение.
Прочитайте вопрос задачи. Как можно переформулировать вопрос задачи, чтобы можно было бы воспользоваться формулами, которые повторили?
Решение.а1 = 5, d = 10. n=5
а5=а1+4d; а5=45.
S5=(a1+a5)·n:2; S5=(5+45)·5:2=125;
глубина шахты 125м.
Ответ: 125м.
Подведем итог решения задачи.
Итак, на примере этой задачи мы видим, что есть задачи из жизни, которые можно решить с помощью арифметической прогрессии.

А теперь следующая задача. Прочитай те ее (слайд 23).
№2 Задача1. За первый день было вспахано 100 га пашни, а в каждый последующий день - на 3 га больше, чем в предыдущий. Найти, сколько гектаров пашни было вспахано за 19 дней.
2961005138430Какой формулой можно воспользоваться?
102743034290
Можно ли решить задачу другим способом?
(предположительный ответ да, используя формулуsn=a1+an2n). Каким способом решение будет рациональнее, почему?
№3 Задача2. Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для седьмого ряда?
Сколько плиток понадобиться для семирядов?
Решение проверяется по слайду №24
№4. Задача3. В январе в городе произошло 20 автомобильных аварий. Благодаря мерам, предпринимаемым дорожными службами, в каждый следующий месяц число аварий становилось на 4 меньше. Сколько предположительно за год будет ДТП? (слайд №25)
РешениеПопробуем решить ее с помощью формул арифметической прогрессии. Подумайте немного, как записать дано.
А к доске идет…..
Какой вариант дано ты можешь предложить?
Запиши.
Если возникло затруднение, задаю дополнительные вопросы:
Прочитай внимательно задачу. Можешь ли определить 1 член прогрессии? Чему равна разность? (В случае, затруднения: Как ты думаешь чему равен 2 член? Найди разность?)Внимательно посмотри на вопрос задачи. Что нужно найти?
(Сколько всего аварий произойдет за год)
А за сколько месяцев?
(За 12 месяцев)
Если нужно найти сколько аварий произошло за 12 месяцев, то что
надо вычислить?
(Сумму)
Как можно переформулировать вопрос задачи.
(Найти сумму 12-ти первых членов арифметической прогрессии)
Какую из двух формул лучше использовать?

(Лучше использовать )Запиши формулу и решай.
Сколько же аварий произойдет за год?
(За год произойдет 504 аварий).
Итак, еще одна жизненная задача. А что мы должны делать, чтобы уменьшалось количество ДТП?
(после нескольких ответов сделать вывод: соблюдать правила дорожного движения).
№3.Задача4. Туристы запланировали пройти по реке 140 км. Сколько дней туристы будут в походе, если в первый день прошли 5 км, а в каждый последующий день  они будут проходить расстояние на 2 км больше, чем в предыдущий. (слайд № 26-27)
Так как туристы каждый последующий день проходили на 2 км.больше, то расстояние увеличивалось в арифметической прогрессии
α1=5 , Sn=140, d=2 ,n-?
Sn=α1+αn2nαn=α1+(n-1)dSn=2α1+n-1d2nn2+4n-140=0n1= 10, n2=-14 (не удовлетворяет условию задачи.)
Ответ:10дней.
9. Психологическая разгрузка. (Слайд №28)
У Вас на столах лежат листы, на которых написаны цифры от 1 до 9. Теперь раскрасьте один ряд двумя разными цветами в любом порядке. Как я это сделала, показано на слайде.
А пока Вы раскрашиваете, я расскажу про замечательного математика по фамилии Рамсей. Он жил в начале ХХ века. Им была создана теория, доказывающая, что в мире нет абсолютного хаоса. Что даже, казалось бы, самая неупорядоченная система имеет определенные математические закономерности. Вспомните, когда Вы смотрите на звезды, то может показаться, что расположены они в самом случайном порядке. Но еще в древности люди увидели там созвездия Рыб и Касеопеи, Льва и Ориона.
И вот на ваших карточках казалось бы цифры раскрашены в случайном порядке. Но Рамсей доказал, что это не так, доказав следующий факт:
Обратите внимание, что хотя бы три каких – либо числа одного цвета обязательно составляют арифметическую прогрессии. Запишите эти числа.
10. Рефлексия результативности (слайд №30)
И вспомним начало нашего урока, ребята. Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей? Удалось ли за сегодняшний урок сделать чудные открытия?
А какие открытия Вы для себя сделали?
(Предполагаемые ответы: Мы узнали что такое арифметическая прогрессия изучалась с древних, как находится ее n-ный член, и историю появления прогрессий и т.п.)
А какие цели урока мы ставили перед собой?
Вывод: Итак, сегодня мы в нестандартных заданиях обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении прогрессии, поработали с формулами, вспомнили, как решаются уравнения, встретились с занимательной математикой, услышали исторические факты, решили задачи. (Итоги подводят ученики)
Ребята давайте снова вернёмся к оценочным листам, которые заполняли в начале урока. Оцените себя. Посмотрите и сравните, изменился ли ваш результат. Возьмите карточку с изображением горы.
Если вы считаете, что хорошо усвоили на уроке, разобрались в понятии арифметической прогрессии, то нарисуйте себя на вершине горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже, а слева или справа решите сами. Кто изобразил себя на вершине , тот поставит себе оценку пять за урок, если ниже, то поставьте четыре.
Передайте мне свои рисунки.
Как видите «Арифметическая прогрессия встречается не только при изучении математики, но и в нашей жизни, в этом мы свами убедились, решая сегодня задачи. Одни из них были простые, другие для кого-то показались сложными, так и в жизни»
С такими задачами, ребята, вам придется сталкиваться не только в жизни, но и на экзамене и в 9 классе, и в 11 классе на ЕГЭ (часть В). Чтобы набрать большее количество баллов нужно уметь их решать.
«Помните, что решая маленькие задачи, вы готовитесь к решению больших и трудных».
“Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь, подражая избранным образцам и постоянно тренируясь”,– говорил Д.Пойа.
11. Творческое Домашнее задание: Составить условие задачи по теме «Арифметическая прогрессия в жизни и быту» (на отдельном листочке, на буклете) и решить её.(слайд №29)
12. Стихотворение и раздаются буклеты по теме «Арифметическая прогрессия».
Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!
Спасибо за урок, ребята. Мне кажется, что Вы сегодня хорошо потрудились.
Оценочный лист ученика(цы) 9 класса _____________________________________
оценка
в начале
урока оценка
в конце урока
Знание и применение определения арифметической прогрессии Знание и применение формулы n-го члена арифметической прогрессии Знание и применение формулы суммы n-членов
арифметической прогрессии
«+» - «усвоил»
«±» - « скорее усвоил, чем не усвоил »
« ∓» - «скорее не усвоил, чем усвоил »
1637665181610