трудные вопросы при подготовке к ЕГЭ

Задачи типа В 8на ЕГЭпо математикеФилиппова Оксана Николаевна,Моу Лицей, учитель математики «Бугорки и впадины» Вычисление точек максимума и минимума Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Отмечаем на координатной оси нули производной — и все.2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x0 известно, что f’(x0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x0) ≥ 0 или f’(x0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке. Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:Ответ: −3 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке. Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:Ответ: 5 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3]. Строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него, точки x = −3,5 и x = 2. На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Ответ: 1 2)На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-5;5).Найдите количество точек экстремума функцииf(x) на отрезке [-4;4]. Ответ: 3 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-9;8).Найдите точку экстремума функции f(x) на ин-тервале (-3;3). Ответ: -2 Нахождение интервалов возрастания и убывания функции Алгоритм:1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, оставляем только их.2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает.( Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.)3. Вычислить требуемую в задаче величину. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки. 1. Перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. 2. Отметим знаки производной. 3. Так как на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. 4. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.Ответ: 14 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 1. Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2.2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2).3. Вычислим их длины:l1 = − 6 − (−8) = 2;l2 = 2 − (−3) = 5.Ответ: 5 На рисунке изображен график производной функцииf(x), определенной на интервале (-8;3). Найдите проме-жутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Ответ: -19 На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4. Ответ: 4. На рисунке изображен график функцииy=f(x),определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которыхпроизводная функции f(x) положительна. Ответ: 1 На рисунке изображён график дифференцируемой функции . На оси абсцисс отмечены девять точек: . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек. Ответ: 3 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале(-11;3).Найдите промежутки возрастания функции f(x).В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ: 4 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале(-6;12).Найдите промежутки возрастания функции f(x).В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ: 3 На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Ответ: 9 На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-5;5).Определите количество целых точек, в которыхпроизводная функции f(x) отрицательна. Ответ: 8 Нахождение наибольшего, наименьшего значения функции На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-5;5).В какой точке отрезка [-4;-1] f(x) принимаетнаибольшее значение. Ответ: -1 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [0;6] f(x) принимаетнаибольшее значение.Ответ: 6 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-9;8).В какой точке отрезка [-8;-4] f(x) принимаетнаименьшее значение. Ответ: -4 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-6;6).В какой точке отрезка [-4;0] f(x) принимаетнаименьшее значение. Ответ: 0 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-9;8).В какой точке отрезка [-7;-3] f(x) принимаетнаибольшее значение. Ответ: -7 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-9;8).В какой точке отрезка [1;7] f(x) принимает наименьшее значение. Ответ: 1 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-6;6).В какой точке отрезка [-3;3] f(x) принимает наименьшее значение. Ответ: 2 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-6;6).В какой точке отрезка [3;5] f(x) принимает наибольшее значение.Ответ: 5 Задачи с уравнением касательной Алгоритм: Метод двух точекЕсли в задаче дан график функции f(x). 1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x2 − x1 и приращение функции Δy = y2 − y1.3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. И это будет ответ.Точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x). Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:Δx = x2 − x1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y2 − y1 = 6 − 2 = 4.Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.Ответ: 2 На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:Δx = x2 − x1 =3 − 0 = 3; Δy = y2 − y1 = 0 − 3 = −3.Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.Ответ: −1 На рисунке изображён график функцииy=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xо. Найдите значение производной функции f(x)в точке xо. Ответ: 0.75 На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xo.Найдите значение производной функции f(x)в точке xo.. Ответ: -0.25 На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке сабсциссой xo. Найдите значение производной функции f(x) в точке xo. Ответ: 0.5 На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения: Δx = x2 − x1 = 5 − 0 = 5; Δy = y2 − y1 = 2 − 2 = 0.Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.Ответ: 0 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-6;6).Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямойy=-2x+4 или совпадает с ней. Ответ: 4 На рисунке изображен график функцииy=f(x),определенной на интервале (-11;2).Найдите количество точек, в которых касательная кграфику функции параллельна прямой y=-6. Ответ: 7 (бугорки и впадины) На рисунке изображен график функцииy=f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-5. Ответ: 4 На рисунке изображен график функцииy=f(x),определенной на интервале (-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=10. Ответ: 6 На рисунке изображен график функцииy=f(x),определенной на интервале (-5;5).Найдите количество точек, в которых касательная кграфику функции параллельна прямой y=6. Ответ: 4 На рисунке изображен график производнойфункции f(x),определенной на интервале (-6;6).Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямойy=-3x-11 или совпадает с ней. Ответ: 4 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней. Прямая y=8x-5 параллельнакасательной к графику функцииy=x²+7x+7.Найдите абсциссу точки касания. Ответ: 0.5 Прямая y=8x-9 является касательной к графику функции y=x³+x²+8x-9.Найдите абсциссу точки касания. Ответ: 0 Так как касательная параллельна прямой y =−2x−11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с пря­мой y= −2. На данном интервале таких точек 5. Ответ: 5. Прямая y=4x+8 параллельнакасательной к графику функцииy=x²-5x+7. Найдите абсциссу точки касания. Ответ: 4.5 Задачи с первообразной На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4]. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция    — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры. И.В. Фельдман, репетитор по математике.Видеолекция 11. «Производная. Касательная. Применение производной к исследованию функции. Задание В8″Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание В8Производная. Физический смысл производной. Задание В8Абсцисса точки касания. Задание В8Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание В8 http://uztest.ruhttp://www.egehelp.ru http://www.mathege.ru http://www.matematika http://webmath.exponenta http://www.math.com.ua/mathdir http://www.ctege.org www.fipi.ru www.mioo.ru