Урок по математике на тему Квадратное неравенство
Квадратное неравенство. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции
Дата: ___________
Цели урока:
Коррекция и контроль знаний по теме «Квадратные неравенства».
Задачи урока:
Образовательные:
проконтролировать уровень усвоения способов решения квадратных неравенств.
Развивающие:
проверить уровень самостоятельности мышления по применению алгоритмов.
Воспитательные:
содействовать воспитанию у учащихся: трудолюбия и усидчивости; сознательной дисциплины на уроке.
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Новый материал.
Квадратными называются неравенства вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Причем важно, что старший коэффициент не может быть равен нулю: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Решить неравенство: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Умножаем обе части неравенства на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], чтобы старший коэффициент стал числом положительным. Получаем: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Так, мы видим, что любое квадратное неравенство можно преобразовать таким образом, чтобы старший коэффициент был положительным, поэтому будем рассматривать квадратные неравенства для случая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Итак, решим заданное неравенство для положительного старшего коэффициента: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рассмотрим функцию: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], применяем теорему Виета,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Раскладываем на линейные множители: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Построим график функции (Рис. 1):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 1. График квадратичной функции
I способ решения неравенства
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Произведение двух скобок – число отрицательное.
Произведение двух чисел отрицательное тогда, когда они разных знаков.
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тогда[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Исходное неравенство распалось на совокупность двух линейных систем.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Проиллюстрируем решение первой системы неравенств (рис. 2):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 2. Решение системы линейных неравенств
Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Нас интересуют те значения, которые удовлетворят одновременно и первому неравенству, и второму. Очевидно, что это множество значений находится там, где присутствуют оба цвета. Так, решение первой системы: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Проиллюстрируем решение второй системы (Рис. 3):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 3. Решение системы линейных неравенств
Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Аналогично первой системе, ищем решение второй системы там, где присутствуют оба цвета. Очевидно, что вторая система решений не имеет.
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
II способ решения неравенства. По графику функции получаем ответ. Очевидно, что вне корней функция положительна (график расположен над осью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]), а внутри интервала корней функция отрицательна (график расположен под осью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]). Так, заданное неравенство выполняется для всех [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], лежащих в интервале между корнями квадратного трехчлена: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Но корни квадратного трехчлена существуют не всегда, мы знаем, что два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант его положителен.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Решить неравенства: 1) 13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Построим график функции (Рис. 4):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 4. График квадратичной функции
Везде функция положительна, и только в одной точке она равна нулю (рис. 4).
1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] нет решений[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рассмотрим функцию: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Дискриминант этой функции равен нулю, значит, трехчлен раскладывается в полный квадрат.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Построим график функции (Рис. 5)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 5. График квадратичной функции
Функция везде положительная и только в одной точке при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], она равна нулю.
Решить неравенства:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Решением являются все значения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], кроме [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Решение неравенства: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Нет решений. Квадрат числа не может быть отрицательным числом.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Решение неравенства [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Рассмотрим функцию: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Дискриминант этой функции больше нуля.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Корнями здесь являются: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
График этой функции – парабола (Рис. 6). Вне интервала корней парабола находится над осью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а значит, функция положительна. Внутри интервала корней парабола расположена под осью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Значит, функция при всех этих [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] отрицательна. В точках [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] функция равна нулю.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 6. График квадратичной функции
Рассмотрим все возможные неравенства, которые нам может предложить эта функция:
1.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; искомые значения находятся вне интервала корней, причем границы входят в ответ, т. к. допускается равенство нулю квадратного трехчлена. Решение неравенства: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; искомые значения находятся внутри интервала корней, причем границы не входят в ответ. Решение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Рассмотрим функцию: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Дискриминант этой функции меньше нуля. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Функция не имеет корней
График функции:
График этой функции – парабола, ветви ее направлены вверх, она не соприкасается с осью Х, т. е. на всей оси, при всех значениях х функция – величина положительная (Рис. 7).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 7. График квадратичной функции
Выделим полный квадрат: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если квадрат числа – величина неотрицательная, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при всех значениях [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рассмотрим все возможные неравенства, функции, где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Нет решений.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Рассмотрим решение неравенства, которое сводится к квадратному.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найти множество значений, при которых эта функция имеет смысл.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение неравенства:
Рассмотрим функцию: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Корни равны [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Изучим её свойства. Для этого схематически построим её график (Рис. 8).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 8. График квадратичной функции
Функция положительна вне интервала корней и отрицательна внутри интервала корней.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Подведение итога урока
На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнали, что решение квадратных неравенств полностью базируется на решении квадратичных функций.
3.Закрепление. Решить на доске № _________________________________.
4. Итоги урока.
5. Домашнее задание. §____, № ___________.
Рис. 1. График квадратичной функцииРис. 3. Решение системы линейных неравенствРис. 4. График квадратичной функцииРис. 6. График квадратичной функцииРис. 8. График квадратичной функции Заголовок 215