Урок по алгебре на тему: Решение задач с помощью составления уравнений.

Урок в 9 классе.
Тема: Решение задач на составление уравнений.
Цели:
Обобщить и систематизировать знания и навыки решения текстовых задач с помощью уравнений (квадратных и дробно-рациональных);
Развивать у учащихся внимание при чтении условия задачи и выборе способа решения уравнения;
Воспитание ответственности и коллективизма у учащихся.
Оборудование: мультимедийный проектор, экран, карточки с заданиями.
План урока.
Организационный момент.
Проверка домашней задачи.
Актуализация опорных знаний.
Работа по повторению материала.
Закрепление пройденного материала.
Физкультминутка.
Решение задач с помощью рациональных уравнений.
Поведение итогов.
Задание домой.
Ход урока.
Организационный момент.
Цель: настроить учащихся на урок.
2. Проверка домашней работы.
Цель: коррекция ошибок.
Деятельность учителя Деятельность учеников
На экране высвечиваются ответы к номерам из домашней работы. Учитель контролирует процесс, отвечает на вопросы по домашнему заданию. Ученики самостоятельно проверяют, отмечая в тетрадях верные/неверные ответы, задают вопросы учителю. По окончанию проверки домашнего задания ученики самостоятельно выставляют оценки в тетрадях.
3. Актуализация опорных знаний.
Цель: повторить основные понятия, формулы.
Деятельность учителя Деятельность учеников
На предыдущих уроках мы повторяли как решаются квадратные уравнений.
Фронтальный опрос. Вопросы учащимся:
- Какое уравнение называется квадратным?
- Какие виды квадратных уравнений вы знаете? Чем они отличаются?
- Что такое корень уравнения?
- От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Отвечают на поставленные вопросы:
Квадратное уравнение – уравнение вида
ах2+вх+с=0, где а, в, с – числа, причем а ≠0.
Полные, приведенные (старший коэффициент а=1), неполные (если хотя бы один из коэффициентов (в,с) равен 0).
Корень уравнения – значение переменной, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль.
Количество корней уравнения зависит от его дискриминанта.
Каждому ученику перед началом урока на парту был выдан тест, дифференцируемый по уровню сложности.
Учащиеся приступают к выполнению теста:
А1. Определите количество корней квадратного уравнения:
Вариант 1 Х2-4х+3=0 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3
Вариант2 Х2-2х-2=0 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3
Вариант3 36Х2-12х+1=0 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3
А2. Решите уравнение:
Вариант 1 Х2+5х=0 1) 0;5 2) 1;5 3) 0;-5 4) 1;-5
Вариант2 Х2-49=0 1) 0;49 2)-49;49 3) -7;7 4)нет корней
Вариант3 -2Х2+14х=0 1)7;0 2)-7;0 3)1;7 4)-1;7
А3.Найдите наибольший корень уравнения:
Вариант 1 2Х2-7х+5=0 1) 1 2) 2,5 3) 3 4) 3,5
Вариант2 3Х2-2х-1=0 1) 1 2)-1/3 3) -1 4) 3
Вариант3 8Х2-14х+6=0 1)1 2)-3/4 3)3/4 4) 3
Проверка происходит с помощью экрана , ученики обмениваются тетрадями с соседом по парте.
4. Работа по повторению материала.
Цель: показать расширение аппарата уравнений для решения текстовых задач.
Деятельность учителя Деятельность учеников
С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике.
При решении задач с помощью линейных уравнений или систем (рассмотренных ранее) могло быть два случая: одно решение или ни одного, тогда как при решении задач с помощью квадратных уравнений возможны три случая: задача имеет два решения, одно решение и не иметь ни одного решения.
На экран выводится пример первой задачи с решением. Происходит коллективная работа класса под руководством учителя:
обсуждение алгоритма решения задачи, что известно, что обозначим за «х», повторение теоремы Пифагора, анализ составленного уравнения, обсуждение полученных результатов. Повторяют тапы решения задач на составления уравнений.
Обсуждают решение предложенной задачи, отвечают на поставленные учителем вопросы. На экране:
Задача 1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.
Решение: Пусть меньший катет равен х см, тогда больший катет равен (х+4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е.
х2+(х+4)2=202.
Упростим это уравнение:
х2+х2+8х+16=400,
2х2+8х-384=0,
х2+4х-192=0.
Решив полученное квадратное уравнение, найдем, что
х1=-16, х2 = 12.
По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т.е. число 12 – меньший катет. Тогда больший катет будет 16 см.
Ответ: 12 см, 16 см.
Задача 2 (связана с физикой). Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60м?
Решение: из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t(с), может быть найдена по формуле
h=V0t-gt2/2, где V0(м/с) – начальная скорость, g – ускорение свободного падения, приближенно равно 10 м/с2. Подставив значения h и V0 в формулу, получим
60=40t-5t2.
Отсюда 5t2-40t+60=0,
t2-8t+12=0. Решив полученное уравнение, найдем, что t1 = 2 , t2 = 6.
На экране дан график зависимости h от t, где h= 40t-5t2. Из графика видно, что тело, брошенное вертикально вверх, в течение первых 4 с поднимается вверх до высоты 80м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после броска. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня. Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.
5. Закрепление пройденного материала.
Цель: совершенствовать навыки составления и решения уравнений по условию задачи.
№ 1. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.
Деятельность учителя Деятельность учеников
Какие числа называются натуральными? Какое самое маленькое натуральное число?
Известно ли нам хотя бы одно из чисел?
Что мы обозначаем за «х»? «Сильный» ученик решает у доски с подробным объяснением, остальные - в тетрадях.
Натуральные – числа, которые используются для счета предметов.
Самое маленькое натуральное число - 1.
Нет.
- Наименьшее.
Решение:
Пусть 1 натуральное число – х, тогда 2 натуральное число – (х+6). Произведение этих чисел равно 187. Составим и решим уравнение:
х (х+6) = 187
х2 + 6х -187=0
D =36-4×1×(-187)=784 › 0 → уравнение имеет 2 действительных различных корня
х1=-17 – не удовлетворяет условию задачи,
х2=11 – 1 число, тогда 2 число : 17.
Ответ: 11; 17.
№ 2. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см2.
Деятельность учителя Деятельность учеников
Контролирует процесс решения задачи, отвечает на вопросы. «Сильный» ученик решает у доски с подробным объяснением, остальные - в тетрадях.
Решение: Пусть ширина прямоугольника – х см, тогда длина (х+4) см. По условию задачи площадь прямоугольника равна 60 см2. Составим и решим уравнение:
Х (х+4) = 60
х2+4х-60=0
D1= 22-1×(-60) = 4+60= 64.
Х1= -10 – не удовлетворяет условию задачи,
х2=6 – ширина прямоугольника, тогда длина 10 см.
Периметр Р=2(а+в) , Р= 2( 6+10)= 32 (см).
Ответ: 32 см.
№ 3. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места?
Деятельность учителя Деятельность учеников
Контролирует процесс решения задач, отвечает на вопросы. Работа в парах: «сильный» ученик помогает «слабому» с последующей проверкой – отвечает «слабый» ученик.
Решение:
Пусть в кинотеатре х рядов, тогда (х+8) мест. Всего в нем имеется 884 места.
Составим и решим уравнение:
х ( х+8)= 884
D1= 900
Х1= -34 – не удовлетворяет смыслу задачи
х2=26 .Ответ: 26 рядов.
6. Физкультминутка.
Деятельность учителя Деятельность учеников
Сидим, расслабили ручки и ножки.
Закроем глаза, откроем глаза- повторить по 3 раза.
Закроем глаза и нарисуем сначала в одну сторону, а потом в другую вертикальную линию, горизонтальную линию, окружность, прямоугольник, треугольник.
Широко откроем глаза и постараемся не моргать 5 секунд, а теперь быстро поморгаем 5 секунд.
Посмотрите направо, затем налево, вверх, вниз, а теперь – в окно. Погода на улице замечательная, светит солнце. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь друг другу и мне. А теперь вздохнули глубоко, набрались сил, выдохнули, встрепенулись. Ой, какие молодцы! Еще немного поработаем и будем подводить итоги.
Выполняют указания учителя.
7. Решение задач с помощью рациональных уравнений.
- Повторение дробно-рациональных уравнений.(по слайдам)
- Задача № 4. Поезд опаздывал на 1 час, и чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.
Первый этап. Составление математической модели.
Занесём данные задачи в таблицу:
S V t
По расписанию 720 км Х км/ч 720/х ч
Фактически 720 км Х+10 км/ч 720/(х+10) чТак как время движения по расписанию на 1 час больше фактического, то составим уравнение:
720x-720x+10=1Второй этап. Работа с математической моделью.
Решим уравнение:
720x-720x+10=1720x+10-720x=xx+1x2+x-7200=0x1=-90,  x2=80При данных значениях x знаменатели дробей не равны нулю, значит эти значения - корни составленного уравнения.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Так как скорость поезда не может выражаться отрицательным числом, то значение x=-90 не подходит условию задачи.
x=80 – скорость поезда по расписанию.
Ответ: 80 км/ч.
8. Подведение итогов.
Деятельность учителя Деятельность учеников
Пришло время подвести итоги урока.
Самоанализ учащихся по вопросам: Какая цель была у нас на уроке? Хорошо ли мы повторили и закрепили материал? Как вы думаете, пригодятся ли вам знания, которые мы сегодня получили?
Появилось ли у вас желание больше узнать о задачах?
С каким настроение вы находились на уроке?
Отметки получают те ученики, кто отвечал у доски и активно работал с места. Учитель отвечает на вопросы, комментирует оценки за урок.
Спасибо за активную работу! Повторили как решать задачи с помощью уравнений.
Да
Да
Да
С хорошим.
9. Задание на дом.
№ 940, № 942.