Решение неравенств и уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

МБОУ «СОШ №6»Подготовила: учитель математики Шатлова Л.Н.Решение неравенств и уравнений,содержащих переменную под знаком модуля. При решении уравнений и неравенств вида:IX – CI = M, IX – CI < M,IX – CI > M. используем понятие «расстояние между двумя точками координатной прямой». Повторим прием решения уравнений с модулем с использованием расстояния между двумя точками координатной прямой. Пример 1.Решим неравенство: I X – 3 I < 2 Решение: 1 3 5 x Отметим на координатнойПрямой точку с координатой 3,Слева от нее точку с координатой 1 (3 -2 =1) и справа от неё точку с координатой 5 (3+2=5). Все точки, заключенные между точками 1 и 5, и только эти точки, удалены от точки с координатой 3 на расстояние не больше чем 2 единицы. Значит искомое множество есть числовой промежуток (1;5) . А теперь рассмотрим приём решения уравнений с модулем без использования геометрических представлений.Но сначала вспомним определение модуля!!! X, если X > 0 IX I = -X , если X < 0 Пример №2Решим уравнение IХ – 5I =3.Так как модуль х-5 равен 3, то по определению модуля числа значение выражения под знаком модуля равно либо 3, либо -3.Имеем совокупность двух уравнений Х-5=3 или х-5=-3 Х1=8 Х2=2 Вообще уравнение If (x)I =b, где b – положительное число, равносильно совокупности двух уравнений: f(x)=b или f(x)=-bРассмотрим решение уравнения вида If(x)I = g(x).Если Х0 – корень этого уравнения, то f(Х0) =g(X0) – верное равенство, при этом g(X0)> 0, так как модуль числа всегда неотрицательное число. Отсюда следует, что f(Х0)= g(X) или f(Х0)= -g(X0) . Значит уравнение If(x)I = g(X0) равносильно совокупности двух систем: f(x)=g(x) g(x) > 0 f(x)=-g(x) g(x)> 0 Пример№3.Решим уравнение: Iх2+3х-10I =3х-1Это уравнение равносильно совокупности двух систем: х2+3х-10=3х-1, х2-9=0 3х-1> 0; х > 1/3 х2+3х-10=1-3х, или х2+6х-11=0 3х-1> 0. х > 1/3Из корней х1=-3 и х2=3 уравнения х2-9=0 удовлетворяет первой системе лишь х2=3. Из корней х3=-3-2√5 и х 4=-3+2√5 уравнения х2+6х-11=0 второй системе удовлетворяет лишь х 4=-3+2√5, так как -3+2√5 =-3+2*2,2=1,4, 1,4>1/3, а х3< 1/3. Ответ:3; -3+2√5 . Пример №4Решим уравнение: Iх2 -5х+7I = I2х-5I .Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: х2-5х+7=2х-5 х2-5х+7=5-2хРешим первое уравнение:Х2-7х+12=0, х1=3, х2=4.Решим второе уравнение:Х2-3х+2=0, х1 =1, х2=2.Ответ: 1;2;3;4.