Справочный материал на тему РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Модуль (абсолютная величина) числа, уравнение, неравенство, числовой промежуток
Вам известно, что модуль или абсолютная величина числа, а обозначается символом:13 EMBED Equation.3 1415
Также вы знаете, что 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично определяется модуль функции, а именно:
13 EMBED Equation.3 1415
Например: 13 EMBED Equation.3 1415
При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используем следующий алгоритм:
выражение, содержащееся под знаком модуля, приравниваем к нулю и решаем уравнение
используя найденные корни, разбиваем числовую ось на промежутки
исходное уравнение решаем для каждого промежутка по отдельности, причём знак абсолютной величины опускаем на основе определения модуля
проверяем принадлежность решения рассматриваемому промежутку
найденные решения уравнений будут корнями исходного уравнения
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Решим уравнение:13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Сначала решим уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, затем отметим на числовой оси полученные корни: 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда имеем четыре числовых промежутка: 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решим данное уравнение (1) на каждом из этих промежутков.
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415по определению абсолютной величины: 13 EMBED Equation.3 1415Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению: 13 EMBED Equation.3 1415, имеющему единственный корень:13 EMBED Equation.3 1415. Этот корень не принадлежит промежутку 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415по определению абсолютной величины: 13 EMBED Equation.3 1415Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, имеющему единственный корень: 13 EMBED Equation.3 1415. Этот корень не принадлежит промежутку13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке корней не имеет.
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415по определению абсолютной величины13 EMBED Equation.3 1415Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, имеющему единственный корень: 13 EMBED Equation.3 1415. Этот корень принадлежит промежутку 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень, равный единице.
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 по определению абсолютной величины: 13 EMBED Equation.3 1415Следовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению: 13 EMBED Equation.3 1415, имеющему единственный корень: 13 EMBED Equation.3 1415. Этот корень не принадлежит промежутку 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Решим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Сначала приравниваем нулю выражение, которое под знаком модуля: 13 EMBED Equation.3 1415. Это уравнение при13 EMBED Equation.3 1415имеет корень13 EMBED Equation.3 1415. Этот корень будет точкой разбиения числовой оси. Ещё одной точкой разбиения является точка 13 EMBED Equation.3 1415, в которой теряется смысл выражения под знаком модуля.
Этими двумя точками, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, числовая ось разбивается на следующие три промежутка: 13 EMBED Equation.3 1415
Решим исходное уравнение на каждом из этих промежутков:
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415по определению абсолютной величины: 13 EMBED Equation.3 1415Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, которое не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение на это промежутке не имеет корней.
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415по определению абсолютной величины: 13 EMBED Equation.3 1415Получим уравнение13 EMBED Equation.3 1415, которое имеет единственный корень: х = 0.
На промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 по определению абсолютной величины: 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, исходное уравнение, как и в первом случае, не имеет корней на этом промежутке.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Пример 3. Решим неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Решаем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415. Получим 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Этими двумя точками числовая ось разбивается на три промежутка
- 2 3 х
Рассмотрим данное неравенство на каждом из полученных промежутков:
при13 EMBED Equation.3 1415неравенство принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. решениями данного неравенства являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: 13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда, 13 EMBED Equation.3 1415
- 2 13 EMBED Equation.3 1415х
2) при13 EMBED Equation.3 1415исходное неравенство принимает вид: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, решениями исходного неравенства являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: 13 EMBED Equation.3 1415 , а именно 13 EMBED Equation.3 1415
при13 EMBED Equation.3 1415исходно неравенство принимает вид: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, другими словами, решениями являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, в итоге решением данного неравенства будут значения х, удовлетворяющие неравенствам: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. промежутки 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 1
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Тема: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Уравнение, корень уравнения, посторонний корень, равносильные уравнения, неравенство, решение неравенства, равносильные, неравенства, область допустимых значений переменной.
Если в уравнении (неравенств) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то эти коэффициенты называются параметрами, а уравнение (неравенство) – уравнением с параметрами (неравенством с параметрами).
При решении уравнения или неравенства с параметрами необходимо:
определить, при каких значениях параметров существуют решения;
найти множество решений, соответствующее каждой допустимой системе значений параметров.
Основной принцип решения уравнений с параметрами можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на такие промежутки, что при изменении параметра на каждом из них получающиеся уравнения решались одним и тем же методом. Отдельно для каждого промежутка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые при этом приёмы такие же, как и при решении уравнений с числовыми коэффициентами.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Решим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415для каждого значения параметра а.
Решение. Рассмотрим два случая.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда данное уравнение имеет вид:13 EMBED Equation.3 1415. Этому уравнению удовлетворяет любое действительное значение х.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда данное уравнение является линейным уравнением и его единственным решение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ:х – любое число при 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. При каких значениях, а уравнение 13 EMBED Equation.3 1415имеет один корень?
Решение. Рассматривая данное уравнение как квадратное уравнение относительно 13 EMBED Equation.3 1415, устанавливаем, что оно равносильно совокупности уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415 имеет одно решение, а при 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решения.
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 при любом значении, а имеет единственное решение.
Пример 3. Решим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Замечаем, что значения 0 и 13 EMBED Equation.3 1415не являются допустимыми значениями для х. Параметры а и bтоже неравны нулю. Освобождаем уравнение от знаменателей. Получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнению (1) удовлетворяют все значения х, кроме х = 0. Исходное уравнение в этом случае принимает вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415то, разделив уравнение (1) на 13 EMBED Equation.3 1415, получим квадратное уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415. Корни его: 13 EMBED Equation.3 1415,
Ответ: любое действительное число, кроме х = 0 при13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Решим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.Допустимые значения переменной х и параметра, а в данном уравнении определяются системой неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415.
Кроме того, если а и х имеют одинаковые знаки 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415и решением уравнения может быть только положительное значение переменной, а это значит, что и13 EMBED Equation.3 1415 Если а и х имеют разные знаки 13 EMBED Equation.3 1415то 13 EMBED Equation.3 1415и решением уравнения может быть только отрицательное значение переменной, но при этом также и 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, уравнение имеет отличные от нуля решения, если 13 EMBED Equation.3 1415при а = 0.
Перепишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415и возведём обе его части в квадрат. После преобразований получим: 13 EMBED Equation.3 1415, откуда:
1) 13 EMBED Equation.3 1415при произвольных значениях а;
2) 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Последнее уравнение имеет решения, если13 EMBED Equation.3 1415Возведём обе части этого уравнения в квадрат и после упрощения получим: 13 EMBED Equation.3 1415, откуда при 13 EMBED Equation.3 1415находим:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 Найденные значения будут корнями данного уравнения, если:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда получим:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Третье неравенство последней системы неравенств выполняется при любом значении а. Поэтому решением последней системы неравенств является общее решение неравенств 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5. Решим неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.Дискриминант уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 будет 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим три случая: 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415получаем: 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, для каждого 13 EMBED Equation.3 1415данное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.
При D = 0 или 13 EMBED Equation.3 1415получается: 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, здесь также для каждого 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415данное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.
При13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415получится: 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, на каждом из промежутков 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415данное неравенство имеет решение и его решение имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415где: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х – любое действительное число при13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6. Решим неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 1) При 13 EMBED Equation.3 1415правая часть неравенства отрицательна, тогда при любом значении х левая часть неравенства больше правой.
Приа = 0 исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме
х = - 3.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415Ответ: при13 EMBED Equation.3 1415нет решений, при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415Ответ: при13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, при, 13 EMBED Equation.3 1415, нет решений
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415Ответ: при13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415, нет решений
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415Ответ: при13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415, нет решений
Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: значений, а нет
Найдите все значения а, при которых число х = - 3 является решением неравенства
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите все значения а, при которых число х = - 2 является корнем уравнения
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Может ли при каком-нибудь значении, а уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет три корня?
Ответ: нет
Найдите все значения а, при которых число х = 2является корнем уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите все значения параметра а, такие, чтобы уравнение 13 EMBED Equation.3 1415имело 2 различных корня.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
ТЕСТ №1
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
A) 13 EMBED Equation.3 1415 B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
A) 13 EMBED Equation.3 1415 B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
A) 3;5 B) – 3;- 5 C) – 5;3 D) 5; -3 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
A) 6;-2 B) -6;-2 C) 6;2 D) -6;2 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
A) 13 EMBED Equation.3 1415 B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение при каждом значении параметра а.
13 EMBED Equation.3 1415
A) приа = 1 решения нет B) при а = 1 одно решение C) а = 1
D) нет решений E) 13 EMBED Equation.3 1415
Для каждого значения, а найдите число корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
A) при a< 0 нет корней B) при a< 0 нет корней
приа = 0 один корень при а = 0 один корень
приа > 0 два корня при а > 0 нет корней
C) приa< 0 два корня D) при а = 0 три корня
приа = 0 нет корней при а > 0 два корня
приа > 0 один корень при a< 0 один корень
E) приa< 0 три корня
приа > 0 два корня
приа = 0 нет корней
Для каждого значения, а найдите число корней уравнения
13 EMBED Equation.3 1415
A) 13 EMBED Equation.3 1415 B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите все значения а, при которых число х = -2 является решением неравенства
13 EMBED Equation.3 1415
A) решений нет B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите все значения а, при которых число х = 2 не является решением неравенства
13 EMBED Equation.3 1415
A) нет решения B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
ТЕСТ №2
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
A) 13 EMBED Equation.3 1415 B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
A) 0;1 B) -1;0 C) -1;1 D) 0 E) 1
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
A) 13 EMBED Equation.3 1415 B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
A) 13 EMBED Equation.3 1415 B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение при каждом значении параметра а13 EMBED Equation.3 1415
A) при13 EMBED Equation.3 1415 B) при а = 3, х = а C) при 13 EMBED Equation.3 1415
D) при13 EMBED Equation.3 1415при13 EMBED Equation.3 1415 E) нет решений
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
A) 0;10 B) 10;10 C) 0 D) -10;0 E) -10;10
Решите неравенство13 EMBED Equation.3 1415
A) 13 EMBED Equation.3 1415; B) 13 EMBED Equation.3 1415; C) 13 EMBED Equation.3 1415; D) 13 EMBED Equation.3 1415; E) нет решений
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
A) 13 EMBED Equation.3 1415 B) нет решений C) 13 EMBED Equation.3 1415
D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите все значения а, при которых число х = -2 является корнем уравнения
13 EMBED Equation.3 1415х = -2
A) 13 EMBED Equation.3 1415 B) 13 EMBED Equation.3 1415 C) 13 EMBED Equation.3 1415 D) 13 EMBED Equation.3 1415 E) 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
ОТВЕТЫ
Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тест №1
B
B
C
D
E
A
A
E
A
B
Тест №2
A
B
C
D
D
D
A
E
A
E
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 4Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 3Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native