Методические указания к выполнению практических работ по математике для специальности Технология продукции общественного питания
Государственное автономное образовательное учреждение
Мурманской области среднего профессионального образования
«Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»
Методические указания
к выполнению практических работ по дисциплине
«Математика»
на 1 курсе
для специальности
19.02.10 «Технология продукции общественного питания»
2015 г.
Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» разработаны на основе рабочей программы учебной дисциплины «Математика» для специальности 19.02.10 «Технология продукции общественного питания»
Организация-разработчик: ГАОУ МО СПО «Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота»
Разработчики:
Кармановская Т.В., преподаватель ГАОУ МО СПО МСК им. Н. Е.МомотаРассмотрены и одобрены
предметно-цикловой комиссией
«Естественнонаучные дисциплины»
Председатель _______ И.А. Егорова
Протокол № _____
от «___» _______________ 2015 года. Рецензент:
Содержание
Пояснительная записка…………………………………………………..…..4
Практическая работа №1………………………………………………..……5
Практическая работа №2………………………………………………..……6
Практическая работа №3………………………………………………..…..8
Практическая работа №4………………………………………………..…..9
Практическая работа №5………………………………………………..…..10
Практическая работа №6………………………………………………..…..12
Практическая работа №7………………………………………………..…..13
Практическая работа №8……………………………………………..……..14
Практическая работа №9……………………………………………..……..15
Практическая работа №10…………………………………………………..16
Практическая работа №11…………………………………………………..18
Практическая работа №12…………………………………………………..19
Практическая работа №13…………………………………………………..20
Практическая работа №14…………………………………………………..21
Практическая работа №15…………………………………………………..21
Практическая работа №16…………………………………………………..23
Практическая работа №17…………………………………………………..26
Практическая работа №18…………………………………………………..27
Практическая работа №19…………………………………………………..28
Практическая работа №20…………………………………………………..30
Практическая работа №21…………………………………………………..32
Практическая работа №22…………………………………………………..32
Практическая работа №23…………………………………………………..34
Практическая работа №24…………………………………………………..36
Практическая работа №25…………………………………………………..37
Практическая работа №26…………………………………………………..38
Рекомендуемая литература…………………………………………………39
Пояснительная записка
По учебному плану в соответствии с рабочей программой на изучение дисциплины обучающимися предусмотрено аудиторных занятий 273 часов, из них практических занятий – 26 часов. В методические указания 26 практических работ по темам данного курса. Каждая практическая работа содержит сведения о цели ее проведения и практическом использовании.
Практические занятия
Номер заня-
тияНаименование темызанятия Номер
раздела, тема дисциплины Объем в часах
Аудиторных СРС
1 2 3 5 6
1 Целые и рациональные числа. Арифметический корень натуральной степени 1. Действительные числа 1 2 Иррациональные уравнения 2. Степенная функция 1 3 Показательные уравнения 3. Показательная функция 1 4 Логарифмические уравнения 4. Логарифмическая функция 1 5 Радианная мера угла 5. Тригонометрические формулы 1 6 Уравнение cosx = a 6. Тригонометрические уравнения 1 7 Показательные неравенства 3. Показательная функция 1 8 Уравнение sinx = a 6. Тригонометрические уравнения 1 9 Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла 5. Тригонометрические формулы 1 10 Формулы приведения 5. Тригонометрические формулы 1 11 Уравнение tgx=a 6. Тригонометрические уравнения 1 12 Решение тригонометрических уравнений 6. Тригонометрические уравнения 1 13 Изображение пространственных фигур на плоскости 8. Параллельность прямых и плоскостей 1 14 Расстояние между точками. Координаты середин отрезка. 10. Декартовы координаты и векторы в пространстве 1 15 Свойства тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции 11. Тригонометрические функции 1 16 Геометрический смысл производной Раздел 12. Производная и её геометрический смысл. 1 17 Возрастание и убывание функции Раздел 13. Применение производной к исследованию функций 1 18 Точки экстремума функции Раздел 13. Применение производной к исследованию функций 1 19 Наибольшее и наименьшее значение функции Раздел 13. Применение производной к исследованию функций 1 20 Исследование функции с помощью производной Раздел 13. Применение производной к исследованию функций 1 21 Первообразная функции Раздел 14. Интеграл. 1 22 Действия над векторами Раздел 15. Декартовы координаты и векторы в пространстве 1 23 Многогранники Раздел 16. Многогранники 1 24 Тела вращения Раздел 17. Тела вращения. 1 25 Объем и площадь полной поверхности многогранников Раздел 18. Объёмы многогранников. 1 26 Объем и площадь полной поверхности тел вращения. Раздел 19. Объёмы и поверхности тел вращения. 1 Итого 26 Практическая работа № 1
Тема: «Целые и рациональные числа.
Арифметический корень натуральной степени»
Цель: сформировать умение переводить обыкновенную дробь в десятичную и наоборот.
Краткие теоретические сведения к практической работе
Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6,….
Целые числа: ±1, ±2,±3, ±4, ±5, ±6,….Рациональные числа имеют вид:
mn , где m – целое число,
n – натуральное число.
Существуют дроби десятичные (конечные и бесконечные), обыкновенные (правильные и неправильные).
Бесконечная десятичная дробь подразделяется на периодическую и непериодическую.
Например - 0,3333…. – дробь периодическая, повторяющуюся цифру 3 - называют её периодом и кратко записывают 0, (3), читается : «ноль целых и три в периоде».
Определение: Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.
Например : десятичная дробь
45,1834343434… = 45,18(34)
Читается : «45 целых, 18 сотых и 34 в периоде».
Задача 1. Записать число 2711 в виде десятичной дроби.
Поделим уголком
27 ∟11_____
22 2, 4545...
50
44
60
55
50
44
6...
Остатки повторяются, в частности группа цифр 45. Следовательно,
2711 = 2,4545… = 2,(45).
Определение : Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, т. к. может быть представлена в виде дроби mn , где m – целое число, n – натуральное число.
Задача 2. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной.
Пусть х = 0,2(18) = 0,2181818…. .Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножаем обе части на 10, получаем
10 х = 2,181818… . (1)
Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножаем обе части равенства (1) на 100, получаем
1000 х = 218,1818… . (2)
Вычитаем из равенства (2) равенство (1). Получаем
1000 х – 10 х = 218,1818 – 2,181818,
990 х = 216.
Выражаем х, получаем
х= 216990= 1255 .
Определение: Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.
Иррациональные числа так же как и рациональные могут быть как положительными, так и отрицательными.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Например: 2+5С точностью до одной десятой
2=1,414213562…≈1,4 5= 2,2360679774 … ≈2,24Следовательно 2+5 ≈1,41+2,24=3,65≈3,6. Задача 3. 22-3∙32+1= 22∙32+22∙1-3∙32-3∙1=264+22-3∙42-3= =2∙8+22-122-3=13-102,
полученный результат является иррациональным.
Содержание практической работы
Вариант 1
Перевести десятичную дробь в обыкновенную
а) 2,(3),
б) 6, 7(3),
в) 4,(72),
г) 1, 5(21).
2. Перевести обыкновенную дробь в десятичную
а) 53 ,
б) 75 ,
в) -1411 .
3. Вычислить и определить каким числом является полученный результат (иррациональным или рациональным)
а) (5+ 2)∙(4-35),
б) 37-5∙47+1,в) 32+52÷2 ,г) 3128-232÷2 .Практическая работа № 2
Тема: «Иррациональные уравнения»
Цель: сформировать умение решать иррациональные уравнения различного уровня.
Краткие теоретические сведения к практической работе
Определение: Уравнение называется иррациональным, если под знаком корня находится переменная.
Решение иррационального уравнения основано на следующем свойстве: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.
Решение примеров:
1) x-1=2,
Возведем обе части уравнения во вторую степень (так как корень второй степени)
x-12=22, в результате получаем
x-1=4, выражаем x
x=4+1,x=5.Проверка:
Подставляем полученный корень уравнения в первоначальное уравнение
5-1=2, получаем
4=2,
2=2 – верное равенство получили, следовательно x=5 является корнем уравнения.
Ответ: x=5.
2) 32x+3=1,
Возведем обе части уравнения третью степень (так как корень третей степени)
32x+33=13,
2x+3=1,
2x=-3+1,
2x=-2,x=-1.Проверка:
Подставляем полученный корень уравнения в первоначальное уравнение
32∙-1+3=1,
3-2+3=1,
31=1,
1=1 - верное равенство получили, следовательно x=1 является корнем уравнения.
Ответ: x=1.
Содержание практической работы
Вариант 1
Решить уравнение
а) 5x-3=3
б) 42-5x=2
в) 2x2-3x+1=x2-3x+2
г) x-2+x+6=0
Практическая работа №3
Тема : «Показательные уравнения»
Цель: сформировать умение решать показательные уравнения.
Краткие теоретические сведения
Определение: Уравнение называется показательным, если в степени находится переменная.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax=ab, где a>0, a≠1, x- неизвестное.
Решение примеров:
Решить уравнение
1) 32x-1=9, сведем уравнение к общему основанию 3, получим
32x-1=32, основания равны следовательно и степени равны
2x-1=2,2x=2+1,2x=3, разделим обе части уравнения на 2
x=32=1,5
Ответ: x = 1,5.
2)142-5x=32, сведем уравнение к общему основанию 2, получим
2-22-5x=25, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаем
2-4+10x=25, основания равны следовательно и степени равны
-4+10x=5,
10x=5+4,
10x=9, разделим обе части уравнения на 10, получим
x=0,9.
Ответ: x=0,9.
3) 83-5x=1, сведем уравнение к общему основанию 8, получим
83-5x=80, основания равны следовательно и степени равны
3-5x=0,-5x=-3, разделим обе части уравнения на -5
x=-3-5=35.Ответ: x=35.
Содержание практической работы
Решить уравнение:
Вариант 1 а) 23x-8=16б) 34-5x=3
в) 69x+3=136г) 0,37x-4=1д) 149-5x=327-2x
е) 32x-7∙36x+4=3x-532-3x
ж) 58x+3∙54-7x=1з) 5x+1+5x+5x-1=31и) 0,67x-5=259x-6Практическая работа №4
Тема: «Логарифмические уравнения»
Цель: сформировать умение решать логарифмические уравнения.
Краткие теоретические сведения
Уравнение ax=b, где a>0, a≠1, b>0, имеет единственный корень, который называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают logab.
Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a≠1, называется показатель степени с, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.
Записывается
logab=cb= ac.
alogab=b, если a>0, a≠1, b>0 – основное логарифмическое тождество.
Действие нахождения логарифма называется логарифмированием. Действие нахождения числа по его логарифму называется потенцированием.
Основные свойства логарифмов:
1) logabc=logab + logac,
2) logabc=logab - logac,
3) logabn=nlogab,
4) loganb=1nlogab.
Решение примеров:
1) log35x-1=2,5x-1=32,
5x-1=9,5x=9+1,5x=10, разделим обе части на 5
x=105=2.Проверка:
Подставим x=2 в первоначальное уравнение и проверим равенство полученное
log35∙2-1=2,
log39=2 – равенство верное.
Ответ: x=2.2) log2x-5+log2x+2=3,
применим к левой части первое свойство логарифмов
log2x-5∙x+2=3,
по определению логарифма получим
x-5∙x+2=23,
x2+2x-5x-10-8=0,x2-3x-18=0,
a=1, b=-3, c=-18,
D=b2-4ac,
D=-32-4∙1∙-18=9+72=81=92,
x1,2=-b±D2a,
x1=3+812∙1=3+92=6,
x2=3-812∙1=3-92=-3.
Проверка:
x1=6 – подставляем в первоначальное уравнение
log26-5+log26+2=3log21+log28=3,
0+3=33=3- верное равенство, следовательно x1=6 является корнем уравнения.
x2=-3- подставляем в первоначальное уравнение
log2-3-5+log2-3+2=3log2-8+log2-1≠3 – т. к. по определению подлогарифмическое число положительно, следовательно равенство не выполнимо и x2=-3 не является корнем уравнения.
Ответ: x=6.Содержание практической работы
Вариант 1
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Решите уравнение
Практическая работа №5
Тема : «Радианная мера угла»
Цель: сформировать умение применять для вычисления формулы перехода из градусной меры угла в радианную и наоборот, решать задачи практического содержания на вычисление длины дуги, радиуса и площади кругового сектора.
Краткие теоретические сведения
Определение: центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.
αрад=180π∙α0 (1)
α0=180πрад (2)
Таблица наиболее встречающихся углов в градусной и радианной мере
Градусы 0 30 45 60 90 180
Радианы 0 π6π4π3π2πРадианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Т. К. угол в 1 радиан стягивает дугу, длина которой равна радиусу R, то угол в α рад стягивает дугу длиной
l=α∙R. (3)
Площадь кругового сектора радиуса R, образованного углом в α рад, равна
S=R2α2, 0<α<π. (4)
Решение примеров:
1) Найти радианную меру угла
а) 400=π1800∙400= 2π9.
б) 1200=π1800∙1200= 2π3.
2) Найти градусную меру угла
а) π3=1800π∙π3=600.
3) Найти радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 3 см, если радиус окружности 1,5 см.
Решение:
Из формулы l=α∙R выразим αα=lR, подставим данные
α=31,5=2 рад.
Ответ: α=2 рад.
4) Вычислить радиус окружности, если дуге длиной 0,36 м соответствует центральный угол в 0,9 рад.
Решение:
Из формулы l=α∙R выразим RR=lα, подставим данные
R=0,360,9=0,4 см.
Ответ: R=0,4 см.
Содержание практической работы
Вариант 1
1. Найдите радианную меру угла:
а) 40,
б) 1300,
в) 2600.
2. Найдите градусную меру угла:
а) π6,
б) 7π10,
в) 12π5.
3. Заполните таблицу:
α040 α,рад π4R, м 3 8 l, м 9 8πS, м2 65 4π3Практическая работа №6
Тема: «Уравнение cos x = a»
Цель: сформировать умение решать уравнения вида cosx = a, с использованием общей формулы, а так же частных случаев.
Краткие теоретические сведения
Определение: Аркскосинусом числа а ∈ -1;1 называется такое число α∈0;π, косинус которого равен a:
arccosa=α, если cosα=a и 0≤α≤π.
Корни уравнения cosx=a, где a≤1, выражаются формулой
x= ±arccosa+2πn, n∈Ζ. (1)
Для любого a∈-1;1 справедлива формула
arccos-a=arccosa (2)
Частные случаи решения уравнения cosx=a:
1) cosx=0, x=π2+πn, n∈Ζ, (3)
2) cosx=1, x=2πn, n∈Ζ, (4)
3) cosx=-1, x=π+2πn, n∈Ζ. (5)
1) Вычислить
Для вычисления используем формулу (2)
arccos12+3arccos-22-2arccos-1=π3+3∙3π4-2∙π=π3+9π4-2π=4π+27π-24π12=7π12.
2) cosx=12, для решения уравнения используем формулу (1)
x= ±arccos12+2πn, n∈Ζ- вычислим arccos12=π3x= ±π3+2πn, n∈Ζ.
Ответ: x= ±π3+2πn, n∈Ζ.
3) cos2x=-12, для решения уравнения используем формулу (1)
2x= ±arccos(-12)+2πn, n∈Ζ, вычислим arccos(-12)=2π32x= ±2π3+2πn, n∈Ζ, разделим обе части уравнения на 2 или умножим на 12x= ±π3+πn, n∈Ζ.
Ответ: x= x= ±π3+πn, n∈Ζ.
Содержание практической работы
Вариант 1
Вычислить
а) 3arccos-1+52arccos-12,б) 2arccos32+67arccos-22,2. Решить уравнение
а) 6cos10x=0, б) 3cosx6-6=0, в) 2cos3x8+3=0, г) cos5x+π+1=0, д) 2cos4x9-π2-2=0, е) 2cos12x+π3+1=0Практическая работа №7
Тема: «Показательные неравенства»
Цель: отработать навыки решения логарифмических неравенств.
Краткие теоретические сведения
Решить неравенство:
а) 23x-1 < 16
23x-1 < 24, т.к y=2t (2>1), логарифмическая функция возрастает
3x-1<4,
3x<5,
x<53б) Рассмотрим решение показательного неравенства:
Используя свойства показательной функции , преобразуем неравенство,
Вынесем общий множитель 3х за скобки:
, учитывая, что функция y=3t3>1, возрастает
Ответ. .
Содержание практической работы
Вариант 1
Решить неравенство
а) 35-3х < 9;
б) 0,23х-2 ≥ 125;
в) (62) х-4 > 127;
г) 3х-1+133х>10.Практическая работа №8
Тема: «Уравнение sinx = a»
Цель: сформировать умение решать уравнения вида sinx = a, с использованием общей формулы, а так же частных случаев.
Краткие теоретические сведения
Определение: Арксинусом числа а ∈ -1;1 называется такое число α∈-π2;π2, синус которого равен a:
arcsina=α, если sinα=a и -π2≤α≤π2.
Корни уравнения sinx=a, где a≤1, выражаются формулой
x= -1narcsina+πn, n∈Ζ. (1)
Для любого a∈-1;1 справедлива формула
arcsin-a=-arcsina (2)
Частные случаи решения уравнения sinx=a:
1) sinx=0, x=πn, n∈Ζ, (3)
2) sinx=1, x=π2+2πn, n∈Ζ, (4)
3) sinx=-1, x=-π2+2πn, n∈Ζ. (5)
Решение примеров:
1) Вычислить
Для вычисления используем формулу (2)
arcsin12+3arcsin-22-2arcsin-1=arcsin12-3arcsin22+2arcsin1=π6-3∙π4+2∙π2=π6-3π4+π=2π-9π+12π12=5π12.
2) sinx=12, для решения уравнения используем формулу (1)
x= -1narcsin12+πn, n∈Ζ- вычислим arcsin12=π6x= -1nπ6+πn, n∈Ζ.
Ответ: x= -1nπ6+πn, n∈Ζ.
3) sin2x=-12, для решения уравнения используем формулу (1)
2x= -1narcsin-12+πn, n∈Ζ, воспользуемся формулой (2), в результате получим
2x= -1n+1arcsin12+πn, n∈Ζ, вычислим arcsin12=π62x= -1n+1π6+πn, n∈Ζ, разделим обе части уравнения на 2 или умножим на 12x= -1n+1π12+πn2, n∈Ζ.
Ответ: x= -1n+1π12+πn2, n∈Ζ.
4) sin3x=1, для решения уравнения используем формулу (4)
3x=π2+2πn, n∈Ζ - разделим обе части уравнения на 3, или умножим на 13x=π6+ 2πn3, n∈Ζ.
Ответ: x=π6+ 2πn3, n∈Ζ.
5) 2sinx3-2=0, перенесем 2 в правую часть с противоположным знаком
2sinx3=2, разделим обе части уравнения на 2
sinx3=22, для решения уравнения используем формулу (1)
x3=-1narcsin22+πn, n∈Ζ , вычислим arcsin22=π4x3=-1nπ4+πn, n∈Ζ - разделим обе части уравнения на 13 или умножим на 3
x=-1n3π4+3πn, n∈Ζ .
Ответ: x=-1n3π4+3πn, n∈Ζ .
Содержание практической работы
Вариант 1
1. Вычислить
а) 3arcsin-1+52arcsin(-32),
б) 2arcsin12+0,2arcsin0,
2. Решить уравнение
а) sin3x-1=0,б) 2sinx4+2=0,в) 2sin3x7+1=0,г) 5sin6x-π=0,д) 3sin2x5+π6+3=0,е) 2sin5x2-π-3=0.Практическая работа №9
Тема : «Зависимость между синусом, косинусом и
тангенсом одного и того же угла»
Цель: сформировать умение применять для вычисления синуса, косинуса угла основное тригонометрическое тождество, формулы зависимости между тангенсом и котангенсом, зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом, формулы двойного угла.
Краткие теоретические сведения
3147060140335y
00y
853440132715y
00y
Знаки синуса, косинуса и тангенса
49149006985y
00y
490156599060314134522860109156522860sin∝ cos∝ tgα5478780441960x
00x
2880360259080- +
- +
00- +
- +
4610100220980- +
+ -
00- +
+ -
43757854883153680460441960x
00x
2554605488315443484010668026746201066801884045442595x
00x
520065484505641985103505+++++=+=+====
+++++=+=+====
8439155969000
Основное тригонометрическое тождество
sin2α+cos2α=1 (1)
sinα=±1-cos2α (2)
cosα=±1-sin2α (3)
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tgα∙ctgα=1 (4)
tgα=1ctgα (5)
ctgα=1tgα (6)
Зависимость между тангенсом и косинусом
1+ tg2α=1cos2α (7)
Зависимость между котангенсом и синусом
1+ ctg2α=1sin2α (8)
Задача 1. cosα=35, π2<α<π. Найти sinα, tgα. По формуле (2) найдем
sinα=±1-cos2α, учитывая, что угол α находится в 1-й четверти, получим
sinα=1-352=1-925=2525-925=1625=45,
tgα=sinαcosα, подставим
tgα=45 : 35=45 ∙53=43.
По формуле (6) вычислим
ctgα=1tgα
ctgα=34 .
Ответ: sinα=45 , tgα=43 , ctgα=34 .
Содержание практической работы
Вариант 1
1. а) Вычислить cosα, tgα, ctgα, если sinα=-0,6 и π<α<3π2.
б) Вычислить sinα , tgα, ctgα, если cosα=-513 и 3π2<α<2π. в) Вычислить sinα , cosα, ctgα, если tg=-3 и π<α<3π2.
г) Вычислить sinα , cosα, tgα, если сtg=724 и π2<α<π.
д) Вычислить sin2α, cos2α, tg2α, если sinα=34 и π<α<3π2.
Практическая работа №10
Тема: «Формулы приведения»
Цель: сформировать умение применять формулы приведения при преобразовании тригонометрических выражений, а так же сводить к формулам приведения.
Краткие теоретические сведения
Формулы приведения
βπ2-απ2+απ-απ+α3π2-α3π2+α2π-α2π+αsinβcosαcosαsinα-sinα- cosα- cosα-sinαsinαcosβsinα- sinα- cosα- cosα- sinαsinαcosαcosαtgβctgα- ctgα-tgαtgαctgα- ctgα-tgαtgαctgβtgα- tgα-ctgαctgαtgα- tgα-ctgαctgαФормулы приведения запоминать необязательно. Для того чтобы записать одну из них, можно руководствоваться следующими правилами:
1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии 0<α<π2.
2) Если в левой части угол равен π2±α или 3π2±α, то синус заменяется на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс. Если угол равен π±α, то замены не происходит.
Решение упражнений
Вычислить с помощью формул приведения
1) cos1500=cos900+600=cosπ2+600=-sin600=-32.
2) ctg3150=ctg3600-450=ctg2π-450=-ctg450=-1.
3) tg5π4=tgπ+π4=tgπ4=1.
4) sin-7π6=-sin7π6=-sin3π2-π3=-cosπ3=-12.
5) cos-5π3=cos5π3=cos2π-π3=cosπ3.
6) Упростить ctgπ2-α-tgπ+α+sin3π2-αcosπ+α=tg∝-tg∝+-cos∝-cos∝=-cos∝-cos∝=1Содержание практической работы
Вариант 1
№526 (4, 8)
№528 (1)
№531 (1, 3)
Практическая работа №11
Тема: «Уравнение tgx = a»
Цель: сформировать умение решать уравнения вида tgx = a, с использованием общей формулы, а так же частных случаев.
Краткие теоретические сведения
Определение: Арктангенсом числа а ∈ R называется такое число α∈-π2;π2, тангенс которого равен a:
arctga=α, если tgα=a и -π2<α<π2.
Корни уравнения tgx=a, гдеa∈R, выражаются формулой
x= arctga+πn, n∈Ζ. (1)
Для любого а ∈ R справедлива формула
arctg-a=-arctga (2)
Решение примеров:
1) Вычислить
Для вычисления используем формулу (2)
arcsin12+3arctg-1=arcsin12-3arctg1=π6-3∙π4=π6-3π4=2π-9π12=-7π12.
2) tgx=1, для решения уравнения используем формулу (1)
x= arctg1+πn, n∈Ζ- вычислим arctg1=π4x= π4+πn, n∈Ζ.
Ответ: x= π4+πn, n∈Ζ.
3) tg2x=-1, для решения уравнения используем формулу (1)
2x= arctg(-1)+πn, n∈Ζ, воспользуемся формулой (2), в результате получим
2x= -arctg1+πn, n∈Ζ, вычислим arctg1=π42x= -π4+πn, n∈Ζ, разделим обе части уравнения на 2 или умножим на 12x= -π8+πn2, n∈Ζ.
Ответ: x= -π8+πn2, n∈Ζ.
4) 3tgx3-3=0, перенесем 3 в правую часть с противоположным знаком
3tgx3=3, разделим обе части уравнения на 3
tgx3=33, для решения уравнения используем формулу (1)
x3= arctg33+πn, n∈Ζ , вычислим arctg33=π6x3=π6+πn, n∈Ζ - разделим обе части уравнения на 13 или умножим на 3
x=π2+3πn, n∈Ζ .
Ответ: x=π2+3πn, n∈Ζ .
Содержание практической работы
Вариант 1
Вычислить
а) 5arctg-3+43arctg1,
б) 2arccos-12+34arcsin(-22),
в) 47arctg13+5arcsin-12. 2. Решите уравнение
а) tg4x+3=0, б) tg2x5+1=0, в) 3tg2x-π4=3, г) 3tgx7+π3-1=0, д) tg8x3+2π5=0, е) tg7x-1∙tg3x4+3=0.Практическая работа №12
Тема: «Решение тригонометрических уравнений»
Цель: отработать способы решения тригонометрических уравнений различного типа.
Краткие теоретические сведения
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
а) sin2x+sinx-2=0Пусть sinx=y, y∈-1, 1y2+y-2=0, корни этого уравнения y=1, y=-2- посторонний корень.
sinx=1x=πn, nϵΖ.
б) 2 cos2x-5sinx+1=0По формуле основного тригонометрического тождества получим
cos2x=1-sin2x, подставим в первое уравнение
21-sin2x-5sinx+1=02sin2x+5sinx-3=0Пусть sinx=y, y∈-1, 12y2+5y+1=0, откуда y=-3 -посторонний корень , y=12.
sinx=12x= -1narcsin12+πn, n∈Ζ- вычислим arcsin12=π6x= -1nπ6+πn, n∈Ζ.
2. Уравнение asinx+bcosx=c2sinx+cosx=2Используя формулу
sinx=2sinx2cosx2, cosx=cos2x2-sin2x2, 2=2sin2x2+cos2x24sinx2cosx2+cos2x2-sin2x2=2sin2x2+2cos2x2,
3sin2x2-4sinx2cosx2+cos2x2=0, разделим обе части на cos2x2 , получим равносильное уравнение 3tg2x2-4tgx2+1=0, пусть tgx2=y3y2-4y+1=0, откуда y=1, y=13.
tgx2=1x2=π4+πn, n∈Ζx=π2+2πn, n∈Ζtgx2=13x2=arctg13+πn, n∈Ζx=2arctg13+2πn, n∈ΖСодержание практической работы
Вариант 1
Решить уравнение
а) 3sin2x-5sinx-2=0,б) 3sin2x+sinx cosx-2cos2x = 0,
в) 4-sinxcos5x+1=0.г) 2sin2x+3cosx = 0,
д) 5sinx-3cosx=0е) 3sinxcosx=sin2xПрактическая работа №13
Тема: «Изображение пространственных фигур на плоскости»
Цель: отработать навыки изображения пространственных фигур на плоскости;
•развитие умения систематизировать и анализировать информацию, делать выводы; умение понимать и использовать геометрические средства наглядности для решения задач; способствовать дальнейшему развитию пространственного представления;
•развитие навыков индивидуальной работы в достижении учебной цели.
•воспитание уважительного отношения к выбору профессии.
Содержание практической работы
Представить результаты в таблице.
Задание № 1.В таблице изобразите с помощью параллельного проектирования пространственные фигуры на плоскости и запишите вывод.
Изображение в пространстве Изображение на плоскости Вывод
141859046990а
00а
655320104775006553204762500Прямая а, Изображение прямой -----------(сохраняется или не сохраняется)
11303012827000974725144780в
00в
48768024130000184150120015а
00а
28956014224000Параллельные прямые, а ׀׀ в
Изображение параллельных прямых --------------------------------(сохраняется или не сохраняется)
427990240030А
00А
31877012636500929005186055В
00В
42672023241000Длина отрезка АВ,
Длина отрезка --------------------------
(сохраняется или не сохраняется)
1005840218440М
00М
-1270178435001416050191135В
00В
199390215900001270247015А
00А
Деление отрезка АВ точкой М.
Пропорциональность длин отрезков -------------------------------(сохраняется или не сохраняется)
9982204540250098171068580008521703048000Величина угла Величина угла-----------------------------
(сохраняется или не сохраняется)
Задание № 2. Применить теорию изображения плоских фигур для п- угольников.
Изображение в пространстве Изображение на плоскости Вывод
61722017208500Правильный треугольник Изображение на плоскости в виде----( произвольного треугольника; правильного треугольника)
42799014986000Прямоугольный треугольник Изображение на плоскости в виде----( произвольного треугольника; правильного треугольника или прямоугольного треугольника)
96266011747500
Прямоугольник Изображение на плоскости в виде----(прямоугольника или параллелограмма)
8032751524000Квадрат
Изображение на плоскости в виде----(квадрата или параллелограмма
9982207366000Параллелограмм Изображение на плоскости в виде---
Практическая работа №14
Тема: «Декартовы координаты. Расстояние между точками.
Цель: отработать решение задач на применение формул вычисления расстояние между точками, координаты середин отрезка.
Краткие теоретические сведения
Определение: Расстояние между точками A1(x1,y1,z1) и A2(x2,y2,z2) вычисляется по формуле
A1A2=x2-x12+y2-y12+z2-z12Определение: Координаты середин отрезка A1A2 вычисляются по формуле
x=x1+x22y=y1+y22z=z1+z22Содержание практической работы
ВАРИАНТ 1
На оси х найдите точку С(х;0;0) равноудаленную от двух точек А (3;5;1), В (-2;1;2).
Докажите, что четырёхугольник АВСД с вершинами в точках А (2;0;1), В (3;1;-1), С (4;-2;3) и Д (3;-3;5) является ромбом.
Найдите координаты вершины Д (х; у; z) параллелограмма АВСД, если координаты трёх вершин следующие: А (-1; 2; -3), В (0; 4; -2), С (2; -3; 1).
Практическая работа №15
Тема: «Свойства тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции»
Цель: отработать основные свойства тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, решать уравнения с использованием обратных тригонометрических функций, а так же отбирать корни из заданного отрезка.
Краткие теоретические сведения
1. ООФ (- ∞; + ∞)2. Четность нечетная sin (-x) = - sin x
3. Монотонность: возрастает [ - π/2 + 2 π к; π/2 + 2 π к]; убывает [ π/2 + 2 π к; 3π/2 + 2 π к]
4. Ограниченность: сверху у = 1, снизу у = -1
5. Наибольшее и наименьшее значение у наиб.= 1; у наим.= -1
6. Непрерывность: непрерывна
7. ОЗФ [-1; 1 ]8. Периодичность: периодическая с периодом 2 π
1. ООФ (- ∞; + ∞)2. Четность четная cos (-x) = cos x
3. Монотонность: возрастает [ π + 2 π к; 2π + 2 π к]; убывает [ 0 + 2 π к; π + 2 π к]
4. Ограниченность: сверху у = 1, снизу у = -1
5. Наибольшее и наименьшее значение у наиб.= 1; у наим.= -1
6. Непрерывность: непрерывна
7. ОЗФ [-1; 1 ]8. Периодичность: периодическая с периодом 2 π
Содержание практической работы
Вариант 1
Решить уравнение
а) arcsin5x-1=-π4б) arctg2-3x=-π3в) arccos7x-42=πг) arcsin2-5x7=π6.
Найти область определения функции
а) y=arcsin4x-1б) y=arccos3-10xв) y=arcsin8x-15г) y=arccos6-7x2.
Функции y=cosx изобразить график и описать основные свойства.
Практическая работа №16
Тема: «Геометрический смысл производной»
Цель: отработать основные формулы вычисления производной функции, находить угловой коэффициент касательной к графику функции, уравнение касательной к графику функции.
Краткие теоретические сведения
Производной функции в точке х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента:
,
где .
Другие обозначения производной: .
Таблица
Таблица производных основных элементарных функций
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 Основные правила дифференцирования
Производная постоянной равна нулю:
Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций и :
Производная произведения двух дифференцируемых функций и :
Производная частного двух дифференцируемых функций и :
Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Выясним геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f(x). Пусть точки А и М принадлежат графику функции
y = f(х).
Пусть х и x+h — абсциссы точек А и М, тогда их ординаты равны f (х) и f(x+h). Из треугольника АСМ, где С (x+h; f(x)), найдем угловой коэффициент k прямой AM, который зависит от h (его можно рассматривать как функцию k(h)).
Тогда , где МС =
= f(x + h) — f(x), AC = h, т. е.
k(h)= .
Пусть число х фиксировано, а h0, тогда точка А неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стремится к точке А. При этом прямая AM стремится занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции y = f(x), потому что , существует и равен
f '(х). Итак,
f'(x)= tg
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
k = tg a = f ' (х0)
уравнение касательной
y = f '(xo)x+f (x0)—f '(xo)xo, или
y = f (x0) + f '(xo)(x - xo).
Найти производные функций:
а) y = 2x-3/2
Найдем производную функции y = 2x-3/2 . Для этого вынесем постоянный множитель за знак производной и воспользуемся формулой из таблицы производных: . Получим:
б) Задан закон s(t) изменения пути движения материальной точки; нужно найти значения скорости и ускорения этой точки в момент времени t0.
Решение:
Пусть .
Известно, что значения скорости и ускорения материальной точки в некоторый момент времени являются соответственно значениями в этот момент I и II производных функции, задающей закон изменения пути движения точки.
У нас
(ед. ск.)
(ед. уск.)
в) Написать уравнение касательной к графику функции у = 2х2 - 1, в точке с абсциссой х0 = 3.
1) у'=4х
2) у' (3) = 4·3 = 12
3) у(3) = 2·32-1 = 17
4) у= 17+ 12(х-3)
у=12х-19.
Содержание практической работы
Вариант 1
Составить уравнение касательной
1) y = -17x + 2 2) y = -x + 12
3) y = 17x - 2 4) y = 17x - 26
б)
1) y = 4x + 40 2) y = -18x - 10
3) y = 18x + 8 4) y = 8x +18
в)
1) y = 33x + 24 2) y =- 24x + 63
3) y = 24x + 33 4) y = 24x - 63
Практическая работа №17
Тема: «Возрастание и убывание функции»
Цель: отработать основной алгоритм нахождения возрастания и убывания функции.
Краткие теоретические сведения
Примеры:
Дифференцируемая функция у = f(х) возрастает на промежутке [а,b], если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.
Дифференцируемая функция у = f (x) убывает на промежутке [а;b],если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.
Пример:
а) Дана функция:
Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.
Найдем интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем ее к нулю:
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки х1 = -5, х2 = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:
x
+ - +
Ответ: y возрастает на -∞; -5и -1; ∞ y убывает на (-5; -1).
Содержание практической работы
Вариант 1
Найти промежутки возрастания и убывания функции:
а) fx=4x2-7x,б) fx=x3+6x2+9x,в) fx=-10x2-3x,г) fx=6x4-4x6.Практическая работа №18
Тема: «Экстремумы функции»
Цель: отработать основной алгоритм нахождения точек экстремума функции.
Краткие теоретические сведения
Функция у = f (x) имеет максимум в точке х = х1 , если для всех значений х, достаточно близких к х1, выполняется неравенство f (x) < f (x1); х = х1 – точка максимума; уmax = f (x1)- максимум функции.
Функция у = f(x) имеет минимум в точке х = х2 , если для всех значений х, достаточно близких к х2, выполняется неравенство f (x) > f (x2); х = х2 – точка минимума; уmin= f (x2) – минимум функции.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремальными.
Точки, в которых производная функции обращается к нуль, называются критическими точками I рода.
Первое достаточное условие существования экстремума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х = х0 производная функции у = f(x) меняет знак, то х = х0 – точка экстремума.
При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х = х0 – точка максимума, а уmax = f(x0). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х = х0 – точка минимума, уmin= f(x0).
Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке х = х0 первая производная функции у = f (x) обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то х = х0 – точка экстремума.
При этом если вторая производная в этой точке положительна
(f / / (x0) >0), то х = х0 – точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f / /(x0)<0), то х = х0 – точка максимума.
Пример:
Дана функция:
Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y): , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и график ее не имеет вертикальных асимптот.
Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки I рода х1 = -5, х2 = -1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:
x -5 -1
+ 0 - 0 +
max min
Ответ: x = -5 – точка максимума
x = -5 – точка минимума.
Содержание практической работы
Вариант 1
Найти точки экстремума
а) fx=-4x2-0,2x+5,
б) fx=-5x2+3x,
в) fx=4x2-x4,
г) fx=-23x3+3,5x2-3x+4.
Практическая работа №19
Тема: «Исследование функции с помощью производной»
Цель: отработать основной алгоритм построения графика функции с помощью производной.
Краткие теоретические сведения
Пример. Исследовать и построить график функции
Область определения функции:
Функция не является ни четной ни нечетной.
Точек пересечения с осью x нет, так как x2+1>0 при любом x. Точка пересечения с осью y (0;-1).
Критические точки: , но x=1 - не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов. Отметим знаки интервалов на числовой прямой, учитывая кратность x=1.
Занесем результаты в таблицу
x -0,4 (-0,4;1) 1 (1;2,4) 2,4
f’(x) + 0 - --- - 0 +
5589270-2540003943350-2540002480310-254000834390-254000f(x) -0,8 --- 4,8 maxminКритические точки: x=1, но она не принадлежит области определения функции. Решим неравенства методом интервалов : (x-1)3<(>)0.
Составим таблицу:
x 1
- --- +
2297430762000834390762000f(x) --- 6. Строим график функции согласно порядку исследования
161925094615yy00yy171323019685>
00>
2857500151130y = x+1
0y = x+1
301625085090> x
0> x
2097405128270х=1
00х=1
Содержание практической работы
Вариант 1
Исследовать функцию и построить её график
а) fx=4x2-24x+1,б) fx=2x3-x2+4.Практическая работа №20
Тема: «Наибольшее и наименьшее значения функции»
Цель: отработать основной алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
Краткие теоретические сведения
Определение 1. Говорят, что функция достигает на множестве X своего наименьшего (наибольшего) значения в точке , если для любого имеет место неравенство ().Введем для наименьшего и наибольшего значений следующие обозначения: ().
Рассмотрим различные случаи:
Пусть - отрезок. Имеет место теорема.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений.
3086100-306705
Рисунок 1
00
Рисунок 1
Следствие. Если функция дифференцируема на интервале , то она достигает на отрезке наибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка. (Смотри рисунок 1.)
Для функции, график которой изображен на рисунке 1, имеются две точки максимума () и одна точка минимума (), но для нее , а .
Пусть X – некоторый промежуток, на котором функция имеет единственную точку экстремума. Тогда имеет место теорема.
Теорема 2. Пусть - единственная точка экстремума функции на множестве X. Тогда, если - точка минимума, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения. Если же - точка максимума, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.
376047028575
Рисунок 2a
00
Рисунок 2a
Рассмотрим пример. На рисунке 2а - единственная точка минимума функции на промежутке . Поэтому .
На рисунке 2б - единственная точка максимума функции на промежутке . Поэтому .
3760470168275
Рисунок 2b
00
Рисунок 2b
Пусть - периодическая непрерывная на интервале функция. Тогда имеет место теорема.
Теорема 3. Если - периодическая непрерывная на интервале функция, то она достигает своего наибольшего значения в бесконечном числе точек максимума и наименьшего значения в бесконечном числе точек минимума.
2665095526415
Рисунок 3
00
Рисунок 3
Например, на рисунке 3 , а , где Т- главный период функции, а .
Если же исследуемая функция не удовлетворяет условиям теорем 1-3, то будет полезно построить график этой функции и по графику выяснить, существуют ли точки с наибольшим и наименьшим значениями. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке Х.
Решение. Исследуемая функция дифференцируема и непрерывна на отрезке, поэтому можно применить теорему 1.
а) Найдем производную: .
б) Найдем стационарные точки (в них производная обращается в нуль).
.
Точки - точки возможного экстремума. При этом . Найдем значения функции в точке и на концах отрезка и выберем среди них наибольшее и наименьшее значения. Так как
, то
, .
Содержание практической работы
Вариант 1
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
а) fx=-5x2-20x+3, -1;3,
б) f= x4-2x2+3, -4;3.Практическая работа №21
Тема: «Первообразная функции»
Цель: отработать основные формулы нахождения первообразных.
Краткие теоретические сведения
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F/(x) = f(x).
Таблица первообразныхФункция Первообразная
xnxn+1n+1+c1xlnx+cexex+csinx-cosx+ccosxsinx+cekx+b1kekx+b+csinkx+b-1kcoskx+b+ccoskx+b1ksinkx+b+c1. Найти общий вид первообразных:
а) fx=x3-4x,
Fx=x3+13+1-4x1+11+1+c=x44-2x2+cб) fx=3sinx+5cosxFx=-3cosx+5sinx+c.
Содержание практической работы
Вариант 1
Найти общий вид первообразныха) fx=3x5-4x4-7xб fx=5x3-3x
в) fx=4x+5xг) fx=63x-27д) fx=34-7x2е) fx=5sin2-4x3ж) fx=23e3-5x4з) fx=5x6-3e-3x.
Практическая работа №22
Тема: «Действия над векторами»
Цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Координаты вектора. Скалярное произведение векторов»; закрепить умения использовать полученные знания для решения геометрических задач.
Краткие теоретические сведения
Пример 1
Даны векторы ; ; Вычислить |(2+ )| – 4(2- )
Решение.
2 2
2+ 2+
22
2- 2-
4(2- ) 4(2- )
Так как 4(2- ) - это скалярное произведение векторов, то по формуле скалярного произведения получим:
4(2- )=16∙(-1) + (-20)∙1 + (-36)∙(-1)= -16 – 20 + 36 = 0
Тогда |(2+ )| – 4(2- ) = + 0 =
Ответ: |(2+ )| – 4(2- ) =
Пример 2. Выяснить при каких значениях m и n данные векторы коллинеарные: и .
Решение.
У коллинеарных векторов соответствующие коэффициенты пропорциональны. Запишем соответствующую пропорцию, из которой найдем m и n:
, откуда
Ответ: m = -2, n = -2.5.
Пример 3.
Вершины треугольника имеют координаты А(1; 2; 0), В(5; -1; 3), С(6; 5; 4). Найдите длины сторон треугольника и угол A треугольника ABC.
Решение.
11430073025А(1; 2; 0)
В(5; -1; 3)
С(6; 5; 4)
00А(1; 2; 0)
В(5; -1; 3)
С(6; 5; 4)
Найдем координаты векторов , ,
Найдем длины каждого вектора. Это и будет длины сторон треугольника АВС.
- длина стороны АВ
- длина стороны ВС
- длина стороны АС
Найдем угол ВАС – это угол между векторами и .
.
Ответ: ,
Содержание практической работы
Вариант 1
1. Точка А отстоит от плоскости на расстоянии 12 см. Найти длину наклонной, проведенной из этой точки к плоскости под углом 450.
2. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (2,5,-3) переходит в точку В (-2,1,0), а точка С(5,-3,-1) переходит в точку Д (-4,5,1)?
3. Даны четыре точки А(1,1,2), В (4,-3,1), С (0,3,-2), Д (7,1,0). Укажите среди векторов АВ, ВС,ДС,АД,АС,ВД равные векторы.
4. Даны четыре точки А (5,-1,0), В (-2,4,0), С (3,-2,1), Д (-4,2,-3). Найти косинус угла φ между векторами АВ и СД.Практическая работа №23
Тема: «Многогранники»
Цель: Закрепить и обобщить знания о выпуклых многогранниках, совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей многогранников.
Краткие теоретические сведения
Пример 1. Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна дм, а диагональ боковой грани равна дм. Найдите диагональ данной призмы и площадь боковой поверхности.
0144780A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
00A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
Решение. В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Необходимо найти диагональ призмы BD1.
Рассмотрим треугольник BD1D: угол D1DB = 900, BD = дм. Чтобы найти BD1, необходимо знать сторону треугольника D1D.
Рассмотрим треугольник AB1B: угол B1BA = 900, AB1 = дм, B1B = D1D. Для того чтобы найти B1B, необходимо знать сторону треугольника AB.
Рассмотрим треугольник ABD: угол BAD = 900, AB = AD (так как ABCD – квадрат). Следовательно, получим BD2 = AB2 + AD2 = 2AB2. Таким образом,
()2 = 2AB2, 18 = 2AB2, AB2 = 9, AB = 3 дм.
Из треугольника AB1B: BB12 = AB12 – AB2 = ()2 – 32 = 32 – 9 = 23, BB1 = дм.
B1B = D1D = дм.
Из треугольника BD1D: BD12 = BD2 + DD12 = ()2 + ()2 = 18+23 = 41, BD1 = дм.
дм.
Ответ: BD1 = дм, Sбок = 12дм.
Пример 2. В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.
1993907175500Решение.
Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности. (Это следует из свойств правильной пирамиды).
Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, найдем из его свойств:
Рассмотрим треугольник MOA – прямоугольный: MO = 10 см, AO = . По т. Пифагора получим
MA =
Рассмотрим треугольник MBК – прямоугольный: MB = MA = , BK = ½ BC = 8 см. По т. Пифагора получим .
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле .
Ответ :
Содержание практической работы
Вариант 1
1. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 16 см, а боковые ребра равны см. Найдите высоту пирамиды.
2. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности.
3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды.
Практическая работа №24
Тема: «Тела вращения»
Цель: закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач на нахождение элементов и площадей поверхностей тел вращения.
Краткие теоретические сведения
Пример 1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 3см. Найдите площадь поверхности цилиндра.
771525133350О
00О
18859514986000
92011519367500-12954018415A
00A
1659255112395C
00C
Решение. Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле: Sполн = 2πr (r + h). Для нахождения Sполн необходимо знать радиус и высоту цилиндра.
Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольный: угол ABD = 900, АD = см. Найдем катеты AB и BD.
1659255488315D
00D
Так как ABCD – квадрат, следовательно AB = BD. Обозначим AB = x.
771525143510О100О1-12954031750B
00B
По теореме Пифагора получим: AD2 = AB2 + BD2 = x2 + x2 = 2x2. Таким образом, .
AB = BD = 3 см.
AB = h = 3см, BO1 = r = ½ BD = 1.5 см.
дм.
Ответ: Sполн = 13,5 см2.
Пример 2. Около конуса, высота которого равна см и радиус основания 10 см, описана пирамида. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 30°. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости основания, площадь осевого сечения конуса, площадь полной поверхности конуса, площадь полной поверхности пирамиды.
228600outside00Решение.
Найдем площадь полной поверхности конуса по формуле S=ΠR(R + l).
R = 10 см. Необходимо найти образующую конуса l = MN.
Рассмотрим ∆ MON – прямоугольный: MO = см, NO = 10 см. По теореме Пифагора получим, MN2 = MO2 + ON2 = ()2 + 102 = 300 + 100 = 400, следовательно, MN = 20 см. Тогда Sполн = 10 Π (10 + 20) = 300П см2.
Найдем угол наклона образующей конуса к плоскости основания - . Для этого рассмотрим ∆ MON – прямоугольный:
Найдем площадь осевого сечения конуса – площадь ∆ MNH: S∆MNH = ½ NH MO = ½ 20 ∙ = см2.
Найдем площадь полной поверхности пирамиды: Sполн = Sосн + 4SAMB.
В основании пирамиды лежит ромб. Найдем площадь ромба. Для этого рассмотрим ∆ ADB: = 300. AD = AB = 2R = 20 см.
S∆ADB =½ AD∙AB∙Sin= ½ 20 ∙ 20 ∙ sin300 = 200∙1/2 = 100 см2.
SABCD = 2 S∆ADB = 200 см2.
S∆AMB = ½ AB∙MN = ½ 20∙20 = 200 см2.
Sполн = Sосн + 4SAMB = 200 + 4∙200 = 1000 см2.
Ответ: = 600, Sсеч = см2, Sполн кон = 300П см2, Sполн пир = 1000 см2.
Содержание практической работы
Вариант 1
1. В цилиндре в осевом сечении лежит прямоугольник, площадь которого 40 см2. Радиус цилиндра 4 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.
2. Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию , на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.
3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6 дм и 8 дм и высотой, равной 14 дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь осевого сечения цилиндра, площадь полной поверхности цилиндра и параллелепипеда.
Практическая работа №25
Тема: «Объем и площадь полной поверхности многогранников»
Цели:
Научится определять длины ребер прямоугольного параллелепипеда и куба.
Научится вычислять длину диагонали прямоугольного параллелепипеда и куба.
Научится находить угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания.
Научится решать задачи с практическим содержанием.
Краткие теоретические сведения
Этапы выполнения работы.
Первый этап.
Последовательно выполните предложенные задания, используя учебник и тетрадь.
Прочитайте определение прямоугольного параллелепипеда
Изобразите прямоугольный параллелепипед в тетради
Обозначьте измерения прямоугольного параллелепипеда буквами а, в, с
Проведите диагональ прямоугольного параллелепипеда и обозначьте буквой d.
Запишите теорему о нахождении диагонали прямоугольного параллелепипеда
Запишите формулы нахождения площади полной поверхности и объёма прямоугольного параллелепипеда.
Запишите свойства прямоугольного параллелепипеда
Изобразите куб
Обозначьте измерения куба.
Проведите диагональ куба и обозначьте буквой d.
Запишите теорему о нахождении диагонали куба.
Запишите формулы нахождения площади полной поверхности и объёма куба.
Запишите свойства куба
Второй этап.
По данной модели последовательно выполните задания.
По предложенной модели измерьте длины ребер прямоугольного параллелепипеда или куба.
Запишите результаты измерения (а, в, с)
Вычислите длину диагонали d прямоугольного параллелепипеда или куба.
Определите угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания.
Найдите площадь полной поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда.
Сделайте вывод о результатах Вашего исследования.
Третий этап.
Решите задачу.
Требуется из проволоки сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с ребрами равными 12см, 8см, 5см. Сколько пойдет проволоки на изготовление прямоугольного параллелепипеда?
Требуется из проволоки сделать каркасную модель куба с ребром равными 5см. Сколько пойдет проволоки на изготовление куба?
Четвертый этап.
Ребро куба равно а. Найдите расстояние меду скрещивающимися прямыми, содержащими:
а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.
Практическая работа №26
Тема: «Объем и площадь полной поверхности тел вращения»
Цель: закрепить и обобщить знания о телах вращения; совершенствовать умения и навыки решения задач.
Содержание практической работы
Вариант 1
Цилиндр ( π ≈ 3 )
I II III IV
R 10 6 15
H 15 15 11 Sосев.сечSосн. 432 Sбок.пов. 720
Sпол.пов. V Рекомендуемая литература
Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2002 г.
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика», М: Дрофа, 2002 г.,
Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Издательский центр «Академия»», 2008 г.
Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл. (базовый уровень). М: Издательский центр «Академия»», 2010 г.
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012.
Яковлев Г.Н. «Алгебра и начала анализа», часть 1. М: Наука, 1988 г.
Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г..Колягин Ю.М. и др. «Алгебра и начала математического анализа», учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2008 г.
Колягин Ю.М. и др. «Алгебра и начала математического анализа», учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2009 г.
Дополнительная литература:
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.А. «Высшая математика в упражнениях и задачах», в 2 ч. М: «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003 г.
Щипачев В.С. «Основы высшей математики». М: Высшая школа, 2001 г.
Щипачев В.С. «Задачи по высшей математике». М: Высшая школа, 1997 г.
Натансон И.П. «Краткий курс высшей математики» - С-Пб.: Лань, 2001 г.
Пехлецкий И.Д. «Математика». М: Мастерство, 2001 н.
Калинина В.Н., Панкин В.Ф. «Математическая статистика». М: Высшая школа, 2001 г.
Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Гуткин Н.И., Павлов А.Л. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. М: Наука, 1992 г.
Афанасьева О.Н., Бродский Я.С Дидактические материалы по математике. М: Высшая школа, 1001 г.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М: Высшая школа, 2005 г.
Валуце Н.И., Дилигул Т.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. М: Наука, 1989 г.
Омельченко В.П., Курбатова Э.В. «Математика» Ростов н/Д: Феникс, 2005 г.