Применение производной при решении задач с практическим содержанием

Применение производной при решении задач с практическим содержанием

В сборнике представлены задачи, связанные с различными сферами деятельности человека. Ко всем задачам даны решения.

Составитель Шумилова М.В., учитель математики

Содержание

Предисловие...3
§1. Производная в химии..4
§2. Производная в биологии.....4
§3. Производная в физике.....4
§4. Производная в технике ...5
§5. Производная в строительстве.....6
§6. Производная в экономике.......7
§7. Производная в медицине...10
§8. Производная в быту...10
Ответы...13
Источники информации и иллюстраций.......29

Предисловие

В школьном курсе математики изучается множество правил, определений, доказываются теоремы. Многие школьники задают вопрос: зачем все это нужно? И это естественный вопрос, т.к. школьные учебники не всегда дают на него полный ответ.
Предлагаемые в сборнике задачи помогут учителю в иллюстрации применения школьных знаний по теме «Производная» при решении задач, взятых из смежных с математикой учебных предметов – физики, химии; задач экономического содержания и др.
Решение задач с практическим содержанием будет способствовать развитию интереса школьников к математическим знаниям.

§1. Производная в химии

Задача № 1
Газовая смесь состоит из оксида азота (NO) и кислорода (О2). Требуется найти концентрацию О2, при которой, содержащийся в смеси оксид азота окисляется с наибольшей скоростью.

§2. Производная в биологии

Задача № 1

В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + 13 EMBED Equation.3 1415, где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции.

§3. Производная в физике

Задача № 1
Составляется электрическая цепь из двух параллельно соединенных сопротивлений. При каком соотношении между этими сопротивлениями сопротивление всей цепи максимально, если при последовательном соединении этих сопротивлений оно равно R.

Задача № 2
При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с.
Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?

Задача № 3
Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

§4. Производная в технике

Задача № 1
Известно, что прочность на горизонтальный изгиб балки прямоугольного горизонтально сечения пропорциональна произведению ширины балки на квадрат высоты. Найти отношение ширины к высоте поперечного сечения наиболее прочной балки, которую можно вырезать из цилиндрического бревна диаметром d см

§5. Производная в строительстве

Задача №1
Чтобы уменьшить трение жидкости о стенки и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти
размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м2, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.

Задача № 2
Для конструкторского бюро строится зал в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из граней, которая должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота зала должна быть 4м, а площадь, 80мІ. Известно, что 1мІ стеклянной стены стоит 75 руб., а обычной 50 руб.
Какими должны быть размеры зала, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?

Задача № 3
Определить размер такого открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32смі, чтобы на облицовку его стен и дна было истрачено наименьшее
количество материала.
Задача № 4

Под каким углом надо
сделать въезд на мост,
если его высота 10 м, а
пролёт составляет
120 м ?

§6. Производная в экономике

Задача№1Предприятию поручается погрузка 100 стаканов и выделяется на это 1000 рублей. Но из этой суммы вычитается 40 рублей за каждый час погрузки. Предприятие заключает договор с бригадой грузчиков, по которому они получают премию в 10 v рублей, –скорость погрузки. При какой скорости предприятие получит максимальную прибыль, и какова величина этой прибыли?

Задача № 2
Цементный завод производит
х т цемента в день. По договору
он должен ежедневно поставлять
строительной фирме не менее
20 т цемента. Производственные
мощности завода таковы, что
выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К=-х3+98х2+200х.

Задача № 3
Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x3+600x-1000.

Задача № 4
Рассмотрим применение производной к решению следующей экономической задачи: в математической модели экономического роста хозяйства производящего, например, цветы для потребления.
Р - ежегодное потребление продукта на душу занятых в производстве;
Х - число занятых в производстве рабочих. 13 EMBED Equation.3 1415, где M, b - постоянные, характеризующие производственные возможности хозяйства. При M=250, b=8464 определить число рабочих, соответствующее наибольшему значению Р в хозяйствах с 80,90,120 и 150 рабочими местами.

Задача № 5 Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию
U(t)=0,15tІ – 2tІ +200, где t – месяцы,  U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия.

§7. Производная в медицине

Задача № 1
Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции описывается функцией у=R(x)=x2(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?

§8. Производная в быту

Задача № 1
Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

Задача № 2
Нагруженные сани движутся по горизонтальной поверхности под действием силы F, приложенной к центру тяжести. Какой угол
· должна составлять линия действия силы F с горизонтом, чтобы равномерное движение саней происходило под действием наименьшей силы? Коэффициент трения саней о снег равен к.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Задача № 3
Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км.) в зависимости от скорости Х км/ч при движении на 4-й передаче приблизительно описывается функцией: F(x)=0,007х-0,18х+10,2, х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьшим?

Задача № 4
Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.

Задача № 5
Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая. Найти длины сторон участка.

Ответы
§1.
№1.
Решение:
Напишем уравнение реакции окисления оксида кислородом
2NO + O213 EMBED Equation.3 14152NO2
Пусть х – концентрация оксида азота, у – концентрация кислорода, тогда vпрямой=Кх2у, где К – константа скорости реакции, зависящая только от температуры и не зависящая от концентрации реагирующих веществ.
Концентрацию газов выразим в объемных процентах.
Весь объем газовой смеси возьмем за 100%.
В этом случае у=100-х и v=Кх2(100-х), где х принадлежит [0;100].
Найдем наибольшую скорость
D(v) = R
v’(x)=200K – 3Kx2
200K – 3Kx2=0
x=0
x=66,7%
Ответ: при концентрации О2, равной 33,3% оксид азота окисляется с наибольшей скоростью.

§2.
№ 1.
Решение.
D(P)=R
P’(t)=13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
P’(t)=0
100-t2=0
t=13 EMBED Equation.3 1415
P(10)=1000+13 EMBED Equation.3 1415=1005
Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005 бактерий.

§3.
№ 1.
Решение:
Пусть сопротивление одного х, другого – у. Сопротивление всей цепи при параллельном соединении r, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
При последовательном х + у = R
y= R-x
Имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Сопротивление r - является функцией от х, х принадлежит [0;R]; F(x)=13 EMBED Equation.3 1415
D(f)=R
f’(x)=13 EMBED Equation.3 1415
f’(x)=0, x=13 EMBED Equation.3 1415
f(0)=0, f(R)=0, f(13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415
при х=13 EMBED Equation.3 1415сопротивление всей цепи при параллельном соединении будет наибольшим.
Ответ: сопротивления должны быть одинаковыми.

№ 2.
Решение:
Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Откуда следует: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Следовательно, 0 = 120 - 9,8t и t
·13 сек. Тогда h = 745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.
Ответ: 720 м.

№ 3.
Решение: E(t)= 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то Е(2)13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 40 Дж
§4.
№ 1.
Решение:
Пусть x см - ширина, y см - высота сечения балки. По теореме Пифагора dІ=xІ+yІ.

Прочность
· балки определяется соотношением
·= kxyІ, где k-коэффициент прочности, зависящий от материала.
·=kxyІ=kx(dІ-xІ) = kdІ-kxі
Исследуем функцию
·(х)=kdІx-kxі на максимум и минимум.
1)
·`(х)=kdІ-3kxІ=k(dІ-3xІ)
2)
·`(x)=0;
k(dІ-3xІ)=0
k
·0 dІ=3xІ;13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
3) x= -13 EMBED Equation.3 1415 не удовлетворяет условию задачи.

·`(х) + - x

· (x) 13 EMBED Equation.3 1415
max
Знак производной меняется с «+» на «-», значит, при х=13 EMBED Equation.3 1415 функция имеет максимум и балка имеет максимальную прочность.
x=13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415>0
x=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415<0
y=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
§5.
№1.
Решение:
Обозначим глубину канавы через х м, тогда ширина будет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]м, Р(х)=2х+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
Р/(х)=2-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; Р/(х)=0;2х2=4,5; х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи, т.е. х [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](0; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]). Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона канавы 1,5м, вторая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=3м.
Ответ: глубина – 1,5 м, ширина – 3 м.

№2.
Решение:Пусть стеклянная стена представляет собой прямоугольный, одно измерение, которого рано 4 м, а другое примем за x м. Тогда площадь стеклянной стены равна
4хмІ. Суммарная площадь остальных стен равнамІ, а их стоимость руб. Общая стоимость всех стен K=K+K. То получим функцию
Минимум которой требуется найти.   и Следовательно,м. Поскольку  при и при, то. Тогда наименьшее значение функции руб.min
При этом размеры зала 8x10x4.
Ответ: 4 м, 8 м, 10 м.

№ 3.
Решение:Обозначим длину стороны квадрата x м,
а высоту бассейна y м. Тогда м3.Площадь боковой поверхности бассейна с площадью дна равнаНайдемм2, тогда.Найдем производную этой функции:  ; ;  Поскольку при , а при , то  – точка минимума (наименьшего знания функции). Значит наименьше размеры бассейна, заданного объема V=32мі такие; y=м.Ответ: 2м; 2м и 4м
№ 4.
Решение: необходимо ввести прямоугольную систему координат и рассмотреть график функции 13 EMBED Equation.3 1415 графиком является парабола, ветви направлены вниз;
b = 10; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ :13 EMBED Equation.3 1415
§6.
№1.Решение:Заметим, что скорость % погрузки, станков предполагается постоянной. За час погружается 100/% станков. Поэтому прибыль
· предприятия такова:отсюда
-
По смыслу задачи видно, что  – точка наибольшего значения для функции  При этом руб.Ответ: 20 ; 600руб.

№ 2.
Решение:
Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200.
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции Y= -х2+98х+200.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

№3.
Решение:
Решение исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

№4.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 (раскроем скобки и представим дробь в виде разности трёх дробей). Исследуем функцию на наибольшее значение при х>0. Для этого найдём производную и прировняем её к нулю:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Так как х>0, то 13 EMBED Equation.3 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415Исследуя знак производной, легко убедиться в том, что 13 EMBED Equation.3 1415 функция монотонно
возрастает, а при х >92- монотонно убывает =>
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно на отрезке от 1 до 80 функция возрастает и её наибольшее значение достигается на правом конце х=80. и др
А на отрезках от 1 до 120 и от 1до 150 функция меняет характер монотонности, => наибольшее значение достигает в точке х = 92. Производная помогла определить, что хозяйству нет смысла набирать 120 и 150 человек для достижения наибольшей прибыли.
Ответ: 92 рабочих

№5.
Решение:
Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t2 - 4t, U''(t)=0,9t - 4, U'''(t)=0,9. Момент наименьшего оборота при U(t)=0, т.е. при t=8,9. Наименьший оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение оборота. Из U(t)=0 следует t=4,4. Так как U'''(t)>0, то на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.
Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.
Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы:
В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота;
Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства.
Ответ: На пятом месяце (точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить из   кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты.

§7.
№1.Решение: 0D(x)=R
R’(x)=2ax-3x2
2ax-3x2=0; x=0; x=13 EMBED Equation.3 1415.
Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо воздействиям.
Ответ: при х=13 EMBED Equation.3 1415 максимальную реакция организма на введенное лекарство максимальна.

§8.
№ 1.
Решение:
Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке.

Иными словами, E=k13 QUOTE 1415 , где E- освещенность на краю стола, 13 QUOTE 1415 , h- расстояние от лампы до стола.
Вместо функции E=k13 QUOTE 1415 рассмотрим функцию T=13 QUOTE 1415
При этом вместо h можно взять переменную z=13 QUOTE 1415 и найти критические точки T как функции от z:
T=13 QUOTE 1415 , 13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415 ;
T’=0, 13 QUOTE 1415-213 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, т.е.13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 .
Итак, освещенность максимальна, если 13 QUOTE 1415 , т.е. если 13 QUOTE 1415 .
Ответ: 13 QUOTE 1415

№2.
Решение:
Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие. Сила нормального движения саней и вертикальной составляющей силы F:N=P-F sin
·, поэтому сила трения F тр = kN = k(P-Fsin
·). Сани будут двигаться равномерно при условии компенсации горизонтальных сил:
Fx=Fтр., то есть Fcos
·=k (P-Fsin
·). Далее находим силу как функцию угла
·:
F(
·)= kP/(ksin
·+cos
·).
F(
·) =kP(sin
·-kcos
·)/(ksin
·+cos
·)2. Тогда F(
·)=0 при k=tg
·. Определим знак второй производной в этой точке.
Из решения этой задачи можно сделать практический вывод: когда необходимо везти на санях груз по дороге с большим коэффициентом трения, нужно тянуть сани за короткую веревку. Если же коэффициент трения мал, веревка должна быть длинной.
№3.
Решение:
Исследуем расход горючего с помощью производной:
F`(х)=0,007х-0,18х+10,2
F(х)=0,0034х-0,18
0,007х-0,18=0
Х=53
Определим знак 2-й производной в критической точке: F`(х)=0,0034х>0, следовательно, расход горючего при скорости 53км/ч будет наименьшим. F(53)=5,43(л.)
Ответ: 53км/ч
№4.
Решение:
Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]м, длина изгороди Р(х)=3х+[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Р/(х)= 3-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; Р/(х)=0; 3х2=4800; х2=1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи, т.е. х [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](0; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]). Найдем знак производной на промежутке (0;40). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=60м.
Ответ: 40 м и 60 м.
№5.
Решение:
Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь
S(х)= (20-2х)х=20х -2х2;
S /(х)= 20 -4х; S/(х)=0; 20 -4х =0; х = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=5;
По условию задачи х [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](0; 10)
Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м.
Ответ: 5 м, 5 м, 10 м.

Источники информации:
Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. – М.: Просвещение, 1987.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа, 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1993.
Приложение к газете «Первое сентября», « Производная в физике и технике», 2008.

Источники иллюстраций:
1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
5. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
6. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
7. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
8. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
9. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
10. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
11. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
12. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
13. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
14. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
15.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

13PAGE 15

13PAGE 14215

х

92

0

h

·

r

+

f ’

-

f