Программа элективного курса «Задачи планиметрии на ЕГЭ» (11 класс)

Пояснительная записка.
«Нет царского пути в геометрии»
Евклид
Этот элективный курс «Задачи планиметрии на ЕГЭ» ориентирован на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике на профильном уровне, а именно к решению геометрической задачи 16. Он будет полезен для тех, кому интересна геометрия тем, кто хочет приобрести навыки решения планиметрической задачи ЕГЭ повышенного уровня сложности, для тех кто ориентирован на решение заданий с развернутым ответом и планирует сдавать профильный экзамен по математике на высокий балл.
Геометрические задачи на экзамене решают плохо не только потому, что выпускники не знают каких-то фактов, но ещё и потому, что они не могут написать текст решения задачи. Курс поможет поднять математическую культуру учащихся.
В содержании элективного курса, прежде всего рассматриваются геометрические конфигурации, наиболее часто встречающиеся в задачах школьного курса: касающиеся окружности, пересекающиеся окружности, вписанные и описанные окружности треугольника и четырехугольника и т.д., способы нахождения элементов геометрических фигур – медиан, высот, биссектрис треугольника, радиусов вписанных и описанных окружностей т.д., а также некоторые методы решения геометрических задач – метод площадей, метод вспомогательной окружности, удвоение медианы и т.п. Рассматриваются формулировки утверждений, которые не рассматриваются в школьных учебниках в качестве основных, но часто содержатся после соответствующих глав в качестве задач. Разбираются задачи с использованием этих фактов.
Система работы:
Изучение теоретического материала.
Решение подготовительных задач.
Решение тренировочных заданий.
Решение задач повышенной сложности.
Цели курса:
Подготовка к профильному ЕГЭ по математике.
Систематизировать типы геометрических задач ЕГЭ и рассмотреть приемы, методы их решения.
Повысить уровень математической культуры ответов учащихся при решении геометрических задач ЕГЭ.
Задачи курса:
Систематизировать ранее полученные геометрические знания учащихся по планиметрии.
Познакомить учащихся с основными геометрическими конфигурациями, наиболее часто встречающиеся в задачах школьного курса.
Познакомить учащихся с основными приемами, методами решения геометрических задач.
Рассмотреть оформление ответов при решении геометрических задач ЕГЭ.
Научить учащихся оценивать степень сложности задачи и определять рациональный способ ее решения.
Сроки реализации программы:
Курс рассчитан на 35 часов. Программа предполагает изложение теории вопроса, решение подготовительных, тренировочных задач и задач повышенного уровня сложности, самостоятельную работу. В программе проводится распределение учебного времени. Каждое занятие состоит из двух частей: работа под руководством учителя и самостоятельная работа. Домашние задания являются обязательными. Отдельным ученикам предлагаются индивидуальные задания. Программа данного элективного курса позволяет учащимся подготовиться к сдаче профильного экзамена по математике.
Методы обучения: лекция, объяснение, беседа, решение тренировочных заданий, проблемно-поисковый и исследовательские методы.
Формы контроля: проверка домашнего задания, проверка самостоятельно решенных задач, взаимоконтроль, самооценка.

Предполагаемый результат: в результате изучения элективного курса учащиеся должны уметь:
Излагать собственные рассуждения в ходе решения задач;
Формулировать теоретический материал, используемый при решении;
Распознавать тип задачи и знать особенности методов их решения;
Грамотно читать условие задачи и правильно оформлять письменный ответ;
Определять типичные ошибки и анализировать их.
Инструменты для оценивания результатов:
Промежуточный контроль.
Тренировочные задания.
Задания различной сложности для работы в группах.
Итоговая самостоятельная работа с заданиями различного уровня сложности.
Учебно-тематический план элективного курса
«Задачи планиметрии на ЕГЭ»
Цель: Подготовка к профильному ЕГЭ по математике.
Систематизировать типы геометрических задач ЕГЭ и рассмотреть приемы, методы их решения.
Повысить уровень математической культуры ответов учащихся при решении геометрических задач ЕГЭ.
Класс: 11
Срок обучения: 35 часов
Режим занятий: По расписанию
Тема Количество часов Всего Аудиторных Внеаудиторных В т.ч. на практическую деятельность Формы контроля
Вводное занятие. Медиана прямоугольного треугольника. Удвоение медианы. 3 1 2 Проверка Д/зПараллелограмм. Средняя линия треугольника. Трапеция. 3 1 2 Проверка Д/зКак находить высоты и биссектрисы треугольника? 3 1 2 Проверка Д/зОтношения отрезков. Отношение площадей. 3 1 2 с/рКасательная к окружности. 2 1 1 Проверка Д/зКасающиеся окружности. 3 1 2 Проверка Д/зПересекающиеся окружности. 2 1 1 Окружности, связанные с треугольником и четырехугольником. 3 1 2 Пропорциональные отрезки в окружности. 2 1 1 Углы, связанные с окружностью. Метод вспомогательной окружности. 3 1 2 Вспомогательные подобные треугольники. 3 1 2 Некоторые свойства высот и точки их пересечения. 3 1 2 Зачет. 1 1 Итог. 35 8 27 Содержание программы.
Тема1. Вводное занятие. Медиана прямоугольного треугольника. Удвоение медианы. (3 ч.)
Занятие 1,2,3.
Основные группы геометрических задач. Теорема о медиане прямоугольного треугольника. Обратная теорема. Решение задач с помощью дополнительного построения, удвоение медианы.
Тема 2. Параллелограмм. Средняя линия треугольника. Трапеция. (3 ч.)
Занятие 4,5,6.
Свойства и признаки параллелограмма. Теорема о средней линии треугольника. Теорема о медианах треугольника. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. Теорема о параллелограмме, образованном серединами сторон произвольного четырехугольника. Свойства равнобедренной трапеции, признаки. Свойство проекции боковой стороны равнобедренной трапеции и проекции диагонали. Решение задач с дополнительными построениями, связанными с параллельным переносом боковой стороны или диагонали трапеции. Замечательное свойство трапеции.
Тема 3. Как находить высоты и биссектрисы треугольника? (3 ч.)
Занятие 7,8,9.
Метод площадей для вычисления биссектрисы, высоты. Теорема косинусов и свойство биссектрисы треугольника. Квадрат биссектрисы треугольника.
Тема 4. Отношения отрезков. Отношение площадей. (3 ч.)
Занятие 10,11,12.
Решение задач с помощью теоремы о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса). Решение задач с помощью дополнительного построения, которое приводит к дум парам подобных треугольников. Теорема Менелая. Отношение площадей треугольников.
Тема 5. Касательная к окружности. (2 ч.)
Занятие 13,14.
Определение касательной к окружности. Свойства касательной .Тема 6. Касающиеся окружности.(3 ч.)
Занятие 15, 16, 17.
Определение касающихся окружностей. Виды касания (касаются извне, касаются изнутри). Свойство касающихся окружностей.
Тема 7. Пересекающиеся окружности. (2 ч.)
Занятие 18,19.
Свойство пересекающихся окружностей.
Тема 8. Окружности, связанные с треугольником и четырехугольником. (3 ч.)
Занятие 20,21,22.
Центр вписанной и описанной окружности. Методы нахождения радиусов описанной, вписанной и вневписанной окружностей треугольника. Задачи, связанные с вписанными и описанными четырехугольниками.
Тема 9. Пропорциональные отрезки в окружности. (2 ч.)
Занятие 23,24.
Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, теорема о касательной и секущей, следствия из этих теорем.
Тема 10. Углы, связанные с окружностью. Метод вспомогательной окружности. (3 ч.)
Занятие 25, 26, 27.
Величина дуги, центральный и вписанный угол. Угол между касательной и хордой. Метод вспомогательной окружности. Условия, при которых четыре точки лежат на окружности.
Тема 10. Вспомогательные подобные треугольники. (3 ч.)
Занятие 28, 29, 30.
Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников. Задачи на отыскание пары подобных треугольников.
Тема 11. Некоторые свойства высот и точки их пересечения. (3 ч.)
Занятие 31,32, 33.
Свойства высот и точки их пересечения.
Тема 12. Геометрические задачи повышенного уровня сложности ЕГЭ. (2 ч.)
Занятие 34,35.
Решение геометрических задач 16 ЕГЭ по математике на профильном уровне.
Тема 13. Зачет. (1ч.)
Занятие 35.
Самостоятельная работа. Зачет.
Литература
Аккужина М.М. Планиметрия в ЕГЭ. Учебно-методическое пособие. Пермь, 2013.
Атансян Л.С., Бутусов В.Ф., Кадомцев С.Б., Поздняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2009.
Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы. М.: МЦНМО, 2014.
Гордин Р.К. Избранные задачи школьной геометрии. Базовый и профильные уровни. М.: МЦНМО, 2015.
Гордин Р.К. ЕГЭ 2017.Математика. Решение задачи 16. Профильный уровень. М.: МЦНМО, 2017.
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. М.: МЦНМО, 2007.
Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под редакцией М.И. Сканави. М.: ОНИКС 21 век, АЛЬЯНС-В, 2000.
Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. М.: Астрель АСТ, 2001.
Шарыгин И.Ф.Задачи по геометрии. Планиметрия. М.: Наука, 1986. (Библиотечка «Квант»; вып.17).
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. М.: Просвещение, 1989.
Информационно-поисковая система «Задачи по геометрии»: [Электронный ресурс]. URL: http://zadachi.mccme.ru
Открытый банк заданий ЕГЭ по математике. [Электронный ресурс.] –www.mathege.ru