Материал по алгебре на тему Решение уравнений высших степеней (10 класс)
СОДЕРЖАНИЕ
1.Введение
2. История
Глава 1. Решение уравнений высших степеней методом разложения на множители.
Разложение на множители методом группировки.
Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.
Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится
к решению квадратных уравнений.
2.1. Биквадратные уравнения.
2.2. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.
2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению
квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.
2.4. Возвратные уравнения.
2.5. Уравнения вида .
2.6. Уравнения вида .
Глава 3. Решение уравнений высших степеней методом введения новой переменной.
Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших степеней.
Литература.
Цели и задачи:
Цель работы:
рассмотреть различные способы решения алгебраических уравнений;
проанализировать существующие способы решения уравнений высших
степеней.
Задачи работы:
изучить алгоритм решения алгебраических уравнений высших степеней, используя:
Общий способ,
Формулу Кардано,
Схему Горнера;
рассмотреть различные способы и методы решения уравнений высших степеней:
Разложение на множители. Способ группировки;
Замена переменной;
Метод деления на многочлен, содержащий переменную;
Метод выделения полного квадрата.
показать некоторые нетрадиционные способы решений уравнений
Глава 1. Решение уравнений высших степеней
методом разложения на множители.
Один из способов решения уравнения состоит в разложении многочлена на множители, что позволяет свести решение исходного уравнения к решению нескольких уравнений более низких степеней.
Разложение на множители методом группировки.
Решение уравнений высших степеней является трудной задачей, и нельзя указать универсального способа нахождения корней. Рассмотрим некоторые из них на примерах.
Пример 1. Решите уравнение (х +1)(х+2) + (х +2)(х+1) = 2
Решение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
;
;
;
;
;
;
; или ;
х = -1. D = 1 – 16 = -15, D < 0, значит квадратное уравнение
действительных корней не имеет.
Ответ: х = -1.
Пример 2. Решите уравнение
Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.
;
;
;
; или ;
х₁ = 2; х₂ = -2.
Ответ: х₁ = 2; х₂ = -2; .
Пример 3. Решите уравнение
Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.
;
;
;
;
2х - 1 = 0; х – 1 = 0; х + 1 = 0;
х₁ = 0,5. х₂ = 1. х ₃ = -1.
Ответ: х₁ = 0,5; х₂ = 1; х ₃ = -1.
Пример 4. Решите уравнение
Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.
;
;
;
; или ;
х₁ = ; Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю,
х₂ = -. следовательно, корни уравнения х₃ = 1; х₄ = 3.
Ответ: х₁ = ; х₂ = -; х₃ = 1; х₄ = 3.
Пример 5. Решите уравнение
Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х – 1). Получаем:
;
Тогда ;
;
;
;
; x = 0; х = 1 - не является корнем. Ответ: х = 0.
Пример 6. Решите уравнение
Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х – 1). Получаем:
(х – 1)∙ ∙ (х – 1);
;
;
;
;
;
Х₁ = 0; или
х ₂ = -1; х₃ = 1 - не является корнем.
Ответ: Х₁ = 0; х ₂ = -1.
Пример 7. Решите уравнение
Решение. Используя формулы сокращенного умножения
, представив левую часть уравнения в виде произведения, а правую часть перенести влево. Получим:
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
2)
Ответ:
. Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.
Для изучения уравнений высших степеней
(1)
первостепенное значение имеет теорема Безу и ее следствия.
Теорема Безу:
Остаток от деления многочлена относительно x на двучлен х – а равен значению этого многочлена при х , равном а.
Следствие:
1)Для того чтобы многочлен f(x) делился на х – а необходимо и достаточно, чтобы f(a) = 0.
2) Для того чтобы многочлен f(x) делился на х + а необходимо и достаточно, чтобы f(-a)=0.
3) Таким образом, если число - корень уравнения, то левую часть уравнения (1) можно записать в виде: , где многочлен степени n-1.
Как же найти корень ? Вспомним теорема Виета.
Теорема Виета:
Корни уравнения ,
с его коэффициентами связаны следующими соотношениями:
Таким образом, для того чтобы несократимая дробь была корнем уравнения с целыми коэффициентами ,
Необходимо и достаточно, чтобы p было делителем свободного члена
, а q – делителем коэффициента .
Если уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при равен 1, то рациональными корнями могут быть только целыми числами.
Целые корни уравнения с целыми коэффициентами
являются делителями свободного члена. (Это свойство позволяет легко найти корни уравнения с целыми коэффициентами.)
Число 1 является корнем уравнения с целыми коэффициентами, если сумма всех коэффициентов равна нулю.
Число -1 является корнем уравнения с целыми коэффициентами, если суммы коэффициентов при слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степени.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Так как уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при равен 1 , то целыми корнями могут быть только делители свободного члена, то есть 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6.
Число 1 является ли корнем уравнения, так как сумму коэффициентов: 1 – 6 +11 - 6 = 0. Тогда на основании теоремы Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на двучлен х – 1. Используя схему Горнера разделим левую часть на х – 1:
1 -6 11 -6
1 1 -5 6 0
Квадратный трехчлен легко разложит на множители, используя теорему Виета: корни
Таким образом, левую часть уравнения мы разложили на множители:
Ответ:
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. Делителями числа 18 будут числа 1, 2, 3, 6, 9, а делителями числа 3 – числа 1 и 3. Среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±
Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 3 – 4 + 5 - 18 ≠ 0.
Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 3 + 5 ≠ -4 – 18.
По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.
3 -4 5 -18
2 3 2 9 0
Используя следствие из теоремы Безу, запишем уравнение в виде:.
Уравнение корней не имеет, так как D = 4 – 108 = -104, D<0.
Ответ : х = 2
Пример 3. Решите уравнение .
Решение . Делителями числа 3 будут числа 1, 3, а делителями числа 8 – числа 1 ,2, 4, 8. Среди чисел ±1, ±.
Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 – 13 + 6 – 1 + 3 ≠ 0.
Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 – 13 + 3 ≠ 6 – 1.
По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.
8 6 -13 -1 3
8 -4+6=2 -1-13=-14 7-1=6 -3+3=0
Число -0,5 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Найдем корни уравнения ,
среди чисел ±1, ±2, ±3,±6,
Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 – 14 + 6 +2 ≠ 0.
Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 – 14 ≠ 6 + 2.
По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.
8 2 -14 6
8 6+2=8 6-14=-8 -6+6=0
Число является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: 1) 2) 3)
Ответ :
Пример 4. Решите уравнение
Решение. Среди делителей числа 3 - ±1, ±3 будем искать корни уравнения. Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма
1+ 4 +6 + 3 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма
6 + 1 = 4 + 3. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х + 1.
1 4 6 3
-1 1 -1 + 4 =3 -3 +6 = 3 -3 + 3 = 0
Число -1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
и 2)
Ответ: х₁ = -1.
Пример 5. Решите уравнение .
Решение. Среди чисел ±1, ±2, ±5, ± найдем корень уравнения .
Число 1 является корнем уравнения, так как сумма
2 – 1 - 9 + 13 - 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.
2 -1 -9 13 -5
1 2 1 -8 5 0
Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
.
Найдем корни уравнения среди чисел ±1, ±5,
Число 1 является корнем уравнения, так как сумма
2 + 1 - 8 + 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.
2 1 -8 5
1 2 3 -5 0
Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде: . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
2)так как сумма коэффициентов равна
нулю.
Ответ:
Пример 6. Решите уравнения .
Решение. Корни уравнения будем искать среди делителей числа -120.
Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма
1 – 4 – 19 + 106 - 120 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма 1 - 19 - 120 ≠ - 4 + 106.
По схеме Горнера найдем корни уравнения.
1 -4 -19 106 -120
2 1 -2 -4-19=-23 -46+106=60 120-120=0
Число 2 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Найдем корни уравнения среди делителей числа 60.
По схеме Горнера найдем корни уравнения.
1 -2 -23 60
4 1 2 8-23=-15 -60+60=0
Число 4 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
2) 3)
Ответ:
Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится к решению квадратных уравнений.
Рассмотрим частные случаи, в которых решение уравнений высших степеней приводится к решению квадратных уравнений.
2.1 Биквадратные уравнения;
2.2. Сравнения, содержащие взаимно обратные выражения;
2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.
Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата, рассмотрим на следующих примерах.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим
или
Обозначим ; тогда уравнение примет вид , так как сумма коэффициентов равна нулю, то и Так как , то
или
D=b - 4ac; D=9 + 4 = 13. D=b - 4ac; D= 9 + 12 = 21.
Ответ: ; .
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим
или
Раскладывая левую часть уравнения на множители, как разность квадратов, получаем
Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
1)
D=b - 4ac;
D=1 – 4 = -3 - уравнение действительных корней не имеет,
и уравнение
2)
D=b - 4ac; D=9 + 4 = 13 – два действительных корня,
;
Ответ: ;
2.4. Возвратные уравнения.
Целое алгебраическое уравнение
называется возвратным, если совпадают коэффициенты при слагаемых, сумма степеней которых равна степени многочлена, т.е. ….
Алгебраическое уравнение четвертой степени вида ,
е ≠ 0, называется возвратным, если коэффициенты связаны равенствами - некоторое число.
Легко показать, что если - корень возвратного уравнения, то и - также корень этого уравнения.
Для решения этих уравнений используют метод замены переменной
или .
Пример 1. Решите уравнение
Решение. Разделив обе части уравнения на х≠ 0, получим
, или
Обозначим , тогда или , тогда уравнение примет вид , или
D=b - 4ac; D=9 + 160 = 169 – два действительных корня
, .
Так как , получим два уравнения.
1)
Умножим уравнение на 2х , получим квадратные уравнения
D=b - 4ac; D = (-5) - 16 = 9 – два действительных корня.
; .
2)
Умножим уравнение на х , получим уравнение
k = b : 2 , k=2
D₁ = k - ac; D₁ = 2 - 1 = 3 – два действительных корня
, .
Ответ: , х₂ = 0,5, , .
Пример 2. Решите уравнение
Решение. Сгруппируем слагаемые:
Сделаем подстановку , тогда . Отсюда .
В результате приходим к уравнению:
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
и 2)
Ответ:
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Обозначим , тогда , тогда . Запишем исходное уравнение в новых обозначениях
- по теореме Виета.
Так как , то получим 2 уравнения:
2)
Ответ:
Пример 4. Решите уравнение
Решение. Обозначим , тогда , тогда . Запишем исходное уравнение в новых обозначениях
- по теореме Виета.
Так как , то получим 2 уравнения:
2)
Ответ:
2.5. Решение уравнений вида
Решение уравнений вида ( ) приводится к решению квадратного уравнения делением на х (как возвратного), если
. Поэтому такое уравнение иногда называют возвратным.
Пример. Решите уравнение .
Решение. Так как условие выполняется, т.е. или 25 = 25,
то обе части уравнения делим на х; получим
, или
Обозначим ; тогда , тогда уравнение примет вид
или
D=b - 4ac; D = (-21) - 432 = 441- 432 = 9 – два действительных корня.
, .
Так как получим два уравнения:
по теореме Виета 2)
Ответ: ; ; ;
2.6. Решение уравнения вида .
Уравнения вида приводится к биквадратному уравнению заменой
заменим
Вычитая, получим или , тогда
Или
Относительно t уравнение примет вид:
или, после упрощений, .
Заметим, что решение будет аналогичным, если степень двучленов будет и другой. В работе рассмотрены примеры с показателем степени 3; 4; 5.
Пример 1. Решите уравнение (7 - х) + (9 - х) = 16.
Решение. Введем новую переменную у = 8 – х.
После замены выражения х на 8 – у , исходное уравнение приводим к виду
(у - 1) + (у + 1) = 16.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
;
;
;
Пусть , тогда получим квадратное уравнение .
Сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю,
значит t₁ = 1; t₂ = -7.
= 1; или = -7 - данное уравнение корней не имеет.
y₁ = 1; y₂ = -1.
Так как у = 8 - х, то 8 - х= 1; или 8 - х= -1;
х = 7; х= 9;
х₁ = ; х₂ = - . х₃ = 3; х₄ = -3.
Ответ: х₁ = ; х₂ = - ; х₃ = 3; х₄ = -3.
Пример 2. Решите уравнение (х +3) - (х +1) = 56 .
Решение. Введем новую переменную у = х +2.
После замены переменной х на выражение у - 2 , исходное уравнение приводим к виду (у +1) - (у - 1) = 56. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
;
2 ∙ (;
2 ∙ (3;
;
;
; y₁ = 3; y₂ = -3.
Так как у = х +2 , то х +2 =3; или х +2 = -3;
х₁ = 1 ; х₂ = -5. Ответ: х₁ = 1 ; х₂ = -5.
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Введем новую переменную у = х + 1. После замены переменной х на выражение у - 1 , исходное уравнение приводим к виду
(у - 2) + (у + 2) = 242 ∙ у Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
;
;
;
;
у = 0; или - это биквадратное уравнение.
Пусть t = , тогда получим квадратное уравнение
, сумма коэффициентов этого уравнения
равна нулю, следовательно ; .
Так как t = , то = 1; или = - 41
y₁ = 1; y₂ = -1. Уравнение корней не имеет.
Так как у = х + 1, то х + 1 = 1; х + 1 = -1; х + 1 = 0;
х₁ = 0. х₂ = -2. х₃ = -1.
Ответ: х₁ = 0; х₂ = -2; х₃ = -1.
2.7. Решение уравнения вида .
Уравнение вида приводится к решению квадратного уравнения, если a + b = c + d или a + c = b + d или
a + d = b + c.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Раскроем скобки, группируя их следующим образом, получим
Сделаем замену у = . Тогда получаем:
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
=41 и = - 41
По теореме Виета: D=25 – 184 = -159, D < 0
уравнение действительных корней не имеет.
Ответ : х₁ =-9; х₂ = 4.
Пример 2. Решите уравнение
Решение. С группируем скобки следующим образом:
раскроем скобки и приведем подобные слагаемые
Сделаем замену . Тогда получим:
или
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
2)
Ответ:
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Сгруппируем множители следующим образом:
Обозначим . Тогда получим :
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
и 2)
Ответ:
Пример 4. Решите уравнение
Решение. Так как 2 + 1 =-3 + 6, то можно сгруппировать множители левой части уравнения так: ,
или
Обозначим, тогда относительно получим:
По теореме Виета.
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.
По теореме Виета. 2)
Ответ:
Глава 3. Решение уравнений методом замены неизвестного.
Решение многих уравнений заключается в сведении их к уравнениям видов рассмотренных в главе 2, способом введения вспомогательной неизвестной.
Пример 1. Решите уравнение
Решение. Введем новую переменную , получим:
или разделив на ,
Решением данного уравнения является число -1, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степеней равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степеней. (2+1=3)
Используя схему Горнера , получим:
х 2 0 1 3
-1 2 -2 3 0
Левую часть уравнения можно разложить на множители:
Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
данное уравнение действительных корней не имеет.
у + 2 = 0,
у = -2.
Ответ: у = - 2.
Пример2. Решите уравнение
Введем новую переменную , тогда уравнение примет вид: Пусть , получим уравнение:
Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, значит
t₁ = 1, t₂ =32. Таким образом: или
Так как , получим два уравнения: или
Ответ: х₁ = 1; х₂ =4.
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Введем новую переменную , тогда уравнение примет вид:
По теореме Виета:
Так как , то получим два уравнения:
2)
Ответ: х₁ =-3; х₂ = -2; х₃ =1; х₄ =2.
Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших
степеней.
Пример 1. Найдите действительные корни уравнения
Решение. Поскольку в левой части уравнения стоит выражение все слагаемые, которого неотрицательные, а по условию их сумма равна нулю, то это возможно лишь при условии, что каждое слагаемое равно нулю: или
Ответ: х = 1,8.
Пример 2. Решите уравнение .
Рассмотрим два способа решения данного уравнения . Решение. 1 способ. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому разделим левую и правую части уравнения на выражение (х – 1), получим
, так как
Далее заменим и уравнение примет вид . Сумма коэффициентов данного уравнения равна нулю ( 1 - 5 + 4 = 0), значит корни уравнения ;
Так как , то получим два уравнения:
2)
D < 0 – данное уравнение х = 2.
корней не имеет. Ответ: х = 2.
2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим уравнение четвертой степени:
1. Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена
±1; ≠2; ± 4, целые корни уравнения.
Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то х=1 не является корнем уравнения. (1 – 5 + 9 – 8 + 4 ≠ 0)
Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.
(1+ 9 +4≠ - 5 – 8). Составим таблицу:
х 1 - 5 9 - 8 4
2 1 - 3 3 - 2 0
Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: .
Решим уравнение
Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена
±1; ≠2, целые корни уравнения.
Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то х=1 не является корнем уравнения. (1 – 3 + 3 – 2 ≠ 0)
Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.
(1+ 3 ≠ - 3 – 2). Составим таблицу:
х 1 -3 3 -2
2 1 - 1 1 0
Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: .
Таким образом, левую часть уравнения
можно разложить на множители следующим образом: Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
2)
данное уравнение
действительных корней не имеет.
Ответ: х = 2.
Я привела два способа решения уравнения ,
чтобы показать, насколько первый способ проще и необходимость поиска рациональных способов решения.
Пример 3. Решим уравнение .
Решение. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х – 1), получим,
Так как х≠1, то уравнение имеет один корень х = 0.
Ответ: х = 0.
Пример 4. Решите уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде
или
откуда
Решим два уравнения:
1) 2)
D= 6 - 4(3 + )= - 6 - 4 D = 6 – 4 (3 - )= - 6 + 4
D < 0, действительных корней нет.
.
Ответ: .
Пример 5. Решите уравнение
Решение. Заметим, что х = -1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х +1), получим:
или
Пусть , ,
Сумма чисел равна 4, а произведение 3 - это числа 1 и 3. Проверим:
х₁ = 1, получим и
х ₂= 3, получим и
Ответ: х₁ = 1, х ₂= 3.
2 способ: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:
Сумма коэффициентов многочлена стоящего в левой части уравнения равна нулю (1 - 7 + 19 - 25 +12 = 0), значит х =1 корень уравнения.
По теореме Безу многочлен делится на х – 1. Выполним деление и получим:
: (х – 1) =.
Найдем корни уравнения =0 среди делителей свободного члена, ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.
Сумма коэффициентов 1 – 6 + 13 – 12 ≠ 0, значит, число 1 не является корнем уравнения.
Так же число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (1 + 13 ≠ -6 – 12)
Составим таблицу и проверим по схеме Горнера:
1 -6 13 -12
2 1 -4 5 -2
3 1 -3 4 0
Число 3 является корнем уравнения, значит, многочлен делится на х – 3. Запишем многочлен в виде :
= (х – 3)( .
Учитывая предыдущие рассуждения, запишем уравнение в виде
Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем три уравнения: х – 1 = 0, или х – 3 = 0, или ,
х₁ =1. х₂ = 3. D = 9 – 16 = -7
D < 0 , корней нет.
Ответ: х₁ =1, х₂ = 3.
Пример 6. Решите уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на 4, получим:
;
;
;
;
.
Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
2)
Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
или
Ответ: ; ; ; .
Пример 7. Решите уравнение
Решение. Используя, равенство преобразуем уравнение.
Раскроем скобки и преобразуем выражение:
Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:
,
D=1 - 4= -3, D < 0, действительных корней нет.
Ответ:
Пример 8. Решите уравнение
Решение. Сумма коэффициентов не равна нулю 1 - 1 + 1 – 1+1 ≠0, число 1 не является корнем уравнения. Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени
(1 + 1 + 1 ≠ - 1 – 1)
Умножим обе части уравнения на (х + 1), получим:
Уравнение , является следствием исходного уравнения , имеет единственный корень х = -1, который не является корнем исходного, значит, уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 9. Решите уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде
Поскольку для любого х имеем и , то данное уравнение равносильно уравнению Решением этого уравнения х =-1, а следовательно и решение исходного.
Ответ: х = -1
2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (2 + 2 – 9 + 7 = 4 – 8 + 6)
По теореме Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на
(х + 1). Выполним деление по схеме Горнера:
2 4 2 -8 -9 6 7
-1 2 2 0 -8 -1 7 0
=0
Рассмотрим уравнение
Так как сумма коэффициентов уравнения не равна нулю, то число 1 не является корнем уравнения, число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени
(2 - 1 = 2 – 8 + 7). Выполним деление по схеме Горнера:
2 2 0 -8 -1 7
-1 2 0 0 -8 7 0
=0,
Рассмотрим уравнение .
Среди чисел ±7 , ±1, нет корней уравнения , значит корнем уравнения является только число -1.
Ответ: х = -1.
Литература
Э.Н. Балаян «750 лучших олимпиадных и занимательных задач
по математике» Ростов-на-Дону «Феникс», 2014
«Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы» под редакцией М.И.Сканави, М. «Высшая школа», 1982.
Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А. «Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров с решениями» , Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2002.
А.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко «Тысяча и один пример. Равенства и неравенства», Сумы «Слобожанщина», 1994.
Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко «Алгебра и элементарные функции» , Х. «Полиграфкнига», 1975.