Решение алгебраических уравнений высших степеней
Урок обобщения и систематизации знаний в 9 классе.
Тема: Решение алгебраических уравнений высших степеней.
Развитие и образование ни одному человеку
не могут быть даны или сообщены.
Всякий, кто желает к ним приобщиться,
должен достигнуть этого
собственной деятельностью,
собственными силами,
собственным напряжением.
А.Дистервег.
Цели:
Обобщить, углубить знания учащихся по этой теме.
Развивать умение наблюдать, сравнивать способы решения уравнений, решать уравнения с параметрами.
Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность. Побуждать учеников к взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.
Оборудование: Экран, мультимедийная установка, таблицы.
У учащихся на столе оценочный лист, работа каждого ученика на уроке связана с этим листом.
Оценочный лист учащегося
Фамилия, имя
Этапы
Задание
Оценка
I
Проверка домашнего задания
II
Диктант
III
Выбор уравнений
IV
Решение уравнений. Индивидуальная работа
Не оценивается
V
Решение уравнений с параметром
Не оценивается
VI
Самостоятельная работа
VII
Подведение итогов урока
VIII
Домашнее задание
Итоговое количество баллов:
(n)
Оценка
Критерии оценок:
«5» - 18 ( n ( 20 баллов;
«4» - 14 ( n ( 16 баллов;
«3» - 11 ( n ( 13 баллов;
«2» - менее 11 баллов.
Ход урока
Учитель. Тема урока: «Решение алгебраических уравнений».
На этом уроке каждый ученик должен уметь верно и рационально решать алгебраические уравнения, потому что эти уравнения – фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.
Эта тема является ступенькой в изучении боле сложного материала математики в средней школе. В конце урока будет проведена самостоятельная работа.
I. Проверка домашнего задания
(На компьютере заранее подготовлено домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям, обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверки).
Предварительное домашнее задание
Решить уравнение х3 – х + 4 = 0 – графическим способом;
Решить уравнение х3 +2х2 -5х - 6 = 0;
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415;
Решение первого уравнения.
Перепишем уравнение в виде: х3 = х – 4.
Построим графики функций у = х3 и у = х – 4.
у
-8 у=х3
у = х - 4
-2 -1,9 0 4
-4
А
Графики функций пересеклись в точке А. Абсцисса этой точки и есть корень уравнения х3 = х – 4.
По рисунку видно, что корень находится в промежутке (-2; 0) и приблизительно равен -1, 9. х ( -1,9.
Ответ: х ( -1,9.
Решение второго уравнения:
х3 +2х2 -5х - 6 = 0,
обозначим Р3(х) = х3 +2х2 -5х – 6. Делители 6: ( 1, ( 2, ( 3, ( 6.
Р3(2) = 8 +8 – 10 – 6 = 0, Р3(-2)
· 0, Р3(-3) = 0,
значит х1 = 2, х2 = -3 – корни уравнения,
тогда х3 +2х2 -5х – 6 = (х – 2)(х + 3)(М1(х),
найдем М1(х)
х3 +2х2 -5х – 6 х2 + х - 6
х3 + х2 – 6х х + 1
х2 + х – 6
х2 + х – 6
0
Получим: х3 +2х2 -5х – 6 = (х – 2)(х + 3)((х + 1),
(х – 2)(х + 3)((х + 1) = 0, получим корни х1 = 2, х2 = -3, х3 = -1.
Ответ: х1 = 2, х2 = -3, х3 = -1.
Решение третьего уравнения :
13 EMBED Equation.3 1415
Умножим это уравнение на (х – 2)(х + 3)
· 0, получим
4х2(х + 3) – 4х(х – 2) = 9х + 2,
4х3 + 12х2 – 4х2 +8х – 9х – 2 = 0,
4х3 + 8х2 –х – 2 = 0,
4х2 (х + 2) + (х + 2) = 0,
(х + 2) + (4х2 + 1) = 0. Откуда х = -2, а уравнение 4х2 + 1 = 0 не имеет действительных корней.
Проверка.
При х = -2, знаменатели дробей, входящие в исходные уравнения, не равны нулю, значит х = -2 – корень уравнения.
Ответ: х = -2.
В результате обсуждения и проверки домашней работы выясняем сущность способов решения уравнений.
графического способа;
решение уравнений с целыми коэффициентами;
решение дробно-рационального уравнения;
Результаты выполнения домашнего задания заносятся в оценочный лист.
Оценка «5» - нет ошибок, «4» - 2 – 3 ошибки, «3» - более трех ошибок.
II. Диктант
(учитель диктует, но задания написаны на плакате, который висит на доске).
- Назовите целые делители чисел 17, 12.
- Решите уравнение 3х + 2 = 3х + 3.
- Угадайте хотя бы один корень уравнения х3 - 10х + 9 = 0.
- Решите уравнение13 EMBED Equation.3 1415.
- Делится ли нацело квадратный трехчлен х2 - 5х + 6 на х – 2?
- Для какого из многочленов 2х3 - 3х2 + х – 5 и 2х3 - 3х2 + 3х корнем является число 0?
Диктант проверяется с помощью компьютера.
Критерии оценок: «5» - нет ошибок, «4» - одна ошибка, «3» - две ошибки.
III. На доске записаны уравнения в два столбика:
а) х3 + 7х2 – 2 = 0;
б) х5 + 4х4 – 5х3 + 2х2 – 2 = 0;
в) х4 – 3х2 + 2 = 0;
г) 3х3 + 6х2 – 3х – 6 = 0;
а) 4х5 - 6х4 + 7х3 – 3х2 + а = 0;
б) х4 – 6х3 + 5х2 + 7х + а = 0;
в) 2х2 – 3х2 + 4х + а = 0;
г) х3 - 7х2 + 7х + а = 0;
1) Выбрать из первого столбика уравнения, имеющие корень х = 1.
При каком а каждое из уравнений второго столбика будет иметь корень х = 1.
Проверка задания осуществляется с помощью компьютера.
Критерии оценок: «5» - нет ошибок, «4» - одна ошибка, «3» - две ошибки.
IV. Индивидуальная работа
У доски три ученика решают уравнения, записанные на карточках.
2х3 - 3х2 + 4х – 3 = 0;
х4 – 6х3 + 5х2 + 7х – 7 = 0;
х3 - х2 - 8х + 6 = 0;
Остальные учащиеся решают уравнение
2х4 – 5х3 - х2 + 5х + 2 = 0
Один из учащихся комментирует ход решения с места.
Это возвратное уравнение. х = 0 не является корнем уравнения. Делим уравнение на х2.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Вводим замену 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
2(t2 + 2) – 5t -1 = 0; 2t2 + 4 – 5t – 1 = 0;
2t2 – 5t + 3 = 0; D = 25 – 24 = 1.
t1 = 3/2; t2 = 1.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Решая первое уравнение, получим: 13 EMBED Equation.3 1415, х1 = 2, х2 = -1/2.
Решая второе уравнение, получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: х1 = 2, х2 = -1/2, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Работу учащихся оценивает учитель:
«5» - нет ошибок, «4» - одна ошибка, «3» - две ошибки.
Решение третьего уравнения х3 - х2 - 8х + 6 = 0.
Делители 6: (1, (2, (3, (6.
Обозначим Р3(х) = х3 - х2 - 8х + 6,
Р3(2)
· 0, Р3(-2)
· 0, Р3(3) = 27 - 9 - 24 + 6 = 0, х1 = 3 – корень.
Р3(х) = (х – 3)М2(х). Найдем М2(х).
х3 - х2 - 8х + 6 х-3
х3 - 3х2 х2 + 2х - 2
2х2–8х +6
2х2–6х
-2х + 6
-2х + 6
0
х3 - х2 - 8х + 6 = (х – 3)( х2 + 2х – 2);
(х – 3)( х2 + 2х – 2) = 0;
х1 = 3, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: х1 = 3, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
V. Решение уравнений, содержащих параметр.
На доске три уравнения.
ах3 - 2х2 - 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен – 2.
х3 + ах2 - 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен 3.
х3 - х2 + ах + 12 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен – 3.
Ученик решает первое уравнение на доске.
ах3 - 2х2 - 5х + 6 = 0
Ученик. Так как -2 является корнем уравнения, то
а(-2)3 – 2(-2)2 – 5(-2) + 6 = 0
-8а – 8 + 10 + 6 = 0, а = 1, тогда х3 - 2х2 - 5х + 6 = 0.
Сумма коэффициентов равна нулю, значит х = 1 является корнем уравнения, т.е. два корня найдены. Находим третий корень.
х3 - 2х2 - 5х + 6 х2 + х - 2
х3 + х2 - 2х х-3
-3х2–3х +6
-3х2–3х +6
0
- 2х2 - 5х + 6 = (х + 2)(х – 1)(х – 1), х = 3 – третий корень.
Ответ: х1 = -2, х2 = 1, х3 = 3.
Второе уравнение решает другой ученик на доске с комментариями, а третий ученик в это время решает третье уравнение на обратной стороне доски.
Решение третьего уравнения проверяем все вместе.
х3 - х2 + ах + 12 = 0
Так как х = -3, то -27 – 9 – 3а + 12 = 0, -3а = 24, а = -8.
Тогда х3 - х2 – 8х + 12 = 0; Р3(х) = х3 - х2 - 8х + 12 = (х + 3)М2(х),
х3 - х2 - 8х + 12 х +3
х3 +3х2 х2 - 4х + 4
- 4х2–8х +12
4х2–12х
4х+12
4х +12
0
х3 - х2 – 8х + 12 = (х + 3)(х2 - 4х + 4); (х + 3)(х2 - 4х + 4) = 0;
Корнями уравнения являются х1 = - 3, х2 = 2, х3 = 2.
Ответ: х1 = - 3, х2,3 = 2
VI. Самостоятельная работа по вариантам
I вариант II вариант
1) Решите уравнение
х3 - 4х2 - 9х + 36 = 0 х3 - 5х2 - 8х + 40 = 0
2) Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) Найдите а и решите уравнение, если известен один из его корней
2х3 – (а+4)х2 + 2(а - 1)х + а = 0 6х3 + 2(а-9)х2 - 3(2а - 1)х + а = 0
х1 = 1/2 х1 = 1/3
Ответы:
1) х1 = - 3, х2 = 3, х3 = 4 1) х1 = 5, 13 EMBED Equation.3 1415 , х3 =13 EMBED Equation.3 1415
2) х = 1 2) х1 = 1/2, х2 = - 1/3
3) а = 1, х1 =1/2, 13 EMBED Equation.3 1415 3) а = -1, х1 = 1/3, 13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельная работа выполняется на листочках . Листок ученики подписывают и сдают учителю, предварительно выписав свои ответы в тетради. Проверка, оценивание и подведение итогов осуществляется при помощи компьютера.
Критерии оценок:
«5» - выполнено верно,
«4» - за два правильных задания,
«3» - за одно задание.
VII. Подведение итогов урока
Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели урока, оценивает работу каждого ученика, дает пояснение по домашнему заданию.
VIII. Домашнее задание
Если ученик получил оценку «4» или «5», то задание такое:
Решить уравнения
4х4 - 11х2 + 9х - 2 = 0
13 EMBED Equation.3 1415
Если ученик получил оценку «3», то решить уравнения:
х3 - 3х - 2 = 0
х3 - 4х2 + 5х - 2 = 0
13PAGE 15
13PAGE 14115
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native