Вариант систематизации знаний по геометрии при подготовке к ГИА (ОГЭ и ЕГЭ)

Л.Н.КоршуноваЭлементы систематизации знаний учащихся по геометрии при подготовке к ГИА (ОГЭ и ЕГЭ)
«Жизнь украшается двумя вещами: занятиями математикой и ее преподаванием» С.Д. Пуассон
Знакомство современного человека с математикой не бывает эпизодическим. Так устроен окружающий нас мир. Чтобы иметь представление о целостной картине мира, нужно, прежде всего, учиться.
Школьная математика – это, прежде всего, алгебра и геометрия. А геометрия состоит из планиметрии и стереометрии. Количество тем, объем материала по планиметрии порой не подкреплены количеством часов по предмету и, к сожалению, не всегда соответствует тем установкам и целям, которые преследуют авторы введения ОГЭ – экзамена по математике с достаточно представительным по количеству и качеству набором задач по геометрии.
Не секрет, что в последние годы в школах геометрия изучается несколько иначе, чем раньше: меняются акценты, учебные пособия. Уровень подготовки учащихся по геометрии иногда понижается.
И раньше при составлении текстов контрольных работ на вступительных экзаменах в ВУЗах, в частности, в ННГУ, «провальными» считались, в основном, 2 типа задач – с параметрами и задачи по геометрии (планиметрические, прежде всего).
И теперь, ЕГЭ по математике предполагает в КИМах (или ЭМ) наличие не менее 5 задач по геометрии.
А в 9 классе экзаменационные материалы содержат модуль «Геометрия» (5 задач простых и среднего уровня сложности), 1- задачу из «Реальной математики» и во второй части 3 задачи повышенного или высокого уровня сложности.
При этом, форма проведения и проверки результатов экзамена по математике в рамках ГИА, тоже кардинально может измениться.
Получить знания и сформировать устойчивые навыки для решения задач, усвоить базовые основы планиметрии - для учеников теперь более сложная задача. Да и для учителя условия обучения тоже меняются.
Мы знаем о том, что структура мышления, способности, наклонности у разных детей – разные. Даже имея математические способности, не все дети одинаково хорошо воспринимают, понимают и усваивают основы алгебры и начал математического анализа и геометрии.
Можно проанализировать хотя бы некоторые варианты предлагаемых задач в текстах ГИА (ОГЭ 9 класс).
Встречаются элементарные задачи в 1-2 шага. Предлагается достаточно много задач в несколько шагов, требующих знаний, а не поверхностных представлений о предмете исследования. Некоторые задания можно скорректировать, заменив формулировки, условия в формате не тестовой задачи: появляются разные случаи, вариативность способов решения.
512445393469Задача с практическим содержанием сводится к геометрической задаче. План анализа задачи:
Трапеция. Определение
Теорема Фалеса
Определение и свойства средней линии трапеции
Вычисления
Один из двух углов при одной стороне в трапеции на 420 больше другого. Найти больший угол.
-56515635000Определение трапеции
Свойства углов при параллельных прямых
Сумма углов выпуклого четырехугольника
Составление и решение уравнения
Выбор правильного ответа
Замечание: сложность выбора для ученика (нет конкретных указаний, обозначений, названий)
Высота параллелограмма равна стороне и равна 4. Другая сторона параллелограмма равна 5. Найти площадь параллелограмма
-11176021145500
Знание определения параллелограмма
Свойства параллелограмма
Элементы параллелограмма
Формулы площади
Дан треугольник ABC. BN – медиана. BN=ND. Каково взаимное расположение прямых AB и CD
3810004699000Определение медианы
Признаки равенства треугольника
Признаки параллелограмма
Признаки параллельности двух прямых
Треугольник ABC точкой M делит отрезок AC в отношении 1:4, считая от A. Аналогично точка P делит отрезок AB в отношении 2:5.Найти отношение площадей треугольника APM и четырехугольника MCBP.
143106-25584700 Правильный выбор точек
Свойства площадей треугольников с общим углом
Составление отношений отрезков
Вычисление площади части фигуры
Применение алгебры (составление уравнений или пропорций)
-17970585026500 Задача с практическим содержанием. Длина лестницы 13м. точка приложения к дереву находится на высоте 12м от земли. На каком расстоянии от дерева находится нижняя часть лестницы.
Определение прямоугольного треугольника
Теорема Пифагора
Навыки вычисления
3492512382500
Сумма двух углов ромба равна 1260. Каким является больший угол?
Анализ условия (нет конкретных подсказок)
Определение ромба
Свойства ромба (прежде всего углов)
Умение правильно вычислять
Боковые стороны трапеции 13 и 15. Высота делит основание на отрезки 11 и 9. Другое основание равно 6. Найти площадь.
04762500определение трапеции
Формула площади трапеции
Умение выбрать конкретные данные (анализ условия)
Доказать, что AD II BC
-18034018351500признак равенства треугольников
Свойства равных треугольников
Признак параллельности прямых или признак параллелограмма
Прямоугольный треугольник ABC. Угол B=380. CM – медиана, CH – высота. Найти угол MCH.
-18663213727600свойства медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника
Свойства углов треугольника
Умение находить части углов
Под каким углом наклонена лестница длиной 10 м, упирающуюся в стену высотой 5 м? -9715514478000узнавание прямоугольного треугольника (по смыслу задачи)
Свойства угла в 300 (или вычислить sinα)
В треугольнике дан угол в 420. Один из углов треугольника в 2 раза больше другого. Найти указанный внешний угол треугольника
-635-37401500Анализ условия приводит к разным вариантам решения
Внешний угол и его свойства
Сумма углов треугольника
Возможные ответы: 1260; 960; 630;1590
Найти градусную меру центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна четверти длины окружности.
2095513589000Определение центрального угла
Градусная мера окружности
Понятие дуги
Градусная мера центрального угла
АВCD – параллелограмм. Прямая AM пересекает прямую DC в точке N.Выяснить, какими являются треугольники ABM и CMN.
4826010477500Свойства параллелограмма
Свойство вертикальных углов
Свойства углов при параллельных прямых
Признаки подобия треугольников
Приведенные выше примеры показывают, что при решении геометрических задач, в том числе и стереометрических, необходимо знать практически все темы планиметрии:
«Многоугольники» (треугольники, параллелограммы, трапеции и их виды, правильные многоугольники), их свойства, признаки, сопутствующие формулы) 2) «Параллельность»
3) «Окружность» (центральный и вписанный углы, касательная, секущая, хорды, вписанные и описанные многоугольники)
4) «Векторы»; «Координаты»
5) «Соотношения между сторонами и углами треугольника»
Кроме теоретического знания и умения решать геометрические задачи необходимо научить учащихся:
анализировать условия задачи
при необходимости использовать алгебраические методы решения
четко находить соответствия и уметь сопоставлять условия, грамотно ссылаясь на определения, свойства, признаки, сопутствующие формулы.
Эта выборка задач не охватывает все темы, изученные в 7-9 классах (в частности теоремы синусов и косинусов, скалярное произведение векторов, правильные многоугольники). Планиметрию изучают 3 года, значит, уже к 9 классу нужны достаточные знания теоретической базы и хорошие практические навыки, умение выбирать и применять в задаче сведения из разных тем планиметрии.
При этом и для 10 и 11 классов тоже важно наличие у учащихся хорошей базы, заложенной при изучении планиметрии, особенно при прохождении тем «Многогранники», «Круглые тела», «Объемы», «Векторы» и т.д.
ЕГЭ по математике также ориентирует на использование полноценных знаний по планиметрии.
Необходима, по возможности, более ранняя систематизация знаний учащихся по геометрии, т.е. к 9 классу основной школы.
2 .Возможные подходы при изучении планиметрии в 7-9 классах
Принципы:
Изучение тем, сочетая осознанное выучивание определений, формул, признаков, свойств с отрабатыванием навыков и умений:
а) Отбирать данные
б) Использовать разные способы решения задач, доказательства теорем
в) Строить чертежи, используя варианты построения.
Делать акценты на усвоении особых:
а) свойств
б) формул
в) «нужных» теорем, которые часто являются задачами учебника. (Аналогично и в 10 классе) Например:
Знание среднего геометрического в прямоугольном треугольнике
Свойства хорд, касательных, секущих
Свойства и признаки вписанных и описанных многоугольников, сопутствующие им формулы.
Знакомство со специальными теоремами (Чевы, Менелая), формулами, координатным и векторным методами.
Дополнять многие «простые» задачи вопросами или заданиями, связывающими изучаемую тему с другими темами. Например, задачи:
Параллелограмм имеет диагонали 8 и 6 см. Найти: его площадь, площадь вписанного круга, синус угла параллелограмма.
Параллелограмм имеет стороны, отличающиеся на 2 см, а периметр равен 28 см. Найти: его площадь, площадь описанного круга, диагонали.
Задавать задачи с возможными вариантами. Например:
Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3 см и 4 см. Найти: его периметр, площадь, длину описанной окружности (вписанной окружности), синусы (косинусы, тангенсы, котангенсы) острых углов.После выбранного варианта решения или при проведении анализа условия рассматривается вопрос: «Сколько возможно случаев?».
В равнобедренном треугольнике один угол равен А) 1200, Б) 300 противолежащая сторона имеет длину 83 см.
Найти: а) все углы треугольника
б) площадь треугольника
в) площадь описанного круга
После проведения анализа условия делается вывод. А)1200 – мера угла только при вершине; Б) задача имеет 2 решения: 300 – мера угла при вершине или при основании.
А) а) 1200, 300, 300
б) a=83 b – боковая сторона; b=a2÷32=a3; b=8 в) Sтреуг=12b2sin1200 Sтреуг=12*64*12=16 г) 2R=asin1200 ; 2R=8312 ; 2R=2*83; R=83 д) Sкруга=πR2; Sкруга=64*3π=192π
Б) а) 300, 750, 750 или а) 300, 300, 1200 (при этом получается задача А)
б) a=83 b – боковая сторона. По теореме косинусов:
a2=2b2-2b2*cos30064*3=2b21-32192=b2(2-3)b2=1922-3b2=192(2+3)4-3b2=1922+3 в) Sтреуг=12b2sin300; Sтреуг=12*1922+3*12=48(2+3) г) 2R=asin300 ; 2R=8312 ; R=83; Sкр=192πИспользовать элементы систематизации при прохождении одной или нескольких тем
а) Включать задачи для повторения
б) Проводить уроки обобщения
в) Применять в работе тестовые задания
г) Предлагать домашние контрольные работы, включая вопросы и/или задачи по повторению
д) Ввести в практику составление планов-конспектов во время и до прохождения темы
Предлагать в домашнем задании сделать подбор пар задач по изучаемой теме разной категории («простая» - «сложная», «понятная» – «непонятная», «трафаретная» - «интересная» и т.п.)
Составлять таблицы, схемы по изучаемой теме или по темам повторения (в том числе сравнительных, с сопоставлением, аналогиями)
Например, таблицы-схемы при изучении тем в 8 классе:
«Центральные и вписанные углы»
I. Повторение.
1) Угол. Определение, элементы угла, виды углов.
2) Построение угла, равного данному.
3) Градусная мера угла, единицы другие.
4) Окружность.
II. Объяснение. Тема: «Центральные и вписанные углы.»281992052185-92837018542000297180013716000
1) Определение 1) Определение



2) Свойство:2) Свойство:
525780031115004000500311150040005003740150040005003111500160020031115003429003111500342900374015003429003111500
358244620666400Доказательство.

O внутри угла
O вне угла
__________________________________________________________________
Вывод: Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу окружности, то центральный угол в 2 раза больше вписанного угла.

Различные формы занятий:
Уроки – консультации( учитель - ученик, ученик – ученик)
Уроки с групповой формой работы (пары, микрогруппы)
Зачеты по теории и практике
Конкурсы (соревнования):
а) прорешивание большого количества определенных задач
б) поиск и применение различных способов решения задачи
Выполнение практических (лабораторных) работ, в том числе через проектную деятельность (с использованием материалов по изучаемой теме)
Сочинения (сказки, детективы)
Задачи с «картинками»
Задачи на построение и др.
Организация текущего и итогового повторения
Повторение в начале года
Проведение контрольной работы по преемственности
Повторение при изучении новой темы
Повторение с использованием
Мнемонических правил
Визуальных объектов
Геометрических иллюстраций
Сравнительных таблиц и др.
Выводы:
Нужно выделить в каждом классе (7-9) основные идеи и на них акцентировать внимание учащихся
в течение текущего учебного года
в конце этого года
в течение и 7, и 8, и 9 класса
Требовать знания основных определений, свойств и воспроизведения основных формул (в системе), но учитывая психологические и возрастные особенности учащихся
При каждом «удобном» случае на уроке не жалеть времени на:
интересный факт
логичное по ситуации повторение
дополнительные вопросы
дополнительные сведения исторического плана (я их называю «лирические отступления»)
метапредметные связи
Система подготовки к ЕГЭ через повторение материалов из планиметрии в 10-11 классах
Повторение основных тем в начале учебного года в 10 классе. Проведение контрольной работы по преемственности
Повторение опорных тем при прохождении материалов по стереометрии
Векторы
Перпендикуляр и наклонные
Угол и двугранный угол
Окружность, круг и сфера, шар
Прямая, касательная к окружности и плоскость, касательная к сфере
Теорема синусов, косинусов
Формулы площади
Правильные многоугольники и правильные многогранники
Свойства хорд, касательных, секущих к окружности
Окружность и многоугольники, сфера и многогранники,
Сечения цилиндра, конуса и многоугольники
Особенно это важно при изучении тем: «Круглые тела», «Многогранники и круглые тела», «Многогранники (призма, пирамида, правильные многогранники)», «Объемы геометрических тел», «ГМТ равноудаленных от точек прямых, плоскостей».
Дополнительные занятия (кружок, факультатив)
Расширение сведений по планиметрии (специальные формулы, теоремы)
Подготовка по текстам ЕГЭ
Прорешивание тестовых задач по планиметрии и стереометрии (компьютерные тестирования, решение задач из специальных сборников)
Дистанционное обучение
Использование ЭОР
Подготовка и использование ученических презентаций, разработок по вопросам повторения в планиметрии и стереометрии
Целенаправленная подготовка к ЕГЭ
Прорешивание тестов, задач на повторение (на уроках)
Составление планов-конспектов по темам
Подбор задач по отдельным темам
Подбор задач по способам решения
Прорешивание задач в течение года (периодически) или домашних контрольных работ с отчетом:
а) проверка домашнего задания
б) оценивание выполненного объема работы
в) «защита» на уроке
г) отчет
Отчет может быть в разной форме: традиционной или инновационной.
Например.
Защита компьютерной презентации
Моделирование
Составление схем и таблиц (сравнение, сопоставление)
10 класс
Таблица 1. «Пирамида с особенностями боковых ребер и боковых граней»
Боковые ребра Боковые грани
равнонаклонены к основанию
Это значит
боковые ребра равны
боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды
основание высоты пирамиды – центр описанной около основания окружности
все боковые грани – равнобедренные треугольники
610119-282900
высоты боковых граней равнонаклонены к основанию
высоты боковых граней образуют равные углы с высотой пирамиды
основание высоты пирамиды – центр вписанной в основание окружности
высоты боков45974021399500ых граней равны
141368357670 10837725767000
444690518224500Правильная пирамида
все боковые ребра равны
все боковые грани равны
апофемы равны
двугранные углы при основании равны
двугранные углы при боковых ребрах равны
боковые ребра образуют равные углы с основанием
боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды
апофемы образуют равные углы с основанием
апофемы образуют равные углы с высотой пирамиды
основание высоты пирамиды – центр основания (центр вписанной и описанной окружностей)
Таблица 2. «Пирамида с особенностями боковых ребер и боковых граней»
Боковые ребра Боковые грани
перпендикулярны к основанию
только одно боковое ребро может быть перпендикулярно к основанию
две боковые грани, проходящие через это ребро перпендикулярны к основанию
эти боковые грани – прямоугольные треугольники
боковое ребро – высота пирамиды 160072016896560048542921532300
одна боковая грань может быть перпендикулярна к основанию
высота боковой грани – высота пирамиды
или
две соседние боковые грани могут быть перпендикулярны к основанию
их общее ребро – высота пирамиды
или
две не соседние боковые грани могут быть перпендикулярны к основанию
23749079692500высота пирамиды – это отрезок, лежащий на прямой, по которой пересекаются эти боковые грани
Таблица 3. «Перпендикуляр и наклонная. Расстояние в пространстве» (сравнение планиметрических и стереометрических фигур)
Таблица 4. «Двугранный угол» (Сравнение линейного угла в планиметрии и двугранного угла в стереометрии)
Таблица5. «Углы между прямыми в пространстве, между прямой и плоскостью, между плоскостями». Эти и другие таблицы и схемы могут быть созданы при выполнении домашних заданий, в работе микрогруппы.
«Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии»
А.С.Пушкин

Геометрия – очень интересный предмет, заслуживающий большего внимания со стороны учащихся. Ее изучение помогает развитию логического мышления, пространственного воображения, лучшему восприятию и пониманию красоты и изящества, созданию в сознании целостной картины мира.