Урок математики по теме Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум (1 курс)
Урок по математике для первого курса учреждений среднего профессионального образования
Тема: “ Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум”
Преподаватель математики С.Б. Баранова
Тип занятия: Комбинированный.
Цели занятия
Образовательные:
( выявить взаимосвязь между знаком производной функции на промежутке и монотонностью функции;
( формирование умения находить промежутки монотонности функции с помощью производной;
( формирование умения использовать необходимый признак экстремума и свойства монотонности для нахождения точек экстремума.
Развивающие:
( развитие интуитивного мышления;
( развитие логического мышления на основе индуктивных выводах;
( развитие умения рационально выбирать пути для решения практических задач;
( развитие способности правильно формулировать свои мысли в процессе обобщения изученного.
Воспитательные:
( воспитание навыков рационального планирования учебной деятельности;
( воспитание стремления к творчеству;
( воспитание отношения к учебному труду (инициативность, организованность, целеустремлённость).
Межпредметные связи:
физика, механика, химия (изучение скорости изменения процессов),
экономика отросли (задачи на оптимизацию) и т.д.
Методы обучения:
( продуктивные (эвристическая беседа);
( объяснительно – иллюстративный;
( опытно - индуктивный (выдвижение гипотезы);
( логический (анализ, абстрагирование).
Формы организации познавательной деятельности на уроке:
( фронтальная;
( групповая;
( индивидуально – обособленная .
Обеспечение занятия:
( раздаточный материал;
( информационные листы;
( мультимедийное сопровождение.
Приёмы повышения внимания и интереса студентов к изучаемой теме:
( наводящие вопросы, помогающие выбору правильных путей решения задачи, одновременно указывающие на различные подходы к ней;
( задания на индивидуальное речевое проговаривание правил, определений;
( демонстрация студентам графиков с целью иллюстрирования отдельных выводов;
( предъявление студентам переформулированных вопросов, заданий, облегчающих понимание их смысла;
( намёк – подсказка, содержащий готовую информацию;
( включение студентов в аргументацию выдвинутой гипотезы;
( задания на поиск ошибок в рассуждениях, требующих оригинальной мысли;
( задания на определение степени достоверности;
( мультимедийное сопровождение.
Самостоятельная работа студентов на уроке:
( участие в дискуссии;
( запись основных понятий;
( ответы на поставленные вопросы;
( выполнение практической работы.
Содержание и последовательность излагаемых учебных вопросов:
1. Организационный момент (слайд №1).
2. Проверка домашнего задания – формирование самообразова-тельной компетенции:
( устная работа по таблице производных (таблица № 1);
( обучающая самостоятельная работа, содержащая задания, аналогичные заданным на дом (таблица № 2, слайды № 2 – 6).
3. Ориентировочно – мотивационный этап – формирование ценностно – смысловой компетенции:
( задача на нахождение наибольшего значения (слайд № 7).
4. Актуализация опорных знаний и практических умений – формирование коммуникативной, информационной компетенций:
( эвристическая беседа о графическом способе задания функции;
( свойство монотонности (слайды № 8 – 9);
( работа с графиками (таблица № 3).
5. Исследовательская работа – формирование компетенции продуктивной творческой деятельности:
Выполнение исследовательской работы по выдвижению гипотезы о способе исследования монотонности функции, заданной аналитически:
( построение касательной (слайды № 10 – 11);
( работа по выдвижению гипотезы (инструкционный лист);
( формулировка утвержений (слайд № 12).
6. Восприятие и осознание нового материала – формирование учебно – познавательной компетенции:
( доказательство теоремы о достаточном условии возрастании функции с помощью теоремы Лагранжа (слайды № 13)
( критические точки. Теорема Ферма (слайд № 14);
( алгоритм (слайд № 15);
( выполнение заданий на исследование монотонности функций (таблица, слайды № 16 – 24).
7. Постановка домашнего задания – формирование компетенции личностного самосовершенствования.
8. Рефлексивно – оценочный этап:
( подведение итогов (слайд № 25);
( заключительное слово преподавателя (слайд № 26).
Домашнее задание: ( выполнить задания таблицы № 5 (задания для студентов)
Вопросы для повторения дома:
( нахождение области определения функций, заданных аналитически;
( схема исследования функций.
Технологическая схема урока
Тема
Межпредметные связи
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум.
физика, механика, химия (изучение скорости изменения процессов), экономическая теория (задачи на оптимизацию) и т.д.
Тип занятия
Комбинированный
Формы организации познавательной деятельности
Фронтальная, групповая, индивидуальная
Цели:
Образовательные:
( выявить взаимосвязь между знаком производной функции на промежутке и монотонностью функции;
( формирование умения находить промежутки монотонности функции с помощью производной;
( формирования умения использовать необходимый признак экстремума и свойства монотонности для нахождения точек экстремума.
развивающие:
( развитие интуитив-ного мышления;
( развитие логического мышления на основе индуктивных выводах;
( развитие умения рационально выбирать пути для решения практических задач;
( развитие способности правильно формулировать свои мысли в процессе обобщения изученного.
воспитательные:
( воспитание навыков рационального планирования учебной деятельности;
( воспитание стрем-ления к творчеству;
( воспитание отно-шения к учебному труду (инициативность, организованность, целеустремлённость).
Методы:
продуктивный (эвристическая беседа)
объяснительно – иллюстративный
опытно-индуктивный (выдвижение гипотезы);
логические (анализ, абстра-гирование)
Оборудование, наглядные пособия, раздаточный материал:
( раздаточный материал;
( информационные листы;
( мультимедийное сопровождение.
Опорные знания и умения:
Знания:
( формулы нахождения производной;
( геометрический смысл производной;
( свойства функции (монотонность, точки экстремума).
Умения:
( исследование функций по графику;
( нахождение производных функций;
( решение уравнений;
(решение неравенств методом интервалов.
Знания и умения, формируемые на уроке:
Знания:
( связь между промежутками моно-тонности и знаком производной на данном промежутке;
( понятие критических точек.
Умения:
( использование производной для нахождения критических точек;
( проведение исследования монотонности функций с помощью производной.
( Организационный этап:
Здравствуйте( Я рада видеть всех, присутствующих на этом занятии. Сегодня мы продолжим изучение практического применения понятия производная.
слайд № 1.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Но, чтобы эффективно использовать производные при решении конкретных задач, необходимо их уметь находить. Поэтому, сначала давайте повторим, как найти производные некоторых функций.
( Проверка домашнего задания:
В таблице № 1 заданы функции, производные которых мы с вами найдём устно.
задания
ответы
задания
ответы
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBE
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Теперь давайте проверим, как вы работали дома. В таблице № 2 даны сложные функции, производные которых вам надо найти.
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Проверка правильности выполнения заданий.
слайд № 2.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
слайд № 3.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
слайд № 4.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
слайд № 5.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
слайд № 6.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
По окончании проверки преподаватель просит поднять руки тех студентов, которые выполнили три и более заданий.
( Ориентировочно – мотивационный этап:
А так ли важно в жизни – умение находить производную?
Производная относится к числу математических понятий, которые широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. С помощью производной исследуются количественные характеристики самых различных процессов, учитывая, что механический смысл производной – это скорость изменения.
(в приложении даны примеры производных различных величин).
Как вы думаете, применяется ли производная в вашей выбранной профессии?
(примерные ответы студентов:
( применение производной при приближённых вычислениях;
( решение задач с использованием геометрического смысла производной –
в том числе нахождение угла между некоторыми кривыми в точке их
пересечения, нахождение общей касательной к заданным кривым, построение прямой, перпендикулярной данной прямой; т.д)
Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или, как часто говорят, оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определёнными ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому. Не все такие задачи поддаются точному математическому описанию, не для всех из них найдены короткие пути решения. Однако часть таких задач можно решить – это задачи, которые сводятся к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Задача. Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь 80 м2. Известно, что 1 м2 стеклянной стены стоит 75 рублей, а обычного материала 50 р. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?
В подобных задачах, встречающихся на практике, часто функция не даётся готовым выражением. В таких случаях по условию задачи составляется модель (задаётся функция) и затем она исследуется.
Как вы думаете, каким способом можно задать функцию по условию задачи?
( правильный ответ: аналитический).
Тогда как найти наибольшее или наименьшее значение этой функции?
(можно построить график этой функции по точкам).
Сколько точек тогда надо найти, чтобы построить график функции?
(студенты дают предположительные ответы).
Наносим полученные точки на координатную плоскость.
( на доске поставить две точки, попросить студентов показать, как может выглядеть график «между ними»).
y
0 x
y
0 x
y
0 x
Возникает проблема: какой линией соединить имеющиеся точки графика, чтобы она более точно передавала свойства заданной функции? Как ведёт себя функция между этими точками?
Предложенный вами способ очень громоздкий, неудобный и, главное, не точный.
Так как же можно определить, при каких значениях функция убывает или возрастает? В каких точках принимает наибольшее или наименьшее значения?
На все эти вопросы поможет найти ответ производная. И так тема нашего занятия:
«Признаки возрастания и убывания функции. Исследование функций с помощью производной».
слайд № 7.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Но прежде, чем приступить к изучению новой темы, повторим основные направления исследования функции.
( Актуализация опорных знаний и практических умений:
Ранее мы уже рассматривали вопросы об исследовании функций. Основным объектом исследования для нас был график, по нему мы определяли основные свойства функции. Умения читать графики функции - важный элемент математической культуры. Эти умения необходимы будущему технику, экономисту, инженеру, врачу.
(в приложении даны примеры использования графиков в различных профессиях).
Давайте с вами повторим основные определения.
Дайте определение возрастающей функции, убывающей.
(ответы студентов:
( функция у = f(х) называется возрастающей на промежутке X, если для любых х1 и х2 из X, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1) < f(х2) (короче: х1 < x2 => f(х1) < f(х2)).
(функция у = f (х) называется убывающей на промежутке X, если для любых х1 и х2 из X, таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(х1) > f(х2) (короче: х1 < x2 => f(х1) > f(х2)).
указание: переформулировать определения
(функция возрастает на промежутке X, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
(функция убывает на промежутке X, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.)
Чтобы на чертеже определить возрастание, убывание функции, достаточно
использовать следующие положения:
Текст слайда № 8:
Если двигаться по графику слева направо, то ординаты точек всё время увеличиваются
(« поднимаемся в горку»):
говорят, что функция возрастает;
Если двигаться по графику слева направо, то ординаты точек всё время уменьшаются
(« спускаемся с горки»):
говорят, что функция убывает.
слайд № 8.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
к слайду № 9.
( как называются показанные свойства (монотонность);
( что за промежуток указан на чертеже (промежуток убывания);
( почему он указывается на оси Ох
(х – аргумент функции);
( как называются указанные точки
(точки экстремума);
( дайте определение.
слайд № 9.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
По таблице № 3 для функций, графики которых изображены на чертежах, найдите:
а) промежутки монотонности;
б) точки экстремума.
(ответы студентов:
( рис. 1 а) функция возрастает на промежутках (-5;-2) и (2,5;5), убывает на промежутке (-2;2,5).
б) точка х=-2 является точкой максимума, точка х=2,5 является точкой минимума.
( рис.2 а) функция убывает на промежутке (-4,5;-1), возрастает на промежутке (-1;4).
б) точка х=-1 является точкой минимума.)
( Исследовательская работа:
Изучение новой темы начнём с исследовательской работы, после выполнения которой, вы должны предложить способ, позволяющий установить (исследовать) свойство монотонности функции, заданной аналитически.
В ходе выполнения работы вам потребуется построить схематически касательную к графику функции. Как это сделать?
Комментарии к слайду № 10:
Чтобы составить наглядное представление о том, как провести касательную, нужно вообразить себе, что к кривой, изготовленной из жесткого материала (например, из проволоки), вы приставляете линейку так, чтобы она коснулась этой кривой в выбранной точке.
слайд № 10.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Во время выполнения работы демонстрируется слайд № 11.
слайд № 11.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
По окончании работы студенты выдвигают гипотезы. Задача преподавателя корректировать и направлять деятельность студентов.
Получили цепочку рассуждений: «возрастание функции» ( «угловой коэффициент касательной положительный» ( «производная тоже положительна».
Как вы думаете, а обратные рассуждения тоже верны? (Да)
Сформулируем эти утверждения.
Текст слайда № 12:
достаточное условие возрастания функции.
Если f((x)>0 в каждой точке интервала, то функция f(x) возрастает на этом интервале.
достаточное условие убывания функции.
Если f((x)<0 в каждой точке интервала, то функция f(x) убывает на этом интервале.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
( Восприятие и осознание нового материала:
При доказательстве этих утверждений используется теорема, которая называется теоремой Лагранжа. Жозеф Луи Лагранж – французский математик. Именно Лагранж в 1791г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха).
Текст слайда № 13:
Теорема Лагранжа.
Если функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и дифференцируема на интер-вале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то существует точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 такая, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
( на доске преподаватель поясняет геометрический смысл этой формулы.
Угловой коэффициент касательной к графику функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в точке х=с равен угловому коэффициенту некоторой секущей, т.е на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 найдётся такая точка х=с, что касательная к графику функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в этой точке будет параллельна секущей.)
Докажем достаточный признак возрастания функции.
Если f((x)>0 в каждой точке интервала 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то функция у=f(x) возрастает на этом интервале.
Доказательство: (проводится преподавателем на доске)
Пусть х1 и х2 – произвольные точки интервала 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 такие, что х1 < х2. Применяя к отрезку [х1 ; х2] теорему Лагранжа, получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где с( [х1 ; х2]. Так как f((с)>0 и х2 – х1>0, получаем из последней формулы
f(х2) – f(х1) >0, т.е f(х2) > f(х1).Это означает, что функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 возрастает на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (
Мы установили, что промежутки возрастания или убывания функции совпадают с промежутками, в которых производная этой функции имеет постоянный знак (плюс или минус). Следовательно, переход от возрастания к убыванию или обратно возможен лишь в точках, где производная меняет знак. Такими точками могут служить только точки, в которых f((x)=0 или не существует.
Определение: Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.
Но точки, в которых меняется монотонность функции, являются также точками экстремума.
Сформулируем следующее утверждение, которое называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).
Текст слайда № 14:
Необходимое условие экстремума.
Если точка x0 является точкой экстремума функции f(x) и в этой точке существует производная f((x), то она равна нулю: f((x)=0.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке x0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции f(x)= x3обращается в нуль в точке x=0, но экстремума в этой точке функция не имеет.
Преподаватель демонстрирует график функции.
А как вы думаете, какое ещё условие нужно, чтобы критическая точка стала точкой экстремума?
(при переходе через эту точку должна меняться монотонность функции, то есть знак производной).
Составим алгоритм нахождения монотонности функции и точек экстремума.
слайд № 15.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
После составления алгоритма преподаватель показывает оформление решения на примере функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Для наглядности свойств монотонности функции демонстрируется схематический график.
слайд № 16.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Выполнение заданий из таблицы № 4.
4. Найти промежутки монотонности функций.
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Каждое решение сопровождается демонстрацией алгоритма и схематическим графиком функции.
слайд № 18.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
слайд № 20.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
слайд № 22.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
слайд № 24.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
( Постановка домашнего задания:
Выполните задания из таблицы № 5.
Найдите промежутки монотонности функций и точки экстремума:
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Повторите к следующему занятию:
а) как найти область определения функции, заданной аналитически;
б) схема исследования функций.
Какие вопросы по домашнему заданию?
( Рефлексивно – оценочный этап:
Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к исследованию функции, то нарисуйте флажок на вершине самой высокой горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже.
Спасибо за урок! Благодарю за хорошую работу.
слайд № 25.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
слайд № 26.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Производная и её применение
(задания для студентов)
1. Найдите производные функций (устно):
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Найдите производные сложных функций:
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Для функций, графики которых изображены на чертежах, найдите:
а) промежутки монотонности;
б) точки экстремума.
1. y
1
0 1 x
2. y
1
0 1 x
4.Найдите промежутки монотонности функций:
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Найдите промежутки монотонности функций и точки экстремума:
1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Инструкционный лист исследовательской работы
Задача: Предложите способ, который позволил бы установить свойство монотонности (возрастание, убывание) функции, заданной аналитически.
1. Постройте касательные к кривым в заданных точках и заполните таблицу, ответив на вопросы.
1. y
1
0 1 x
2. y
1
0 1 x
рисунок 1
рисунок 2
свойство монотонности
угол наклона каждой касательной
определите знак углового коэффициента каждой касательной
Установите связь между монотонностью функции на промежутке и знаком углового коэффициента касательных, проведённых к графику функции.
( Вспомните, как найти угловой коэффициент касательной к графику функции.
Предложите способ, который позволил бы установить свойство монотонности функции, заданной аналитически.
Приложение 1
Производная – это скорость роста функции.
Мощность – это производная работы по времени P = A'(t).
Сила тока – производная от заряда по времени I = g'(t).
Сила – есть производная работы по перемещению F = A'(x).
Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q'(t).
Давление – производная силы по площади P = F'(S)
Длина окружности – это производная площади круга по радиусу lокр=S'кр(R).
Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.
Успехи в учебе? Производная роста знаний.
Приложение 2
Примеры применения графиков в различных профессиях
1. В метеорологи на графиках отчётливо видны основные тенденции развития, изменения, присущие природному явлению.
Температура воздуха.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2. По этой сейсмограмме ученый-сейсмолог может определить, когда и где произошло землетрясение, какова сила и характер подземных толчков.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
3. Врач-кардиолог, рассматривая вашу кардиограмму, определяет, есть ли нарушения сердечной деятельности, и ставит вам диагноз.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
4. Количественные зависимости экономических величин отражаются с помощью графиков. Графики помогают представить себе наиболее полно экономические модели. Они объясняют связи между двумя экономическими величинами, в какой мере изменяется одна величина относительно другой.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
5. Правильно построенный график делает статистическую информацию более выразительной, запоминающийся и удобно воспринимаемой.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Приложение 3
Картинка горы для рефлексивно – оценочного этапа занятия: