Презентация по математике Решение текстовых задач в рамках итоговой государственной аттестации

Решение текстовых задач в рамках итоговой государственной аттестации в девятых и одиннадцатых классах. Учитель математики МОУ «СОШ д. Звягино» Т.А.Некрутова. Теоретические основы решения задач «на смеси и сплавы»Примем некоторые допущения:Все получающиеся сплавы и смеси однородныПри решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.Определение.Процентным содержанием (концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.Терминология:процентное содержание вещества;концентрация вещества;массовая доля вещества. Все это синонимы. Смешали 500г 10 % - го раствора соли и 400 г 55% - го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.Решение.I раствор: 10% (55 – X)% 500г X% II раствор: 55% (X-10)% 400г 500/400 = (55-X)/(X-10)X= 30Ответ: 30Морская вода содержит 5% соли ( по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?Решение.Морская вода: 5% 1,5% 30кг 1,5%Пресная вода: 0% 3,5% Xкг30/X=1,5/3,5X=7Ответ: 7 Смешали 14 литров 30 – процентного водного раствора некоторого вещества с 10 литрами 18 – процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Знак % в ответе не пишите.Решение.Пусть X% составляет концентрация получившегося раствора.I раствор 30% 18-X 14л X%II раствор 18% X-30 10лПолучаем уравнение:(18 – X)/(X-30)=14/107X-210=90-5XX=25Ответ: 25 Имеются два сосуда, содержащие 42кг и 6 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?Решение.I раствор: X% 40 – Y 42кг 40%II раствор: Y% X – 40 6кгПолучаем уравнение: (40- Y)/(X – 40)=42/6I раствор: X% 50 – Y m кг 50%II раствор: Y% X – 50 m кгПолучаем уравнение:50 – Y = X- 50Эти два уравнения объединяем в систему, решаем ее и получаем, что X = 110/3%.Находим количество кислоты в первом растворе: (110*42)/ (3*100)=15,4 кг.Ответ: 15,4 В сосуд, содержащий 10 литров 24 – процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?Решение.Раствор: 24% X – 0 10л X% Вода: 0% 24 - X 5лПолучаем уравнение:X/(24 – X) = 10/155X = 10* (24 – X)X = 16Ответ: 16 Смешав 70% - ый и 60% - ый растворы кислоты и добавив 2 кг воды, получили 50% - ый раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90% – ного раствора той же кислоты, то получили бы 70% - ый раствор кислоты. Сколько кг 70% - го раствора использовали для получения смеси?Решение. Пусть 70% - ого раствора Xкг, а 60% - ого раствора Y кг.Найдем концентрацию первого и второго раствора.0,7 X + 0,6 Y=0,5(X+Y+2)0,7 X+0,6 Y+0,9*2=0,7(X+Y+2) Y=4; X=3Ответ: 3 Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч, проходит по течению реки до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 13 часов после отплытия из него. Ответ дайте в километрах.Пусть X часов плыл теплоход по течению.Путь по течению равен пути против течения, отсюда имеем уравнение: 24X = 16(10 – X)После решения уравнения получаем, что X = 4ч, это время по течению, значит, путь по течению равен 24X, т.е. 24*4 = 96 км, а весь путь, пройденный теплоходом равен 96*2=192 км. Ответ: 192{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}S кмV км\чtчПо течению24X24XПротив течения16(10-X)1610-X Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/ч, скорость второго – 77 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на круг?Решение.Пусть через X часов первый автомобилист будет опережать второго на круг.92X – 77X = 30X = 2 часа, т.е. 120 минут. Ответ: 120{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}SкмtчVкм/чI автомобилист 92XX92II автомобилист77XX77 Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.Решение.Пусть x ч – половина времени, затраченного на дорогу.Чтобы найти среднюю скорость, необходимо весь путь, пройденный автомобилем, разделить на все время, затраченное на этот путь. Отсюда имеем: V средняя = (60X + 46X)/2X = 53 км/ч.Ответ: 53 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}SкмtчVкм/ч60XX6046XX46 Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 39 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 26 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.Решение.Второй автомобиль прибыл в пункт B одновременно с первым, получаем уравнение:Y/X=Y/78+Y/(2*(X+26))Решая это уравнение, получим X=52км/ч (X = - 39 – посторонний корень). Ответ: 52{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}S кмt чV км/чIYY/XXIIY/2Y/7839IIY/2Y/(2*(X+26))X+26 Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,3 км от места отправления. Один идет со скоростью 4 км/ч, а другой – со скоростью 4,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча? Ответ дайте в километрах.Решение.Пусть X км пройдет второй человек в обратном направлении до встречи с первым человеком.Оба человека были в пути одинаковое количество времени, получаем уравнение:(4,3 – X)/4=(4,3+X)/4,6X=0,34-0,3=4Ответ: 4{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}S кмt чV км/чI4,3 - X(4,3 – X)/44II4,3+X(4,3+X)/4,64,6 Товарный поезд, идущий со скоростью 30 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Определите длину поезда ( в метрах).Решение.Длина поезда будет равна пути, пройденному поездом мимо придорожного столба. Значит, S =Vt = 30 км/ч * 36 сек. = 30*36/(60*60) = 0,3 км = 300м.Ответ: 300 При температуре 00 С рельс имеет длину l0 = 25 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 12 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и длина его будет меняться по закону l (t0 ) = l0 (1+αt0 ), где α = 1,2*10-5 (C0)-1 - коэффициент теплового расширения, t0 - температура ( в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? ( Ответ выразите в градусах Цельсия.)Решение. 12 мм= 0, 012м25+0,012=25* (1+ 1,2*10-5 )* t0 t0 = 0,012/ (25*1,2* 10-5 )=40Ответ: 40 Первая труба наполняет бак объемом 570 литров, а вторая труба – бак объемом 530 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды больше , чем другая. Сколько литров в минуту пропускает вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же время?Пусть X литров в минуту пропускает вторая труба.Баки были заполнены за одно и то же время, отсюда имеем уравнение:570/ (X+4) = 530/X57X=53X = 2124X=212X=53 л в минуту пропускает вторая труба.Ответ: 53{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}A лtмин.Pл/минI труба570570/(X+4)X+4II труба530530/XX Плиточник должен уложить 300 М2 плитки. Если он будет укладывать на 5 М2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 5 дней раньше, чем наметил. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?Плиточник закончит работу на 5 дней раньше, получаем уравнение:300/X – 300/ (X+5) = 5Решив это уравнение, получим X = 15 (X = - 20 – посторонний корень). Ответ: 15{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}A М2t днейP М2 в деньПо плану300300/XXФактически300300/(X + 5)X+5 Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий – за 15 минут, а первый и третий – за 24 минуты. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?1/X+1/Y=1/101/Y+1/Z=1/151/X+1/Z=1/24Складываем левые и правые части системы.2/X+2/Y+2/Z = 1/10+1/15+1/24(2YZ+2XZ+2XY)/XYZ = 25/120t= XYZ/(YZ+ZX+XY) = 120*2:25 =48/5 = 9,6Ответ: 9,6{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}At минPI1X1/XII1Y1/YIII1Z1/ZI+II+III1(XYZ)/(YZ+ZX+XY)1/X+1/Y+1/Z Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?Решение.Брюки обозначим: Б; рубашку: Р; пиджак: П. По условию задачи:Б = Р+ 0,3Р,Б = П-0,22П.Значит, Р+ 0,3Р=П-0,22П 1,3Р=0,78П Р=0,78П : 1,3=0,6ПП- 0,6П=0,4П, т. е. на 40%.Ответ: 40 Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?Решение.Обозначим черешню: Ч, вишню: В, клубнику: К.По условию задачи имеем: 3Ч = 5В 3В = 2К.1 кг черешни стоит 5В/31 кг клубники стоит 3В/2.Найдем разность: 5В/3 – 3В/2 = 1В/10, значит, на 10%.Ответ:10 В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?Решение.Пусть x рублей стоили акции при открытии торгов в четверг, а на Y % подорожали акции компании в четверг.Значит, в четверг акции стали стоить X + 0,01YX.В пятницу акции подешевели на Y% от (X+ 0,01YX) и стали стоить X+0,01YX-(0,01XY+0,0001Y2 X).В результате акции стали стоить на 9% от X дешевле, отсюда получаем уравнение:X – (X-0,0001Y2 X) = 0,09X.После решения уравнения получаем, что Y2 = 900, значит, Y = 30. Ответ: 30 Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составляла 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков возросла на 10%, а во втором – на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?Решение.Пусть X – численность волков в первом заповеднике, тогда (220 – X) – численность волков во втором заповеднике.Через год в первом заповеднике будет (X+0,1X) волков, а во втором – ((220-X)+0,2*(220 – X)).В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей, получаем уравнение:(220 – X)+0,2*(220 – X) + (X +0,1X)=250X = 140Ответ: 140 Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько кг винограда требуется для получения 50 кг изюма?Решение.47,5 кг – 10%X кг - 100%X = 475кг винограда надо взять.Ответ: 475{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Сухое веществоВлагаВиноград10%90%Изюм95% от 50кг==0,95*50=47,5 кг5% Используемые ресурсы.Математика. ЕГЭ. Типовые текстовые задания. Под редакцией И.В.Ященко. Издательство «Экзамен», М., 2015https://yandex.ru/search/?lr=56&text=%D0%B5%D0%B3%D1%8D%20%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8