Методическая разработка по математике по теме Рабочие и нерабочие формулировки

«РАБОЧИЕ» И «НЕРАБОЧИЕ» ФОРМУЛИРОВКИ

Учитывая потребности практики, рассмотрим требования, которым должны удовлетворять формулировки определений, теорем, различных правил.
Определения должны быть доступными для учащихся и удобными в применении. С этой точки зрения определения можно условно подразделить на «рабочие» и «нерабочие». К последним , в частности относятся все те определения, которые целесообразно заменять поясняющими описаниями. Встречаются и другие случаи.

ПРИМЕР 1. Определение: «Параллелограмм, все стороны которого равны, называют ромбом» - содержит лишние признаки. Это приводит к тому, что при письменном оформлении контрольных и самостоятельных работ учащиеся загромождают решение задачи излишними рассуждениями.
Например, установив, что четырехугольник является параллелограммом, учащиеся доказывают затем равенство всех его сторон. Только после этого они делают вывод о том, что четырехугольник является ромбом. Если же дается определение: «Параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, называется ромбом» - то решение задач учащиеся оформляют более рационально.

ПРИМЕР 2. Определение линейного угла как пересечения двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру, неудобно в применении, и учащиеся обычно им не пользуются. При решении задачи учащимся легче сначала построить линейный угол, чем его плоскость. Отсюда более удобным, «рабочим» определением (хотя и не вполне строгим) является следующее, более конструктивное и традиционно испытанное: «Угол, стороны которого перпендикулярны ребру двугранного угла и лежат на его гранях, а вершина расположена на ребре, называется линейным углом двугранного угла».
Очень неудобными в применении оказываются такие формулировки теорем и определений, в которых используются буквенные обозначения, относящиеся к частным случаям. «Нерабочими» являются и такие формулировки, в которых делается попытка объединить определение с эвристическим подходом к введению понятия.

ПРИМЕР 3. Рассмотрим следующее введение понятия угла между скрещивающимися прямыми:
«Пусть АВ и CD – две скрещивающиеся прямые . Рассмотрим произвольную точку М1 и проходящие через неё прямые А1 В1 и C1 D1, соответственно параллельные прямым АВ и CD. Пусть угол между прямыми А1 В1 и C1 D1 равен 13 EMBED Equation.3 1415. В таком случае будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен 13 EMBED Equation.3 1415».
В этой формулировке осуществляется эвристический подход. Учащиеся подводятся к новому понятию. Это хорошо, но спрашивается, как на следующих уроках учащиеся будут отвечать на вопрос: «Что называется углом между скрещивающимися прямыми?». А такой вопрос приходится часто задавать в процессе решения задач. Как поступать учителя в подобных случаях? Можно дать, например, такое определение: «Угол между двумя скрещивающимися прямыми называют угол, стороны которого параллельны этим прямым», добавив, что из двух таких углов выбирают меньший.

Иногда в учебниках объединяют несколько теорем в одну формулировку.
ПРИМЕР 4. Рассмотрим формулировку такой теоремы: «Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равно 180°, то прямые параллельны». Такая формулировка неудобна для учащихся, так как при решении задач им приходится каждый раз применять только одну из этих теорем. Значит приведенную формулировку целесообразно «разъединить» и дать четкие и краткие формулировки двух теорем.
Правила также можно подразделять на «рабочие» и «нерабочие». Если, пользуясь правилом, ученики испытывают некоторые неудобства, допускают ошибки или учителю приходится давать им каждый раз дополнительные указания, то правило условимся считать «нерабочим».

ПРИМЕР 5. Умножая положительные и отрицательные числа, учащиеся часто забывают поставить знак в произведении или же записывают модуль произведения вплотную к знаку равенства, не оставляя место для знака «-». Эти ошибки, происходят из-за того, что в правиле сначало указывается, как найти модуль, а затем знак произведения. Чтобы уменьшить число ошибок, достаточно изменить последовательность указаний в правиле.

ПРИМЕР 6. Сравним правила:
«Чтобы умножить две дроби, надо: 1) умножить их числители; 2) умножить их знаменатели; 3) первое произведение записать взять числителем, а второе – знаменателем дроби, полученной в результате умножения».
«Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению их числителей, а знаменатель равен произведению их знаменателей».
Из этих двух определений менее удобно пользоваться первым определением, так как действительно, ученик, умножив числители, сразу результат записывает в числитель. Кроме того, мешает нумерация в работе с правилом. Если ученик на ходу произносит «первое», «второе», «третье», то это лишние слова. Если он их не произносит, то тогда зачем они? Второе определение имеет ряд преимуществ(в сравнении с первым). Почему? Дело в том, что учителю при выполнении почти каждого упражнения приходится напоминать учащимся: «Сократите дробь, выделите целую часть». Чтобы учащиеся этого не забывали этого, желательно дополнить правило соответствующими указаниями и сформулировать его, например, так:
«Чтобы умножить две дроби, надо разделить произведение их числителей на произведение знаменателей. Сократить. Выделить целую часть».
Тогда действия и речь ученика выглядит так: «Чтобы умножить две дроби 13 EMBED Equation.3 1415, надо разделить произведение их числителей 13 EMBED Equation.3 1415 на произведение знаменателей 13 EMBED Equation.3 1415.
Сократить 13 EMBED Equation.3 1415.
Выделить целую часть 13 EMBED Equation.3 1415.