Проект Удивительный мир флексагонов (6 класс)
Региональная научно-практическая конференция обучающихся
«К вершинам знаний 2015»
Секция: математика
Тема: Удивительный мир флексагонов
Автор: Услонцева Анастасия и Щербакова Виктория
Научный руководитель: Лазутина Светлана Александровна
Место выполнения работы: МБОУ СОШ с.Троекурово , Лебедянский район с.Троекурово
2015г
Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc375865132" 14Оглавление 13 PAGEREF _Toc375865132 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc375865133" 14Введение 13 PAGEREF _Toc375865133 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc375865134" 141. История флексагонов 13 PAGEREF _Toc375865134 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc375865135" 142. Схемы построения флексагонов 154
13 LINK \l "_Toc375865136" 142.1. Тетрафлексагоны 154
13 LINK \l "_Toc375865137" 142.2. Гексафлексагоны 157
13 LINK \l "_Toc375865138" 142.3. Флексоры 1511
13 LINK \l "_Toc375865139" 142.4. Флексманы 1513
13 LINK \l "_Toc375865140" 143. Изготовление флексагонов 1514
13 LINK \l "_Toc375865141" 144. Применение флексагонов 1519
13 LINK \l "_Toc375865142" 14Заключение 1522
13 LINK \l "_Toc375865143" 14Литература 1523
13 LINK \l "_Toc375865144" 14Приложение 1524
15
Введение
Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.
Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения. Сегодня в магазинах можно найти много различных игрушек, в то же время дети и взрослые любят заниматься рукоделием. Бумажное творчество – это одно из любимых занятий многих людей. Очень многие известные люди занимались различными видами бумажного искусства, которые хранятся в музеях многих стран мира.
Лист бумаги таит в себе много интересного, особенно привлекательны головоломки из бумаги. Увлекательными головоломками являются и флексагоны, которые не сложно изготовить самому.
Флексагоны и подобные им фигуры обладают необычной способностью изгибаться разными способами, при перегибании флексагонов одни поверхности прячутся внутрь, показывая новые грани.
На первый взгляд, это похоже на интересную игрушку для развития ума и рук. Однако подобные изгибающиеся фигуры используют в дизайне и науке. И до сих пор их тайны до конца не раскрыты. Мы приглашаем вас на короткую экскурсию в мир флексагонов, флексоров, флексманов, - бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.
Гипотеза: удивительный мир флексагонов тесно связан с математикой и может стать хорошей основой для его изучения.
Цель проекта – изучить и изготовить некоторые модели флексагонов ,установить связь флексагонов с математикой.
Задачи проекта:
познакомиться с историей и видами моделей флексагонов;
изучить схемы построения флексагонов;
изготовить некоторые модели флексагонов . 1. История флексагонов
Появление флексагонов обязано отличию британских и американских блокнотов. Бумага формата Letter была слишком широкой и не умещалась в скоросшиватель, предназначенный для бумаги формата A4. Первый флексагон был открыт в 1939 году английским студентом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], изучавшим в то время математику в Принстонском университете в США. Стоун обрезал края бумаги и стал складывать из них различные фигуры. У него получился шестиугольник, перегнув который он обнаружил, что можно увидеть третью сторону шестиугольника.
Стоун рассказал о своем изобретении друзьям, и те назвали фигуру флексагоном (от английского flex – сгибать). Шестиугольные флексагоны получили название гексафлексагоны. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», в который вошли, кроме Стоуна, аспирант-математик [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], аспирант-физик Ричард Фейнман и преподаватель математики Джон У. Тьюки. К 1940 году Фейнман и Тьюки разработали теорию. Теория не была опубликована полностью, хотя отдельные её части впоследствии были открыты заново.
Популярность флексагоны получили после появления статьи Мартина Гарднера «Mathematical Games» в журнале «Scientific American» в 1956 году, посвящённой гексафлексагонам. Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения.
Флексагон – это многоугольник, перегибая которую можно увидеть другие поверхности.
Флексор – многогранник, изгибая который можно увидеть другие грани.
Флексман – это квадрат, изгибая который можно получить объемного «гнущегося человечка».
2. Схемы построения флексагонов
Поскольку многоугольники и многогранники имеют разное количество вершин, то можно построить самые разнообразные модели флексагонов и флексоров.
Необходимое оборудование для изготовления изгибающихся фигур:
бумага, линейка, простой карандаш, ножницы;
скотч, клей,
материал для красочного оформления (краски, карандаши, цветная бумага, иллюстрации, фотографии).
Мы рассмотрели некоторые модели флексагонов, флексоров и флексманов. Далее мы разобрали схемы и этапы построения разных моделей.
2.1. Тетрафлексагоны
Тетрафлексагоны (тетра – четыре) – сложенные из бумаги (или другого материала) прямоугольники, в недрах которых скрывается несколько поверхностей. Их можно увидеть, вывернув четырёхугольник определённым образом. Здесь представлены несколько разновидностей тетрафлексагонов [2].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] флексагон с тремя поверхностями, который имеет форму квадрата.
Он делается из Z-образной полоски бумаги (Рис. 1а).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 1а
Обратная сторона:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 1б
Полоску перегибают и склеивают (Рис. 1с):
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 1с.
Для того, чтобы увидеть третью его сторону, нужно перегнуть флексагон вдоль вертикальной оси, а затем раскрыть его с обратной стороны.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] флексагон с четырмя поверхностями, который имеет форму квадрата.
Существует, по крайней мере, шесть типов четырёхсторонних тетрафлексагонов. Один из таких тетратетрафлексагонов делается из прямоугольника, разделенного на 12 квадратов (Рис. 2а).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2а
Для изготовления модели нужно вырезать по пунктирной линии и сложить квадраты:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2б
Для того, чтобы увидеть остальные его стороны, нужно последовательно открывать четырёхугольник аналогично тритетрафлексагону.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] флексагон с шестью поверхностями, который имеет форму квадрата.
Эта игрушка представляет собой совсем другой тип тетрафлексагона: его можно сгибать вдоль и поперек.
Для его изготовления требуется бумага, вырезанная в форме квадратной рамки (Рис. 3а). Перегибая его вдоль осей, можно увидеть стороны, помеченные цифрами от 3, 4 или 5. Если брать рамки большего размера, можно построить флексагоны с числом поверхностей.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 3а.
Сгибаем по схеме и склеиваем (Рис. 3б):
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 3б.
2.2. Гексафлексагоны
Тригексафлексагон
Тригексафлексагон (гекса – шесть) флексагон с тремя поверхности, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая из трех поверхностей флексагона состоит из шести треугольников.
Для создания тригексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 10 треугольников с равными сторонами. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры). Цифра в треугольнике означает принадлежность к стороне шестиугольника.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 4а
Вторая сторона полоски:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 4б
Полоску перегибают и переворачивают по всем сторонам треугольников
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 4в
Подогнуть последний треугольник вниз (треугольники со звездочками) и приклеить к оборотной стороне первого, получив шестиугольник.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 4г
Гексагексафлексагон
Гексагексафлексагон (гекса – шесть) флексагон с шестью поверхностями, который имеет форму правильного шестиугольника.
Для создания гексагексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 19 треугольников с равными сторонами. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры). Цифра в треугольнике означает принадлежность к стороне шестиугольника.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 5а
Вторая сторона полоски:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 5б
Полоску перегибают и переворачивают по всем сторонам треугольников:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 5в
Перегнув полоску еще раз, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый. Подогнуть последний треугольник вниз и приклеить к оборотной стороне первого, получив шестиугольник.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 5г
Схема переворачивая гексафлексагонов:
Рис. 5д.
Тетрагексафлексагон
Тетрагексафлексагон флексагон с четырьмя поверхностями, который имеет форму правильного шестиугольника.
Для создания тетрагексафлексагона необходимо взять полоску бумаги, размеченной на 13 треугольников с равными сторонами в виде зигзага. Последний (серый треугольник нужен для склеивания фигуры) [2].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 6а.
Обратная сторона:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 6б.
Складываем по схеме, аналогичной предыдущей.
2.3. Флексоры
Флексор – многогранник, изгибая который можно увидеть другие грани.
Больше всего нам понравился флексор, называмеый куб Йошимото. Он состоит из 2 частей по 8 кубиков.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 7а
Для его изготовления нам понадобится 16 заготовок, которые вырезаются из схемы:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 7б
Вырезав заготовку, ее нужно согнуть по всем линям и склеить с помощью скотча. Должна получить такая половина куба:
Рис. 8
После этого склеиваем с помощью скотча по два кубика. Главное при склей
· склеить правильно, иначе куб не будет правильно раскладываться.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 9а
Затем склеиваем пары кубиков:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 9б
И наконец, собираем первую половину куба:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 9в
Аналогично собираем вторую половину куба и накладываем их на друга. Получаем готовый куб.
Рис. 10
Если что-то перепутали в процессе, скотч легко удаляется и процесс можно повторить. В результате должен получиться кубик, который выворачивается наизнанку (можете пометить одну из сторон одного кубика и убедиться, что в одном положении она видна, а в другом – нет).
2.4. Флексманы
Флексманы – переводятся как «гнущиеся человечки». У них действительно человеческий дар: когда флексман ставят на отклоненную под углом плоскость, он начинает «идти» по ней мелкими шажками.
Флексман делают из квадрата бумаги, который сгибают по диагоналям сгибом вверх, а посередине сгибов вниз:
Далее складываем квадрат в треугольник по уже намеченным линиям и четыре раза сгибаем по штриховой линии:
Рис. 11
В конце работы нужно только отогнуть маленькие треугольники с четырех сторон, и флексман готов начинать путь по наклонной плоскости.
3. Изготовление флексагонов
Далее мы опишем, как поэтапно изготовляли флексагоны.
Начали мы с простейшего тритетрафлексагона. Он имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном. Его легко сложить из полоски бумаги, изображенной на рисунке 12 (а - лицевая, б - оборотная сторона полоски).
а б
Рис. 12
Перевернув полоску бумаги оборотной стороной вверх, перегнем ее слева направо вдоль вертикали, разделяющей две тройки, а затем загнем самый правый нижний квадрат (рис. 12в)
Рис. 12 в.
Склеим его оборотную сторону с верхним квадратом лентой (рис. 12г).
Рис. 12г
На верхней поверхности окажутся квадраты с двойками, на нижней – квадраты с единицами. Перегнем тритетрафлексагон по вертикальной оси и сложим его вдвое так, чтобы квадраты с двойниками оказались снаружи. Вывернув получившуюся «книжечку» спереди, мы увидим, что квадраты с единицами исчезли, спрятались внутрь, зато стали видны квадраты с тройками.Из получившегося флексагона мы решили сделать календарь, поскольку он имеет 12 квадратов с двух сторон.
Рис. 13
После этого мы сделали гексатетрафлексагон. Для изготовления мы взяли прямоугольный кусок тонкого картона и разделили его на 12 квадратов. Нумерация квадратов на обеих сторонах листа показана на рис. 14а.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415а б
Рис. 14
Пунктиром обозначены линии разрезов. Взяв прямоугольник так, чтобы лицевая его сторона (рис. 14а) была обращена к нам, отогнем вниз и налево язычок из двух центральных квадратов с цифрами 2 и 1 и подогнем правый столбец. То, что при этом получится, показано на рис. 14в.
Рис 14в
Еще раз подогнем правый столбец и загнем на себя и вправо квадрат с тройкой, торчавший до сих пор слева. После этих операций все квадраты с 1 окажутся сверху. Склеивать ничего не нужно, так как потом не найти другие стороны.
Рис. 14г
Легко догадаться, как следует перегнуть тетратетрафлексагон, чтобы увидеть квадраты с единицами, двойками и тройками. Несколько труднее увидеть четверки. Из этого флексагона мы решили сделать открытку к 70-летию Победы в Великой Отечественной войне (приложение)
Тетратетрафлексагон часто используется для рекламных трюков: трудность отыскания «листка» с четверками превращает его в занимательную головоломку.
После этого мы приступили к созданию флексоров. Начали с куба Йошимото. Вырезали 16 заготовок как на рисунке 20а. Далее склеиваем стороны и получаем полукуб Рис. 20б.
Рис. 20а
Рис. 20б
Далее создаем еще 16 таких половинок кубика. И начинаем склеивать, как на рис. 20в.
Рис. 20в.
Склеив по схеме 2 части по 8 кубиков, мы получаем большой куб. Мы наклеили фотографии нашего села с.Троекурово и получили такую необычную «фоторамку», которая показывает достопримечательности нашего села. (рис. 20г).
Рис. 20г.
4. Применение флексагонов
Флексагоны очень интересны и их применяют в разных областях. Самое популярное применение – в качестве игрушек. Наиболее известны цепочки из деревянных брусков или пластмассовых кубиков, скрепленных между собой крест-накрест проволочками или тесемками. Стоит лишь определенным образом передвинуть отдельные звенья цепочки, как создается полное впечатление, что верхний кубик перемещается в самый низ цепи. На самом деле это не более чем обман зрения, вызванный последовательным изгибанием шарнирных соединений, выполненных по схеме тритетрафлексагона. В 90-е годы прошлого столетия в США широкой популярностью пользовалась основанная на этом же принципе игрушка под названием «Лестница Якова». В наше время в магазинах игрушек можно было встретить ее современные варианты – «Кубики клик-клак» и «Кубики флип-флоп» .
В одной из них к скрытому развороту флексагона была приклеена «счастливая» монетка, которую нужно было найти. В другой, которая называлась «Cherchez la femme» . Задача заключалась в том, чтобы отыскать портрет молодой девушки. И сейчас в магазинах можно увидеть старинный детский фокус, обычно известный под названием «Волшебный доллар». Шарнирные соединения этой игрушки, выполненные по схеме тритетрафлексагона, позволяют показывать незамысловатые фокусы с исчезновением долларовой купюры и других плоских предметов.
На рисунке ниже представлена игрушка куб Йошимото, изготовленная из пластика.
Кроме игрушек действие флексагонов показывать разные стороны используется в технике, например, для создания шарнирное соединение двойного действия на дверной петле:
Интересное применение флексагоны находят в дизайне:
лампа и настенный светильник флексагон:
предметы интерьера:
одежда:
Из флексагонов можно создавать новые рекламные проекты, прикрепляя к фигуре уже объемные фигуры (возможно, даже и не кубической формы), можно использовать в качестве открытки-трансформера или интересной игрушки. Можно сделать из него необычную основу для фотографий.
Но большее применение, я думаю, многогранник найдет в дизайнерском деле: цикл перегибаний последовательно позволяет фигуре быть и диваном, и стулом, и креслом и, если убрать одну сторону куба, полкой для вещей или комодом.
Заключение
Многие думают, глядя на флексагоны и флексоры - просто игрушка. А вот и не просто! Попробуй сделать своими руками. И не просто сделать, а собрать нужную информацию, исследовать, выявить закономерности, разработать чертежи, соблюсти точные вычисления (чтобы флексагон не оказался кривым). Вложить всё своё терпение и смекалку. А сколько нужно фантазии, чтобы разрисовать, украсить флексагон?! Или, например, надоел тебе флексагон с шестью поверхностями, сделай другой, где число поверхностей больше! Дерзай, пробуй, твори!!!
Благодаря самостоятельному изготовлению моделей флексагонов и флексоров, проведенных над ними исследований, удалось лучше понять и изучить их мир, т.е. добиться поставленной цели. Конечно, на это ушло достаточно времени .Если выбор и название темы не вызвали затруднений, то поиск информации (интернет, библиотека), построение чертежей, разработка схем сборки, сама сборка моделей и исследования, проведенные над ними, а также конкретизация и оформление материала потребовали много усилий и времени.
Работа над флексагонами и флексорами расширили наши знания в математике. Мы познакомились с ранее незнакомым нам видом флексагонов, увидели математику с совершенно другой неизвестной, но занимательной стороны.. Например, при изготовлении гексафлексагона, или кольца тетраэдров нужно чертить правильные треугольники и т.д.Мы наглядно увидели, как работают флексагоны и флексоры. Гексафлексагоны действительно могут, выворачиваясь изменять цвета. Увидела, что кольцо тетраэдров с 6 звеньями – жесткое, с 10 звеньями принимает симметричную форму, в виде звезды. С нечетным количеством звеньев кольцо принимает асимметричную форму.
Вращаешь флексагон и понимаешь, все эти зримые образы подготовили чувства и мышление к восприятию того, что постоянно окружает нас в жизни. Как одно явление, не переставая быть собой, одной из своих «сторон», воплощается в своей противоположности, воссоздавая, с ним друг друга, в постоянном диалоге. Такая игра граней выстраивает мир
Литература
Flexagons. [Электронный ресурс]. Режим доступа – [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Загл. с экрана.
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. 2-е изд., испр. и доп. – Пер. с англ.– М.: Мир, 1999 - 447с.
Остроун Н. Киселев А. Флексагоны. Мастерила, 2001, №9.
Фельдман Г. Кубический флексагон. Квантик, 2012, №12, 16-18.
Флексагоны. [Электронный ресурс]. Режим доступа – [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Загл. с экрана.
Приложение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Тригексафлексагон
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Тетрагексафлексагон
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Гексагексафлексагон
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Флексор. Развертка для изготовления куба
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Открытки
13 PAGE \* MERGEFORMAT 142815
1
1
2
2
3
3
2
1
1
3
3
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2
2
1
1
2
3
2
3
1
1
1
1
3
2
4
4
2
3
2
4
4
4
2
3
3
4
3
1
1
2
1
1
1
2
3
1
1
1
1
1
1
4
5
6
6
4
3
6
6
5
4
3
4
5
2
1
3
1
2
3
1
2
5
2
1
5
2
4
5
5
1
6
1
2
5
1
2
2
2
2
2
1
2
2
3
1
3
1
2
2
3
*
3
1
3
2
2
1
3
1
*
*
1
1
1
3
3
3
*
*
3
3
3
3
1
*
1
1
1
3
1
3
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
6
5
6
5
4
4
6
5
6
5
4
4
6
5
6
5
4
4
3
2
2
1
3
1
3
2
2
1
2
2
2
2
1
3
1
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
4
2
3
2
4
4
4
2
3
3
4
3
4
5
6
6
4
6
6
5
4
3
4
1
2
2
3
1
3
1
2
2
3
Первый этап - склейка кубиков в парыВторой этап - склейка пар в четверкиРисунок 1Рисунок 12ђ Заголовок 1”ђ Заголовок 2Ѕђ Заголовок 3Ѕђ Заголовок 5Ѕђ Заголовок 615