Методический материал для элективного курса по теме Способы решения уравнений высших степеней 9-10 класс
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
г. Астрахани «Средняя общеобразовательная школа № 48»
«Способы решения уравнений высших степеней»
Автор: Макеева Ю.К
учитель алгебры и геометрии
МБОУ г. Астрахани «СОШ №48»
Астрахань, 2017
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение 3
2. Основная часть: Графический метод 5
Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата 6
Метод разложения на множители. Вынесение общего множителя. Группировка 8
Метод понижения степени. Теорема Безу 9
Метод понижения степени. Схема Горнера 13
Метод замены переменной 19
Метод неопределенных коэффициентов 28
Метод введения параметра 32
Анализ данных 34
3. Практическая часть 35
4. Выводы 35
5. Список используемых источников 36
6. Приложение 37
ВВЕДЕНИЕ
Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.
Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющий, с одной стороны, обеспечить базовую систематическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.
При подготовке к ОГЭ 2017 года был рассмотрен вариант ОГЭ 2016 года.
Задание №21 содержало уравнение четвертой степени. Учащиеся моего класса столкнулись с проблемой при решении данного задания. Данная проблема обозначила необходимость более глубокого изучения темы «Способы решения уравнений высших степеней»
Программа курса «Решение уравнений высших степеней» позволит сделать достаточно полный обзор изученных типов уравнений и предполагает рассмотрение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики, но необходимы при сдаче ОГЭ по математике и дальнейшем ее изучении.
Рассмотрение различных видов уравнений и способов их решения будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.
Основываясь на это в ходе нашей работы, мы попробуем доказать, что изучение данной темы необходимо углубить в курсе алгебры 9-го класса.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении уравнений;
- отличать уравнения высших степеней различных типов и знать способы их решения;
- строить графики различных функций, чего будет достаточно для успешного написания второй части ОГЭ по математике.
Актуальность:
Отсутствие нужного материала в учебнике алгебры, но его необходимость при решении второй части ОГЭ по математике делает нашу тему актуальной.
Гипотеза: Решение уравнений высших степеней необходимо углубить при изучении в 9 классе.
Цели:
1. Обосновать необходимость изучения данного материала для успешного написания второй части ОГЭ по математике.
2. Выявить возможность использования школьных знаний для решения более сложных математических задач.
Задачи:
1. Проанализировать источники литературы для выявления способов решения уравнений высших степеней, показать различные способы решения данных уравнений.
2. Выделить логические приемы решения уравнений высших степеней.
3. Способствовать их осмыслению.
4. Развить образное и ассоциативное мышление у себя и одноклассников.
Объект исследования: уравнения высшей степени
Предмет исследования: способы решения уравнений высших степеней.
Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов.
Этапы выполнения исследовательской работы:
«Сбор статистических данных».
Включает в себя изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подбор источников информации, сбор информации.
«Обработка данных».
Включает в себя практическое применение способов решения уравнений высших степеней.
Этап «Анализ данных»
Включает в себя анализ результатов, формулирование выводов.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Общие методы решения уравнений всех типов (рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических):
1.Графический метод.
Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций у=ƒ(x) и у=g(x), входящих в уравнение ƒ(x) = g(x). Это может помочь выяснить:
1) на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;
2) наличие или отсутствие корней, их количество.
Пример №1: Решить уравнение: х5 - 3 + 2х = 0
Решение №1: х5 = 3 - 2х
1) Рассмотрим две функции: у = х5 и у=3- 2х.
2) Построим график функции у = х5.
3) Построим график линейной функции у = 3 - 2х. Это прямая линия, проходящая через точки (0; 3) и (1; 1).
4) Судя по чертежу (см. приложение рис.1), построенные графики пересекаются в точке А(1;1). Проверка показывает, что на самом деле координаты точки А(1;1) удовлетворяют и уравнению у = х5, и уравнению у = 3 - 2х. Значит, уравнение имеет один корень: х = 1 — это абсцисса точки А.
Ответ: х=1.
Пример №2: Решить уравнение: х6 + х2 – 8х + 6 = 0
Решение №2: х6= -х2 + 8х – 6
1) Рассмотрим две функции: у = х6 и у = - х2 + 8х - 6.
2) Построим график функции у = х6.
3) Построим график линейной функции у= - х2 + 8х - 6. Это парабола ветви, которой направлены вниз.
4) Судя по чертежу (см. приложение рис.2), построенные графики пересекаются в точке А(1;1). Проверка показывает, что на самом деле координаты точки А(1;1) удовлетворяют и уравнению у = х6, и уравнению у = - х2+8х-6. Значит, уравнение имеет один корень: х = 1 — это абсцисса точки А.
Ответ: х=1.
Часто ответ можно дать только в приближенном виде, поэтому необходимо всегда делать проверку корней полученных при решение этим способом.
Пример №3: (материал взят из ОГЭ 2016г.)
x4=(3x-10)2
Решение №3: x4=(3x-10)2
1) Рассмотрим две функции: у = х4 и у =(3х-10)2.
2) Построим график функции у = х4 - график парабола ветви направлены вверх.
3) Построим график линейной функции у = (3х-10)2. Это парабола ветви, которой направлены вверх.
4) В данном примере наглядно видна только одна точка пересечения В(2;16) (см. приложение рис.3), хотя очевидно, что графики пересекаются еще в одной точке (т.е. имеется еще одно решение).
Как видим, что графический способ в данном случае не удобен, так как ограниченный размер листа тетради не позволяет увидеть все точки пересечения.
Пример №4: Решить уравнение х7 + 3х + 2 = 0
Решение №4: х7 = -3х - 2
1) Рассмотрим две функции: у = х7 и у= -3х - 2.
2) Построим график функции у = х7.
3) Построим график линейной функции у = -3х - 2. Это прямая линия,
проходящая через точки (0; -2) и (1; -5).
4) По чертежу (см. приложение рис.4) нельзя указать точный ответ, поэтому можно сказать только о приближенном значении решения уравнения х QUOTE -0,6.
Ответ: х QUOTE -0,6
Вывод: Графическое решение уравнения- наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия или отсутствия корней и их количества, при данной задаче можно использовать свойства монотонности функций:
Пусть у=f(x) и у=φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда, если у=f(x) монотонно возрастает, а у=φ(x) убывает, то уравнение f(x)=φ(x) имеет не более одного корня на этом промежутке. Однако, графический метод не гарантирует того, что полученный результат является точным, поэтому найденные решения следует проверить.
2. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата.
Этот метод основан на использовании формул:
а2-b2=(а-b)(а+b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2
а3+b3=(а+b)(а2-аb+b2)
а3-b3=(а-b)(а2+аb+b2)
(а+b)3=а3+3а2b+3аb2+b3
(а-b)3= а3-3а2b+3аb2-b3, и метода группировки.
Выделение полного квадрата - это такое тождественное преобразование,
при котором заданный трехчлен представляется в виде (a±b)2
суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.
Пример №5: х4 – 3x2 + 4х – 3 = 0.
Решение №5: х4 – 3x2 + 4х – 3 = 0.
Представим - 3x2 = -2x2 – x2 и сгруппируем:
(х4 – 2x2) – (x2 – 4х + 3) = 0.
(х4 – 2x2 +1 – 1) – (x2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.
(х2 – 1)2 – 1 – (x – 2)2 + 1 = 0.
(х2 – 1)2 – (x – 2)2 = 0.
(х2 – 1 – х + 2)(х2 – 1 + х - 2) = 0.
(х2 – х + 1)(х2 + х – 3) = 0.
х2 – х + 1 = 0 х2 + х – 3 = 0.
D = 1 – 4 = -3 D = 1+12 = 13
=> корней нет х1, 2 =
Ответ: х1, 2 =
Пример №6. (пример из ОГЭ 2016 года)
x4=(3x-10)2
Решение №6: х4=(3х-10)2
Способ 1: Используем формулу сокращенного умножения х4-(3х-10)2=0
(х2-3х+10)(х2+3х-10)=0
х2-3х+10=0 или х2+3х-10=0
D=9-40=-31 D=9+40=49< корней нет х1=-5, х2=2.
Ответ: х1=-2, х2=5.
Способ 2: х4-(3х-10)2=0
х4=(3х-10)2
х2=3х-10 х2=-(3х-10)
х2-3х+10=0 х2+3х-10=0
D=9-40=-31<0 D=9+40=49< => корней нет х1=-5, х2=2.
Ответ: х1=-2, х2=5.
3. Метод разложения на множители. Вынесение общего множителя. Группировка.
Способ группировки можно разбить на два этапа:
1) Объединение членов многочлена в группы, имеющие общий множитель, и вынесение из каждой группы общего множителя (в одной из групп общего множителя может не быть).
2) Вынесение полученного общего для всех групп множителя за скобки.
Пример №7: 2х8-3х7+х6=0
Решение №7: 2х8-3х7+х6=0
х6(2х2-3х+1) =0
х6=0 2х2-3х+1=0
х1=0 D=9-8=1
х2=1; х3=0,5
Ответ: х1=0; х2=1; х3=0,5.
Пример №8: х4 – 5х2 + х3 – 5х=0
Решение №8: х4 – 5х2 + х3 – 5х =0
(х4 + х3) – (5х2 + 5х) =0
х3(х + 1) – 5х(х + 1) =0
(х + 1)(х3 – 5х) = 0
х(х + 1)(х2 – 5)=0
х1 = 0 х 2 = -1 х3 = ±√5
Ответ: х1 = 0; х 2 = -1; х3 = ±√5.
Пример №9: 2х4 +3х3 + 16х +24 = 0
Решение №9: (2х4 + 16х) + (3х3+24) = 0
2x(х3 + 8) + 3(х3 + 8) = 0
(х3 + 8)(2x + 3) = 0
х3=-8 или 2х+3=0
х1 = -2 х 2 =
Ответ: х1 = -2; х 2 =
Вывод: Способ разложения на множители очень эффективный, но при видимой простоте группировки очень непросто выбрать слагаемые для ее проведения. Универсальных способов нет, так что приходится каждый раз экспериментировать.
4. Метод понижения степени. Теорема Безу.
Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хаям впервые решил уравнение III степени. А установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней. Одним из них является метод разложения многочлена на множители с использованием теоремы Безу.
Формулировка теоремы Безу: Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x – a) равен P(a).
Следствия из теоремы Безу
1.Число a - корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен (x – a).
Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения P(x) = 0.
2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше:
если P(a) = 0, то заданный многочлен P(x) можно представить в виде:
P(x) = (x – a)Q(x)
Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена Q(x), степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.
Пример №10: Решим уравнение x3 + 2x2 -1 = 0
Решение №10: Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (-1), т.е. равняется одному из чисел:. Проверка показывает, что корнем уравнения является число -1. Значит, многочлен
P3(x) = x3 + 2x2 -1 можно представить в виде произведения P3(x) = (x + 1)P2(x), т.е. многочлен P3(x) можно без остатка разделить на двучлен (x+1). Выполним такое деление “углом”:
x3 + 2x2 – 1 | x+1
x3 + x2 x2+x-1
0х3+ x2- 1
x2 + x
0х2 -x – 1
-x – 1
0
Таким образом, мы фактически разложили левую часть уравнения на множители: (x+1)(x2 + x–1) = 0.
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
x + 1 = 0 x2 + x – 1 = 0
x1 = -1 D = 1 + 4 = 5
x2,3 =
Ответ: x1 = -1; x2,3 = .
Пример №11: Решим уравнение x4 + 4x3 – 18x2 – 12x + 9 = 0
Решение №11: Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (9), т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:
x = 1; P4(1) = -16
x = -1; P4(-1) = 0 (т.е. Pn(x):(x + 1))
Значит, многочлен P4(x) = x4 + 4x3 – 18x2 – 12x + 9 можно представить в виде произведения P4(x) = (x + 1)P3(x), т.е. многочлен P4(x) можно без остатка разделить на двучлен (x + 1). Выполним такое деление “углом”:
x4 + 4x3 – 18x2 – 12x + 9 | x + 1
x4 + x3 x3 + 3x2 – 21x + 9
0х4+ 3x3 – 18x2
3x3 + 3x2
0х3 – 21x2 – 12x
– 21x2 – 12x
0х2+ 9x + 9
9x + 9
0
Таким образом, мы разложили левую часть уравнения на множители:
(x + 1)(x3 + 3x2 – 21x + 9) = 0.
Аналогичным образом поступим и с многочленом P3(x) = x3 + 3x2 – 21x + 9.
Если это уравнение x3 + 3x2 – 21x + 9 = 0 имеет целый корень, то он является делителем свободного члена, т.е. равняется одному из чисел: ;. Проверим:
x = 1; P3(1) = -8
x = -1; P3(-1) = 32
x = 3; P3(3) = 0 (т.е. Pn(x):(x – 3 ))
Значит, многочлен P3(x) = x3 + 3x2 – 21x + 9 можно представить в виде
произведения P3(x) = (x – 3)P2(x), т.е. многочлен P3(x) можно без остатка разделить на двучлен (x – 3). Выполним такое деление “углом”:
x3 + 3x2 – 21x + 9 | x – 3
x3 - 3x2 x2 + 6x – 3
0х3+6x2 – 21x
6x2 – 18x
0х2– 3x + 9
– 3x + 9
0
Таким образом, мы разложили левую часть исходного уравнения на множители: (x + 1)(x – 3)(x2 + 6x – 3) = 0
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три уравнения:
x + 1 = 0 x – 3 = 0 x2 + 6x – 3 = 0
x1 = -1 x2 = 3 D = 36 + 12 = 48
x3,4 = = =
Ответ: x1 = -1; x2 = 3; x3,4 = .
Пример №12: (материал взят из ОГЭ по математике 2016 года):
Решите уравнение x4=(3x-10)2
Решение №12: x4 – 9x2 + 60x – 100 = 0 ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±25, ±50, ±100
P4(1) = - 48
P4(-1) = -168
P4(2) = 0 (т.е.Pn(x) ⋮ (х-2))
x4-9x2+60x-100|x-2_________
x4-2x3 x3+2x2-5x+50
0х4 +2x3-9x2
2x3-4x2
0х3 -5x2+60x
-5x2+10x
0х2 +50x-100
50x-100
0
Раскладываем левую часть исходного уравнения на множители:
(x-2)(x3+2x2-5x+50)=0
P4 (-2) = -40
P4(4) = 252
P4(-4) = -228
P4(5) = 600
P4(-5) = 0 (т.е. Pn(x) ⋮ (x+5))
x3+2x2-5x+50|x+5_____
x3+5x2 x2-3x+10
0х3-3x2-5x
-3x2-15x
0х2+10x+50
10x+50
0
(x-2)(x+5)(x2-3x+10)=0
х=2 x=-5 нет корней
Ответ: x1=2; x2=-5.
Вывод: этот способ решения уравнений – универсальный. Его можно применить для решения уравнений четвёртой, пятой и т.д. степеней, постепенно понижая их степени до второй.
5. Метод понижения степени. Схема Горнера.
Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена
Pn(x)=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+…+an−1x+an
на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a: Р(х)=
После деления многочлена n-ой степени на бином x−a, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна n−1. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.
Пример №13: Разделить 5x4+5x3+x2−11 на x−1, используя схему Горнера.
Решение №13: Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x4+5x3+x2−11, расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x−1, то во второй строке запишем единицу:
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:
Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1·5+5=10:
Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1·10+1=11:
Для пятой ячейки получим: 1·11+0=11:
И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1·11+(−11) = 0:
Задача решена, осталось только записать ответ:
Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x4+5x3+x2−11 на x−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x4+5x3+x2−11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x3+10x2+11x+11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена5x4+5x3+x2−11 на x−1. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x4+5x3+x2−11
Пример №14: Разделить многочлен x4+3x3+4x2−5x−47 на x+3 по схеме Горнера.
Решение №14: Сразу оговорим, что выражение x+3 нужно представить в форме x−(−3). В схеме Горнера будет участвовать именно −3. Так как степень исходного многочлена x4+3x3+4x2−5x−47 равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:
Полученный результат означает, что x4+3x3+4x2−5x−47=(x+3)(x3+0⋅x2+4x−17)+4=(x+3)(x3+4x−17)+4
В этой ситуации остаток от деления x4+3x3+4x2−5x−47 на x+3 равен 4. Или, что-то самое, значение многочлена x4+3x3+4x2−5x−47 при x=−3 равно 4.
Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой x=−3 в заданный многочлен:
x4+3x3+4x2−5x−47=(−3)4+3⋅(−3)3−5⋅(−3)−47=4.
Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, – до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни.
Пример №15: Решить уравнение x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45, используя схему Горнера.
Решение №15: Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед x6) равен единице. В этом случае целочисленные корни уравнения нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа 45;15;9;5;3;1 и −45;−15;−9;−5;−3;−1. Проверим, к примеру, число 1:
Табл. №1
Как видите, значение многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=1 равно 192 (последнее число в второй строке), а не 0, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение x=−1. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение 1, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.
Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.
Таблица №2
Итак, значение многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=−1 равно нулю, т.е. число −1 есть корень этого многочлена. После деления многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 на бином x−(−1)=x+1 получим многочлен x5+x4−22x3+2x2+69x+45, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x3+2x2+69x+45) (1)
Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена x5+x4−22x3+2x2+69x+45. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа 45. Попробуем ещё раз проверить число −1. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:
Итак, число −1 является корнем многочлена x5+x4−22x3+2x2+69x+45. Этот результат можно записать так:
x5+x4−22x3+2x2+69x+45=(x+1)(x4−22x2+24x+45) (2)
Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x2+2x2+69x+45)=
=(x+1)(x+1)(x4−22x2+24x+45)=(x+1)2(x4−22x2+24x+45) (3)
Теперь уже нужно искать корни многочлена x4−22x2+24x+45, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа 45). Проверим еще раз число −1:
Число −1 является корнем многочлена x4−22x2+24x+45. Этот результат можно записать так:
x4−22x2+24x+45=(x+1)(x3−x2−21x+45) (4)
С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)2(x4−22x3+24x+45)= =(x+1)2(x+1)(x3−x2−21x+45)=(x+1)3(x3−x2−21x+45) (5)
Теперь ищем корни многочлена x3−x2−21x+45.Проверим еще раз число −1:
Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число 3:
В остаток ноль, поэтому число 3 – корень рассматриваемого многочлена. Итак, x3−x2−21x+45=(x−3)(x2+2x−15). Теперь равенство (5) можно переписать так:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45==(x+1)3(x3−x2−21x+45)==(x+1)3(x−3)(x2+2x−15) (6)
Проверим ещё раз число 3:
Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=
=(x+1)3(x−3)(x−3)(x+5)=(x+1)3(x−3)2(x+5) (7)
Из последней скобки видно, что число −5 также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение x=−5, но необходимости в этом нет. Итак,
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=
=(x+1)3(x−3)2(x+5)
Числа −1;3;5 – корни данного многочлена. Причем, так как скобка (x+1) в третьей степени, то −1 – корень третьего порядка; так как скобка (x−3) во второй степени, то 3 – корень второго порядка; так как скобка (x+5) в первой степени, то x=−5 – корень первого порядка (простой корень).
Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:
x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=(x+1)3(x−3)2(x+5).
(x+1)3(x−3)2(x+5) =0
х1=-1 х2=3 х3=-5
Ответ: х1=-1; х2=3; х3=-5
Пример №16: Убедиться, что числа 2 и −5 являются корнями уравнения 3x6+9x5−28x4+6x3−30x2−30x+100=0.Разделить заданный многочлен на биномы x−2 и x+5.
Решение №16: Степень многочлена 3x6+9x5−28x4+6x3−30x2−30x+100 равна 6. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на 2, т.е. станет равна 4.
(х-2)(х+5)(3х4+2х2-10)=0
х-2=0 или х+5=0 или 3х4+2х2-10=0
х = 2 х = -5 х2=t, t˃0
3t2+2t-10=0
D=4+120=124
t1=-1-313 –посторонний корень
t2=-1+313 х2=-1+313
х1,2=±-1+313Ответ: числа -5 и 2 являются корнями данного уравнения.
Вывод: Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох. Схема Горнера дает общий метод разложения на множители любого многочлена.
6. Метод замены переменной.
В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено к виду ƒ(g(x)) = 0, заменой t = g(x) уравнение сводится к решению уравнения ƒ(t) = 0. Далее для каждого полученного корня tk решается уравнение g(x) = tk.
а) Простейшие случаи. Очевидная замена.
Пример №17: х6+3х3-4=0.
Решение №17: х6+3х3-4=0.
Пусть х3=t
Тогда t2+3t - 4=0
t = 1; t = − 4
Получаем: х3=1 или х3=-4
х = 1; х= QUOTE
Ответ: - QUOTE ; 1.
Пример №18: (х2-3х)2+3(х2-3х)-28=0
Решение №18: (х2-3х)2+3(х2-3х)-28=0
Пусть х2-3х=t
Тогда t2+3t-28=0. t = − 7, t = 4.
х2-3х= -7 или х2-3х=4
х2-3х+ 7 = 0 х2-3х− 4 = 0
D = 9 – 28 = − 19 D = 9 + 16 = 25
корней нет х1=-1; х2=-4.
Ответ: − 1; 4.
Пример №19: 2х5+6х4-7х3-21х2-4х-12=0
Решение №19: 2х5+6х4-7х3-21х2-4х-12=0
2х4(х+3)-7х2(х+3)-4(х+3)=0
(х+3)( 2х4-7х2-4)=0
х+3=0 или 2х4-7х2-4=0
х = − 3. Пусть х2=t t ≥ 0.
2t2-7t-4=0
D=49+32=81
t1=-12-посторонний корень
t2=4
х2=4
х= QUOTE 2
Ответ: −3; .Пример №20: 6х2 + 3х + 1 + = 0.
Решение №20: 6х2 + 3х + 1 + = 0
3(2х2 + х) + 1 + = 0.
Пусть t = 2x2 + x, t ≠ 0, тогда
3t + 1 + = 0,
3t2 + 2t – 5 = 0,
D = 64,
t = t1 = - , t2 =1.
Значит, 2x2 + x = - или 2х2 + х = 1
6х2 + 3х + 5 = 0 2x2 + x – 1 = 0,
Корней нет, так как D < 0. D = 9,
x =,
x1 = - 1, x2 = 0,5.
Ответ: −1; 0,5.
Пример №21: 2х5 – 3х4 + 5х3 – 5х2 + 3х – 2 = 0.
Решение №21: 2х5 – 3х4 + 5х3 – 5х2 + 3х – 2 = 0.
Применяя теорему Безу подбором находим, что х = 1 является корнем данного уравнения.
2272666185421002х5 – 3х4 + 5х3 – 5х2 + 3х – 2 | x - 1
2х5 – 2х4 2х4– х3 + 4х2 – х + 2
0х5− х4 + 5х3
х4 + х3
0х3+4х3 – 5х2
4х3 – 4х2
0х3−х2 + 3х
− х2 + х
0х2+2х – 2
2х – 2
0
2х4 – х3 + 4х2 – х + 2 = 0, х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим обе части уравнения на х2.
2х2 – х + 4 − + = 0
2(х2 +) – (х + ) + 4 = 0.
Пусть t = x +, тогда х2 += t2 – 2.
2(t2 – 2) – t + 4 = 0,
2t2 – t = 0,
t(2t – 1) = 0,
t1= 0, t2=.
Значит, х += 0, или х + =
х2 + 1 = 0 2х2-х+2=0
=>корней нет D = -15 <0
=> корней нет
Ответ: х =1.
Пример №22: (2х2 – 3х + 1)(2х2 + 5х + 1) = 9х2.
Решение №22: (2х2 – 3х + 1)(2х2 + 5х + 1) = 9х2.
Т.к. х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим обе части уравнения на х2.
(2х – 3 +)(2х + 5 + ) = 9.
Пусть t = 2x + , тогда
(t – 3)(t + 5) = 9,
t2 + 2t – 24 = 0,
D = 100,
t = ,
t1 = −6, t2 =4.
Значит, 2х + = − 6 или 2х + = 4
2х2 + 6х + 1 =0, 2х2 − 4х + 1 = 0,
D = 28, D = 8,
x = . x =.
Ответ: ; .
Пример №23: − = 1.
Решение №23: − = 1.
− = 1.
Пусть t = x2 + 5x – 6, t ≠ 0, тогда х2+5х+6 = х2+5х+6+6-6 = х2+5х-6+12=t+12
− = 1,
16(t + 12) – 20t – t(t + 12) = 0,
t2 + 16t – 192 = 0,
D = 1024,
t = ,
t1 = − 24, t2 =8.
Значит, х2 + 5х – 6 = − 24 или х2 + 5х – 6 = 8
х2 + 5х + 18 = 0 х2 + 5х – 14 = 0,
D = -47 < 0 D = 81
=> корней нет х1= -7, х2 = 2
Ответ: х1= -7, х2 = 2.
Пример №24: = + 5.
Решение №24: = + 5.
Т.к. х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х.
= + 5. -1
2х+4х=2(х+2х)
Пусть t = x +, тогда
− − 5 = 0, t≠1,5; t≠-1
= 0,
− 10t2 + 5t + 75 = 0,
2t2 – t – 15 = 0,
D = 121,
t =, t1 = −52, t2 =3.
Значит, х + = 3 или х + = − 52 х2 – 3х + 2 =0 2х2 + 5х + 4 = 0
D = 1 D = -7 < 0
x = , => корней нет
x1=1, x2 = 2.
Ответ: x1=1; x2 = 2.
Пример №25: х4 – 5х3 + 10х2 – 10х + 4 = 0.
Решение №25: х4 – 5х3 + 10х2 – 10х + 4 = 0. х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим обе части уравнения на х2:
х2 – 5х + 10 − + = 0,
(х2 +)− 5(х + ) + 10 = 0 .
Пусть t = x +, тогда t2 = x2 + 4 + , x2 + = t2 – 4 .
t2 − 4 – 5t + 10 = 0,
t2 − 5t + 6 = 0,
D = 1,
t =, t1 =2, t2 = 3.
Значит, х + = 2 или х + =3
х2− 2х + 2 = 0 х2 – 3х + 2 = 0
D = -4< 0 D = 1
=> корней нет x =
x1 = 1, x2 = 2
Ответ: x1 = 1; x2 = 2.
б) Уравнения четвертой степени вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, где числа a, b, c, d связаны равенством a + b = c + d = k.
Это уравнение группировкой сомножителей [(x + a)(x + b)][(x + c)(x + d)] = m,
перемножением скобок попарно и введением переменной y = x2 +kx сводится к решению квадратного уравнения относительно y: (y + ab)(y + cd) = m
Пример №26: (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19
Решение №26: (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19
[(x + 1)(x + 4)][(x – 2)(x +7)] = 19
(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x – 14) = 19
Пусть t = x2 + 5x + 4, тогда
t(t – 18) = 19,
t2 – 18t – 19 = 0,
D = 400,
t =,
t1 = - 1, t2 = 19.
Значит, х2 + 5х + 4 = − 1 или х2 + 5х + 4 = 19
х2 + 5х + 5 = 0, x2 + 5x – 15 = 0,
D = 5, D = 85,
x =. x =.
Ответ: х = , х = .
в) Уравнения четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, где = и a, b, с ≠ 0, называются возвратными.
Заменой t =bx + они сводятся к квадратному уравнению t2 + t + с – 2a= 0.
Пример №27: x4 + 2x3 – 11x2 + 4x + 4 = 0, a = 1, b = 2, c = - 11, d = 4, e = 4.
Решение №27: x4 + 2x3 – 11x2 + 4x + 4 = 0, a = 1, b = 2, c = - 11, d = 4, e = 4.
Так как х = 0 не является корнем данного уравнения, то разделим обе его части на х2.
x2 + 2x – 11 + + = 0,
(x2 + ) + (2x + ) – 11 = 0,
(x +)2 − 4 + 2(x + ) – 11 = 0.
Пусть t = x + , тогда
t2 + 2t – 15 = 0,
D = 64,
t = ,
t1 = - 5, t2 = 3.
Значит, x + = − 5 или x + = 3
x2 + 5x + 2 = 0 x2 – 3x + 2 = 0
D = 17 D = 1
x = x1 = 1, x2 = 2.
Ответ: ; 1; 2.
Пример №28: х4 - 4х3 - 2х2 + 4х + 1 = 0.
Решение №28: х4 - 4х3 - 2х2 + 4х + 1 = 0.
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим на x2 ≠ 0.
x2 – 4x – 2 + 4 + = 0
Пусть = t. Тогда ;
Значит,
t2 + 2 - 4t – 2 = 0
t2 - 4t = 0
t(t-4) = 0
t = 0; t = 4
Имеем два уравнения с переменной х:
х2 - 1= 0 х2 - 4х – 1 = 0
х1 = ±1 D = 16 + 4 = 20
х2=
Ответ: х1 = ±1; х2 = .Вывод: Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.
7. Метод неопределенных коэффициентов.
Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей - многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:
1) два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;
2) любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей;
3) любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух множителей второй степени.
Пример №29: х4-4х3+5х2-4х+1=0
Решение №29: х4-4х3+5х2-4х+1=0.
Предположим, что корни уравнения - целые числа, тогда их надо искать среди чисел ±1.
Если х=1,то 1-4+5-4+1≠0;
если х=-1,то 1+4+5+4+1≠0.
Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.
Попробуем разложить многочлен f(x)=х4-4х3+5х2-4х+1 на множители в следующем виде: f(x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d), где a, b, c и d – целые.
Раскроем скобки: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + cx3 + dx2 +ax3 + acx2 + bx2 + adx + bcx + bd = x4 + x3(c + a) + x2(d + ca + b) + x(ad + bc)+ bd,
Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:
c+a=-4,d+ac+b=5,ad+bc=-4,bd=1.Т.к bd=1,то будем искать решения среди вариантов:
1) b=1;d=1.
2) b=-1;d=-1.
Проверим вариант № 1, когда b=1;d=1
a+c=-4,1+ac+1=51*1=1.,
Получаем b=1,d=1,c=-3,a=-1. и b=1,d=1,c=-1,a=-3.f(x)=х4-4х3+5х2-4х+1=(х2-х+1)(х2-3х+1).
(х2-х+1)(х2-3х+1)=0
х2-х+1=0 х2-3х+1=0
D=1-4<0 D=9-4=5
корней нет х1,2=3±52.
Ответ: х1,2=3±52.
Пример №30: х4 + х3 - 4х2 - 9х - 3 = 0
Решение №30: х4 + х3 - 4х2 - 9х - 3 = 0.
Предположим, что корни уравнения - целые числа, тогда их надо искать среди чисел
Если х = 1, то 14 + 13 – 4 × 12 – 9 × 1 – 3 ≠ 0;если х = -1, то (-1)4 + (-1)3 – 4 × (-1)2 – 9 × (-1) – 3 ≠ 0;если х = 3, то 34 + 33 – 4 × 32 – 9 × 3 – 3 ≠ 0; если х = -3, то (-3)4 + (-3)3 – 4 × (-3)2 – 9 × (-3) – 3 ≠ 0.
Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.
Попробуем разложить многочлен f(x) = х4 + х3 - 4х2 - 9х - 3 на множители в следующем виде: f(x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d), где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + cx3 + dx2 +ax3 + acx2 + bx2 + adx + bcx + bd = x4 + x3(c + a) + x2(d + ca + b) + x(ad + bc)+ bd,
Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:
Так как bd = -3, то будем искать решения среди вариантов:
1) b = -1; d = 3
2) b = 1; d = -3
3) b = -3; d = 1
4) b = 3; d = -1.
Проверим вариант № 1, когда b = -1; d = 3:
а = -2, с =3
f(x) = х4 + х3 - 4х2 - 9х - 3 = (x2 – 2x – 1)(x2 + 3x +3).
(x2 – 2x – 1)(x2 + 3x +3) = 0.
x2 – 2x – 1 = 0 или x2 + 3x +3 = 0
D = 8 D = -3 => корней нет
x1,2 =
Ответ: x1,2 =
Пример №31: Решить уравнение: х4 - 15х2 + 12х + 5= 0.
Решение №31: Проверим если целые корни у данного уравнения. Делителями свободного члена являются числа ±1;±5.
Если х=1, то 1-15+12+5≠0;
если х=-1,то 1-15-12+5≠0;
если х=5,то 625-375+60+5≠0;
если х=-5,то 625-375-60+5≠0.
Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.
Разложим многочлен f(х) = х4 - 15х2 + 12х + 5 на множители в следующем виде: f(x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d), где a, b, c и d -целые. Раскроем скобки: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + cx3 + ax3 + dx2 + acx2 + bx2 + adx + bcx + bd = x4 + x3(c + a) + x2(d + ca + b) + x(ad + bc)+ bdПриравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:
Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:
1) b = -1; d = -5,
2) b = 1; d = 5,
3) b = 5; d = 1,
4) b = -5; d = -1.
Системе удовлетворяет вариант №1, т.е. а = 3, b = -1, c = -3, d = -5.
Итак, f(x) = x4 – 15x2 + 12x + 5 = (x2 + 3x – 1)(x2 – 3x – 5).
(x2 + 3x – 1)(x2 – 3x – 5) = 0.
x2 + 3x – 1 = 0 или x2 – 3x – 5 = 0
D =13 D = 29
x1,2 = x3,4 =
Ответ: x1,2 = ; x3,4 =
Вывод:метод неопределенных коэфиентов является уневерсальным способом при разложение уравнения на постейшие если нет рациональных корней корней.
8. Метод введения параметра.
Метод введения параметра позволяет нестандартное уравнение привести к уравнению привычного вида (например, к квадратному уравнению).
Рассмотрим конкретные примеры уравнений, которые можно решить методом введения параметра.
Пример №32: x3 − (+ 1)x2 + 3=0.
Решение №32: x3 − (+ 1)x2 + 3=0
Пусть = а , 3 = а2, тогда x3 – (a + 1)x2 + a2 = x3 – ax2 – x2 + a2 = a2 – ax2 + +(x3 – x2).
Корни квадратного трехчлена относительно а:
a² − x² a+ (x³ − x²) =0.
D=х4-4*1*(х3-х2)=х4-4х3+4х2=х2(х2-4х+4)=х2(х-2)2
а1=х2-х²(х-2)²2=х2-х(х-2)2=х2-х2+2х2=х
а2=х2+х²(х-2)²2=х2+х(х-2)2=х2+х2-2х2=х2-х
a1 = x, a2 = x2 – x.
a² − x² a+ (x³ − x²)=(a – x)(a − x² + x)
x³ − ( + 1)x² + 3 = (x – )(x² − x − ).
(x – )(x² − x − )=0
x – =0 x² − x − =0
x1 = D=1+43 х2,3 =
Ответ: x1 =; х2,3 = .
Пример №33: x4 – (x+2)(3x2 – 2x – 4) = 0
Решение №33: x4 – (x+2)(3x2 – 2x – 4) = 0
x4 – (x+2)(3x2 – 2(x + 2)) = 0
Пусть x+2=t, тогда x4 – t · (3x2 – 2t) = 0
x4 – 3tx2 + 2t2 = 0
Это уравнение можно решать и как квадратное уравнение относительно переменной t, и как биквадратное относительно переменной x — результат получим один и тот же. Решим его как квадратное относительно t (чтобы не вводить ещё одну переменную).
2t2 – 3x2t + x4 = 0
a = 2; b = -3x2; c = x4
D = (-3x2)2 – 4 · 2 · x4 = x4
t1 = x2 ; t2 =
Обратная замена:
x + 2 = x2; x + 2 =
x2 - x – 2 = 0 x2 - 2x – 4 = 0
D=1+8=9 D=4+16=20
x1 = 2; x2 = -1 х=
Ответ: x1 = 2; x2 = -1; x3,4 =.
Вывод: метод введения параметра используют в самых разных разделах алгебры. В частности, введением параметра могут быть решены некоторые тригонометрические, иррациональные, логарифмические и показательные уравнения.
АНАЛИЗ ДАННЫХ
Изучив различные методы решений уравнений высших степеней, и применив их практически, мы пришли к выводам о том, что
Одни уравнения можно решить разными способами, а для других некоторые способы не применимы, в то время как теорема Безу и схема Горнера остаются универсальными методами для решения уравнений высших степеней.
Основным в решении уравнений является правильно выбранный рациональный способ решения и применение нужного алгоритма.
Вышеперечисленные способы решения заслуживают внимания, поскольку они не все отражены в школьных учебниках математики. Овладение данными способами поможет нам экономить время и эффективно решать уравнения, так как потребность умения решать уравнения высших степеней обусловлена наличием данных примеров в материалах выпускных экзаменов.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Элективные курсы
Для того, чтобы устранить проблему нехватки знаний некоторых способов для решения заданий по теме «Решения уравнений высших степеней», я ознакомила с данной темой учащихся 9-ых классов . Провела элективные занятия в форме лекций, познакомив учеников с теоретической частью, после чего провела ряд практических занятий, целью которых было закрепление полученных знаний. (см. приложение рис. 5 - 10)
На элективных курсах я использовала открытый банк заданий ОГЭ и созданный задачник. По завершению дополнительных занятий, я предложила ученикам решить итоговую самостоятельную работу, применяя различные методы решений уравнений. Результаты данной работы представлены в виде диаграмм. (см. приложение рис. 11 - 12)
ВЫВОДЫ
1. Ознакомив учащихся 9-ых классов школы со всеми способами решений уравнений высших степеней на элективных курсах для подготовки к ОГЭ, я провела срез знаний по данной теме, результаты которого показали, что большинство учеников усвоили преподнесенный материал.
2. Успешные результаты итогового мониторинга показывают, что базовых знаний учащихся 9 класса по теме «Уравнения» достаточно для введения темы «Способы решения уравнений высших степеней».
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.М. Звавич «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов». Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики -Москва «Просвещение», 1999.
2. В.В. Бардушкин, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев, А.М. Ревякин, А.М. Терещенко «Письменный вступительный экзамен по математике» - Москва «Лист», 1998.
3. Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова «Функции и их графики». Учебное пособие - Саратов «Лицей», 2003.
4. М.А.Еремин «Уравнения высших степеней» - Арзамас, 2003.
5. А.Г.Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней» - М.:Наука, 1975.
6. Л.М.Лоповок «1000 проблемных задач по математике» - М.: Просвящение, 1995.
7. И.Р.Шафаревич «Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней» Вып.15 – М.: Наука, 1954.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рис.1 Рис.2
Рис.3 Рис.4
left3810000left952500