Методическая разработка практического занятия по математике по теме: «Выполнение операций над множествами» для студентов 2 курса по специальности 15.02.08 Технология машиностроения

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГБПОУ
МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Методическая разработка
практического занятия по математике
по теме: «Выполнение операций над множествами»
для студентов 2 курса
по специальности 15.02.08 Технология машиностроения
Преподаватель: Рудас И. Г.
Рассмотрено и одобрено
на заседании ПЦК
математических и
естественнонаучных дисциплин

Председатель
_____________ Мокрова И.И.
« » ________ 2016г.
Практическое занятие Тема: «Выполнение операций над множествами»
Цель работы
Закрепление навыков выполнения операций над множествами.
Пояснение к работе
Теоретические сведения
Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.
Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.
Можно сделать такую запись определения множества:
, где
“” – принадлежит; “=>“ – следовательно; “ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.
Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов
Например:

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.
Графически это выглядит так (рис.1):

(рис.1)
Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).
Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.
Это определение можно записать с помощью обозначений:
А υ В, где
где “ υ ” – знак объединения,
“ / ” – заменяет слова ”таких что“

(рис.2)
Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:
А ∩ В = С, где
“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

(рис.3)
Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А
Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается ĀЕ или Ā (рис.4)
Е
(рис.4)
Примерами для понимания этих понятий являются свойства:
_
А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā
_
А ∩ Ā= Ø Ē = Ø (Ā)=А
Свойства дополнения имеют свойства двойственности:
________ _ _
АВ = А∩В
________ _ _
АВ = АUВ
Введем еще одно понятие – это мощность множества.
Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.
Из определение следуют свойства:
m (A) + m (Ā) = m (E)
А = В => m(A) = m(B)
Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:
m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)
m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)
m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) - m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).
А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.
Пример №1
В олимпиаде студентов технических специальностей приняло участие 40 студентов, им было предложено ответить на один вопрос по математике, один - по электротехнике и один – по материаловедению . Результаты проверки ответов представлены в таблице:
Получены правильные ответы на вопросы Колич-во ответивших
по черчению 20
по электротехнике 18
по материаловедению 18
по черчению и электротехнике 7
по черчению и электротехнике 8
по электротехнике и материаловедению 9
Известно также, что трое не дали правильных ответов ни на один вопрос. Сколько студентов правильно ответили на все три вопроса? Сколько студентов правильно ответили ровно на два вопроса?
Решение задачи:
Обозначим:
U – универсальное множество, т.е. множество всех студентов,
A – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по черчению,
B – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по электротехнике,
С – множество студентов, правильно ответивших на вопросы по материаловедению,
D - множество студентов, не давших ни одного правильного ответа.
Дано (по условию): m(U) = 40 (чел.)m(D) = 3 (чел.)
m(A) = 20 (чел.)m(AB) = 7 (чел.)
m(B) = 18 (чел.)m(AC) = 8 (чел.)
m(C) = 18 (чел.) m(BC) = 9 (чел.)
Найти:1) m(ABC) - ?2) сколько студентов ответили ровно на 2 вопроса?
Решение:
1) Пересечение трех множеств разбивает универсальное множество на классы, т.е. на попарно непересекающиеся непустые подмножества. Обозначим число элементов в каждом классе маленькими латинскими буквами (см. рисунок). Можно проверить (и доказать!), что
m(ABC) = m(A) + m(B) + m(C) – m(AB) – m(AC) – m(BC) + m(ABC)
Очевидно, что m(ABC) = m(U) – m(D) = 40 – 3 = 37
Подставив в формулу известные данные, получим:
37 = 20 + 18 + 18 – 7 – 8 – 9 + m(ABC) m(ABC) = 5
Итак, на три вопроса ответили 5 студентов
2) Чтобы найти количество студентов, правильно ответивших ровно на два вопроса, необходимо найти и сложить d, e, f:
d + e + f = (8 – m(ABC)) + (7 – m(ABC)) + (9 – m(ABC)) = 3 + 2 + 4 = 9
Ответ: 1) 5; 2) 9
Пример №2
В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.
По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.
Сколько учащихся решили все задачи?
Сколько учащихся решили только две задачи?
Сколько учащихся решили только одну задачу?
Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С

К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;
К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;
К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;
К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;
К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;
К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;
К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;
К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.
Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:
m (К5) = m (А∩В∩С)= m (АВС) - m (А) - m (В) - m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5
m (К2) = m (А∩В) - m (К5) = 7-5=2
m (К4) = m (А∩С) - m (К5) = 8-5=3
m (К6) = m (В∩С) - m (К5) = 9-5=4
m (К1) = m (А) - m (К2) - m (К4) - m (К5) = 20-2-3-5=10
m (К3) = m (В) - m (К2) - m (К6) - m (К5) = 18-2-4-5=7
m (К7) = m (С) - m (К4) - m (К6) - m (К5) = 18-3-4-5 =6
m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.
Ответ:
5 учеников решили три задачи;
9 учеников решили только по две задачи;
23 ученика решили только по одной задаче.
Задание
Предварительная подготовка к занятию
При подготовке к работе необходимо изучить материал лекции на данную тему и ответить на следующие вопросы:
1. Способы задания множеств
2. Отношения между множествами.
3. Операции над множествами
Работа в кабинете
Самостоятельная работа на решение следующих задач:
Задача № 1
В группе 35студентов. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 студентов, метро и автобусом – 15 студентов, метро и троллейбусом – 13 студентов, троллейбусом и автобусом – 9 студентов.
Сколько студентов используют только одним видом транспорта?
Задача № 2
На заводе из 100 специалистов 70 человек умеют выполнять вид работ №1, 45 – вид работ №2, и 23 человека умеют выполнять оба вида работ. Сколько специалистов не умеют выполнять работы этих видов?
Задача № 3
Доказать равенства A U (A ∩ B) = A ∩ (A U B) = A.Задача № 4
Определить множества A U B, A ∩ B, A\B, B\A, если:а) A = {x: 0 < x < 2}, B = {x: 1 ≤ x ≤ 3};б) A = {x: x2 - 3x < 0}, B = {x: x2 - 4x + 3 ≥ 0};Замечание:
Ко всем задачам сделать рисунки.
Дополнительно*:
Задача № 5
Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.
Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?
Задача № 6
К условию задачи 4 выполнить
в) A = {x: |x - 1| < 2}, B = {x: |x - 1| + |x - 2| < 3}.
Порядок выполнения работы
1.Ознакомиться с методическими рекомендациями по проведению практического занятия №8.
2.Ответить на контрольные вопросы по допуску к занятию.
3.Решить задачи в соответствии с заданием.
4.Ответить на итоговые контрольные вопросы.
Содержание отчета
В тетради для практических занятий необходимо:
указать наименование занятия и его номер,
указать цель занятия,
указать порядок выполнения заданий,
оформить решение задачи в тетради
Итоговые контрольные вопросы
1. Сформулировать определение множества.
2. Что называется объединением множеств?
3 . Что называется пересечением множеств?
Используемая литература
1.Математика (Книга 1) Колягин Ю.М. и др..М.: ОНИКС, 2008
2.Математика (Книга 2) Колягин Ю.М. и др.М.: ОНИКС, 2008
3.Практические занятия по математике Богомолов Н.В.М.: Высшая школа,2009
Задание на дом
Самостоятельная работа №6 «Свойства отношений».
Изучение первоисточников, интернет-ресурсов. Составление конспекта