Логико-дидактический анализ понятий темы «Метод координат»

Логико-дидактический анализ понятий темы «Метод координат»
Как известно, понятие — это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки класса однородных объектов или одноэлементного класса [1,2].
Понятие имеет содержание и объём. Содержание понятия — совокупность существенных признаков, перечисленных в определении понятия. Объём понятия — совокупность (класс) предметов или объектов, которая мыслится в понятии. В школьном курсе геометрии большинство понятий определяется через ближайший род и видовые отличия (около 98%). Для понятия, которое определяется этим способом, составляется схема определения понятия — логическая учебная модель [1]. Схема представляет перечень следующих компонентов: термин (или имя) понятия; существенные признаки понятия; изображение объекта, принадлежащего объёму понятия; обозначение объекта (рис.1). В данной схеме первый существенный признак — ближайшее родовое понятие, остальные — видовые отличия, причём признаки связаны союзом «и».

Рис.1 Общая схема определения понятия
В школе изучение координатного метода и обучение его применению для решения различных математических задач происходит в несколько этапов.
В 5-6 классах вводится основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается, затем систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. После введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость.
В 7-8 классах происходит знакомство с уравнениями прямой и окружности. В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным свойством [3]. До изучения метода координат учащиеся изучают тему «Векторы». Понятийный аппарат темы «Векторы» составляют понятия:
вектор;
начало и конец вектора;
модуль вектора;
нулевой вектор;
одинаково и противоположно направленные векторы;
равные векторы;
коллинеарные векторы;
Понятийный аппарат темы «Метод координат» в 9 классе составляют новые понятия:
координатные векторы;
координаты вектора;
радиус-вектор;
уравнение линии на плоскости;
уравнение окружности
уравнение прямой.
Схемы определения этих понятий приведены на рис.1.1 – рис.1.6.
869315250190Координатный вектор iвектор a| a |= 1 И
лежит на положительной полуоси Ох прямоугольной системы координат И
имеет начало в начале координат (точке О)
Обозначается: i00Координатный вектор iвектор a| a |= 1 И
лежит на положительной полуоси Ох прямоугольной системы координат И
имеет начало в начале координат (точке О)
Обозначается: i
Рис.1.1. Схема определения понятия «Координатный вектор i »
96837590805Координатный вектор j
вектор a| a |= 1 И
лежит на положительной полуоси Оy прямоугольной системы координат И
имеет начало в начале координат (точке О)
Обозначается: j00Координатный вектор j
вектор a| a |= 1 И
лежит на положительной полуоси Оy прямоугольной системы координат И
имеет начало в начале координат (точке О)
Обозначается: j
Рис.1.2. Схема определения понятия «Координатный вектор j»
610235196215Координаты вектора
Коэффициенты x и y разложения вектора p=xa+yba = i И
b = j
Обозначаются: {x;y}
Примеры: {6;10}; {-14;10}; {25;-16};
00Координаты вектора
Коэффициенты x и y разложения вектора p=xa+yba = i И
b = j
Обозначаются: {x;y}
Примеры: {6;10}; {-14;10}; {25;-16};

Рис.1.3. Схема определения понятия «Координаты вектора»

Рис.1.4. Схема определения понятия «Радиус-вектор»
41338512700Уравнение линии L на плоскости
уравнение
связывающее абсциссу х и ординату y И
этому уравнению удовлетворяют координаты х,у всякой точки М линии L И
этому уравнению не удовлетворяют координаты х,у всякой точки не лежащей на линии L
Примеры: y=ax+b; y=ax2+b; x2+y2=25
00Уравнение линии L на плоскости
уравнение
связывающее абсциссу х и ординату y И
этому уравнению удовлетворяют координаты х,у всякой точки М линии L И
этому уравнению не удовлетворяют координаты х,у всякой точки не лежащей на линии L
Примеры: y=ax+b; y=ax2+b; x2+y2=25


Рис.1.5. Схема определения понятия «Уравнение линии на плоскости»
1025525270510Уравнение окружности
уравнение линии
вида (x-x0)2+(y-y0)2=r2; x0, y0, r – любые числа;
Примеры: x2+y2=25; (x-6)2+(y-8)2=25
00Уравнение окружности
уравнение линии
вида (x-x0)2+(y-y0)2=r2; x0, y0, r – любые числа;
Примеры: x2+y2=25; (x-6)2+(y-8)2=25

Рис.1.6. Схема определения понятия «Уравнение окружности»
Результаты логико-дидактического анализа некоторых понятий темы «Метод координат» приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Понятие Определение Вид определения
Координатный вектор iКоординатный вектор i - это единичный вектор, имеющий направление положительной координатной полуоси ОХ Определение через род и видовые отличия. Род – вектор, видовые отличия – длина вектора равна единице; направление вектора совпадает с направлением положительной координатной полуоси ОХ
Координатный вектор jКоординатный вектор j- это единичный вектор, имеющий направление положительной координатной полуоси ОY Определение через род и видовые отличия. Род – вектор, видовые отличия – длина вектора равна единице; направление вектора совпадает с направлением положительной координатной полуоси ОY
Координаты вектора pКоэффициенты разложения вектора p=xi+yj по координатным векторам называются координатами вектора p в данной системе координат Определение через род и видовые отличия. Род – коэффициенты разложения, видовые отличия – разложение производится по двум векторам, один из которых сонаправлен с координатным вектором i, а второй - с координатным вектором j соответственно
Радиус-вектор точки М Радиус-вектор точки М - это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с заданной точкой М. Определение через род и видовые отличия. Род – вектор, видовые отличия – начало вектора в начале координат, конец вектора – в заданной точке М.
Использованные информационные источники.
Боженкова Л.И. Формирование УУД в обучении математике: Типовые задания. Учебно-методическое пособие. – ФГБОУ ВПО МПГУ, 2015. – 140с.
Боженкова Л. И. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии [Электронный ресурс] / Л. И. Боженкова.—3-е изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.
Геометрия 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных. организаций / [Л.С. Атанасян и др.]. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 383 с.