Обучающий модуль по алгебре на тему Арифметическая и геометрическая прогрессия
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Теоретический материал
1. Понятие прогрессии
Арифметической прогрессией называется такая последовательность, в которой каждый следующий ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Число, которое прибавляется к предыдущему члену прогрессии для получения следующего, называется разностью арифметической прогрессии. Обозначается d.
Пример: (аn):2;4;6;8; аn+1= аn + 2 , d=2
(хn):17; 15,5; 14; 12,5; хn+1 = хn - 1,5, d= -1,5
Геометрической прогрессией называется такая последовательность, в которой каждый следующий ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Число, на которое умножается предыдущий член прогрессии для получения следующего, называется знаменателем геометрической прогрессии. Обозначается q.
Пример: (bn):2;4;8;16; bn+1= 2(bn , q=2
(yn):5; -5; 5; -5; yn+1 = -yn , q= -1
2. Формула n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.
Выведем формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.
Пусть (аn)-некоторая арифметическая прогрессия. Пусть(bn)-некоторая геометрическая прогрессия
Значит аn+1= аn +d , т.е. Значит bn+1= bn (q , т.е
Примеры.
Составим формулу n-го члена последовательности (аn):5;3;1;-1;
Заметим, что данная последовательность является арифметической прогрессией, т.к. аn+1= аn -2, в которой а1 =5, d=-2. Значит формула n -го члена этой последовательности имеет вид аn= 5 +(n-1)((-2). Преобразовав данное выражение, получим: аn= -2n+7.
Составим формулу n-го члена последовательности (хn):1;0,5;0,25;0,125;
Данная последовательность является геометрической прогрессией, т.к. хn+1= 0,5хn , в которой х1 =1, q=-0,5. Значит формула n -го члена этой последовательности имеет вид хn= 1 (0,5n-1. Преобразовав данное выражение, получим: хn= 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Характеристическое свойство членов прогрессии
· Легко доказать что:
любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е.13 EMBED Equation.3 1415.
Также можно доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415. (( Проверьте эти равенства самостоятельно!)
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Задания для разработки темы
Необходимо знать: определение арифметической и геометрической прогрессии
рекуррентное задание арифметической и геометрической прогрессии
формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии
характеристическое свойство членов арифметической и геометрической прогрессии
Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.16,18.
Из приведенных ниже последовательностей выпишите те, которые являются а)арифметической прогрессией; б)геометрической прогрессией. Запишите рекуррентную формулу каждой из них Укажите ее первый член и разность или знаменатель:
1 (хn): 10;20;30; 3 (хn): 13 EMBED Equation.3 1415 5 (хn): 0,3; 0,03; 0,003;
2 (хn): 1;2;4;7;11; 4 (хn): 13 EMBED Equation.3 1415 6 (хn): 13 EMBED Equation.3 1415
Запишите первые пять членов арифметической прогрессии, в которой а)а1=2, d=-3; б) а1=-3, d=2. Составьте формулу n-го члена и найдите а10, а20 , а100..
Запишите первые пять членов геометрической прогрессии, в которой а)с1=2, q=-3; б) c1=-3, q=2. Составьте формулу n-го члена и найдите с6.
Найдите члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:
-6; -4; х3; х4; х5;
х1; 3; 7; х4, х5;
х1; х2; 3; х4; 7;
3; х2; х3; х4; -13;
Найдите члены геометрической прогрессии, обозначенные буквами:
3; 1; у3; у4; у5;
у1; 2; 8; у4, у5;
у1; 4; у3; у4; 0,032;
5; у2; у3; у4; 0,3125;
(сn) – арифметическая прогрессия. Найдите:
с1, если d=5 с7=2
d, если с1=4 с15=48
с1, если с5=2 с11=3
(уn) – геометрическая прогрессия. Найдите:
у1, если q=-2 y6=50
q, если y3=4 y5=8.
Вставьте между числами 2 и 3 три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли арифметическую прогрессию.
Ключ для проверки
Арифметической прогрессией является первая и последняя последовательность, причем для первой справедливо: хn+1=xn+10, x1=10, d=10,а для последней - хn+1=xn - 13 EMBED Equation.3 1415, x1=3,d =13 EMBED Equation.3 1415.
Геометрической прогрессией является четвертая и пятая последовательность. для четвертой последовательности выполняется: хn+1=xn(13 EMBED Equation.3 1415, x1=13 EMBED Equation.3 1415, q=13 EMBED Equation.3 1415.
для пятой последовательности справедливо: хn+1= 0,1( xn ,x1=0,3, q=0,1.
a) 2; 1; -4; -7; -10; аn=-3n+5 a10=-25, a20=-55, a100=-295
б)-3; -1; 1; 3; 5; аn=2n-5 a10=15, a20=35, a100=195
а) 2; -6; 18; -54; 162; cn=2((-3)n-1 c6=-486
б)-3; - 6; -12; -24; -48; cn=-3(2n-1 c6=-96
-6; -4; -2; 0; 2; -1; 3; 7; 11; 15; -1; 1; 3; 5; 7; 3; -1; -5; -9; -13;
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 20; 4; 0,8; 0,16;0,032; 5; ±2,5; 1,25; ±0,625; 0,3125;
с1=с7-6d=-28 d=13 EMBED Equation.3 1415 d=13 EMBED Equation.3 1415 c1=c5-4d=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2; 2,25; 2,5; 2,75; 3
Выполните задания для самостоятельной учебной деятельности
По учебнику
·
·
(
Ответьте на вопросы.
Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры.
Что такое разность арифметической прогрессии? Объясните, как найти ее, зная а1 и а2; а8 и а9; а1 и а8; а3 и а12?
Объясните, как в арифметической прогрессии найти первый ее член, зная пятый и разность прогрессии; пятый и двенадцатый ее член?
Объясните на примере последовательности (хn): 3; 7; 11;, как составить формулу ее n-го члена.
Поясните, при каких условия арифметическая прогрессия является возрастающей, а при каких – убывающей. Приведите примеры.
Объясните на примере характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.
Какая последовательность называется геометрической прогрессией? Приведите примеры.
Что такое знаменатель геометрической прогрессии? Объясните, как найти его, зная а1 и а2; а8 и а9; а1 и а4; а10 и а12?
Объясните, как в геометрической прогрессии найти первый ее член, зная пятый член и знаменатель прогрессии; пятый и седьмой ее член?
Объясните на примере последовательности (хn): 3; 6; 12;, как составить формулу ее n-го члена.
Поясните, при каких условиях геометрическая прогрессия является возрастающей, а при каких – убывающей. Приведите примеры.
Объясните на примере характеристическое свойство членов геометрической прогрессии
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Проверочная работа
А1
Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (аn) и найдите а11, если а1=2,4; d=-0.8
Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии (хn):3; -6;
Найдите разность арифметической прогрессии (сn), если с1=-1,2; с5=-0,4
В геометрической прогрессии (уn) у3=13 EMBED Equation.3 1415, у5=13 EMBED Equation.3 1415. Найдите у2 и у6.
Найдите первый член арифметической прогрессии (аn), если а6=23; а11=48..
А2
Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (аn):-2,4;-1,6; и найдите а11.
Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии (хn), если х1=81;q=13 EMBED Equation.3 1415:.
Найдите разность арифметической прогрессии (сn), если с1=-2,7; с4=-1,8
В геометрической прогрессии (уn) у3=13 EMBED Equation.3 1415, у5=13 EMBED Equation.3 1415. Найдите у4 и у7.
Найдите первый член арифметической прогрессии (аn), если а4=4; а12=36..
Б1
Дана арифметическая прогрессия (аn): -22,5;-21; Составьте рекуррентную формулу и формулу n-го члена этой прогрессии.
Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bn), если b3=13 EMBED Equation.3 1415,q=13 EMBED Equation.3 1415.
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если а4=1,8; а7=0,6.
Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 22, если а3=-2; d=3.
Между числами 13 EMBED Equation.3 1415 и 9 вставьте три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли геометрическую прогрессию.
Б2
Дана геометрическая прогрессия (аn): 30,-3; Составьте рекуррентную формулу и формулу n-го члена этой прогрессии.
Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии (bn), если b3= -25,d=0,7.
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если а3= -2,3; а8= -0,8.
Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 47, если а4= -3; d=5.
Между числами 16 и 13 EMBED Equation.3 1415 вставьте три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли геометрическую прогрессию.
В1
Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии (аn), если а5=-9,1; а12=-7.
Найдите шестой и n-й члены геометрической прогрессии (сn), если с1=8 с4; с5=13 EMBED Equation.3 1415.
Докажите, что последовательность, заданная формулой xn=11n-78, является арифметической прогрессией. Опишите свойства этой прогрессии. Найдите ее первый положительный член.
Найдите значения х, при которых числа х+1, 4х и 16х-12 составляют геометрическую прогрессию.
В2
Найдите седьмой член геометрической прогрессии (аn), если а4= -4; а6= -8.
Найдите n-й член арифметической прогрессии (сn), если с3( с4=80;13 EMBED Equation.3 1415..
Докажите, что последовательность, заданная формулой xn=n2+2n, не является арифметической прогрессией. Опишите свойства этой последовательности. Найдите ее наименьший и наибольший член.
Найдите значения х, при которых числа х+1, 2х+1 и х2-3 составляют арифметическую прогрессию.
Ключ для проверки
А1
1. аn= -0.8n+32, a11= -5.6
2. bn=3((-2)n
3. d=0.2
4. y2=±2/3, y6=±1/24
5. a1=2
Б1
1. an+1=an+1.5, a1= -22.5,
an=1.5n-24
2. b7=1
3. d= -0.4, a1=3
4. n=11
5. ±1/3; 1; ±3
B1
1. a17= -4.3
2. c6=3/32, cn=3/2n-1
3. c a8>0, a8=10
4. x=3; 4;12;36
A2
1. аn= -3.2+0.8n, a11= 5.6
2. bn=81/3n-1
3. d=0.3
4. y2=±2/3, y6=16/3
5. a1= -8
Б2
1. an+1=an((-0.1)n-1, a1= 30,
an=30((-0.1)n-1
2. b17= -15.2
3. d= 0.3, a1= -2.9
4. n=14
5. ±4; 1; ±1/4
B2
1. a7= 13 EMBED Equation.3 1415
2. cn= -2n-16, cn= -2n+16
3. наименьшее x1=3, наиб. нет
4. x=4 и -1; 5;9;13 или 0; -1; -2
Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессии
1. Понятие суммы n первых членов последовательности.
Пусть в последовательности (аn) известны первые n ее членов: а1, а2, а3, аn. Выражение а1+ а2+ а3++ аn. Называется суммой n первых ее членов. Обозначается Sn.
Пример. Сумма пяти первых членов некоторой последовательности – это сумма всех ее членов с первого по пятый, т.е. S5= а1+ а2+ а3+ а4+ а5.
Сумма двадцати первых членов последовательности – это сумма всех ее членов в первого по двадцатый, т.е. S20= а1+ а2+ а3++ а19+ а20.
2. Формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессии
Для того, чтобы в некоторой последовательности найти сумму ее первых n членов необязательно знать все эти члены. Можно воспользоваться формулами.
Для арифметической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Для геометрической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
В этих формулах: а1 и b1 – первые слагаемые в сумме
an и bn - последние слагаемые в сумме
n- количество слагаемых (совпадает с номером последнего слагаемого)
d и q- соответственно разность и знаменатель прогрессии
(
· Объясните, как из одной формулы получить вторую)
(( Разберите вывод формул по учебнику)
Примеры.
Найдем сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, в которой с1=3; q=2. Для этого удобнее воспользоваться второй формулой нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии. Т.к. нужно найти сумму пяти первых ее членов, т.е. сумму с первого члена по пятый, то n=5. Значит 13 EMBED Equation.3 1415. Проверим! Для этого найдем все члены этой прогрессии с первого по пятый: 3; 6; 12; 24;48. Найдем их сумму 3+ 6+12+24+48=93. Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем сумму всех двухзначных чисел, не превосходящих 50. Выпишем числа – члены некоторой последовательности – сумму которых необходимо найти: 10; 11; 12; 13;50. Заметим, что эти числа составляют арифметическую прогрессию, в которой а1=10; d=1, значит для нахождения суммы этих чисел можно применить одну из приведенных выше формул. Применим первую формулу 13 EMBED Equation.3 1415. Первое слагаемое в искомой сумме а1=10, последнее слагаемое аn=50. необходимо знать количество слагаемых, т.е. n, которое совпадает с номером последнего слагаемого. Т.к. для членов арифметической прогрессии справедливо равенство аn= а1+d(n-1), то применив его, найдем номер члена аn равного 50. 10+1(n-1)=50, откуда n=41. Т.е. в искомой сумме 41 слагаемое, а значит 50 – это а41. Найдем сумму 13 EMBED Equation.3 1415. Можно применить и вторую формулу 13 EMBED Equation.3 1415.
Использовать нужно ту формулу, которая наиболее удобна в зависимости от условия,
3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия, в которой 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.-1
Например. Последовательность (аn):2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; является бесконечной убывающей геометрической прогрессией знаменатель которой равен 0,5 (0,5<1). Геометрическая прогрессия (сn):3; -0,3; 0,03; -0,003; также является убывающей, q=-0.1 (-1<0.1<1).
Ясно, что с увеличением номера члены последовательности уменьшаются, становясь все меньше и меньше отличными от нуля. Говорят, что с возрастанием n члены прогрессии bn стремятся к нулю. Значит, члены прогрессии с большими номерами практически не влияют на сумму n первых ее членов. Поэтому, при больших n сумма 13 EMBED Equation.3 1415.
Для бесконечной убывающей геометрической прогрессии сумма бесконечного числа слагаемых находится по формуле 13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
Найдем сумму 0,3+0,03+0,003+0,0003+ Заметим, что слагаемые данной суммы являются членами геометрической прогрессии, в которой а1=0.3, q=0.1. q<1, прогрессия убывающая, а значит сумма бесконечного числа слагаемых находится по формуле 13 EMBED Equation.3 1415
Обратите внимание, что 0,3+0,03+0,003+0,0003+=0,3333=13 EMBED Equation.3 1415. Это можно использовать для перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную.
Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.17,19,20.
Разберите примеры, приводимые в учебнике.
Выполните задания для самостоятельной учебной деятельности
По учебнику
·
·
(
Сумма членов арифметическая и геометрическая прогрессии
Задания для разработки темы
Необходимо знать: понятие суммы n первых членов последовательности
формулы, для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии
формулы, для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии
понятие суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.17,19,20.
Обязательный уровень
Запишите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (аn): 2; 7;12;. Найдите эту сумму непосредственно сложением и по формуле.
Запишите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (хn): 2; 10;50;. Найдите эту сумму непосредственно сложением и по формуле.
Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии,( аn) в которой а1=5; d=3.
Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии,( хn) в которой х1=5; q=1/2.
Найдите сумму 2+4+6++20
3+6+9++99
-50+(-45)+(-40)++40+45+50.
(Подсказка: найдите номер последнего слагаемого в сумме)
Найдите сумму: всех двухзначных чисел
двухзначных чисел, кратных 5
Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена хn=12n-3; сумму шести первых членов геометрической прогрессии заданной формулой уn=4n.
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, проверив сначала, что ее знаменатель q удовлетворяет условию13 EMBED Equation.3 1415: 10; 2; 0,4;
·
Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q=3, S4=560.
Представьте бесконечную периодическую дробь 0,(8) в виде обыкновенной.
В арифметической прогрессии а1=1, а сумма первых восьми ее членов равна 120. Найдите разность этой прогрессии.
В арифметической прогрессии сумма первых четырех ее членов равна 42, а сумма восьми первых членов в 3 раза больше. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия задана формулой хn=10-7n. Найдите сумму ее членов с десятого по двадцатый.
Сколько надо сложить последовательных натуральных чисел, кратных 7, чтобы их сумма была равна 546?
(
В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.
Решите уравнение, в котором слагаемые составляют арифметическую прогрессию: 4+7+10++ъ=116; 26+24+22++х=136.
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (хn), если известно, что 13 EMBED Equation.3 1415 и S3=42.
Является ли арифметической прогрессией последовательность, сумма первых n ее членов которой вычисляется по формуле а) Sn=3n2 ; б) Sn=n2-4n.
Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессии
Задание для разработки темы
Ключ для самопроверки
Обязательный уровень
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 0
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
·
13 EMBED Equation.3 1415
8/9
d=4
a1=6, d=3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(
аn= а1 +(n-1)d
b2= b1 (q
b3= b2 (q= b1 (q2
b4= b3 (q= b1 (q3
bn= bn-1 (q= b1 (qn-1
bn= b1 (qn-1
а2= а1 +d
а3= а2 +d= а1 +2d
а4= а3 +d= а1 +3d
аn= аn-1 +d= а1 +(n-1)d
аn+1= аn +d
Рекуррентная формула арифметической прогрессии
Рекуррентная формула геометрической прогрессии
bn+1= bn (q
Sn= а1+ а2+ а3++ аn.
!
13 EMBED Equation.3 1415
а) х=25 б)х=16; х=-14
13 EMBED Equation.3 1415
а) да, d=6 б)нет
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native