Урок Методы решения показательных уравнений
Открытый урок по алгебре в 11 классе.
Методы решения показательных уравнений.
Учитель информатики, математики школы-гимназии № 6 им. Абая Кунанбаева города Степногорска Республики Казахстан Косова Елена Викторовна.
kuharevaelena@mail.ru
Тема: Итоговый урок по теме «Методы решения показательных уравнений».
Цель: Выяснить качество усвоения теоретического материала по теме «Методы решения показательных уравнений». Закрепить эти умения в ходе повторения материала.
Требования к знаниям и умениям:
Учащиеся должны знать:
- определение показательного уравнения;
Методы решения показательных уравнений;
Свойства показательной функции;
График показательной функции.
Учащиеся должны уметь:
Приводить обе части уравнения к одному основанию;
Раскладывать уравнения на множители;
Вводить новую переменную при решении уравнений;
Логарифмировать обе части уравнения.
Программно-дидактическое обеспечение: ПК, электронный тест, раздаточный дидактический материал.
Ход урока:
1. Постановка целей урока.(2 минуты)
Проверка домашнего задания. Выполнение электронного теста.(12 минут)
Повторение материала (15 мин)
Самостоятельная по теме «Методы решения показательных уравнений».(12 минут)
Задание на дом.(2 минуты)
Итоги урока. (2 минуты)
Постановка целей урока.
Какая функция называется показательной?
Какими свойствами она обладает?
Как выглядит её график?
Какое уравнение называется показательным?
Какие методы решения показательных уравнений вы знаете?
2 Проверка домашнего задания.
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Данное уравнение содержит степени с двумя различными основаниями. В таких случаях необходимо собрать в разных частях уравнения степени с общими основаниями и вынести степени за скобки.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
x + 1 =0 => x= -1
Ответ: х = - 1
Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
При решении показательных уравнений используется преобразование, состоящее в 1) вынесении общего множителя за скобки. Этот способ применяют тогда, когда в результате вынесения за скобки степени с переменным показателем, в скобках остаётся алгебраическая сумма, которая является числом или выражением.
Посмотрите решение этого примера, оно демонстрирует суть этого метода.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1. 13 EMBED Equation.3 1415- уравнение не имеет решений, так как 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
3 Повторение материала:
Уравнение называется показательным, если оно содержит неизвестную величину в показателе степени.
Общих приёмов решения показательных уравнений нет. Тем не менее, можно указать некоторые методы, наиболее часто применяющиеся при решении показательных уравнений:
Приведение обеих частей уравнения к одному основанию;
Разложение на множители;
Введение новой переменной;
Логарифмирование обеих частей уравнения.
2) Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию.
Этот метод основан на следующей теореме:
Теорема. Если a>0 a
· 1, то уравнения af(x)=ag(x) и f(x)=g(x) равносильны.
Сейчас при проверки домашней работы, при решении первого уравнения, мы использовали именно этот метод.
Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию.
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415c помощью замены ax= y сводится к квадратному уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 c помощью замены ax= y сводится к квадратному уравнению поскольку a-x можно представить как 13 EMBED Equation.3 1415. Новая переменная как правило вводится после преобразования членов уравнения.
Пример:
Рассмотрим однородное уравнение вида:
13 EMBED Equation.3 1415
Данное уравнение состоит из трёх членов, которые представляют собой степени с одинаковыми показателями и разными основаниями. Для решения подобных уравнений используют метод почленного деления, суть которого в делении уравнения на одну из степеней.
Разберём ряд примеров из решения однородных уравнений.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMB
·ED Equation.3 1415|:22x= 4x
· 0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Замена 13 EMBED Equation.3 1415, y > 0
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
y1=4, y2=9
1) 2)
x = -1 x = 1
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.
Если уравнение невозможно привести к равенству степеней с одинаковыми основаниями, то приводим обе его части к виду, удобному для логарифмирования, логарифмируем и решаем полученное уравнение
Пример: Решите уравнение:
Решение:
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, уравнение можно переписать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
5. Дополнительные методы решения показательных уравнений
При решении показательных уравнений часто пользуются искусственными приёмами:
Рассмотрим уравнение, содержащее степени, произведение которых равно единице.
Пример:
Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 являются взаимно обратными числами (или сопряжёнными)
В самом деле: 13 EMBED Equation.3 1415
Поэтому: 13 EMBED Equation.3 1415
Введём новую переменную: t =13 EMBED Equation.3 1415, t >0.
В результате получим уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
х = 1 13 EMBED Equation.3 1415
x = -1
При решении уравнений, аналогичных разобранному в выше приведённом примере, терпят неудачу те учащиеся, которые не замечают сопряжённости стоящих в основании чисел.
Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свойством монотонности функции.
Суть этого свойства в следующем:
Пусть функция f(x) монотонно возрастает, а g(x) монотонно убывает или константа. Тогда, если уравнение f(x)= g(x) имеет решение х=х0, то это решение единственное.
В этом случае можно подобрать корень.
3. Самостоятельная работа
Все учащиеся класса делятся на 3 группы: - учащиеся, успевающие на 3,
- учащиеся, занимающиеся на 4, - учащиеся, занимающиеся на 5.
А они, в свою очередь делятся на 3 варианта
I вариант II вариант III вариант
1 задание: Решите уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2 задание: Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3 задание: Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Домашнее задание.
Решите уравнение :
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native