Конспект урока по математике на тему Методы решения иррациональных уравнений (11 класс)
Методы решения иррациональных уравнений.11 класс.
Цели:
Образовательная - познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
Развивающая - способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.
Воспитательная - содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство ответственности, самоконтроля.
Задачи урока:
Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;
Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;
Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;
Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.
Тип урока: комбинированный
Методы обучения:
Информационно - иллюстративный;
репродуктивный;
проблемный диалог;
частично-поисковый;
системные обобщения.
Формы организации учебной деятельности:
Фронтальная,
групповая,
самопроверка,
взаимопроверка,
коллективные способы обучения.
Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.
План урока:
Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.
Изучение нового материала.
Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
Задание на дом.
Конспект урока.
Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.
определение иррационального уравнения.
Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.
Назовите иррациональные уравнения:
что значит решить иррациональное уравнение?
Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.
Основные методы решения иррациональных уравнений.
Уединение радикала. Возведение в степень.
a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:
использование равносильных преобразований
для уравнения вида
для уравнения вида
после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней
b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.
Пример 1:
Ответ: x=1
Пример 2:
Ответ: x=1
Пример 3:
Проверка: x=2 x=5
- посторонний корень
Ответ: x=2
Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.
Пример 4:
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ:
Метод введения вспомогательного неизвестного или -метод замены
Пример 5:
Сделаем замену причём тогда
не удовлетворяет условию
Возвращаемся к замене:
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ:1;2
Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.
Пример 6: .
Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение
, .
Тогда,
Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .
Имеем систему уравнений
Т.к. а + в = 4, то
Значит: 9 – x = 8 , х = 1.
Ответ : х = 1
Метод разложения на множители или расщепления.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
Пример 7:
Ответ: -4;3
Изучение нового материала.
Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.
Умножение на сопряжённое выражение.
Переход к модулю.
Использование свойств функции:
Область определения функции (ОДЗ)
Область значения функции
Свойство ограниченности функции (метод оценок)
Свойство монотонности
Использование суперпозиций функций
Умножение на сопряжённое выражение.
Воспользуемся формулой
Пример 8:
Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение:
Проверка показывает, что число является корнем.
Ответ:
Переход к модулю.
Для этого метода воспользуемся тождеством:
Пример 9:
Рассмотрим случаи:
Если , то , тогда
тогда
Если , тогда ,а
2=6( ложно)
Если , тогда , а
Ответ: -3;3
Использование свойств функции:
Область определения функции (ОДЗ)
Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.
Пример 10:
ОДЗ: ОДЗ: x=0 и x=1
Проверка показывает, что только x=1 является корнем.
Ответ:
Пример 11:
, тогда
Тогда невозможно.
Ответ: корней нет.
Область значений функции
Пример 12:
Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция может принимать только неотрицательные значения.
Ответ: корней нет
Пример 13:
Учитывая то, что левая часть уравнения – функция может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:
неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.
Ответ: корней нет
Свойство ограниченности функции (метод оценок)
Если и , то
Пример 14:
Заметим, что , т.е. , а
Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.
Ответ:
Свойство монотонности
Пусть - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I не более одного корня.
Пусть - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция - убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение имеет на промежутке I. не более одного корня
Пример 15: .
Рассмотрим функции и . монотонно возрастает, а - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Значение корня легко найти подбором:
Ответ:
Пример 16:
Функция возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Так как , то - единственный корень .Ответ:
Использование суперпозиций функций
Если - монотонно возрастающая функция, то уравнения и равносильны.
Пример 17:
Запишем уравнение в виде
Рассмотрим функцию - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид . Оно равносильно уравнению
Сделаем замену
не удовлетворяет условию
Ответ:
Закрепление изученного материала
Решение уравнений в группах по 4человека.
Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.
После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:
Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.
Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.
Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.
Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
Задание на дом:
Решить уравнения:
Задания для работы в группах:
Вариант 1
Решите уравнения,
используя подсказку:
Возведи обе части в квадрат:
Выполни замену:
Найди ОДЗ:
Умножай на сопряжённое выражение:
Переходи к модулю:
Используй свойства функций:
Реши любым способом:
Вариант 2
Решите уравнения,
используя подсказку:
Возведи обе части в квадрат:
Выполни замену:
Найди ОДЗ:
Умножай на сопряжённое выражение:
Переходи к модулю:
Используй свойства функций:
Реши любым способом:
Вариант 3
Решите уравнения,
используя подсказку:
Возведи обе части в квадрат:
Выполни замену:
Найди ОДЗ:
Умножай на сопряжённое выражение:
Переходи к модулю:
Используй свойства функций:
Реши любым способом:
Вариант 4
Решите уравнения,
используя подсказку:
Возведи обе части в квадрат:
Выполни замену:
Найди ОДЗ:
Умножай на сопряжённое выражение:
Переходи к модулю:
Используй свойства функций:
Реши любым способом: