Презентация по математике на тему: Способы решения квадратных уравнений

Исследовательская работа «Способы решения квадратных уравнений» Способы решения квадратного уравнения Количество учащихся Метод выделения квадрата двучлена 0 0 % Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки 2 2,5 % Решение уравнения по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения 53 67 % Решение уравнения, используя теорему Виета. 4 5 % Решение уравнения графическим способом. 0 0 % Неверно решили уравнение 20 25,5 % Социологический опрос Актуальность проблемы Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида. Цель и задачи Цель Задачи выявить способы решения квадратных уравнений, узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов. проанализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений, показать различные способы решения квадратных уравнений. Объект исследования: Предмет исследования: квадратные уравнения. способы решения квадратных уравнений. Гипотеза: Методы исследования: существуют ли другие способы решения квадратного уравнения и имеют ли они право на жизнь? анализ литературы, социологичес -кий опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов. Этапы выполнения исследовательской работы: Анализ данных Обработка данных Сбор данных Сбор данных История возникновения квадратных уравнений Др.Индия 499 г. Др. Вавилон Европа 13 – 17 в. Диофант Сбор данных Способы решения квадратных уравнений Разложение левой части на множители Метод выделения полного квадрата По формуле С использованием теоремы Виета (прямой и обратной) Способом «переброски» По свойствам коэффициентов Графический способ С помощью циркуля и линейки С помощью номограммы Геометрический способ Основные Дополнительные По свойствам коэффициентов Свойства: Способом «переброски» Умножив обе части уравнения на а, получим Пусть , откуда Тогда получим уравнение с новой переменной Его корни у1 и у2. Окончательно С помощью циркуля и линейки Данный способ заключается в том, чтобы при нахождении корней уравнения отметить в системе координат точки и А(0;1); провести окружность с центром в точке S и радиусом SA. Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения Радиус окружности больше ординаты центра , окружность пересекает ось Ох в двух точках , где корни исходного уравнения. Радиус окружности равен ординате центра , окружность пересекает ось Ох в одной точке где корень исходного уравнения. Радиус окружности меньше ординаты центра , окружность не имеет общих точек с осью Ох. В этом случае исходное уравнение не имеет корней. С помощью номограммы Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений. Номограмма взята из «Четырѐхзначных математических таблиц» В.М.Брадиса. При помощи этой номограммы приближѐнно можно найти положительные корни конкретного уравнения Для этого надо на оси р взять точку M с координатой р, на оси q – точку N с координатой q и провести прямую MN. Каждая точка пересечения прямой MN с кривой Г даѐт положительный корень уравнения. Построенная прямая MN может пересекаться с кривой Г: в двух точках (в этом случае оба корня данного уравнения положительны); в одной точке (в этом случае второй корень уравнения отрицателен); может касаться кривой (в этом случае у уравнения кратный положительный корень); может не иметь с кривой Г ни одной общей точки (в этом случае либо оба корня уравнения отрицательны, либо у него вообще нет действительных корней). Геометрический способ Рассмотрим, как древние греки решали уравнение Решение представлено на рисунке, где Выражения геометрически представляют собой один и тот же квадрат со стороной 5. Поэтому или и 16 + 9 Разложение левой части уравнения на множители Обработка данных Ответ: -4,5; 1. Метод выделения полного квадрата Обработка данных Ответ: -4,5; 1. По формуле С использованием формул Виета имеет два разных по знаку корня больший по модулю корень отрицательный Обработка данных Ответ: -4,5; 1. Способом «переброски» По свойству коэффициентов Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение: из которого по формулам Виета Корнями исходного уравнения будут Так как то Обработка данных Ответ: -4,5; 1. Графический метод С помощью циркуля и линейки Запишем уравнение в виде Построим в одной системе координат графики функций Определим координаты центра окружности по формулам: Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1). Обработка данных Ответ: -4,5; 1. С помощью номограммы Геометрический способ Представим уравнение в виде: Номограмма дает положительный корень отрицательный корень Представим уравнение в виде: Площадь полученного квадрата: Так как , то: Таким образом, получили уравнение: Одни квадратные уравнения можно решить разными способами, а для других уравнений некоторые способы не применимы. Анализ данных Основным в решении квадратных уравнений является правильно выбрать рациональный способ решения и применить алгоритм решения Данные способы решения заслуживают внимания, поскольку они не все отражены в школьных учебниках математики. Овладение данными способами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения, так как потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов. Название способа решения квадратных уравнений Положительные стороны Недостатки Разложение левой части уравнения на множители Дает возможность сразу увидеть корни уравнения. Нужно правильно расчленить слагаемые для группировки. Метод выделения полного квадрата За минимальное количество действий можно найти корни уравнений Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата. По формуле Можно применить ко всем квадратным уравнениям. Нужно выучить формулы. С использованием формул Виета Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения. Легко находятся только целые корни. Способом «переброски» За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета. Легко найти только целые корни. По свойствам коэффициентов Не требует особых усилий Подходит только к некоторым уравнениям Графический способ Наглядный способ Могут быть не точности при составлении графиков С помощью циркуля и линейки Наглядный способ Могут быть не точности С помощью номограммы Наглядный способ, прост в применении. Не всегда под рукой имеется номограмма. Геометрический способ Наглядный способ. Похож на способ выделения полного квадрата положительные стороны и недостатки Плужников И.10 способов решения квадратных уравнений//Математика в школе.-2000.-№40Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – м., просвещение, 1990Дидактические материалы по алгебре.http://revolution.allbest.ru/http://mat.1september.ru/2001/42/no42_01.htm Список использованной литературы