Методические указания для проведения практических работ по теме «Вычисление пределов» для студентов технических специальностей СПО

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ПО ТЕМЕ «ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ»
Преподавателя математики Маштаковой Р.А.
Пояснительная записка
Методические указания для проведения практических работ по теме «Вычисление пределов» разработаны в помощь студентам технических специальностей СПО, изучающим в курсе дисциплины Элементы высшей математики тему «Пределы». Данная разработка также будет полезна преподавателям при подготовке к урокам данной тематики. Материал, представленный в разработке, можно использовать при внеаудиторной самостоятельной работе студентов.
Методические указания состоят из пяти практических работ:
Практическая работа №1 «Раскрытие неопределенности вида 00»;
Практическая работа № 2 «Раскрытие неопределенности вида 00»;
Практическая работа № 3 «Вычисление предела при x→∞»;
Практическая работа № 4 «Первый замечательный предел»;
Практическая работа № 5 «Второй замечательный предел».
В каждой работе содержится теоретическая и практическая части. В теоретической части кратко изложены основные моменты, необходимые для решения пределов. В практической части представлен полный разбор одного варианта, затем предложены два варианта для самостоятельного решения.

Практическая работа №1 «Раскрытие неопределенности вида 00»
Цель работы: научиться раскрывать неопределенность вида 00, путем разложения на множители.
Способы разложения на множители:
1) Вынесение общего множителя за скобку: ax2+bx=xax+b2) Формулы сокращенного умножения:
Разность квадратов a2-b2=a-ba+b a2±2ab+b2=a±b2 Сумма и разность кубов a3±b3=a±ba2∓ab+b23) Разложение квадратного трехчлена на множители:
ax2+bx+c=ax-x1x-x2, где x1, x2 корни квадратного уравнения
4) Способ группировки
Образовать группы, между ними знак «+»,
В каждой группе вынести общий множитель за скобки,
Найти и вынести за скобки общий множитель обеих групп, в результате получим произведение множителей.
Разбор решения одного варианта:
1. limx→15 15x-x2225-x2;2. limx→10 x2-13x+30100-x2;3. limx→4 2x2+2x-408x-2x2;4. limx→-11 x3-121xx2+22x+121;5. limx→10 1000-x3x2-9x-10;6. limx→4 x3-16x-x2+16x3-5x2+4x;7. limx→-3 x3+2x2-3xx3-9x-x2+9;Решение:
1) limx→15 15x-x2225-x2=подстановка предельного значения x=15 дает неопределенность вида 00.
Чтобы раскрыть эту неопределенность надо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель «х» за скобку, в знаменателе заметим, что 225=152 и применим формулу разность квадратов
=limx→15 x15-x152-x2=limx→15 x15-x15-x15+x=сократим на множитель, приводящий к неопределенности, это х-15
limx→15 x15+x=подстановка предельного значения x=15 дает
=1515+15=1530=12.2) limx→10x2-13x+30100-x2=00=разложим числитель и знаменатель на множители:
В числителе разложим квадратный трехчлен на множители по формуле
ax2+bx+c=ax-x1x-x2, где x1,x2-корни квадратного уравненияx2-13x+30=1x- x- Найдем корни квадратного уравнения x2-13x+30=0D=b2-4ac
D=169-4∙1∙30=169-120=49, D=7x1,2=-b±D2ax1,2=13±72: x1=13+72=202=10, x2=13-72=62=3Заполним разложение:
x2-13x+30=x-10x-3в знаменателе 100 это 102 ⟹ формула a2-b2, получим
=limx→10x-10x-310-x10+x=в первом множителе вынесем минус, тогда x-10=-10-x=limx→10-10-xx-310-x10+x=сократим на (10-х)=limx→10-x-310+x=подстановка x=10:=-10-310+10=-720.3). limx→42x2+2x-408x-2x2=00=limx→42x- x- 2x4-x=сократим на 2:=limx→4x- x- x4-x=решим квадратное уравнение 2x2+2x-40=0D=4-4∙2-40=4+320=324, D=18
x1=-2+182∙2=164=4, x2=-2-182∙2=-204=-5 тогда
=limx→4x-4x+5x4-x=limx→4x-4x+5-xx-4=limx→4x+5-x=4+5-4=-94.4). limx→-11 x3-121xx2+22x+121=00=В числителе вынесем общий множитель «x» за скобки, причем заметим, что 121=112, и применим формулу разность квадратов a2-b2=a-ba+bА в знаменателе увидим формулу сокращенного умножения : квадрат первого , минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго
limх→-11xx2-121x2-2∙x∙11+112=limх→-11хх-11(х+11)(х-11)2=Сократим на множитель (х-11)
=limх→-11хх+11х-11=Подставив предельное значение х=-11, получим=-11∙0-22=05) limx→10 1000-x3x2-9x-10=00=В числителе применим формулу разность кубов a3-b3-a-ba2+ab+b2, а в знаменателе разложим квадратный трехчлен на множители
=limx→10 103-x3x- x- =для этого найдем корни квадратного уравнения: x2-9x-10=0D=81-4∙1∙-10=81+40=121 D=11x1=9+112=202=10; x2=9-112=-22=-1 , тогда
=limx→10 10-x102+10x+x2x-10x+1=Заметим что 10-х=-(х-10),
=limx→10 –x-10100+10x+x2x-10x+1=сократим на x-10 и подставим x=10 , получим
=limx→10 –100+10x+x2x+1=–100+100+10010+1=-30011=-27311.6) limx→4 x3-16x-x2+16x3-5x2+4x=00=в числителе разложим на множители способом группировки
x2-16x+-x2+16=xx2-16-x2-16=x2-16x-1==x2-42x-1=x-4x+4x-1А в знаменателе вынесем за скобки общий множитель «х»
=limx→4 x-4x+4x-1xx2-5x+4=А затем разложим квадратный трехчлен на множители:
limx→4 x-4x+4x-1xx- x- =для этого решим квадратное уравнение x2-5x+4=0D=25-4∙1∙4=25-16=9; D=3x1,2=5±32; x1=5+32=4; x2=5-32=1.=limx→4 x-4x+4x-1xx-4x-1=сократим на x-4x-1 и подставим х=4=limx→4 x+4x=84=2.7) limx→-3 x3+2x2-3xx3-9x-x2+9=00=в числителе вынесем x за скобку x3+2x2-3x=xx2+2x-3 и разложим квадратный трехчлен на множители, x(x2+2x-3)=xx- x- для этого найдем корни квадратного уравненияx2+2x-3=0; D=4-4∙1∙-3=4+12=16; D=4;
x1=-2+42=22=1; x2=-2-42=-62=-3; получимx(x2+2x-3)=xx-1x+3, а в знаменателе сгруппируем
x3-9x+-x2+9 в первой группе вынесем x, а во второй ≪-1≫ xx2-9-x2-9 общий множитель обеих групп x2-9 вынесем за скобки x2-9x-1=x2-32x-1=x-3x+3x-1 тогда
=limx→-3 xx-1x+3x-3x+3x-1=сократим числитель и знаменатель на x-1x+3 и подставим предельное значение х=-3=limx→-3 xx-3=-3-3-3=-3-6=12.Вариант 1 Вариант 2
1. limx→-2 x2+x-2x2-4;2. limx→-5 x2-25x2+9x+20;3. limx→-3 9-x23x-x2;4. limx→1 x2-1x2-2x+1;5. limx→1 x3-x-2x2+2x3-2x2+3x;6. limx→12 2x2-7x+32x2-x;7. limx→2 x3-8x-2;1. limx→3 x2-9x2+x-6;2. limx→2 x2+2x-8x2-4;3. limx→5 5x-x225-x2;4. limx→-3 x2+6x+9x2-9;5. limx→3 x3-9x-x2+9x3-4x2+3x;6. limx→-15 5x2-9x-25x2+x;7. limx→3 x-3x3-27;Практическая работа № 2 «Раскрытие неопределенности вида 00»
Цель работы: научиться раскрывать неопределенность вида 00, вызванную присутствием корня.
Теоретическая часть:
Сопряженными называются множители a-b и a+b, причем их произведение дает формулу разность квадратов a-ba+b=a2-b2Согласно свойств степени и корня: nan=aПример 1: x+3-7x+3-7=x+32-72=x+3-7=x-4Пример2:x2-4-3xx2-4+3x=x2-42-3x2=x2-4-9x2=-8x2-4Разбор решения одного варианта:
1. limx→-2 x+9-7x+2;2. limx→15x+10-5x-15;3. a)limx→36 x2-36xx-11-5; b) limx→50 x-1-7x2-2500;4. a) limx→4 x2-4-3xx-4; b) limx→1 x2-1x2+4x-4-x;5. limx→-13x+4+xx+1;1. limx→-2 x+9-7x+2 подстановка предельного значения x=-2 в числительlimx→-2 x+9-7=0, предел знаменателя даетlimx→-2 x+2=0,то имеет место неопределенность вида 00, которая вызвана присутствием корня. Раскроем неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженный множитель к числителю
=limx→-2x+9-7x+2∙x+9-7x+9-7,применив в числителе формулу разность квадратов
a-ba+b=a2-b2, имеем:
limx→-2x+92-72x+2x+9+7=при возведении квадратного корня в квадрат корень исчезает
=limx→-2x+9-7x+2x+9+7=limx→-2x+2x+2x+9+7=сократив на x+2 - множитель, приводящий к неопределенности и подставив предельное значение x=-2, имеем
=limx→-21x+9+7=1-2+9+7=17+7=127.2. limx→15 x+10-5x-15=подстановка x=15 дает неопределенность вида 00, вызванную присутствием корня, поэтому умножаем на сопряженный множитель к числителю
=limx→15 x+10-5x-15∙x+10+5x+10+5,применив в числителе, формулу разность квадратов a-ba+b=a2-b2=limx→15 x+102-52x-15x+10+5=limx→15 x+10-25x-15x+10+5Посчитав, в числителе подобные, имеем
=limx→15 x-15x-15x+10+5=Сократим числитель и знаменатель на множитель x-15
=limx→15 1x+10+5=подставим предельное значение x=15, тогда
=125+5=15+5=110.3. a)limx→36 x2-36xx-11-5=подстановка предельного значения x=36 дает неопределенность вида 00, умножаем числитель и знаменатель на сопряженный множитель к знаменателю
=limx→36 x2-36xx-11-5∙x-11+5x-11+5=в знаменателе формула разность квадратов a2-b2=limx→36 x2-36xx-11 +5x-112-52=limx→36 x2-36xx-11 +5x-11-25=вынесем в числителе общий множитель «х» за скобку, а в знаменателе вычислим
=limx→36 xx-36x-11 +5x-36=сократим на x-36 и подставим предельное значение x=36, имеем
=limx→36 xx-11 +5= 3636-11+5=3625+5=36∙10=360.
3. b) limx→50 x-1-7x2-2500=00=умножаем числитель и знаменатель на сопряженный x-1+7,
в знаменателе применим формулу разность квадратов, т.к. 2500 = 502=limx→50 x-1-7x-50x+50∙x-1+7x-1+7=limx→50 x-12-72x-50x+50x-1+7==limx→50 x-1-49x-50x+50x-1+7=limx→50 x-50x-50x+50x-1+7=сократим на множитель x-50 и подставим x=50=limx→50 1x+50x-1+7=150+5050-1+7=110049+7==110∙14=1140.4. a) limx→4 x2-4-3xx-4=00=умножаем на сопряженный к числителю, а затем в числителе применяем формулу разность квадратов a2-b2:
=limx→4 x2-4-3xx-4∙x2-4+3xx2-4+3x=limx→4x2-42-3x2x-4x2-4+3x==limx→4 x2-4-3xx-4x2-4+3x=limx→4 x2-3x-4x-4x2-4+3x=в числителе квадратный трехчлен, разложим на множители по формуле:
ax2+bx+c=ax-x1x-x2 , где x1, x2- корни квадратного уравнения=limx→4 x- x- x-4x2-4+3x=для этого найдем корни квадратного уравнения x2-3x-4=0D=b2-4ac=9-4∙1∙-4=9+16=25, D=5x1,2=-b±D2a=3±52 ; x1=3+52=82=4; x2=3-52=-22=-1, тогда=limx→4 x-4x+1x-4x2-4+3x=сократим на x-4 и подставим x=4=limx→4 x+1x2-4+3x=4+142-4+3∙4=512+12=5212=524∙3==52∙4∙3=52∙23=543.b) limx→1 x2-1x2+4x-4-x=00=подстановка x=1 дает неопределенность 00, вызванную присутствием корнем ⇒ умножим на сопряженный x2+4x-4+x=limx→1 x2-1x2+4x-4-x∙x2+4x-4+xx2+4x-4+x=в числителе разложим по формуле разность квадратов, в знаменателе свернем по формуле разность квадратов a2-b2, затем приведем в знаменателе подобные получаем трехчлен, который тоже надо разложить:
=limx→1x-1x+1(x2+4x-4+x)x2+4x-42-x2==limx→1x-1x+1(x2+4x-4+x)x2+4x-4-x==limx→1x-1x+1(x2+4x-4+x)x2+3x-4==limx→1x-1x+1(x2+4x-4+x)x- x- x2+3x-4=0; D=b2-4ac=9-4∙1-4=9+16=25, D=5x1,2=-b±D2a=-3±52 ; x1=-3-52=-82=-4; x2=-3+52=22=1=limx→1x-1x+1(x2+4x-4+x)x+4x-1=Сократив на (x-1), подставим предельное значение x=1=1+11+4-4+11+4=2∙25=45.Вариант 1 Вариант 2
1. limx→1x+1-2x-1;2. limx→11x+5-4x-11;3. limx→5x2-25x-4-1;4. limx→2x-2x2+2-3x;5. limx→12-x-xx-1;1. limx→2x+1-3x-2;2. limx→21x-5-4x-21;3. limx→0x2-x4-x-2;4. limx→2x2+6-5xx-2;5. limx→3x-3x+6-x;Практическая работа № 3 «Вычисление предела при x→∞»
Цель работы: научиться вычислять пределы при x→∞, в том числе путем раскрытия неопределенностей вида ∞∞ и ∞-∞».
Теоретическая часть:
Предел бесконечно малой равен нулю.
Если предел величины равен нулю, то эта величина есть бесконечно малая.
Предел бесконечно большой величины равен бесконечности.
Если x - величина бесконечно малая, то обратная ей величина 1x является бесконечно большой.
Если x - величина бесконечно большая, то обратная ей величина 1x является бесконечно малой.
Предел числа есть само число.
Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.
Разбор решения одного варианта:
1) limx→∞ x4-2x3-12) limx→∞ 415x-23) limx→∞ 1-7x3-5x4) limx→∞ 4x-56x2-115) limx→∞ 4x6-5x3-27x3-16) limx→∞ 5x9-6x3-14x3-9x97) limx→∞ x2-16-x8) limx→∞ x2-4x+3-x2-2x+81) limx→∞ x4-2x3-1= первые два слагаемых при x→∞ пределов не имеют, поэтому имеет место неопределенность ∞-∞, чтобы её раскрыть, надо
вынести за скобку большую степень переменной, входящей в пример:
=limx→∞x4x4x4-2x3x4-1x4=limx→∞x41-2x-1x4=limx→∞x4∙limx→∞1-2x-1x4=при x→∞, величины 2x, 1x4- бесконечно малые и их педелы равны нулю,=∞∙1-0-0=∞.2) limx→∞ 415x-2=при х→∞ предел знаменателя есть величина бесконечно большая, тогда обратная ей функция 115x-2 – есть величина бесконечно малая значит. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину 4∙ 115x-2 - есть бесконечно малая, т.е. предел равен нулю =0.
3) limx→∞ 1-7x3-5x=предел числителя и предел знаменателя есть величины бесконечно большие ⟹ имеет место неопределенность вида ∞∞, раскроем её делением числителя и знаменателя на наибольшую степень переменной т.е. на x и сократим, тогда
=limx→∞ 1x-7xx3x-5xx=limx→∞ 1x-73x-x=помня, что при x→∞, 1x→0, 3x→0, имеем
=0-70-5=-7-5=75.4) limx→∞ 4x-56x2-11=∞∞делим каждое слагаемое на x2 и сократим
=limx→∞ 4xx2-5x26x2x2-11x2=limx→∞ 4x-5x26-4x2=так как при х→∞, 4x→0, 5x2→0, 4x2→0 имеем:
=0-06-0=06=0.5) limx→∞ 4x6-5x3-27x3-1=∞∞делим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, это x6:
=limx→∞ 4-5x3-2x67x3-1x6=при x→∞, 5x3→0, 2x6→0, 7x3→0, 1x6→0, тогда предел числителя равен 4, предел знаменателя равен 0, т.е. в знаменателе бесконечно малая величина ⟹ вся дробь есть величина бесконечно большая, т.е. = ∞.
=4-0-00-0=40=∞.6) limx→∞ 5x9-6x3-14x3-9x9=∞∞делим числитель и знаменатель на x9:
=limx→∞ 5-6x3-1x94x3-9=при x→∞, 6x3→0, 1x9→0, 4x3→0, предел числа равен самому числу:
=5-0-00-9=5-9=-59.7) limx→∞ x2-16-x=функция представляет собой разность бесконечно больших величин∞-∞. умножим числитель и знаменатель на сопряженный множитель x2-16+x:=limx→∞ x2-16-x1∙x2-16+xx2-16+x=по формуле разность квадратов
=limx→∞ x2-162-x2x2-16+x=limx→∞ x2-16-x2x2-16+x=limx→∞ -16x2-16+xпри x→∞, знаменатель есть бесконечно большая величина ⟹ вся дробь есть бесконечно малая, т.е. = 0.
8) limx→∞ x2-4x+3-x2-2x+8=∞-∞=умножим на сопряженный
=limx→∞ x2-4x+3-x2-2x+81∙x2-4x+3+x2-2x+8x2-4x+3+x2-2x+8==limx→∞x2-4x+32-x2-2x+82x2-4x+3+x2-2x+8=limx→∞x2-4x+3-x2-2x+8x2-4x+3+x2-2x+8==limx→∞x2-4x+3-x2+2x-8x2-4x+3+x2-2x+8=limx→∞-2x-5x2-4x+3+x2-2x+8=при x→∞, имеем ∞∞, раскроем путем деления на x, т.к. x2=x:
=limx→∞ -2xx-5xx2-4x+3x+x2-2x+8x=limx→∞ -2-5xx2x2-4xx2+3x2+x2x2-2xx2+8x2==limx→∞ -2-5x1-4x+3x2+1-2x+8x2=при x→∞ , 4x→0, 3x2→0, 2x→0, 8x2→0, тогда:
=-2-01-0+0+1-0+0=-21+1=-1.Вариант 1 Вариант 2
1. limx→∞∙2x-34x-1;2. limx→∞∙2x-14x2-1;3. limx→∞∙5x3+3x-14+x;4. limx→∞∙7x3-2x+14x3-x;5. limx→∞∙x2-4-x;6. limx→∞∙x2+8x+3-x2+4x+3.1. limx→∞∙7x-12x-3;2. limx→∞∙7x2-15x+1;3. limx→∞∙4x+52x3-1;4. limx→∞∙7x4-2xx+5x4;5. limx→∞∙x-x2-1;6. limx→∞∙x2+2x-x.Практическая работа № 4 «Первый замечательный предел»
Цель работы: научится раскрывать неопределенность вида 00 с помощью первого замечательного предела, вычислять пределы, содержащие тригонометрические функции.
Теоретическая часть:
Предел отношения синуса бесконечно малого угла к самому углу, есть величина постоянная, равная единице, т.е.
limp→0 sin pp=0 или limp→0 psin p=11) limx→0 18xsin x2) limx→0 sin 25xx3) limx→0 15xsin 17x4) limx→0 sin3 7x x35) limx→0 x+10-10sin 9x6) limx→π2 121-ctg x-11ctg x7) limx→0 sinx2+sin 11x3x8) limx→10 x2-100sin10-xРешение одного варианта:
1) limx→0 18xsin x=00постановка x=0 дает неопределенность вида 00,которую надо раскрыть с помощью первого замечательного предела:
=limx→0181 ∙ xsin x=limx→018∙ limx→0 xsin x=18∙1=182) limx→0 sin 25xx=00=используем первый замечательный предел,
Для этого умножим на 2525 и перегруппируем множители:
limx→0 sin 25xx∙2525=limx→0 sin 25x25x∙251=1∙25=25.3) limx→0 15xsin 17x=00 умножим на 1717 и перегруппируем= =limx→0 15xsin 17x∙1717=limx→0 17xsin 17x∙1517=1∙1517=1517.4) limx→0 sin3 7x x3=00=используем первый замечательный предел три раза:
=limx→0 sin 7xx∙sin 7xx∙sin 7xx=умножим каждую дробь на 77 и перегруппируем множители, тогда
=limx→0 sin 7xx∙77∙sin 7xx∙77∙sin 7xx∙77=limx→0 sin 7x7x∙71∙sin 7x7x∙71∙sin 7x7x∙71==1∙7∙1∙7∙1∙7=73=343.5) limx→0 x+10-10sin 9x=00=Неопределенность вызвана присутствием корня ⟹ умножим числитель и знаменатель на сопряженный множитель x+10+10x+10+10 , тогда
=limx→0 x+10-10sin 9x∙x+10+10x+10+10=в числителе свернем по формуле разность квадратов a-ba+b=a2-b2=limx→0 x+102-102sin 9x∙x+10+10=limx→0 x+10-10sin 9x∙x+10+10==limx→0 xsin 9x∙x+10+10=00=Для раскрытия неопределенности применим первый замечательный предел: умножим на 99 и перегруппируем множители:
=limx→0 xsin 9x∙x+10+10∙99=limx→0 9xsin 9x∙ 19x+10+10==1∙1910+10=19∙210=118106) limx→π2 121-ctg x-11ctg x=00=умножим на сопряженный множитель и применим формулу разность квадратов:
=limx→π2 121-ctg x-11ctg x∙121-ctg x+11121-ctg x+11==limx→π2 121-ctg x2-112ctg x121-ctg x+11==limx→π2 121-ctg x-121ctg x121-ctg x+11=limx→π2 -ctg xctg x121-ctg x+11=сократим на ctg x=limx→π2 1121-ctg x+11=(постановка x=π2)=1121-ctg π2+11=1121-0+11=111+11=122.7) limx→0 sinx2+sin 11x3x=00=разобьем на две дроби:=limx→0 sinx23x+sin11x3x=и применим первый замечательный предел два раза: первую дробь умножим на 1212, вторую на 1111, и перегруппируем:
=limx→0 sinx23x∙1212+sin11x3x∙1111=limx→0 sinx2x2∙123+limx→0sin11x11x∙113=1∙16+1∙113==16+113=16+226=236=356.8) limx→10 x2-100sin10-x=00=применим первый замечательны предел, для этого разложим числитель на множители, т.к. 100=102:
=limx→10 x2-102sin10-x=limx→10 x-10x+10sin10-x=в числителе в первой скобке вынесем -1:=limx→10 -10-xx+10sin10-x=limx→10 10-xsin10-x∙-x+101==1∙-110+10=-20.Вариант 1 Вариант 2
1. limx→0 5xsin x;2. limx→0 sin 8xx;3. limx→0 3xsin 5x;4. limx→0 sin2 2xx2;5. limx→0 x+3-3sin 5x;6. limx→0 4-tg x-2tg x;7. limx→0 sin 5x+sin 3xx;8. limx→2 sinx-2x2-4;1. limx→0 sin x10 x;2. limx→0 xsin 7x;3. limx→0 sin 5x3x;4. limx→0 x2sin32x;5. limx→0 x+4-2sin 7x;6. limx→0 tg xtg x+9-3;7. limx→0 tg 3xx;8. limx→4 sinx-4x2-16;Практическая работа № 5 «Второй замечательный предел»
Цель работы: научиться раскрывать неопределенность вида 1∞ путем применения второго замечательного предела.
Теоретическая часть:
Предел суммы единицы и бесконечно малой величины, в степени бесконечно большой, есть величина постоянная, равная числу Эйлера e≈2,7.
limy→∞ 1+1yy=1∞=elimz→0 1+z1z=1∞=eРазбор решения одного варианта:
1) limx→∞ 1+1xx52) limx→0 1+x14x3) limx→∞ 1+19xx4) limx→0 1+16x1x5) limx→0 1-x51x6) limx→∞ 1+7xx27) limx→0 1+8x73x8) limx→∞ x-4x18x1) limx→∞ 1+1xx5=постановка x→∞ дает 1∞⟹ воспользуемся формулой второго замечательного предела, т.к. x5 можно представить как x1∙15,
limx→∞ 1+1xx1 ∙ 15=limx→∞ 1+1xx15=выражение в квадратных скобках равно е, тогда: =e15=5e.2) limx→0 1+x14x=постановка x=0 дает 1∞⟹ ищем формулу второго замечательного предела, т.к. 14x=14∙1x, то поменяв местами имеем:
limx→0 1+x1x ∙ 14=limx→0 1+x1x14=в скобках выражение равно е, тогда =e14=4e.3) limx→∞ 1+19xx=постановка x→∞ дает 1∞⟹ воспользуемся формулой второго замечательного предела. Заметим, чтобы получилось число е, надо, чтобы степень была обратна слагаемому с «1», в нашем случае это 19x, тогда степень должна быть x19, чтобы этого добиться в степени х умножим на 1919. Перегруппируем множители, чтобы сработала формула, получим:
limx→∞ 1+19xx∙1919=limx→∞ 1+19xx19∙19=limx→∞ 1+19xx1919=e19.4) limx→0 1+16x1x=1∞,в степени нужно 116x, умножим степень 1x на 1616, перегруппируем 116x∙161, тогда
limx→0 1+16x1∙16x∙16=limx→0 1+16x116x16=е16.5) limx→0 1-x51x=1∞,в степени нужно -5x, умножим 1x на -5-5,
перегруппируем -5x ∙ -15 , тогда
limx→0 1-x51x ∙ -5-5=limx→0 1-x5- 5x- 15=e- 15==1e15=15e.Так как отрицательный показатель степени, отвечает за переворот дроби.
6) limx→∞ 1+7xx2=1∞⟹в степени нужно x7 , для этого x2 умножим на 77, перегруппируем как x7∙72, тогда
=limx→∞ 1+7xx2 ∙ 77=limx→∞ 1+7xx772=e72=e3e12=e3e.7) limx→0 1+8x73x=1∞=в степени нужно 78x, умножим 3x на 7∙87∙8, тогда перегруппируем множители 78x∙3∙87, тогда
limx→0 1+8x778x247=e247=e3∙e37=e37e3.8) limx→∞ x-4x18x=limx→∞ xx-4x18x=limx→∞ 1-4x18x=1∞⟹ чтобы сработала формула второго замечательного предела, нужна степень -x4 умножим на -4-4 и перегруппируем 18x1∙-4-4=-x4∙18∙-41=-x4∙-721=limx→∞ 1-4x- x4-72=e-72=1e72.9) limx→∞ xx-85x=перевернем дробь, при этом степень станет отрицательной, и разделим на две дроби, тогда
=limx→∞ x-8x- 5x=limx→∞ xx-8x- 5x=limx→∞ 1-8x- 5x=1∞⟹второй замечательный предел: нужна степень -x8, тогда -5x1∙88=-x8∙5∙81 , тогда
=limx→∞ 1-8x- x 840=e40.Вариант 1 Вариант 2
1. limx→∞1+1x2x;2. limx→01+x3x;3. limx→∞1+2xx;4. limx→01+5x1x;5. limx→01-4x1x;6. limx→∞1+2xx3;7. limx→01+4x52x;8. limx→∞x+5x7x;9. limx→∞xx-312x.1. limx→01+x2x;2. limx→∞1+1xx3;3. limx→∞1+3xx;4. limx→01+2x1x;5. limx→01-7x1x;6. limx→∞1+5xx4;7. limx→01+5x63x;8. limx→∞x-1x4x;9. limx→∞xx+412x.Литература:
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие. Математика: Высшая школа, 2010г.
Богомолов Н.В. Математика: учебник для вузов/ Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. 3-е издание, стереотип. – Математика: Дрофа, 2005г.