Подборка материала по физике Производная
Пояснительная записка
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин. Рассмотрим на примерах применение производной. Таким образом, применение производной довольно широко, и его можно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные базовые моменты. В наше время, в связь с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становиться всё более актуальными в решении как простых, так и сверхсложных задач.
В качестве примера рассмотрим две задачи.
Задача 1
Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b положительные постоянные, r расстояние между частицами. Найти: а) значение r0соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).
Решение: Для определения r0 соответствующего равновесному положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум. Используя связь между потенциальной энергией поля
U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0; при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;
равновесие устойчивое.
Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:
F = 2a/r3 b/r2; dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;
при r = r1 = 3a/b; подставляя, получу Fmax = 2a/r31 b/r31 = - b3/27a2; U(r) = 0; при r = a/b; U(r)min при r = 2, a/b = r0; F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b
Ответ: F(r)max при r = r1 = 3a/b
Задача 2
Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью m кг/с.
Решение: Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt = FS
P – импульс системы платформа-песок, FS – сила, действующая на систему платформа-песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:
dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt: Dp = (M+m(t+Dt))(u+Du) – (M+mt)u =FDt;
где u – скорость платформы.
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
Dp = muDt + MDu+mDut+ mDuDt =FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F или d[(M+mt)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю: (M+mt)u = Ft.
Следовательно: u = Ft/(M+mt)
Тогда, ускорение платформы: a = du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2 = FM / (M+mt)2
Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu – (M-mt)u = FDt
Слагаемое mDtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Dt. Тогда: Dp = MDu - mtDu - mDtDu = FDt. Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
(M-mt)du/dt = F или a1=du/dt= F/(M-mt)
Ответ: a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt)
Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R.
Решение: При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m; а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E, По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m) Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn; J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n); Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю. J’n-(kE(Rkr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0; n2 = kr/R; n = ?kr/R = ?3,6*0,4/0,9 = 4; m = k/n = 36/4 = 9; при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m = 9.
Производные второго порядка
Когда мы дифференцируем функцию, каждой точке этой функции мы ставим в соответствие некоторое число – ее производную в данной точке. Таким образом, производная функции также является функцией.
Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают :
Вторая производная от параметрической функции x = x (t) и y = y (t) задается формулой:
Вторую производную иногда обозначают: В физике вторую производную функции по времени нередко обозначают двумя точками:
Вторая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение. Так, если x – координата материальной точки, движущейся со скоростью то ускорение этой точки равно
Важным применением второй производной является [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Аналогичным образом задаются производные высших порядков. Если функция f (n–1) дифференцируема, то ее производную называют производной n-го порядка f (n) функции f.
Выпуклость функции и точки перегиба
Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка
График 1
Выпуклая вверх функция
Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.
Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.
Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вверх, если для любого
Дважды дифференцируемая на [a; b] функция f (x) выпукла вниз, если для любого
Так, вторая производная функции равна откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.
Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то
Достаточные условия наличия точки перегиба.
Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то – точка перегиба функции f (x).
Если то – точка перегиба функции f (x).
В заключение приведем примеры, когда точка x0 не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:
если функция разрывна в точке (например );
в случае угловой точки (например,
Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка у функции
Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.
График 2
Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая точка
Урок по теме: Правила дифференцирования.
Ряд частных задач из различных областей наук. Задача № 1. Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулу для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.
Задача № 2. Радиус круга R изменяется по закону R = 4 + 2t2. Определите, с какой скоростью изменится его площадь в момент t = 2 с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. Ответ: 603 см2/с.
Задача № 3. Материальная точка массой 5 кг движется прямолинейно по закону S(t) = 2t + , где S - путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с. Ответ: Задача № 4. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3t - 0,1t2 (рад). Найдите: а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 7с; б) в какой момент времени маховик остановится. Ответ: а) 2,86 ; б) 150 с.
Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.
Памятка
Задача 1.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t3-4tІ. Найти скорость и ускорение в момент t=5c.(Перемещение измеряется в метрах.)
Решение
Производная от координаты по времени есть скорость, а от скорости по времени – ускорение. v(t) – скорость: a(t) – ускорение; t0=5.
V(t) = xґ(t) = (tі - 4tІ)ґ = 3tІ - 8t. V(5) = 3 ·5І -8 ·5 = 75 -40 = 35(м/c)
A(t) = vґ(t) = (3tІ -8t)ґ = 6t – 8. a(5) = 6 ·5 – 8 = 30 -8 = 22(м/c).
Задача 2.
Вращение тела вокруг оси совершается по закону ф (t) = 3tІ -4t +2. Найти угловую скорость w(t) в произвольный момент времени t и при t =4c.
( Ф(t) – угол в радианах, w(t)- скорость в радианах в секунду, t- время в секундах)
Решение
Скорость есть производная от расстояния по времени.
Ф(t)= 3tІ- 4t + 2. w(t)= Фґ(t)= (3tІ - 4t +2)ґ =6t – 4(рад/с);
w(4) = 20(рад/с).
Задача 3.
Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол ф(t) =4t- 0,3 tІ. Найти: а) угловую скорость w(t) вращения маховика в момент времени t = 2с; б)такой момент времени, когда маховик остановится (ф(t)-угол радианах, t- время в секундах)
Решение
Скорость- производная от расстояния по времени.
ф(t)=4t-0,3tІ. w(t)=(4t-0,3tІ)ґ=4-0,6t
1)w(2)=4-0,6·2-2,28(рад/с)
2)Маховик остановится, если w (t)= 0,т. е. 4-0, 6t=0, t=6 2/3 с
Задача 4.
Точка движения прямолинейно по закону X(t)=2tІ+t-1. Найти ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение будет равно:
а) 1см/cІ; б)2см/сІ. Х(t)- перемещение в метрах, t- время в секундах)
Решение
Ускорение- вторая производная от расстояния по времени, т. е. производная от скорости по времени.
x(t)=2tі+t-1;V(t)=(2tі+t-1) ґ=6tІ+1; а(t)=(6tІ+1) ґ=12t.
А)а(t)=1см/сІ если 12t=1,т. е.t=1/12 c
Б)а(t)=2см/сІ, если 12t=2, т. е. t=1/6 с.
Задача 5.
Точка движется прямолинейно по закону x(t)=-tі/6+3tІ-5. (координата в метрах, t- время в секундах)
Найти: а) момент времени t, когда ускорение точки равно нулю;
б) скорость движения точки в этот момент.
Решение
Скорость - производная от расстояния по времени, а ускорение производная скорости по времени.
x(t)=-tі/6+3tІ-5; v(t)=x ґ(t)=-tІ/2+6t; a(t)=v`(t)=-t+6
a(t)=0 при –t+6=0; t=6;
v(6)=-6І/2+6·6=-18+36= 18 (м/с).
Задача 6.
Точка движется прямолинейно по закону х(t)=
·t. Покажите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.
Решение
x(t) =
·t; v(t) = x`(t)= Ѕ·t-Ѕ; vі(t)= (Ѕ·t-Ѕ)і= 1/8·t-і/І
a(t) = v ґ(t) = (Ѕ·t-Ѕ) = -ј · t-і/І. Таким образом,
vі(t)/a(t) = 1/8 · t-і/І : (-ј · t-і/І) =1/8 : (-ј) = -Ѕ
Вывод: ускорение пропорционально кубу скорости.
Задача 7.
Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону x(t)=2tі-tІ при t=2.
Решение
Ускорение – есть производная от скорости по времени. F=m·a
x(t)=2tі-tІ; v(t)=x'(t)=(2tі-tІ)'=6tІ-2tё a(t)=v'(t)=(6tІ-2t)'=12t-2
F=m·a=m(12t-2); при t=2 F=m(12 · 2-2)=22m
Задача 8.
Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=tІ+t+1. Координата х измеряется в сантиметрах, время t – в секундах. Найдите:
а) действующую силу; б) кинетическую энергию Е тела через 2 с. после начала движения.
Решение
x(t)=tІ+t=1; v(t)=(tІ+t+1)`=2t+1 a(t)=(2t+1)ґ=2(c)
а)F=m·a=2 · 2 (кг · см/сІ)= 4(кг · см/сІ)=0,004(кг · см/сІ)=0,04Н
б)Е=m·vІ/2; при t=2c ; v(2)=2 · 2+1=5
E=2 · 5І/2 (кг ·см/сІ )=0,0025 Дж.
Задача 9.
Известно, что для любой точки C стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстояние l, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле m(l) = 3tІ + 5l.
Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ; б) в конце В стержня.
Решение
Линейная плотность стержня d(l) есть производная от массы по длине.
m(l) = 3lІ + 5l; d(l) = mґ(l) = (3lІ + 5l)ґ = 6l + 5.
а) Линейная плотность в середине отрезка АВ = 20 см: d(10) = 6 · 10 + 5 = 65 (г/см).
б) Линейная плотность в конце В отрезка АВ: d(20) = 6 · 20 + 5 = 125 (г/см).
Задача 10.
По прямой движутся две материальные точки по законам x1(t) = 4tІ - 3 и x2(t) = tі. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?
Решение
x1(t) = 4tІ - 3, значит, v1(t) = (4tІ - 3) = 8t .
x2(t) = tі, значит v2(t) = (tі)ґ = 3tІ.
Скорость первой точки больше скорости второй точки, поэтому:
8t > 3tІ ,
3t/22 - 8t < 0 ,
t · (3t – 8) < 0 ,
t = 0 или t =2 .
0* *223 t
Ответ: при t (0 =2).
Задача11.
Из пункта О по двум лучам, угол между которыми 60
·, движутся два тела: первое – равномерно со скоростью 5км/ч, которое – по закону s(t) = 2tІ + t . С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t – в секундах.)
Решение
S1(t)=S(t)
0 ) 600 S(t)
S2(t)=S(t)
По теореме косинусов: sІ(t) = (5t)І + (2tІ + t)І - 2 · 5t · (2tІ + t) · cos60
· = 25tІ + 4tІ +4tі + +tІ - 10tі - 5tІ = 4t4 – 6tі + 21tІ , т.е. s(t) =t·
·4t2 -6t + 21, где t > 0.
v(t) = sґ(t) =(t ·
·4t2 -6t + 21)ґ=t ·
·4t2 -6t + 21 + t · (4t2 -6t + 21) = 4t2-6t + 21 + t · ( 8t – 6 )
·4t2 -6t + 21 1 2
·4t2 -6t + 21
8t2 – 12t +42 + 8t2 – 6t 16t2 – 18t + 42 8t2 – 9t +21
2
·4t2 -6t + 21 2
·4t2 -6t + 21
·4t2 -6t + 21
при t > 0.
Применение производной в физике и технике
Задача 1. Материальная точка движется по прямой по закону S(t) =13 EMBED Equation.3 1415. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 3.
Указание: V(t) =13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- ?
а(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, а(3) - ?
Задача 2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 движется по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где h – путь в метрах, t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если 13 EMBED Equation.3 1415, g = 10м/с2.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 t - ?
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 3. Точка движется прямолинейно по закону 13 EMBED Equation.3 1415 (x измеряется в метрах, t в секундах).
Напишите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите её при t = 2.
Указание: V(t) =13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415- ?
Задача 4. Основание параллелограмма а изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415, а высота b по закону 13 EMBED Equation.3 1415Вычислите скорость изменения его площади в момент t = 4c. (Основание а и высота b измеряются в сантиметрах).
Указание: S(t) =13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415- ?,
13 EMBED Equation.3 1415- ? (см2/с)
Задача 5. Радиус круга R изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415
C какой скоростью изменяется его площадь в момент t = 3cек, если радиус круга измеряется в сантиметрах.
Указание: S =13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 ?, V(t) =13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415- ? (см2/с)
Задача 6. Материальная точка массой 2кг движется прямолинейно по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где S- путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на неё в момент t = 3 c.
Указание: 13 EMBED Equation.3 1415,
a(t) = 13 EMBED Equation.3 1415,
а(3) - ?,
F - ? (н).
Задача 7. Тело, выпушенное вертикально вверх с высоты h0 с начальной скоростью V0 движется по закону
13 EMBED Equation.3 1415, где h – высота в метрах, t – время в секундах. Найдите высоту тела в момент времени, когда скорость тела в 4 раза меньше первоначальной, если h0 = 3м,
V0 = 5м/с, g 13 EMBED Equation.3 1415 10 м/с2.
Указание:
V(t) = 13 EMBED Equation.3 1415 - скорость движения тела.
Найти момент времени t, когда 13 EMBED Equation.3 1415 < V0 в 4 раза. (из уравнения: 4V(t) = V0).
h(t) - ? (м)
Задача 8. Маховик задерживаемый тормозом, поворачивается за tc на угол
·(t) = 4t – 0,2t2 (рад). Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6с;
б) в какой момент маховик остановится?
Указание: 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 - ? (рад/с).
13 EMBED Equation.3 1415,
·t - ?
Задача 9. Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) =13 EMBED Equation.3 1415, где S – путь в метрах, t – время в секундах. Найдите:
а) момент времени t, когда ускорение точки равно 0;
б) скорость, с которой движется точка в этот момент времени.
Задача 10. Точка массой m0 движется прямолинейно по закону S(t) =13 EMBED Equation.3 1415. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна квадрату пройденного пути.
Указание: a(t) = 13 EMBED Equation.3 1415;
а(t) = 0, t - ?,
V(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- ? (м/с).
Указание: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 11. Точка массой m0 движется прямолинейно по закону S(t) =13 EMBED Equation.3 1415. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна кубу пройденного пути.
Указание: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 12. Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.
Указание: E(t)= 13 EMBED Equation.3 1415 ,
13 EMBED Equation.3 1415, E(2) - ? (Дж)
Задача 13. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением: 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите скорость изменения тока в момент времени t = 10с.
Указание:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (А/с)
Задача 14. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
В какой момент скорости их равны?
Указание:
V1(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, V2(t) = 13 EMBED Equation.3 1415,
V1(t) = V2(t), t - ?
Задача 15. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
В какой момент времени скорость первой точки будет в два раза больше скорости второй?
Указание:
V1(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, V2(t) = 13 EMBED Equation.3 1415,
V1(t) > V2(t) в 2 раза. t - ?
Задача 16*. Под каким углом надо сделать въезд на мост, если его высота 10 м, пролёт 120 м ?
Указание:
необходимо ввести прямоугольную систему координат и рассмотреть график функции y = ax2 + b,
b = 10;
найти a, если x = 60;
найти y (x), y (60);
y (x) = tg
·,
tg
· = y (-60),
·
· ?
Критерии оценивания: 7 - 9 задач – оценка «3», 10 -13 задач – оценка «4», 14 - 15 задач – оценка «5» Примечание: задача №16 выполняется по желанию учащегося, выполнившего первые 15 задач, и оценивается дополнительной оценкой.
Ответы к задачам:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Итог: правильно решено _________ задач. Оценка: __________
Задачи с решениями на нахождение производной
Задача 1. Исходя из определения производной, найти 13 EMBED Equation.3 1415.
13EMBED Equation.31415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415-уравнение нормали,
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 3. Найти дифференциал 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Выберем 13 EMBED Equation.3 1415следовательно 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 5. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 6. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 7. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 8. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 9. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 10. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 11. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 12. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 13. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 14. Найти производную.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 15. Найти производную 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- уравнение касательной,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- уравнение нормали.
Задача 17. Найти производную 13 EMBED Equation.3 1415-го порядка.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 18. Найти производную указанного порядка.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 19. Найти производную второго порядка 13 EMBED Equation.3 1415 от функции, заданной параметрически.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 20. Показать, что функция 13 EMBED Equation.3 1415удовлетворяет данному уравнению.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задания повышенной трудности по теме
«Производная».
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 14152. y=13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
y13 EMBED Equation.3 1415.
3. y = 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
y13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
6. Найти частные значения производных:
13 EMBED Equation.3 1415 при x = 0; 1;
·/4;
·3.
Решение:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
7.Доказать, что функция 13 EMBED Equation.3 1415удовлетворяет уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
8. Доказать, что функция 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет уравнению 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ФИЗИКА
Задача 1. Точка совершает гармонические колебания по закону 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 Найти мгновенную скорость точки в момент времени t0.
РЕШЕНИЕ
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 2. Количество радиоактивного вещества в момент времени t выражается формулой
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415где T- период полураспада, а М- первоначальное количество вещества
(количество вещества в момент времени t =0). Найти мгновенную скорость распада вещества в момент времени 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415РЕШЕНИЕ
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Ответы, тексты и решение задач практической части семинара-практикума
«Применение производной в физике, технике»
Критерии оценивания: 7 - 9 задач – оценка «3», 10 -13 задач – оценка «4», 14 - 15 задач – оценка «5» Примечание: задача №16 выполняется по желанию учащегося, выполнившего первые 15 задач, и оценивается дополнительной оценкой.
Ответы к задачам:
1
v (3) = - 19,
a (3) = -18.
2
h (5) = 125
3
v(t) = 12 t 2+ 22t
v(2) = 92 м/с
4
S(4) = 493 см2/с
5
v(3) =
132
· см2/с
6
F = 8H
7
h(0,375)
· 4,2 м
8
·(6) = 1,6 рад/с,
t =10c
9
t = 3 c,
v(3) = 13 м/с
10
F= 6m0S2(t)
11
F= 18m0S3(t)
12
E(2) = 40 Дж
13
I(t) = 35 A/c
14
t = 2
15
t = 7
16
· = arctg13 EMBED Equation.3 1415
·
· 18
· 26
Итог: правильно решено _________ задач. Оценка: ________
Задача 1. Материальная точка движется по прямой по закону S(t) =13 EMBED Equation.3 1415. Найдите её скорость и ускорение в момент времени t = 3.
Решение:
S(t) =13 EMBED Equation.3 1415.
V(t) =13 EMBED Equation.3 1415= 8 - 313 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415= 8 – 27 = - 19;
а(t) = 13 EMBED Equation.3 1415= -6t, а(3) = - 18. Ответ: -19, -18.
Задача 2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 движется по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где h – путь в метрах, t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если 13 EMBED Equation.3 1415, g = 10м/с2.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, g = 10м/с2.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 50-10t=0, t=5;
t - ?
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 =125 Ответ: 125 м.
Задача 3. Точка движется прямолинейно по закону 13 EMBED Equation.3 1415 (x измеряется в метрах, t в секундах). Напишите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и вычислите её при t = 2.
Решение:
V(t) =13 EMBED Equation.3 1415, V(t) = 13 EMBED Equation.3 1415=12t2+22t;
13 EMBED Equation.3 1415- ? 13 EMBED Equation.3 1415=92м/с Ответ: 12t2 + 22t; 92м/с.
Задача 4. Основание параллелограмма а изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415, а высота b по закону 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислите скорость изменения его площади в момент t = 4c. (Основание а и высота b измеряются в сантиметрах).
Решение:
S(t) =13 EMBED Equation.3 1415, S(t) =(3+7t)(3+8t) =56t2 +45t +9;
13 EMBED Equation.3 1415- ?, 13 EMBED Equation.3 1415=112t +45; 13 EMBED Equation.3 1415=493 см2/с.
13 EMBED Equation.3 1415- ? (см2/с) Ответ: 493 см2/с.
Задача 5. Радиус круга R изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415
C какой скоростью изменяется его площадь в момент t = 3cек, если радиус круга измеряется в сантиметрах.
Решение:
S =13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 ?, 13 EMBED Equation.3 1415
·(2+t2)2;
V(t) =13 EMBED Equation.3 1415, V(t)= 2
·(2+t2)( 2+t2)= 4
·t(2+t)2; V(3)=132
· (см2/с).
13 EMBED Equation.3 1415- ? Ответ: 132
· см2/с.
Задача 6. Материальная точка массой 2кг движется прямолинейно по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где S- путь в метрах, t – время в секундах. Найдите силу, действующую на неё в момент t = 3 c.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415,
a(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, a(t) = 13 EMBED Equation.3 1415=(9 -2t+t2)= -2+2t; а(3) = 4,
а(3) - ?, F = 4m, m=2 кг, F= 8(н).
F - ? Ответ: 8 н.
Задача 7. Тело, выпушенное вертикально вверх с высоты h0 с начальной скоростью V0 движется по закону
13 EMBED Equation.3 1415, где h – высота в метрах, t – время в секундах. Найдите высоту тела в момент времени, когда скорость тела в 4 раза меньше первоначальной, если h0 = 3м,
13 EMBED Equation.3 1415 = 5м/с, g 13 EMBED Equation.3 1415 10 м/с2.
Решение:
V(t) = 13 EMBED Equation.3 1415 - скорость движения тела. V(t) =13 EMBED Equation.3 1415;
Найдём момент времени t, когда 13 EMBED Equation.3 1415 < V0 в 4 раза (из уравнения: 4V(t) = V0).
13 EMBED Equation.3 1415
h(t) - ? (м) 13 EMBED Equation.3 1415(м).
Ответ: 4,2м.
Задача 8. Маховик задерживаемый тормозом, поворачивается за tc на
угол
·(t) = 4t – 0,2t2 (рад). Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6с;
б) в какой момент маховик остановится?
Решение:
а)13 EMBED Equation.3 1415,
· 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415t;
·(6)=13 EMBED Equation.3 1415(рад/с),
б)13 EMBED Equation.3 1415, t - ? 13 EMBED Equation.3 1415t=0, t=10(c).
Ответ: 1,6 рад/с, 10с.
Задача 9. Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) =13 EMBED Equation.3 1415, где S – путь в метрах, t – время в секундах. Найдите:
а) момент времени t, когда ускорение точки равно 0;
б) скорость, с которой движется точка в этот момент времени.
Решение:
a(t) = 13 EMBED Equation.3 1415; а(t) =13 EMBED Equation.3 1415
а(t) = 0, t - ?, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
V(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- ? (м/с). 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415(м/с).
Ответ: 3с, 13м/с.
Задача 10. Точка массой m0 движется прямолинейно по закону S(t) =13 EMBED Equation.3 1415. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна квадрату пройденного пути.
Решение:
a(t) = 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 11. Точка массой m0 движется прямолинейно по закону S(t) =13 EMBED Equation.3 1415. Докажите, что действующая на неё сила пропорциональна кубу пройденного пути.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Задача 12. Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.
Решение:
E(t)= 13 EMBED Equation.3 1415 ,
13 EMBED Equation.3 1415, E(2) - ? (Дж)
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то Е(2)13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 40 Дж.
Задача 13. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением: 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите скорость изменения тока в момент времени t = 10с.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (А/с) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 35 А/с.
Задача 14. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
В какой момент скорости их равны?
Решение:
V1(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, V2(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
V1(t) = V2(t), t - ? 13 EMBED Equation.3 1415 t=2.
Ответ: t = 2.
Задача 15. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
В какой момент времени скорость первой точки будет в два раза больше скорости второй?
Решение:
V1(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, V2(t) = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
V1(t) > V2(t) в 2 раза. 13 EMBED Equation.3 1415
t - ?
Ответ: t = 7.
Задача 16. Под каким углом надо сделать въезд на мост, если его высота 10 м, пролёт 120 м ?
Решение: необходимо ввести прямоугольную систему координат и рассмотреть график функции 13 EMBED Equation.3 1415 графиком является парабола, ветви направлены вниз;
b = 10; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ :13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Word.Document.8 \s 1415
13 EMBED Word.Document.8 \s 1415
13 EMBED Word.Document.8 \s 1415
Рисунок 165Рисунок 166Рисунок 167Рисунок 168Рисунок 140Рисунок 141Рисунок 144Рисунок 145Рисунок 146Рисунок 148Рисунок 150Рисунок 151Рисунок 154Рисунок 155Рисунок 156Рисунок 158Рисунок 160Рисунок 161Рисунок 162Рисунок 164Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativetEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native15