Презентация по математике на тему Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Арксинус, арккосинус, арктангенс
Решение тригонометрических уравнений и неравенствАрксинус, арккосинус и арктангенс
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
Теорема о корнеСформулируем важное утверждение, которым удобно пользоваться при решении уравнений.Т е о р е м а (о корне). Пусть функция 𝒇 возрастает (или убывает) на промежутке 𝑰, число 𝒂 ‒ любое из значений, принимаемых 𝒇 на этом промежутке. Тогда уравнение 𝒇𝒙=𝒂 имеет единственный корень в промежутке 𝑰.Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим возрастающую функцию 𝑓 (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию в промежутке 𝐼 существует такое число 𝑏, что 𝑓𝑏=𝑎. Покажем, что 𝑏 ‒ единственный корень уравнения 𝑓𝑥=𝑎.Допустим, что на промежутке 𝐼 есть ещё число 𝑐≠𝑏, такое, что 𝑓𝑐=𝑎. Тогда или 𝑐<𝑏, или 𝑐>𝑏. Но функция 𝑓 возрастает на промежутке 𝐼, поэтому соответственно либо 𝑓𝑐<𝑓𝑏, либо 𝑓𝑐>𝑓𝑏. Это противоречит равенству 𝑓𝑐=𝑓𝑏=𝑎. Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке 𝐼, кроме числа 𝑏, других корней уравнения 𝑓𝑥=𝑎 нет.⃝ П р и м е р 1. Решим уравнение 𝑥3+𝑥=2.Функция 𝑓𝑥=𝑥3+𝑥 возрастает на 𝑹 (это сумма двух возрастающих функций). Поэтому уравнение 𝑓𝑥=2 имеет не более одного корня. Легко видеть, что корнем является 𝑥=1.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
АрксинусКак вы знаете, функция синус возрастает на отрезке −𝜋2; 𝜋2 и принимает все значения от −1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа 𝑎, такого, что 𝑎≤1, в промежутке −𝜋2; 𝜋2 существует единственный корень 𝑏 уравнения sin𝑥=𝑎. Это число 𝑏 называют арксинусом числа 𝑎 и обозначают arcsin𝑎 (рис. 65).О п р е д е л е н и е. Арксинусом числа 𝒂 называется такое число из отрезка −𝝅𝟐; 𝝅𝟐, синус которого равен 𝒂.Рис. 65⃝ П р и м е р 2. Найдём arcsin22. arcsin22=𝜋4, так как sin𝜋4=22 и 𝜋4∈−𝜋2; 𝜋2.⃝ П р и м е р 3. Найдём arcsin−12.Число (из промежутка −𝜋2; 𝜋2), синус которого есть −12, равно −𝜋6. Поэтому arcsin−12=−𝜋6.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
АрккосинусФункция косинус убывает на отрезке 0; 𝜋 и принимает все значения от −1 до 1. Поэтому для любого числа 𝑎, такого, что 𝑎≤1, на отрезке 0; 𝜋 существует единственный корень 𝑏 уравнения cos𝑥=𝑎. Это число 𝑏 называют арккосинусом числа 𝑎 и обозначают arccos𝑎 (рис. 66).О п р е д е л е н и е. Арккосинусом числа 𝒂 называется такое число из отрезка 𝟎; 𝝅, косинус которого равен 𝒂.Рис. 66⃝ П р и м е р 4. arccos32=𝜋6, так как cos𝜋6=32 и 𝜋6∈0; 𝜋.⃝ П р и м е р 5. arccos−22=3𝜋2, так как cos3𝜋4=−22 и 3𝜋2∈0; 𝜋.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
АрктангенсНа интервале −𝜋2; 𝜋2 функция тангенс возрастает и принимает все значения из 𝑹. Поэтому для любого числа 𝑎 на интервале −𝜋2; 𝜋2 существует единственный корень 𝑏 уравнения tan𝑥=𝑎. Это число 𝑏 называют арктангенсом числа 𝑎 и обозначают arctan𝑎 (рис. 67).О п р е д е л е н и е. Арктангенсом числа 𝒂 называется такое число из интервала −𝝅𝟐; 𝝅𝟐, тангенс которого равен 𝒂.Рис. 67⃝ П р и м е р 6. arctan1=𝜋4, так как tan𝜋4=1 и 𝜋4∈−𝜋2; 𝜋2.⃝ П р и м е р 7. arctan−3=−𝜋3, так как tan−𝜋3=−3 и −𝜋3∈−𝜋2; 𝜋2.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
АрккотангенсФункция котангенс от 0; 𝜋 убывает и принимает все значения из 𝑹. Поэтому для любого числа 𝑎 в интервале 0; 𝜋 существует единственный корень 𝑏 уравнения cot𝑥=𝑎. Это число 𝑏 называют арккотангенсом числа 𝑎 и обозначают arccot𝑎 (рис. 68).О п р е д е л е н и е. Арккотангенсом числа 𝒂 называется такое число из интервала 𝟎; 𝝅, котангенс которого равен 𝒂.Рис. 68⃝ П р и м е р 8. arccot13=𝜋3, так как cot𝜋3=13 и 𝜋3∈0; 𝜋.⃝ П р и м е р 9. arccot−3=5𝜋6, так как cot5𝜋6=−3 и 5𝜋6∈0; 𝜋.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y