Презентация по математике на тему Решение тригонометрических уравнений. Повторение.

«Повторение. Решение тригонометрических уравнений».Проект урока алгебры в 11 классеУчитель Богдашкина В.А.С. Троицкое, 2014 год Цели урока:-Создания условий для осознанного усвоения решения тригонометрических уравнений.-Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля.-Развитие устной математической речи. Обеспечение условий для развития умения решать тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников: сравнивать, обобщать и анализировать Устный счетху00 радП/2П- П/23п/2 Sin x = 1 cos x = 0 sin x = - 1 tg x = 0 cos x = 1 ctg x =0 sin x = ½ cos x =√3/2 sin x = - √3/2 cos x = -1/2 Способы решения тригонометрических уравненийУравнения , приводимые к квадратным уравнениямОднородные уравненияРазложение на множителиЗамена переменнойМетод вспомогательного углаПонижение степеней Определите вид уравнения и укажите способ его решения: а) sin x = 2 cos x; б) sin x + cos x = 0; в) 4 cos 3x + 5 sin 3x = 0; г) 1 +7 cos²x + 3 sin²x = 0; д) sin 3x – cos 3x = 0; е) sin x cos x + cos²x = 0 Однородные тригонометрические уравнения a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b≠ 0.При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b≠ 0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются.аsin²x+ bsinx cosx + ccos²x= 0 где а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠0.если в этом уравнении есть одночлен аsin²x, то делим уравнение на cos²x ≠ 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут равняться 0).b sin x cos x + c cos²x = 0 , где b ≠ 0, с ≠0.(т.е. в уравнении нет одночлена a sin²x), то уравнение решается путем разложения на множители.
Однородные уравнения3sin²x+sinx cos x=2cos²xДелим на sin²x обе части уравнения3+cosx/ sinx=2cos²x/sin²xИзвестно ,что ctg x= cos x/sin xПолучим 3+ctgx=2ctg²xПусть a=ctg x3+a=2a²2a²-a-3=0a1=1,5 a2=-1 Получим ctg x=1,5 ctg x=-1X=arcctg1,5+Пn x=3П/4+Пm Решить уравнение sin²x - cos²x = cos4x Решение.sin²x-cos²x =cos4x , - (cos² - sin²x )=cos4x ,-cos2x = cos²2x - sin²2x,-cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x), -cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0,-2cos²2x – cos2x +1 = 0,2cos²2x + cos2x -1 = 0.Заменим сos2x на У , где |У|1 Тогда 2 у² +у -1 = 0,D =1 - 4•2•(-1) =9,У =1/ 2, у = -1.Выполним обратную замену Cos2x =1/ 2 , cos2x = -1, 2x = П+2Пn, n € Z, 2x =±arccos1/2 =2Пn , n € Z, x=П/2+Пn, n € Z. 2x ±П/3 +2Пn. n € Z, X =±П/6+Пn, n € Z. Ответ: X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n € Z. Решение простейших уравненийРешим уравнение Уравнение однородное, так как степени слагаемых, содержащих переменные одинаковые Решение тригонометрических уравнений вида
Решить уравнение Проверьте себя: Здесь Поделим обе части уравнения на 5:Введем вспомогательный аргумент , такой, что , . Исходное уравнение можно записать в виде , , откуда Ответ: Замена переменной2(1+tgx) - 3 =5 1+tgxПусть y=1+tgx2y - 3 =5 Y2y²-3=5yy≠02y²-5y-3=0y1=3 , y2=-0,51+tgx=3 1+tgx=-0,5tgx=2 tgx=-1,5X 1=arctg2+Пn x 2=-arctg1,5+Пk Разложение на множители4sin²x-sin2x=04sin²x-2sinx cosx=02sinx(2sinx-cosx)=0Sinx=0 или 2sinx-cosx=0x1=Пn 2sinx - cosx=0 sinx sinx 2-ctgx=0 ctgx=2 X2=arcctg2+Пk Метод вспомогательного углаCos3x+sin3x=1 √A²+B²=√1²+1²=√2Делим обе части уравнения на √21 cos3x+1 sin3x=1√2 √2 √2 Пусть cosφ=1/√2 , sinφ=1/√2,φ=П/4cosφ cos3x+sinφ sin3x=1/√2Cos(3x-φ)=1/√23x-φ=±П/4+2Пn3x=±П/4+φ+2Пn,X=±П/12+П/12+2Пn/3 Понижение степеней 4 4 Sin x+cos x=1/2(Sin²x)²+(cos²x)²=1/2Известно, что sin²(x/2)=1-cosx, cos²(x/2)= 2=1+cosx 2 1-cos2x ²+ 1+cos 2x ² = 1 2 2 21-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=22cos²x=0cosx=0X=П/2+Пn Спасибо за работу!!!