Тренажёр Прикладного курса по математике «Работа с тригонометрическими выражениями и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств» для учащихся 11-х классов

ГУ «Отдел образования акимата города Костаная»
Тренажёр
Прикладного курса по математике
«Преобразование тригонометрических выражений
и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств»
для учащихся 11-х классов
Учитель математики Фролова Т.Н.
Костанай
2014
Содержание
1.Тригонометрические преобразования
1.1 Упрощение выражений, используя формулы приведения
1.2 Упрощение выражений применением тригонометрических тождеств
1.3 Вычисление значений тригонометрических выражений
2.Решение тригонометрических уравнений
2.1 Решение тригонометрических уравнений
2.2 Решение простейших тригонометрических уравнений
2.3 Решение тригонометрических уравнений с применением основных тригонометрических формул
2.4 Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной
2.5 Решение тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного угла
2.6 Решение тригонометрических уравнений повышенной сложности
3. Решение тригонометрических неравенств
3.1 Решение простейших тригонометрических неравенств
3.2 Решение тригонометрических неравенств с применением основных тригонометрических формул
3.3 Решение тригонометрических неравенств методом введения новой переменной
3.4 Решение тригонометрических неравенств повышенной сложности
4. Тест 1.Тригонометрические преобразования
5. Тест 2. Решение тригонометрических уравнений и неравенств
1.Тригонометрические преобразования
Блок №1. Упростить, используя формулы приведения:
A
1)sin2 (270°-α)+ sin2 (360°-α)
2)cos2α+cos(π2-α)∙sinαsin(π2+α)3)1-sin2 (270°+α)1-sin2 (180°+α)4)sin2α1-sin(π2-2α)5)cos2(180°-α)1-cos(270°-α)6)sin(π-2α)1+cos2α7)cos2(270°-α)1-cos(180°+α)8)cos(-α)∙cos(180°+α)sin(-α)∙sin(90°+α)9) 2cos(π2-α)∙sin(π2+α)∙tq(π-α)B
10)sin135°∙cos210°∙tq240°сtq300°11)sin(90°+α)∙sin270°-α+cos(α-90°)∙sin(α-180°)12)sin(3π2-α)∙cos(π+α)∙сtq(3π2+α)tq(2π-α)13)tq(2π-α)∙cos(π-α)tq( 3π2+α)∙cos(3π2+α)14)sin(π-α)∙cos(3π2-α)∙сtq(π2+α)tq(2π-α)15)8sin105°∙sin15°-3tq209°∙tq299°+216)sin(7π2-2α)∙cos(3π-α)∙sinα; α=3π1617)sin(π-α)∙tq(α-π2)cos(3π2+α)∙сtq(π-α)18)sin225°-cos495°- tq330°-сtq600°19)sin(π-α)∙сtq(3π2+α)tq(2π-α)∙cos(π2+α)20)cos3π∙cos10π3∙cos13π321)sin3(α-270°)∙cos(α-360°)tq3(α-90°)∙cos3(α-270°)22)cos2(α+270°)tq2(α-360°)+cos2(-α)tq2(α-270°)23)sin180°-α-cos2(α+180°)cos(270°-α)24)sin90°+α-cos2(α-90°)sin(270°+α)25)2sin1320°∙ сtq-780°-3cos(-900°)Ответы
1) 1 6) tqα11)-116)2821)cosα2)cosα7)1-cosα12) cos2α17)122)1
3)tq2α8) сtqα13)- tqα18)023) 1sinα4) сtqα9)-2sin2α14)- sin2α19)-124)1cosα5)1-sinα10)36415)720)1425)4
Блок №2. Упростите:
А
1)sin-α∙tq(-α)cos(-α)∙сtq(-α)2)(1+tq2α+1sin2α)∙sin2α∙cos2α3)sinα1-cosα+1-cosαsinα4) cos2α∙1+tq2α-sin2α5)2sin2α-1sinα+cosα6)cos2α-sin2αcosα-sinα- tqα∙cosα7)(cosα+sinα)2-1 сtqα-sinα∙cosα8)2sinα-sin2α2sinα+sin2α9) sin2α+sin2α∙cos2α+cos4α10) sin2α∙1+сtqα+cos2α∙(1+tqα)11) cos42α-sin42α12)(сtqα+tqα)2-(сtqα-tqα)213) tqπ4+α∙tqπ4-α14)(1+cos2α)∙ tqα15)sin2α+3cos2α2+cos2α-3sin2α216) sin4α+cos2α-cos4α17) tqα-1-2cos2αsinα∙cosα18) 2cos2α2 -cosα19)sin2α+sin10αcos2α+cos10α∙сtq6α20)1+tq2α+tq22α1+сtq2α+сtq22α21)1+cosα1-cosα∙tq2α2-cos2α22)1+tq42αtq22α+сtq22α-1cos22α
В
23)sinα+sin3αcosα+cos3α24)сtq22α-12 сtq2α-cos8α∙сtq4α25)sin4α-cos4α+cos2α2∙1-cosα26)1-cos2α+sin2α1+cos2α+sin2α27)2sin4α- сtq2α28)tqα1+tq2α+сtqα1+сtq2α29)4sinα∙cos3α-2sin2α∙sin2α30)sin2αcosα+cos2αsinα31)cosα∙(1+cos-1α+tqα)∙(1-cos-1α+tqα)32)1+1tq2(π2+α)∙sin2α33)sinα+1sinα2+cosα+1cosα2-tq2α-сtq2α34)sinπ4-α∙sinπ4+α-cosπ4+α∙cosπ4-α35)(1-cosαcosβ)2-sin2α∙sin2β36)sin-1α+tq-1α37)(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)238)sin2αsinα-cosα+sinα+cosα1-tq2α-sinα39)tq2α∙tqαtq2α-tqα40)sin(0,5π+3α)-cos(-5α)4∙sinα∙cos2α41) sin2(β-45°)-cos2(β-45°)sin2β42)sin6αsin2α+cos(6α-π)cos2α43)tqα+β-tqα-tqβtqα∙tqα+β∙сtqβ44) tq(π4+α2)∙1-sinαcosα45)cos4α-sin4αtq2α-cos2α+2cos2α46)1-2sin2α1+sin2α-1-tqα1+tqα47)1-sin4α-cos4αcos4α-2tq2α48)2∙cosα-2sin45°-α2sin60°+α-3∙cosα49)1-cosα+cos2αsinα-sin2α50) cosα-2sin3α-cos5αsin5α-2cos3α-sinα51)cos(π3-2α)∙sin(π6-2α)+sin22αОтветы
1)- tq3α2)1
3)2sinα4) cos2α5) sinα-cosα6) cosα7)2tq2α8) tq2α29)1
10) (cosα+sinα)211) cos4α12)4
13)1
14) sin2α15)10
16) sin2α17) сtqα
18)1
19)1
20) tq22α21) sin2α22)-1
23) tq2α24)sin8α25) cos2α226) tqα27) tq2α28) sin2α29) sin4α30) 1sinα31)2sinα32) tq2α33)7
34)0
35)cosα-cosβ36) сtqα237)4cos2(α-β2)38)cosα39) sin2α40) sin2α41)-1
42)2
43)1
44)1
45)0
46)0
47)0
48)249)- сtqα50) tq3α51)0,25
Блок №3. Вычислите:
А
1)2cos7π6+cos-480°2)sin2π3+cosπ4-tqπ43)cos215°-4sin297,5°∙cos297,5°4) 3cos-5π6-sin570°5) tqπ6+sin5π6+cosπ36)8sin15°∙cos165°∙sin300°7)14cos(-330°)∙ tq690°8) tqπ3-sin2π3-cosπ69)(cos267,5-sin267,5°)-sin2225°10)sin46°-sin44°cos44°-cos46°11)cos72°+cos12°sin12°-sin72°12) cos155°-cos35°sin155°+sin35°13) 8sin37°30´∙cos37°30´∙cos75°14) cos215°+sin215°15) sin(30°-α)+sin(30°+α)16)cos3π8∙cosπ8-sin3π8∙sinπ8tq(π4+β)17) cos215°-cos275°18)2tq75°1-tq275°19) tq29°-12tq9°20) cosπ30∙cosπ15+sinπ30∙sinπ15sin7π30∙cos4π15+cos7π30∙sin4π1521) cos15°+cos75°22)3+tq15°-tq60°1+tq15°∙tq60°23)102сtq135°∙sin210°∙cos225°24)2cos248°-1sin186°-sin6°25) 1-2sin243°sin176°+sin4°26) сtq(112°30´)27)sin50°∙cos200°-cos230°∙sin20°28) tq110°+сtq20°29)sin35°+cos65°2cos5°30)sinπ8∙cosπ8∙tqπ8∙ сtq9π8В
31)sin70°∙sin50°∙sin10°32)1-4sin10°∙sin70°2sin10°33)(1-sin45°)2-(1-2cos45°)234) (tq60°-2)2-(сtq30°-2)235)cos105°36) cos15°37) tq75°38)cos70°∙cos10°+cos80°∙cos20°cos68°∙cos8°+cos82°∙cos22°39) cos23°+cos2123°+cos2117°40) cos20°∙cos40°∙cos80°41)- cos10°+sin210°2sin25°42)sin50°+sin40°∙ tq20°43)( tq60°∙cos15°-sin15°) ∙7244) cos92°∙cos73°-sin92°∙sin73°45)сtq35°-tq35°-2tq20°46) sin87°-sin59°-sin93°+sin61°Ответы
1)-2
2)3+2-223)324)-1
5) 3+336) 37)-188)0
9) -2-1210)1
11)- 312)- 313)1
14)7815)cosα16)0
17)3218)- 3319)- сtq18°20) cosπ30 21)6222)2
23)-2,5
24)0,5
25)0,5
26)1-227)-0,5
28)0
29)0,5
30) 24 31)1832)1
33)0
34)0
35) 2(1-3)436) 2(1+3)437) 2+338)1
39)1,5
40) 18 41)1
42)1
43)14
44) -2(1+3)445)0
46)sin1°Блок №4. Вычислите:
А
1)Вычислите 4sin2α-2cosα-3tqα+1, если сtqα=-13 ,α∈II.
2) Вычислите 2 tqα∙sinα+8cos2α+4, если сtqα=13 ,α∈I.
3) Вычислите tqα, если tqα2=2.
4) Вычислите tqα2, если cosα=-35.5) Вычислите 2sinα-sin2α2sinα+sin2α , если tqα2=1.6) Вычислите tqα+сtqαtqα-сtqα,если сtqα=32.
7) Вычислите sinα∙cosαsin2α-cos2α , tqα=32.
8) Вычислите 1+tq2α1+сtq2α, если sinα=23.9) Вычислите 1-tq2α1-сtq2α, если cosα=-13.10) Вычислите tqπ6+α, если сtq=3.11) Вычислите sinα+cosα, если tqα2=3.12) Вычислите sin4α, если сtq2α=-2.13) Вычислите cos2α, если tqα=15.14) Вычислите tqα=32, если cosα=-2 3 , α∈II.15) Вычислите 5sinα, если tqα=2, α∈III.
16) Вычислите 873+4cos2α, если tqα=0,2.17) Вычислите сtqα, если tq(π4-α)=2.18) Вычислите 2sinα+sin2α2sinα-sin2α, если cosα=15.19) Вычислите sinα-sinβcosα+cosβ ,если α-β=π2.20) Вычислите α+β, если tqα+tqβ=56 и tqα∙tqβ=16 . 21) Вычислите cos (α+β)+2sinα∙sinβ, если α=-45°; β=15°.В 22) Вычислите tqπ4-α2, если sinα2=35; α∈II.23) Вычислите cosα, если cos2α=sinα; α∈II. 24) Вычислите sin4α+cos4α, еслиsinα+cosα=22.
25) Вычислите 7sin2α+5sinα∙cosα+46sinα∙cosα+2cos2α-2, если сtqα=5.26) Вычислите sinα∙cosα∙сtqα-1, еслиsinα=33.
27) Вычислите sinα-β, если cosα=513 ;sinβ=-0,6; α∈I;βϵIII. 28) Вычислите tqα+β, если sinα=-4041; tqβ=940; α∈IV.29) Вычислите sin22α, если 1tq2α+1сtq2α+1sin2α+1cos2α=7.30) Вычислите tq4α, еслиsin2α=-0,6 и 135°<α<180°.31) Вычислите А=sin2(4α-540°)cos2(4α-540°), если sin2α=3-12.
32) Вычислите sin4α+cos4α, еслиsin2α=0,5.33) Вычислите 4sin2α∙cosα(1+cosα)∙(1+cos2α),если tqα2=-1,25.34) Вычислите 13 sinα+β, если cosβ=1213 ;sinα=0,8; α и β-острые углы.35) Вычислите sin(2α+π4), если cos36) Вычислите tq2х, если tqх+у=3, tqх-у=2 .
37) Вычислите α, если cos15°-sin15°=α4cos15°38) Вычислите cos3α-sin3α, если cosα-sinα=0,2.39) Вычислите 1+5sin2α-3cos-12α, если tqα=-2.40) Вычислите tqα, если tqα-β=2, sinβ=0,6; π2<α<π.Ответы
1)8
2)9
3)-224)±25)1
6)-2357) 658)0,8
9)-8
10) 311)- 1512)-0,8
13) 121314)- 5215)-2
16)13
17)-3
18)3219)1
20)π4+ πk,k∈Z21)0.5
22)7
23)-3224)7825) 34726)- 1327) - 336528) - 151972029)8930) - 24731)8
32) 7833)-5
34)12,6
35) 721036)-1
37) 3+1
38)0,269
39)2
40) 12Блок №5. Вычислите:
А
1)arctg(- 33)
2) 12arctg 33-12arcsin(- 12 )3) 13 arctg 3+ 12arctg(- 33)
4)12πarccos-32+ arcsin-32+arctg(- 3)5)2 arcsin-32+ arctg- 1+arccos226) arccos⁡(- 12)- arcsin-32B
7) cos⁡( arcsin-13)8) cos(arctg- 2)
9)tg(arccos⁡(- 14))
10) sin(arccos⁡ 23)11) sin(arctg(-⁡ 23))12)tg(arcsin-13+π2)13)ctg(2π-3arcsin22)
14) sin(2arccos⁡ 35)15) cos⁡( 2arcsin15)16) sin⁡( 2arcsin17)17) tg(2arccos⁡(- 23))
18) sin⁡(12arcctg(-⁡ 34))19) cos⁡(2arcctgx)20) cos⁡(2arcsin27)21) sin⁡(12arccos⁡ 23)22) cos⁡(12arccos⁡ 23)23) sin⁡(arcsin513+arcsin1213)24) cos⁡(arcsin(-1213)+arcsin45)25) sin⁡(arcsin0.6+arccos0.8)26) sin(π2-2arctg0.28)27) sin(2arcsin13)28) tg(arctg13+arctg19)29)sin2arctg3-cos⁡(2arctg2)30) sin(arcsin12+arccos12 )
Ответы
1)-π62) π63) π364)2
5)- 2π36) π37) 2238) 559)- 1510) 5311)- 2131312) 2213)1
14)0,96
15) 232516) 834917)4518) 25519) х2-1х2+120)414921) 6622)5623) 1
24) 636525) 242526) 28833727)42928) 61329) 61330)1
Блок №6. Упростите:
С
1)4sin3α∙cos3α+4cos3α+sin3α2)1-cosα1+cosα+1+cosα1-cosα,если α∈Ι.3)cos4α-sin4α-cos2α2(cosα-1)4)2sinα+sin2α2cosα+sin2α∙1-cosα1-sinα5) 1+cosα1-cosα-1-cosα1+cosα,если α∈ΙV.6)1cos2α-1∙1-sin2α, если α∈(π2;π).7) 1-cosα1+cosα∙ctgα2-sin2α, еслиα=5π6.8)sinα+sin3α+sin5αcosα+cos3α+cos5α, если α=π9.9)4cos245°-α2+4sin4α+sin22α, если 180°<α<270°.10) sin2α+cos(60°+α)∙cos60°-α.Вычислите:
11) ctg70°+4cos70°.12)4arcctg15 - arctg1239.
13)0.25 sin20°-34cos20°+cos225°.
14)sin315°+cos315°sin15°+cos15°.
15) cos25°+cos21°-cos6°∙cos4°.
16) Вычислите А=9sin2α-450°, если sinα2=-13.17) Вычислите ctgα, если 2sin3α∙cos5α-0,5=sin8α.18) Вычислите cos2α+7π4, если ctgα=23.19) Вычислите А=7tg-22α-7π, если sinα=-18.20) Вычислите sin(3π2-5α)2-cos(π2-5α), если tg5α2=3.
21) Вычислите 10cos2α, если tgαα-π6=53-8.22) Вычислите α+β в градусах, если α и β-острые углы, такие что ctgα=4,ctgβ=53.23) Вычислите А=2tgα(1+tg2α) ∙ 1-tg2α, если cos4α=1213.24) Найдите наибольшее значение выражения cosх+5∙3-cosх.Ответы
1)3sin4α2)2sinα3) cos2α24)tg3α5)-2сtgα6) sinα7) 348)39)2
10) 1411) 312) π413)0,5
14) 3415)1
16)7
17)-2±318) 722619)9
20) 4721)-6
22) π423) ±52624)16
2.Решение тригонометрических уравнений
2.1 Решение тригонометрических уравнений
(***по окружности)вставка
2.2 Решение тригонометрических уравнений
Блок1. Решите простейшие тригонометрические уравнения:
А
1)sin(0,5х)=-12)cosх=12, найдите наибольшее решение уравнения из промежутка 700°;1050°.3)sinπ+х+cosπ2+х=-14)23∙ tg-х+6=05) cos(х-π4)=-126) tg(π4-х2)= -1
7) cos⁡(4х3+π3)=18)lgcosх=19)sinπ4-х=1210)2∙sinх∙sinπ2-х=111)32∙ tg(2х-π4)= sinπ312) tg(3х-10°)=0
13)log3cosх=014)(cosх2+1)∙(sin2х2+2)=0
15)cosх-1=3216)2 ∙cosх+3∙ sinх=0В
17)3sinх-1=918) 4sinх∙cosх=219)1+2sinπх3=0,если х∈2;420)51+log5cosх=2,5
21)sin(π∙cos3х)=122)8sin2х-2cos2х=023)(3cosπх-π)(2 sinπх-3)=0, найдите наибольший положительный корень уранения.
24)cosхsinх-1=025)1+2cosπх15=026)cosх-12sinх-32=027) sin2х=128) tg3хsinх=029) cos22х=1230) sin22х=12Ответы
1)-π+4πk2)1020°3)(-1)k∙π6+ πk4) π3+ πk5) π4±2π3+2πk6) π(2k+1)7)- π4+3π2k8)x∈∅9) (-1)k+1∙π6+π4+ πk10) π4+πk11) π4+πk212)3°20´+60°∙k13) 2πk14)2π+4 πk15)1±π6+2πk16)-arctg23+ πk17)- π2+2πk18) (-1)k∙π12+ πk219)3.5
20) ±π3+2πk21) ±π9+2πk322) ±π6+πk23)1324)- π2 +2πk25) ±10+30k26) ±π3+2πk27) π4+πk2 28) π3(3k±1)
29) π8(2k+1)
30) π8+πk4Блок 2. Решите тригонометрические уравнения с применением основных тригонометрических формул
А
1)sin3х+sinх=02)3∙sinх∙cosх=sin2х3) sin2х-12sin2х=04) 3sinх∙cosх-2cos2х=05) cos5х∙cosх=cos4х6)sinх∙sin2х+cos3х=07) cosх∙cos4х=cos5х8) 3sinх∙cosх-5cos2х=09) cos3х∙cosх-sinх∙sin3х=-1210) sinх+sin2х+sin3х=011) sin2х=23cos2х12) sinх+sin3х=2sin2х13) sin2х+12sin2х=114) 3∙cos2х-0,5sin2х=015)2(cos4х- sin4х)=1
16)2cosх+π6=3∙cosх17)sin3х-2sinх=018)tg(x+20°)+ tg(70°-x)=2
19)cos2x∙sinx=cos2x,если 90°<х<180°20) cos4х- sin4х=021)2sin2х-3sin2х=0, если х∈(0°;90°).
В
22) sin23х=3cos23х23) cos2х+cos22х+cos23х+cos24х=224)cos3х+cos5х2=225)sinх+sin2х=cosх+2cos2х26)sin5х∙sin4х+cos6х∙cos3х=027) sin2х+sin-х=2cos-х-128)sinх+30°+cos(х+60°)=1+cos2х29) sin23х+sin24х=sin25х+sin26х30)cos2х=2sin2х31) cos22х+cos23х=132) tg3х- tgх=0
33) cos2х∙sin4х-cosх∙sin5х=034) cos7х=cos4х∙cos3х35) sin22х+sin23х+sin24х+sin25х=2, в ответе укажите число различных корней, принадлежащих промежутку0;π236)1+sinх+cos2х-180°=0, если 180°<х<270°37)cos6х+6cos23х=138) 2 sin23х+cos23х+sin3х=1, найдите число различных корней, принадлежащих промежутку0°;180°39)sin(х+π3)+cos(х+π6)+3=040)cosх-cos3хsinх=041) cos9х-cos7х+cos3х-cosх=042)sin6х+sin2х=sin4х43) cos2х-7π2=sin(4х+3π)44) cos4х+ sin4х=12sin22х45) cos3х∙cos2х-sinх∙sin6х=cos7х46)4sinх2-cosх+1=0Ответы
1)πk22) πk;π3+πn3) πk;π4+πn4) π2+ πk;arctg23+πn5) πk56) π2( 2k+1); π4(2n+1) 7) πk48) arctg53+ πk;π2+πn9)±π6+πk210) πk2; ±2π3+2πn11) π2+ πk;π3+ πn12) πk213) π4+ πk;π2+ πn14) π2+ πk;π3+ πn15) ±π6+ πk16) πk17) πk; ±π6+ πn18)25°+180°∙k19)135°20) π4+πk221)60°22)π9(3k±1)23) π2+ πk;π4+ πn2; π10+πm524)4 πk25) ±2π3+ 2πk; π4+ πn26) π2( 2k+1); π4(2n+1)27) ±π3+ 2πk; π2+2πn28) 90°( 2k+1); 60°(6n±1)29) πk9; πn230) ±π6+ πk31) π10+πk5; π2+ πn32) πk33) πk;π6+πn334) πk4; πn335)5
36)210°37) ±π9+πk338)5
39)π+2πk40) π2+ πk41) π6+πk3; πn542) πk4; ±π6+ πn43) ±π6+ πk; πn244) π4+πk245) πk4; πn346)2 πk*В ответах параметры k,n,m ∈ Z.
Блок 3.Решите тригонометрические уравнения методом введения новой переменной
А
1)2cos2х=3sinх2)2sin2π2+х-5cosπ-х+2=03)cos2х-cosх=2-sin2х4)6sinх=3-8cos2х5)ctgx=-4-3tgx
6)8cos2х+6sinх-3=07)2cos2x-5cosx=-38)5-5cosπ2-х=2cos2π-х9)3cos2х=4-11cosх10) 2cos2х-π+3sinπ+х=011)3cos2π2+х-2cosx+2cos2x=0В
12)tg2х-3tgx+4=3ctgx-ctg2x13)6cos2x-2sin2x=114)1+sinx∙cosx-3cos2x=015) sinx∙cosx-cos2x=116) 2sin2х-7sinx∙cosx+6cos2x=017) 3sin2х+4cos2x=13sinx∙cosx18) 6cos2x+sin2х=5sinx∙cosx19) sin2х+12sin2x=120) 2sin2х-5sinx∙cosx+3cos2x=021) 3cos2x-sin2х-sin2x=022) sin2х-10sinx∙cosx+9cos2x=0,найдите наименьшее решение х ,если 0°<х<90°.23)3sin(2х+3π2)-5sinх-1=024) cos2xcos2х-1+sin2х=cos2x-125)1+4cos4х-2cos2x-270°=0, если0°<х<100°.26) sin4х+cos4x=sinх∙cosхОтветы
1) (-1)k∙π6+ πk2)±2π3+2πk3)π+2πk4) (-1)k+1∙π6+ πk5)- π4+ πk;-arctg13+πn6) (-1)k+1∙π6+ πk7) 2πk8)π2+2πk9) ±π3+2πk10) (-1)k∙π6+ πk11) 2πk12) π4+ πk13) π4+ πk;-arctg5+πn14) π4+ πk; -arctg2+πn15)xϵ∅16) arctg2+πk; arctg32+πn17) arctg4+πk; arctg13+πn18) arctg2+πk; arctg3+πn19) π2+ πk;π4+ πn20) π4+ πk;πn-arctg321) π4+ πk; -arctg222)45°23) (-1)k+1∙π6+ πk24) πk25)30°;90°26) π4+ πk*В ответах параметры k,n ∈ Z.
Блок 4.Решите тригонометрические уравнения методом введения вспомогательного угла
А
1)3sin2х-cos2х=22) 3sinх-cosх=13)sinх+cosх=14) 3sinх+cosх=2,если 90°<х<180°5) sinх2+cosх2=22В
6) sinх+2cosх=17) 8sinх-3cosх=48) 3sinх+4cosх=29) sinх-2cosх=310) 3sinх-2cosх=2Ответы
А
1)π3+ πk2) π6+ (-1)k∙π6+ πk3) (-1)k∙π4-π4+ πk4)105°5)- π2±2π3+4πk6) π2+2πk;2πn+2arctg137) (-1)k∙arcsin473+ arctg38+ πk8)-arcsin45+(-1)k∙arcsin25+ πk9)π2+ arctg2+ 2πk10) arctg23+ (-1)k∙arcsin213+πk*В ответах параметры k,n ∈ Z.
Блок5. Решите тригонометрические уравнения повышенной сложности
C
1)tgx=-sinx1-sin2x, найдите
наибольшее целое решение х ,
если 90°<х<270°.2) 1-sin2x=-cosх, найдите
наименьшее целое решение х ,
если 90°<х<270°.3)7+4sinхcos-1х+3cos-190°-2х=0,найдите число различных корней, принадлежащих промежутку0°;360°4) sin23x-cos180°-х+cos23х+sin90°+х2=0,
найдите число различных решений на отрезке0°;360°5)2sin2x=4sin22x+7cos2х-66)2cos24х-6cos22х+1=07) cos4х+2cos2х=08) cos3х+sin3x=cosх+sinх9) tgx-sinх=1- tgx ∙sinх10) sinх+tgx=sin2xsin2х11)sin2х-7π2+sin(3π2-8х)+cos6х=1,в ответе укажите наименьший положительный корень.
12)52+cos2х-26∙5cos2х+5=013)Сколько корней имеет уравнение cosхcosх=cos2х-1 на отрезкеπ;2π?14) cos2πх6+2х2-5х-3=0
15)4cos2х+sinх∙cosх+3sin2x=3,найдите сумму корней уравнения,
если х∈90°;180°16) sin2x+sin22x=sin23xОтветы
1)269°2)91°3)4
4)4
5)±π6+πk6) ±π6+πk27) π4+πk2;±π3+πn8)- π4+πk;πn29) π4+πk10) ±2π3+2πk11)22°30´
12) πk13)1
14)3
15)225°16) π6+πk3;πn2*В ответах параметры k,n ∈ Z.
3. Решение тригонометрических неравенств
Блок1. Решите простейшие тригонометрические неравенства
А
1)sinх<222)ctgx≤03)2cosx<-24)3tgx<15) 3-2cosx≥06) tgx ≥-37)sinx≤328)sinx>-129)cosx≥-1210)cosx<2211) sinx≥3212)2cos2x≥1В
13)tg(x+π4)≥114)2sin(x-π3)≤315)cos2x-sin2x≥1216)2sin2x-π3≥-117) cos2x-sin2x≤-3218) sin2x-1>-1219)0<cosx≤1220) Найдите область определения функции у=сtgх-1.21)Решите систему cosх=-12sinх>0 и найдите сумму её решений, принадлежащих 0;4π.22) tgх4<023)сtgх<324) tg2х≥125)sinх≤2226)log12sinх<127) сtgх+π3<-128)tgх≥329)tg2х≥1330)sin(3х2+π12)<1231)cosх≥2232) sinх≤32Ответы
1)-5π4+2πn; π4+2πn2)π2+πn;π+πn3) 3π4+2πn; 5π4+2πn4) -π2+πn;π6+πn5)π6+2πn; 11π6+2πn6) –π3+πn;π2+πn)7) –4π3+2πn;π3+2πn8) -π6+2πn; 7π6+2πn9) -3π4+2πn; 3π4+2πn10) π4+2πn; 7π4+2πn11) π3+2πn;2π3+2πn12) -π6+πn; π6+πn13) πn;π4+πn14) -π+2πn;2π3+2πn15) -π6+πn; π6+πn16) π12+πn; 3π4+πn17) 5π12+πn;7π12+πn18) -π8+12+πn;5π8+12+πn19) -π2+2πn;-π3+2πn∪π3+2πn;π2+2πn20) πn;π4+πn21) 10π322) -2π+4πn;4πn23) π6+πn;5π6+πn24) π8+πn2;π4+πn225) -π4+πn;π4+πn26) 2πn;π6+2πn∪5π6+2πn;π+2πn27) 5π12+πn;2π3+πn28) -π2+πn;-π3+πn∪π3+πn;π2+πn29) -π2+πn;-π6+πn∪π6+πn;π2+πn30) -8π9+4πn3;π9+4πn331) -π4+πn;π4+πn32) -π3+πn;π3+πn*В ответах параметр n ∈ Z.
Блок 2. Решите тригонометрические неравенства с применением основных тригонометрических формул
А
1)1-4sin2х<02) 3-4cos2х<03)cos3х∙cosх+sin3х∙sinх≥124) 2sin22х<15)sin3х∙cosх+cos3х∙sinх≥126) sinх∙cosх>07) 2cos5х∙cos4х+2sin5х∙sin4х<3В
8)sinх+3cosх>09) sinх>cosх10)(1+4cosх)∙sin2х≥cos22х11)4cosх-sin2х>012)3sinх+sin2х<013) sin4х3+cos4х3>1214)(sinх2-cosх2)2 <sinх15) sin⁡(х+π6)∙cos⁡(х+π6)>1416)2cos2х<2+2sin2хОтветы
1)π6+πn;5π6+πn2) -π6+πn;π6+πn3)-π6+πn;π6+πn4) -π8+πn2;π8+πn25) π24+πn2;5π24+πn26) πn;π2+πn7) π6+2πn;11π6+2πn8) -π3+2πn;2π3+2πn9) π4+2πn;5π4+2πn10) π12+πn;5π12+πn∪3π4+πk11) -π2+2πn;π2+2πn12) -π+2πn;2πn13)х≠3π4+3πn214) π6+2πn;5π6+2πn15) -π12+πn;π4+πn16) π8+πn;7π8+πn*В ответах параметры к,n ∈ Z.
Блок3.Решите тригонометрические неравенства методом введения новой переменной
В
1)cos2х+5cosх+3≥02)2sin2х-7sinх+3>03) sinх+cos2х>14)3sin22х+7cos2х-3≥05) 3sin2х-2sinх∙cosх-cos2х≤06)3cos2х+2cosх≥57)3sinх>2cos2х8)tg3x+tg2x-tgx-1<09)2sin2x+3sinx-3>010)ctg2x+ctgx≥011) 2cos4х-3cos2х+1>012) 2sin2x-3sinx+1<013) cos2х<cos4х14) 2sin2x+sin2x-4cos2х>015)2cos2х-tgx-3<016) cos2х+5sinx+2≥0Ответы
1)-2π3+2πn;2π3+2πn2)-7π6+2πn;π6+2πn3) 2πn;π6+2πn∪5π6+2πn;π+2πn4) -π4+πn;π4+πn5) -arctg13+πn;π4+πn6)x=2πn7) π6+2πn;5π6+2πn8) -π2+πn;-π4+πn∪-π4+πk;π4+πk9) π3+2πn;2π3+2πn10) 3π4+πn;π+πn∪πk;π2+πk11) π4+πn;3π4+πn12) π6+2πn;π2+2πn∪π2+2πn;5π6+2πn13) π3+πn;2π3+πn14)-π2+πn;-arctg2+πn∪π4+πk;π2+πk15) -arctg12+πn;π4+πn16) -π6+2πn;7π6+2πn*В ответах параметры к,n ∈ Z.
Блок4.Решите тригонометрические неравенства
C
1)tg(2x-π6)<-32)2sin2(x+π4)+3cos2x>03)sinx≥cosx4)cos2(π3-x3)<125)sin6х+cos6x≥586) sin3x∙(cos⁡2x+1)≥07)sin3x-2sinx≤08) cosx∙cos7x>cos3x∙cos5x9)sinx<32cosx>-2210) sinx>23cosx<011)2+tg2x+ctg2x<012)2sin23x+sin26 x<2
13) sinx≤3a-6a+1, найдите при каких значениях а неравенство не имеет решений.
14)(-2х2+5х-7)(3tg2х-1) ≥015)Найдите сумму наибольшего и наименьшего решений двойного неравенства
1<tg3x+tgx1-tg3x∙tgx≤3 , которые находятся на отрезке 0;π.
16) (cos⁡x+π2)∙(sinх-π3)∙(tg2х-13)≥017) sin2х∙(cos3x-1)<018) sin2х∙sin3х-cos2х∙cos3x>sin10х19) 54sin2x+14sin2 2х>cos2х20) cos⁡(4⁡x+5π2)≤ cos4x-sin4хОтветы
1)-38;-π12∪π3;5π12∪5π6;2582) -π4+πn;5π12+πn3) π4+πn;3π4+πn4) 2π+3πn;3π+3πn5) -π8+πn2;π8+πn26) 2πn3;π3+2πn3∪π2+πn7) -π6+2πn;2πn∪π6+2πn;5π6+2πn;∪π+2πn;7π6+2πn;8) π4+πn;π2+πn∪π2+πn;3π4+πn9) -3π4+2πn;π3+2πn∪2π3+2πn;3π4+2πn10) arcsin23+2πn;3π2+2πn11) -π4+πn2;-π8+πn2∪-π8+πn2; πn212) -π12+πn3;π12+πn313) -1;5414) -π6+πn;π6+πn15)43π4816) -π6+πn;π6+πn17) 2πn;π2+2πn∪π+2πn;4π3+2πn∪4π3+2πn;3π2+2πn18) -π10+2πn5;-π30+2πn5∪π10+2πn5;7π30+2πn519) π6+πn;5π6+πn20)-π12+πn;π4+πn∪7π12+πn;3π4+πn*В ответах параметры к,n ∈ Z.
4. Тест 1.Тригонометрические преобразования
1.Вычислите: 8sin105°∙sin15°- 3 tg209°∙tg299°+2Решение:
Приведём к тригонометрическим функциям острых углов первой четверти:
8sin105°∙sin15°- 3 tg209°∙tg299°+2=8sin90°+15°∙sin15°- 3 tg180°+29°∙tg270°+29°+2=8cos15°∙sin15°-3tg29°∙-сtg29°+2=4∙2∙cos15°∙sin15°+3tg29°∙сtg29°+2=4∙sin30°+3∙1+2=4∙12+3∙1+2=7Ответ:7.
2. Упростить: sin90°+α-cos2(α-90°)sin(α+270°)Решение:
sin90°+α-cos2(α-90°)sin(α+270°)=cosα-sin2α(-cosα)=cosα+sin2αcosα=cos2α+sin2αcosα=1cosα.Ответ: 1cosα.3. Упростить: sin13π2-α-сtg(6π+α)1+sin(2π-α)Решение:
Так как sinх периодическая функция с периодом 2 π:sin13π2-α=sin6π+π2-α=sinπ2-α=cosαsin(2π-α)=sin(-α)=-sinαАналогично, сtgх-периодическая функция с периодом π: Сtg6π+α=сtgα. Тогда исходная дробь преобразуется в следующее выражение:
sin13π2-α-сtg6π+α1+sin2π-α=cosα-сtgα1-sinα=cosα-cosαsinα1-sinα=cosα∙1-1sinα1-sinα=cosα∙(sinα-1)-sinα(sinα-1)=-cosαsinα=-сtgαОтвет: -сtgα.4. Упростить: sinα+sin3αcosα+cos3αРешение: sinα+3α2sinα+sin3αcosα+cos3α=2∙cosα-3α22cosα+3α2∙cosα-3α2=2sin2α∙cos(-α)2cos2α∙cos(-α)=tg2αОтвет: tg2α.5. Упростить: сtg22α-12сtg2α-cos8α∙сtg2αРешение:
сtg22α-12сtg2α-cos8α∙сtg4α=сtg4α-cos8α∙сtg4α=сtg4α∙1-cos8α=сtg4α∙2sin24α=cos4αsin4α∙2sin24α=2∙cos4α∙sin4α=sin8αОтвет: sin8α.6. Упростить: (1-cosα∙cosβ)2-sin2α∙sin2βРешение:
Рассмотрим подкоренное выражение:
(1-cosα∙cosβ)2-sin2α∙sin2==1-2cosα∙cosβ+cos2α∙cos2β-1-cos2α∙1-cos2β=1-2cosα∙cosβ+cos2α∙cos2β-1-cos2α-cos2β+cos2α∙cos2β=-2cosα∙cosβ++cos2α+cos2β=(cosα-cosβ)2Тогда:
(1-cosα∙cosβ)2-sin2α∙sin2β=(cosα-cosβ)2=cosα-cosβОтвет: cosα-cosβ.7. Упростить:sin2αcosα+cos2αsinαРешение:
sin2αcosα+cos2αsinα=sin2αsinα+cosαcos2αsinα∙cosα=cos(2α-α)sinα∙cosα=cosαsinα∙cosα=1sinαОтвет: 1sinα.8. Упростить: sin0,5π+α+cos(π-3α)1-cos(-2π) Решение:
sinπ2+α+cos(π-3α)1-cos(-2π)=cosα-cos3α1-cos2α=-2sinα+3α2∙sinα-3α2∙2sin2α=2sin2α∙sinα2sin2α=4sin2α∙cosα2sin2α=2cosαОтвет: 2cosα.9. Упростить: 2(sin4α+sin2α∙cos2α+cos4α)2-sin8α-cos8αРешение:
2(sin4α+sin2α∙cos2α+cos4α)2-sin8α-cos8α=2sin2α+cos2α2-sin2α∙cos2α2-sin8α-cos8α=21-sin2α∙cos2α2-sin8α-cos8α=2-4sin2α∙cos2α+2sin4α∙cos4α-sin8α-cos8α=2-4sin2α∙cos2α-cos4α-sin4α2=2-2sinαcosα2-cos2α-sin2α2∙sin2α+cos2α2=2-sin22α-cos22α=2-1=1Ответ: 1.10. Упростить: sin2(π8+α2)-sin2(π8-α2)Решение:
sin2π8+α2-sin2π8-α2=1-cos2∙π8+α22-1-cos2∙π8-α22 = 1-cosπ4+α-1+cosπ4-α2= = -cosπ4+α+cosπ4-α2=-2sinπ4∙sin(-α)2=22sinαОтвет: 22sinα.11. Вычислить: cos267,5°-sin267,5°-sin2225°Решение:
cos267,5°-sin267,5°-sin2225°=cos2∙67,5°-sin2180°+45°=cos135°-sin245°=-sin45°-sin245°=-22-12=-2-12Ответ: -2-12.12. Вычислить: sin415°+cos415°Решение:
sin415°+cos415°=sin415°+cos415°+2sin215°cos215°-2sin215°cos215°=(sin215°+cos215°)2-12∙4sin215°cos215°=1-12∙2sin15°∙cos15°2=1- 12∙sin230°=1-12∙(12)2=78Ответ: 78.13. Вычислить: tg20°+tg40°+tg60°+…+tg160°+tg180°.Решение:
tg20°+tg40°+tg60°+…+tg160°+tg180°=tg20°+tg40°+tg60°+…+tg120°+tg140°+tg160°+tg180°= tg20°+tg40°+tg60°+…+ tg180°-60°+tg180°-40°+tg180°-20°+tg180°=tg20°+tg40°+tg60°+…-tg60°-tg40°-tg20°+tg180°=tg180°=0Ответ: 014. Вычислить:cos5°∙cos55°∙cos65°. Решение:
cos5°∙cos55°∙cos65°=cos5°∙12(cos55°+65°+cos(55°-65°)).=cos5°∙12(cos120°+cos10°)=-14cos5°+12cos5°∙cos10°=-14cos5°+12∙12(cos15°+cos5°)=-14cos5°+14cos15°+14cos5°=14cos15°=14cos45°-30°=14(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=14(32∙22+22∙12)=6+216.Ответ: 6+216.Список рекомендуемой литературы:
Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа.— М.: Наука, 1969.— 736 с.
Бородуля И.Т., Тригонометрические уравнения и неравенства. Москва, издательство»Просвещение», 1989г.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.— М.: Наука, 1989.— 464 с.
Долгов Н. М. Высшая математика.— Киев: Вища шк., 1988.— 416 с.
Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Мн.: Выш. шк., 1984.— 1988.—Ч. 2.— 1985.—221 с; Ч. 3.— 1985.—208 с.
Зорич В. А. Математический анализ: В 2 т.— М.: Наука, 1981.—Т. 1.—543 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 ч.— М.: Наука, 1971 — 1973.— Ч. 1,— 1971.— 600 с; Ч. 2.— 1973.— 448 с.
Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Высш. шк., 1983.— 128 с.
Колесникова С.И., Математика, Решение сложных задач., Москва, издательство « Айрис Пресс», 2006г.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т.— М.: Высш. шк., 1988.— Т. 1,— 712 с; Т. 2 — 576 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.— М.: Наука, 1985.— Т. 1.— 432 с; Т. 2.— 576 с.
Соболь Б.В., Виноградова И.Ю.и др., Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. Ростов-на-Дону, издательство «Феникс», 2004г.
Cборник тестовых заданий по подготовке к ЕНТ, « Атамура», РК, 2004-2010г.
Сканави М.И Сборник задач для поступающих в ВУЗЫ - М.: «Высшая школа», 2003. 14.Кузнецова Л.В. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. - М.: Дрофа, 2002.
15.Сборник тестов по математике, Астана, 2003-2005.
16.Рустюмова И.П., Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике, Алматы 2010.
Сборники задач и упражнений
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука, 1985.— 446
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с.
Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.
Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978,— 288 с.
Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.
Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с.
Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с.