Методический материал Тригонометрия тарихы( (10 класс)

Тригонометрия тарихы математика сабаKтарында

Карыбаева Сауле Шешкеновна – JараKол орта мектеп-баKшасыныS
математика п‰нініS мaCаліміі

Тригонометрия aCымдарымен мектеп оKушылары алCаш рет планиметрия курсында танысады. Кез келген жаSа aCымCа оKушы тарапынан: «Бaл жаSалыKты еS алCаш кім ж‰не не _шін ашты. Бізге ол KаншалыKты Kажет?» деген сaраK Kойылуы заSды. МaCалімді де жаSа таKырыпты оKыту Kажеттілігі, д‰лірек айтсаK, оKушыныS оKу KызметініS Kажеттілігі, жаSа aCымыныS Kандай т‰жірибелік негізде пайда болCандыCы, тарихи даму кезеSдері, Kазіргі кезде Cылым мен т‰жірибеде алатын орны толCандырады. ОKушыныS ™зін KызыKтыратын объектіге талCап Kарауынан сол объектінін (жаSа aCымныS) сырын ашуCа деген тілек, талпыныс, KызыCу, Kажетсіну себептері туындайды «ТаSырKау –жаSалыK ашудыS анасы» -деп физик Луи де Бройль тегін айтпаCан ОKушыны б‰рінен г™рі к™п таSырKатып, оны проблемалыK ситуацияCа душар ететін н‰рсе –аKпараттыS жаSалыCы, ‰деттен тысKарылыCы, кенеттілігі, оCаштыCы, бaрынCы т_сініктерге с‰йкессіздігі, ‰семдігі болып саналады. Тaтас алCанда бaлар танымдыK KызыCудыS сезімдік –ойлау процестерін ширата т_сетін аса к_шті т_рткілер болып табылады.
Бaл маKалада біз мaCалім сабаKты KызыKты ™ткізу _шін тригономтерияныS алCашKы aCымдарынан бастап, Kандай тарихи материалдарды пайдалануына болатынына тоKталмаKпыз.
Сонымен, еS алCаш тригонометриялыK Kатыстар геометрия курсында енгізіледі. Тік бaрышты _шбaрыш Kарастырылады (1–сурет)
ОKушылар бaл аныKтамаларды оSай есте саKтауы _шін (1-4) тірек сигналдарын пайдалану тиімді. Келтірілген аныKтамалар мен белгілеулер оKушы к™Sіліне Kонымсыз бaрынCы т_сініктерге с‰йкессіз, оCаш, к_рделі к™рінуі м_мкін. СондыKтан оKу материалын т_сіну _шін жаSа aCымныS тереSіне _Sіліп, тарихына назар аударамыз.
Ежелгі мысырлыKтар (б.э.д.ІІ C., м_мкін одан да бaрын) Kaрылыс салып, _й тaрCызу, жер ™лшеу _шін Kарапайым Kaрал –жіпті KолданCан. Олар Kaрылыста жіп керетін арнайы мамандарды гарпедонаптар деп атаCан. Жіп –кірпіштер мен тастарды KалаCанда т_зу сызыK сызу _шін Kажет болCан. СызыK–линия (орысша). Этимологиясына _Sілсек, линия латынныS linea –«жіп» с™зінен алынCан, бaл с™з XVIII CасырдыS басында неміс тілінен енген с™з.
Сондай-аK жіп Kaрылыста тік бaрыш алу _шін Kажет болCан, ™йткені тік бaрышKа шаблон (_лгі) болатындай табиCи заттар болмаCан.
Ежелгі мысырлыKтар жіпті т_йін салып теS 12-ге б™ліп, aштарын біріктірген. Содан кейін KабырCалары 3,4,5 б™лікке теS _шбaрыш шыCатындай етіп, жіпті керген кезде _лкен KабырCаCа Kарсы жатKан бaрыш тік болCан. Содан бері KабырCалары 3, 4, 5 бірлікке теS _шбaрышты–египеттік _шбaрыш деп атайды. (2–сурет).
Сондай-аK тік бaрышты _шбaрыштар Ахмес папирусында кездеседі, ал вавилондыK геометрияда тіпті маSызды орын алады. «Гипотенуза» гректіS «ипотейнуза» - «керілген», «катет» гректіS «катетос» - «перпендикуляр», «тіп-тік» с™зінен алынCан. Орта Cасырларда катет–тік бaрышты _шбaрыштыS биіктігі, екінші катет–табаны (3сурет) атала бастайды.
Тік бaрышты _шбaрыштыS KабырCаларыныS Kатынасын Kарастыру aKсастыKтан туындаCан. Ежелгі мысырлыKтар пирамида Kaрылысын салу барысында, пирамида жаCын Kандай бaрышпен тегістеу керектігін білген.

4(а) суретте пирамиданыS кішкене макеті, 4(‰) –суретте пирамиданыS ™зі к™рсетілген делік. Сонда АОВ _шбaрышыныS KабырCаларыныS Kатынасы с‰йкесінше синус, косинус, тангенс, котангенсті бейнелесе, онда оCан aKсас пирамиданыS ™зінде де сол Kатынастар саKталады. Мысалы пирамида биіктігініS апофемаCа Kатынасы ОВ:АВ=О1В1:А1В1. Осыдан кейін aKсас _шбaрыштардыS с‰йкес бaрыштары теS, олай болса теS бaрыштардыS тригонометриялыK функциялары теS деген KорытындыCа келеміз.
АSыз бойынша Фалес (б.э.д. VI C. ежелгі грек оKымыстысы) бір пирамиданыS к™леSкесі бойынша оныS биіктігін д‰л тауып, мысыр патшасы Амазисті таS KалдырCан к™рінеді. ФалестіS болжамы aKсастыKKа негізделгені айKын. К_нніS бір уаCында дененіS к™леSкесі дене биіктігіне теS болады. Фалес ™з к™леSкесі ™зініS бойыныS aзындыCына теS болатын кезді к_тіп, д‰л сол уаKытта пирамида к™леSкесініS aзындыCын ™лшеп, биіктігін аныKтаCан.
Ерте кездерден бастап, _шбaрыштардыS aKсастыK Kасиетіне с_йеніп, кез келген н_ктеден адам жете алмайтын н_ктеге дейінгі KашыKтыKтарды есептейтін мысалдарды кездестіруге болады.
«Тригонометрия» с™зі гректіS «тригоном» -«_шбaрыш», «метрейн» -«™лшеуіш» с™здерінен алынCан. Бaл с™з алCаш рет (1505) неміс геологы ж‰не математигі ПитискустыS еSбегінде кездеседі. БасKа с™збен айтKанда тригонометрия – _щбaрыштарды ™лшеу ж™ніндегі Cылым.
Ерте кезде тригонометрия астрономияныS бір б™лімі ретінде Kарастырылды. ТеSізде ж_зу, жaлдыздар бойынша кеменіS дaрыс баCытын аныKтау, к_нніS, айдыS тaтылуын аныKтау, бетпаK далада керуенніS KозCалыс жолын айKындау, д‰л к_нтізбе енгізу, жер ™Sдеу, т.б. м‰селелер астрономияныS онымен Kоса тригонометрияныS дамуына жол ашты. СфералыK ж‰не жазыKтыKтаCы тригонометрия Kатар дамыды.
ТригонометриялыK есептеулердіS бастамасы ретінде алCашKы тригонометриялыK кестелерді (хордалар кестесі) б.э.д. ІІ Cасырда ежелгі грек астрономы Гиппарх жасады. Кейіннен тригонометрия туралы толыK маCлaматтар грек астрономы ПтолемейдіS (б.э. ІІ C) 13 кітаптан тaратын «Альмагест» еSбегінде Kамтылды. Т_зу сызыKты ж‰не сфералыK тригонометрия маCлaматтары «АльмагестіS» І кітабында баяндалды. Jазіргі айтылатын
· бaрышыныS синусы, ол кітапта шамасы 2
· –Cа теS центрлік бaрышKа тірелетін жарты хорда ретінде зерттеледі (5 –сурет). ВавилондыK к_нтізбеде бір жылда 360 к_н болCан. СоCан негіздеп Птолемей шеSберді 360є градусKа, диаметрді 120 б™лікке б™лді. 1 градусты 60ґ минутKа, 1 минутты 60ґґсекундKа, 1 секундты 60ґґґ терцинаCа, т.с.с. б™лді (ол кезде 60-тыS санау ж_йесі KалыптасKан). Гипотенузасы диаметрге теS тік бaрышты _шбaрыш _шін Пифагор теоремасын былай жазды (5-сурет):
(хорда а)2 + (хорда (1800 - а)2 = (диаметр) 2
Бaл б_гіндегі sin2
·+cos2
·=1 формуласына с‰йкес келеді. Хорда грек с™зі – «садаK кермесі» дегенді білдіреді. Птолемей 5 ондыK таSбаCа дейінгі д‰лдікпен синустар (хордалар) кестесін жасады. Ол кез _шін хордалар кестесі к™птеген практикалыK, астрономиялыK есептерді шешуде зор маSызCа ие болды. Келесі кезеSде тригонометрияныS Kарыштап дамуына _нді оKымыстылары зор _лес Kосты. IV-V Cасырларда арнайы терминдер _ндініS aлы Cалымы АриабхаттыS (476-550 ж.ж. шамасында) астрономиялыK еSбектерінде к™ріне бастады.. ^ндініS алCашKы Жер серігі де осы есіммен аталады. Ол АК (5-сурет) кесіндісін ардхаджива (ардха-жарты, джива-садаK кермесі) деп атайды. Кейін келе KысKаша джива атауы Kалды.
VІІІ Cасырдан бастап араб математиктері джива с™зін джиба, кейіннен «джайб» -«д™Sестік» с™зімен алмастырады. ХІІ Cасырда Европада латын тілі Cылым тілі ретінде бел алып тaрCанда европа Cалымдары араб тіліндегі математикалыK м‰тіндерді аударCанда «джайб» с™зін латынныS «sinus»-«иілу», «KисыKтыK» с™зімен алмастырады ж‰не бaл с™з б_гінге дейін саKталып Kалды.
Косинус с™зі кейін пайда болды. Ол латынныS «сomplementy sinus» - «толыKтауыш синус» деген с™з тіркесініS KысKартылCан т_рі, яCни cos
·=sin(900 –
·).
ІХ-Х Cасырларда Орта Азия мен Таяу ШыCыс математикалыK зерттеулердіS орталыCына айналды. Араб математиктерініS еSбектерініS н‰тижесінде тригонометрия жеке Cылым ретінде астрономиядан б™лініп шыCады.
Х Cасырда араб математигі Абу-л-Вафа (Мaхаммед-‰л-Бузджани) тангенс, котангенс, секанс, косеканс атауын енгізеді ж‰не тангенстер мен котангенстер кестесін жасайды. Сондай-аK Мaхаммед ибн Муса ‰л-Хорезми (ІХ C.) синустар мен котангенстер кестесін жасайды.
€бу Райхан Бируни (Х-ХІ C.C.) бірлік шеSберді енгізу арKылы есептеу жaмыстарын ‰лдеKайда жеSілдетеді. ХІІ Cасырды Cалым-энциклопедист, мемлекет Kайраткері Насир-ад-Дин ат-Туси «ЖазыK т™ртбaрыштар» трактатында жазыK ж‰не сфералыK тригонометрияны математиканыS жеке б™лімі ретінде астрономиядан б™лек Kарастырады. Ислам елдерімен салыстырCанда Европада тригонометрия тек ХІ Cасырда жеке Cылым ретінде Kалыптасып, дами бастады. Бaл кезеSніS к™рнекті ™кілі неміс астрономы, ‰рі математигі профессор Регимонтан.
Ол синустар кестесін аралыCы 1 секундтан 7 ондыK таSбаCа дейінгі д‰лдікпен жасайды ж‰не «^шбaрыштыS барлыK т_рлері туралы 5 кітап» атты тригонометриялыK еSбегін жарыKKа шыCарады.
«Тангенс» латын с™зі «tangens» - «жанама» (жанама кесіндісі) дегенді білдіреді.. Бaл атауды 1583 жылы дат математигі Томас Финк енгізді. Ал, «котангенс» - «complementy tangens» - «толыKтауыш тангенс» aCымын білдіреді. Бaл атауды еS алCаш 1620 жылы аCылшын Cалымы Эдмунт Гутер енгізді.
ХVІ Cасырда француз математигі Франсуа Виет (1540-1603) тригонометрияны куб теSдеулерді шешуге Kолданып, оны алгебрамен байланстырды. Сондай-аK, ол ‰ріпті белгілеудіS негізін салды. Швейцар математигі Иоганн Бернулли (1667-1747) тригонометриялыK функциялардыS sinх, cosх (1739ж.) белгілеулерін пайдаланды.
ХVІІ- ХІХ Cасырларда тригонометрия математикалыK анализдіS бір тарауы ретінде Kарастырыла бастады. Бaл орайда швейцар математигі, aзаK жылдар Петербург Cылым академиясында Kызмет еткен Леонардо ЭйлердіS (1707-1783) орасан зор еSбегін атап ™ту керек. Эйлер тригонометрияныS мазмaнын жетілдіріп, бір ж_йеге келтіріп, жан-жаKты баяндады.
Ол б_гінде Kолданылып ж_рген тригонометриялыK функциялардыS аныKтамаларын енгізді. Кез келген бaрыштыS тригонометриялыK функцияларын Kарастырып, ‰рбір ширектегі функция таSбаларын аныKтап, келтіру формулаларын Kорытты. Аргументі бaрыш пен доCа, сондай-аK, кез келген сан болCандаCы тригонометриялыK функцияныS Kасиеттерін баяндап, формулаларын Kорытты, тригонометриялыK теSдеулер мен теSзіздіктерді шешуді Kарастырып, sinх, cosх, tgх, сtgх, т.б. белгілеулерді пайдаланды. Эйлерден кейін тригонометрия дайын формулаларды пайдаланып есептеу т_ріне келіп, жaмыс ыKшамдалды. Бaл теорияны ХІХ Cасырда Н.И.Лобачевский, т.б. Cалымдар жалCастырып дамытты.
Бізге белгілі тригонометриялыK формулалардыS к™пшілігініS геометриялыK формасын ежелгі грек, _нді, араб математиктері тапKан. Кейіннен Европа, Азия математиктері де д‰л осы жаSалыKтарды ашып, толыKтырып, ж_йелеген.
Мысалы: sin2
·+cos2
·=1, sin(
·±
·)=sin
·*cos
·±cos
·*sin
·, sin2
·/2=(1–cos
·)/2 формулаларын Птоломей, sin
·=2sin
·/2*cos
·/2 формуласын Абу-л-Вафа, tg(
·±
·), sес(
·±
·) формулаларын 1706 жылы Петербург математигі Я.Герман Kорытты, tg2
·=2tg
·/(1–tg2
·) формуласын ХVІІ Cасырда аCылшын Джон Пелль, француз Г.Роберваль, т.б. математиктер ‰р т_рлі ‰дістермен д‰лелдеді. Ал, сtg2
·=1/2(сtg
·–tg
·) формуласы еS алCаш Л.ЭйлердіS «Анализге кіріспе» еSбегінде жарыK к™рді. ХVІІ Cасырда дат Cалымы Тихо Браге cos
·*cos
·=1/2[cos(
·+
·)+cos(
·-
·)] формуласын пайдаланCан. sin
·-sin
· ережесін ХVІІ Cасырда аCылшын Cалымы Джон Непер еSбектерінен кездестіруге болады.
Б_гінде тригонометрия математиканыS жеке тармаCы емес. Атап айтKанда, тригонометриялыK функциялардыS Kасиеттерін математикалыK анализ, ал _шбaрыштарды шешуді геометрия Kарастырады.


ПайдаланылCан ‰дебиеттер:
Глейзер .И. История математики в школе: VІІ-VІІІ кл. – М. Просвещение, 1982
Глейзер .И. История математики в школе: ІХ-Х кл. – М. Просвещение, 1983
Рыбников К.А. История математики: Учебник – М. Изд-во МГУ, 1994
Журнал «Математика в школе», №3, 2005 г.,


ШыCыс JазаKстан облысы
^ржар ауданы
Тел: 7(72230)55551
87773810150
15