урок комплексного применения знаний, совершенствования знаний и умений по теме Решение уравнений

тема «Решение уравнений»

тип урока: урок комплексного применения знаний, совершенствования знаний и умений
методы: методы стимулирования и мотивации, методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности учащихся, методы контроля и самоконтроля.
цели и задачи урока: в процессе повторения ученики должны последовательно перейти от одного уровня математической деятельности к следующему более высокому, сделав для себя открытия в этой теме; умения самостоятельно решать проблемы, преодолевать трудности в учении; реализовать развитие интеллекта, внимания, речи, памяти, воли, самостоятельности, познавательных интересов учащихся.
формы: индивидуальная, групповая, коллективная
основные этапы деятельности: мотивационный, операционно-познавательный и рефлексивно-оценочный

конспект занятия
Основной этап: мотивационный

Организационный момент: обсуждение
С учащимися обсуждаем, почему и для чего необходимо повторить данную тему. Даем оценку своих возможностей и составляем план предстоящей работы.
Мотивация учащихся: готовимся к выпускному экзамену, расширяем и углубляем знания по теме.
План:
- повторить тему за шесть уроков
- повторить тему «Общие сведения об уравнениях»
- обратить внимание на виды уравнений
- повторить теоремы о равносильности уравнений
- повторить способы решения уравнений (способы решения уравнений, которые предлагаются учащимся в школьных учебниках усваиваются достаточно хорошо, поэтому при повторении мы решили пользоваться различными пособиями по математике).
2. Творческая работа: первая стадия математической деятельности - накопление фактов с помощью наблюдения, опыта, обобщения
Учащимся предлагается задание:
подобрать уравнения, которые выходят за рамки традиционных уравнений, предлагаемых в школьном учебнике.
Организация:
индивидуальная работа (каждый работает с различными источниками, записывает в тетрадь уравнения, которые хотел бы прорешать и выносит на обсуждение)
Обсуждение:
осуществляем отбор заданий коллективно
Результат коллективной и индивидуальной работ: решили рассмотреть четырнадцать уравнений:
х13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
log13 EMBED Equation.3 1415
1+213 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
x13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Основной этап: оперативно – познавательный

повторение: вторая стадия математической деятельности – логическая организация математического материала.
Учащимся предлагается задание:
используя шаблоны провести классификацию уравнений по виду и по методам решения.
Организация:
групповая форма работы (быстро создаем группы)
Обсуждение:
разбивают уравнения по видам и по методам решения используя шаблоны
Результат групповой работы:
демонстрируют представители групп свой результат (на слайдах или другой форме).
Итоговый результат после проверки

Классификация уравнений по виду
уравнения

трансцендентные
алгебраические

показательные
№ 2,3
целые
№ 1,4,5

логарифмические
№ 6
дробные
№ 8

тригонометрические
№ 7,12,14
иррациональные
№ 13

смешанные
№ 9,10,11




Классификация уравнений по методам решения
Методы решения уравнений

разложением на множители
заменой переменной
как однородные уравнения
с помощью свойств функций

№ 1,4,5
№ 1,4,7,10,13
№ 2,5,8,11,13,14
№ 3,6,9,12



Основной этап: рефлексивно - оценочный

Проверочная работа: третья стадия математической деятельности – применение математической теории.
Учащимся предлагается задание:
решить уравнения (кто, сколько пожелает на выбор).

Организация:
индивидуальная, парная, групповая (ребята сами выбирают, как будут работать, быстро организуются и приступают к работе)
Обсуждение:
рассматриваем уравнения, решение которых вызывает большой интерес.
Результат работы:
идет демонстрация решений у доски

На доске
Уравнение №1
х13 EMBED Equation.3 1415
Ребята предложили решить двумя способами:

1 способ
2 способ

Если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена, значит можно разложить левую часть на множители.
х=-1 и х=3 удовлетворяют уравнению.
Имеем: х13 EMBED Equation.3 1415
(х+1)(х-3)(х13 EMBED Equation.3 1415+6х-3)=0
х+1=0 х-3=0 х13 EMBED Equation.3 1415+6х-3=0
х=-1 х=3 х = -313 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -1;3; -313 EMBED Equation.3 1415
Убеждаемся, что х=0 не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на х13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14150,получим: х13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415=к, тогда х13 EMBED Equation.3 1415. Имеем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, корни которого к = -6 и
к = 2 . Получим х -13 EMBED Equation.3 1415=-6 или х - 13 EMBED Equation.3 1415=2
х = -313 EMBED Equation.3 1415или х =-1; 3



При решении уравнения №4
13 EMBED Equation.3 1415
ребята рассуждали так. Скобки я раскрывать умею, приведу подобные слагаемые, получу целое алгебраическое уравнение четвертой степени и , если среди делителей свободного члена есть корни, то левую часть разложу на множители и найду все корни, их не более четырех.
Другие ребята предложили решить способом замены переменной. Пусть х13 EMBED Equation.3 1415-4х-9=к, тогда х13 EMBED Equation.3 1415- 6х -9 = к - 2х. Получим уравнение к13 EM
·BED Equation.3 1415. Решим его как квадратное относительно к (это было ОКРЫТИЕМ для некоторых учеников). Получим к = 4х и к = х. Исходное уравнение распадается на два уравнения х13 EMBED Equation.3 1415- 4х -9 = 4х или х13 EMBED Equation.3 1415- 4х -9 = х.
Решим их, корни х = -1 и х = 9 или х = 13 EMBED Equation.3 1415.
Конечно, второй способ по сравнению с первым более рациональный.

Рассмотрим уравнение №5
13 EMBED Equation.3 1415
Ребята предложили способ решения: привели его к виду х13 EMBED Equation.3 1415и нашли корни х = 1 и х = 3. Каково было удивление, когда они увидели в нем однородное алгебраическое уравнение.
Интересные рассуждения привели учащиеся при решении уравнения № 8 13 EMBED Equation.3 1415
Обозначили 13 EMBED Equation.3 1415,получили уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. И сразу сделали ОТКРЫТИЕ, оно однородное относительно а и в, а такие уравнения мы решать умеем.
Так как в = 0 не является решением уравнением, разделим обе части на 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. Получим 13 EMBED Equation.3 1415= 1 или 13 EMBED Equation.3 1415= - 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415. Первое уравнение дает решение х=0, а второе в области действительных чисел решений не имеет.
Ответ: 0
После полученного ответа класс замер. И последовал вопрос: «А можно было угадать корень?»
Ответ: «Можно, но тогда надо доказать, что других корней нет»

Уравнение №13
x13 EMBED Equation.3 1415
Ребята решили, используя способы: замена переменной и как однородное

1 способ
2 способ

13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415.Учитываем ,что х ( -3 и к(0, решая получим , что к = 13 EMBED Equation.3 1415 или к = -13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение х+3 = 13 EMBED Equation.3 1415,если х(0 имеет корни х = 6 и х = -2, а уравнение х+3 = 13 EMBED Equation.3 1415, если -3( х ( 0 имеет корни х = 13 EMBED Equation.3 1415. Учитывая условия получим, что уравнение имеет корни х = 6 или х = 13 EMBED Equation.3 1415
Данное уравнение справедливо при х ( -3 и является однородным относительно х и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решаем 13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415
Корнями уравнений являются х=6; х = 13 EMBED Equation.3 1415


Уравнение №10
13 EMBED Equation.3 1415
кроме показательной функции содержит линейную. Но можно заметить, что 213 EMBED Equation.3 1415оно является квадратным.
13 EMBED Equation.3 1415; корни уравнения к =13 EMBED Equation.3 1415или к = 3-х. Решаем уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 корнем является х = -log13 EMBED Equation.3 14153; Решаем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, где х (3 ; х = 1 является корнем уравнения. Функция у =13 EMBED Equation.3 1415возрастающая, а ((х)= 3-х убывающая, значит графики этих функций пересекаются только в одной точке с абсциссой х = 1
Ответ: 1; -log13 EMBED Equation.3 14153
После решения этого уравнения отпала необходимость детального рассмотрения решений уравнений № 0 и № 6, ребята справились с ними самостоятельно.

Уравнение №3
13 EMBED Equation.3 1415
Заметим, что х=2 удовлетворяет уравнению. Докажем, что других корней нет. Каждая из функций является возрастающей, поэтому их сумма - тоже возрастающая функция. При х = 2 левая часть равна 34, при х ( 2 она больше 34,при х ( 2 она меньше 34. Итак, уравнение имеет один корень 2.
Уравнение № 12
13 EMBED Equation.3 1415
В левой части уравнения – разность тригонометрических функций. Решаем уравнение, используя ограниченность синуса и косинуса.

Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеем систему равнений 13 EMBED Equation.3 1415 и cos6x= -1
13 EMBED Equation.3 1415 и 6х =13 EMBED Equation.3 1415,корни 13 EMBED Equation.3 1415 к- целое и х = 13 EMBED Equation.3 1415- целое

Общее решение найдем с помощью тригонометрического круга. Решение первого уравнения системы обозначим звездочкой, а второго – точкой и найдем их общее решение

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 к – целое.
Ребята анализируют свою собственную деятельность, оценивают ее, сопоставляя результаты своей работы с результатами товарищей.

5. Поведение итогов занятия и рефлексия
Каждый из учащихся заполняет оценочный индивидуальный лист по теме «Решение уравнений» (класс 20 чел. на «4 – 5»учатся 14 человек)
Первый этап
Второй этап Третий этап

повторение
Творческая работа
Работа в группах
выступление
Количество решенных уравнений
Интерес и новое

+
+
+
+++
14
+

+
+
+
+
10
+

+
+
+
+
4
+

+
+
+
+++
14
+

+
+
+
++
10
+

+
+
+
+
6
+

+
+
+
+
10
+

+
+
+
+
6
+

+
++
+
+
6
+

+
+
+
+
4
+

+
++
+
+
4
+

+
++
+

10
+

+
+
+

10
+

+
+
+

12
+

+
+
+
+
11
+

+
+
+
+
11
+

+
+
+
+
11
+

+
+
+
+
3
+

+
+
+
+++
14
+

+
+
+
+
12
+



Анализ усвоения материала и интереса к теме
В результате проделанной работы ученики испытали радость победы над трудностями, преодоленными ими, познали новые (для них) приемы решений уравнений, дали самооценку своей деятельности убедились, что только кропотливая самостоятельная работа приводит к формированию глубокого познавательного интереса к учебной деятельности.


Проведены уроки по темам «Решение неравенств и систем уравнений и неравенств»




























Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native)Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native