Презентация по теме: Понятие о производной
Презентация на тему: «Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл»
Цели урока:ОБУЧАЮЩАЯ: 1) Ввести определение производной функции на основе задач физики, рассматривая при этом физический смысл производной.2) Выяснить геометрический смысл производной дифференцируемой функции.3) Научиться решать задачи на данную тему, используя полученные знания.РАЗВИВАЮЩАЯ:1) Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания.2) Развитие навыков исследовательской деятельности. ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ: 1) Способствовать развитию творческой деятельности.2) Развивать у учащихся коммуникативные компетенции, потребности к самообразованию.
Вопросы:История возникновения производной функции.Понятие производной.Геометрический смысл производной.Физический (механический) смысл производной.
1. История возникновения производной функцииРаздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце 17в., т.е. при рождении нового метода.Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова deriveе, которое ввёл в 1797г. Ж.Лагранж, он же ввёл современные обозначения у' , f'. Такое название отражает смысл понятия: функция f'(x) происходит из f(x), является производным от f(x). И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Г.Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и ввёл обозначение производной df/dx. Слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum – наименьший.
1736 - 1813 Рано изучил сочинения Евклида и Архимеда, Галлея (друга Ньютона). В 16 лет стал преподавать математику в Артиллерийском училище в Турине. В 19 лет стал профессором математических наук. В 23 года стал академиком и иностранным членом Берлинской академии наук. Автор трудов по вариационному исчислению, математическому анализу, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям. Его работы по математике, астрономии и механике составляют 14 томов. Император Франции сделал учёного сенатором, графом империи и командором ордена Почетного легиона.« – величественная пирамида математических наук»Выдающийся французский математик, ввел термин «ПРОИЗВОДНАЯ» и её современное обозначение.Жозеф Луи Лагранж Наполеон I Бонапарт
2. Понятие производнойПусть х - произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки х0 (окрестность точки х0 - это интервал (а; б), x0(а; б)).Разность х-х0 называется приращением аргумента: ∆x=х-x0. Отсюда x=x0+∆x. Разность f(x)-f(x0) называется приращением функции: ∆f=f(x)-f(x0) или ∆f=f(х0+∆x)–f(х0). Отсюда, f(х0+∆x)=f(х0)+∆f.
Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆x, стремящегося к «нулю»:2. Понятие производной
2. Понятие производнойЧетыре обозначения для производной:
2. Понятие производной
Правило нахождения производной функции y=f(x) в точке х0:Найти значение функции в точке x0+∆x: f(x0+∆x)Найти приращение функции: ∆f=f(x0+∆x)-f(x0)Найти отношение приращения функции к приращению аргумента: Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю: 2. Понятие производной
Пример: Дана функция y=x2. Найти её производную в произвольной точке и в точке х=3.Решение:f(x0+∆x)=(х+∆x)2;∆f=(х+∆x)2-х2=x2+2x∆x+(∆x)2-x2=2х∆x+(∆x)2; , т.е. y’=(x2)’=2x; при х=3 получим y’(3)=2*3=6.2. Понятие производнойОтвет: y’=2x; y’(3)=6
Пример: Воспользовавшись определением производной, найти производную функции Решение: Дадим x приращение x, тогда y получит приращение y: Так както Ответ:
Электронная физминуткадля глаз
ppt_yppt_yppt_y
«Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой»3. Геометрический смысл производной.Это кто?Лейбниц Г.В.
style.rotation
АСВtg A-?tg В -?47АВС3Вычислите tgα, если α = 135°, 120°, 150°.ПовторениеTg A=7/4Tg B=4/7Tg A=3/3Tg B=3/3=-1=-3=-3/3
Угловой коэффициент прямой.Прямая проходит через начало координат и точку Р(3; -1). Чемуравен ее угловой коэффициент?y=kx+by=kxПовторение
Найдите угловые коэффициенты прямых:21341k=0,52k=33k=04k=-1Повторение
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. Геометрический смысл производной.
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
3. Геометрический смысл производнойВозьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:y0ххf(x )x+ΔxММ1f(x+ Δx )Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.φПри x→0 в силу непрерывности функции y также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ). Уравнение прямой с угловым коэффициентом:Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.Уравнение касательнойУравнение нормали3. Геометрический смысл производной.
26.04.2016Пример: Найти уравнение касательной и нормали для функции f(x)=x2 в точке x0 = 3.Решение:Ответ:
«Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад»3. Физический (механический) смысл производной Это кто?Исаак Ньютон
0sS(t) за время t}S’(t)=V(t)V’(t)=a(t)S(t) - перемещение точки за время tV(t) – скорость точки в момент ta(t) – ускорение точки в момент t3. Физический (механический) смысл производной
ppt_yppt_yppt_y
Пример: Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2 t ³ - 3 t. Вычислите скорость движения точки:а) в момент времени t;б) в момент времени t=2с.Решение:а)б) 3. Физический (механический) смысл производной Ответ: V(t)=6t2-3; V(2)=21 м/с
Пример: Материальная точка движется по закону(м).В какой момент времени (с) скорость точки будет равна 12,8 м/c ?НайтиНайтиРешение:S’(t)=V(t)t = 2,2 (с).3. Физический (механический) смысл производной
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
Пример: Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)=t³- 4t²Найдите скорость и ускорение в момент времени t=5с. 3. Физический (механический) смысл производной Ответ: V(5)=35 м/c; a(5)=22 м/с2 Решение:
2. Найти мгновенную скорость в момент времени t=3 сек.3. Найти ускорение при t=3 сек1. Найти среднюю скорость движения на указанном отрезке3. Физический (механический) смысл производной Ответ: Vср=73 м/с; V(3)=12 м/c; a(3)=12 м/с2
t, чS, км0AB11033,58C45DIIIIIIIVОпределите среднюю скорость движения на каждом из четырех участков :3. Физический (механический) смысл производной
Пример: Две материальные точки движутся прямолинейно по законам s1(t) = 1 - 6t + 2,5t 2 и s2(t) = -3+ 2t + 0,5t 2. Определить в какой момент времени скорости их будут равны.Ответ: при t0 = 2 с Решение:подсказка3. Физический (механический) смысл производной
Пример: Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью р( t ) = t 2/2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.подсказкаРЕШЕНИЕ:1) v( t ) = p`( t ) = t + 3,2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек) Ответ: 6 моль / сек3. Физический (механический) смысл производной Задача по химии
подсказкаПример: Тело, подброшенное вверх движется по закону s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Найдите:1) скорость тела в начальный момент времени;2) наибольшую высоту подъёма тела.РЕШЕНИЕ:2) t= 0, v(0) = s’(0) = 8 м/с – скорость тела в начальный момент времени 1) v (t) = s’(t) = 8 – 10t - скорость тела;3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м – максимальная высота броска тела.Ответ: 8 м/с ; 7,2 м. 3. Физический (механический) смысл производной
Точка движется прямолинейно по закону S (t) = t3 – 2t2.Выберите какой из формул задается скорость движения точки в момент времени t.1) 3t2 – 2; 2) t2 – 4t; 3)3t2 – 4t; 4) t4 – 2t3 УСТНО! Задача по физикеОтвет: 3
Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по V(t) = -5/3t3+15/2t2+50t+70.Вычислите производительность труда П(t).Ответ: П(t) = -5t2+15t+50Задача по экономике УСТНО!
Подведём итог:Что называется касательной к графику функции в точке?В чем заключается геометрический смысл производной?Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?В чём заключается физический смысл производной?
тревожно, не уверен в себеспокойно, у меня все получитсябезразлично, что будет, то и будетВыберете смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока
ppt_yppt_yppt_y
Домашнее задание:Математика. А.А. Дадаян. §9.1-9.3;выучить определение понятия и алгоритм нахождения производной;практическое задание: Математика. А.А. Дадаян. №9.3, 9.7.26.04.201640
Используемая литература:Учебник Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа 10-11»Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010МАТЕМАТИКА СБОРНИК ТЕСТОВ ПО ПЛАНУ ЕГЭ 2009. Учебно-методическое пособие. под редакцией А. Г. Клово, Д. А. Мальцева; Ростов-на-Дону. НИИ школьных технологий
При создании данной презентации были использованы слайды презентаций, созданныеучитель математики МОУ «Курлекская СОШ» Томского района Томской области Логунова Людмила Васильевна, 2006 годучитель математики высшей категории МОУ «СОШ №1», г. Магнитогорска, Пупкова Татьяна Владимировна 10 класс «А» ГБОУ СОШ №717, учитель: Чернецова Карина ИгоревнаКовальчук Лариса Ивановна, учитель математики МОУ СОШ № 288 ЗАТО г.Заозёрск Мурманской области10 класс «А» ГБОУ СОШ №717Дацык О.Н., учитель математики, МОУ «Гимназия», г. Костомукша, Республика КарелияАмбарцумян Ануш, Дешевых Андрей, Рындин Вячеслав, Макаровская Ирина, Леликова Евгения, Морохов Александр. Задания для устного счетаЧудаева Елена Владимировна, учитель математики, г. Инсар, Республика Мордовия и материалы с сайтаhttp://www.mathvaz.ru