Разработка конспекта урока по алгебре и началам математического анализа на тему Применение производной к исследованию функций(11 класс)
Открытый урок.
«Применение производной для исследования функций»
Цели:
повторить алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы;
используя общую схему исследования свойств функции и построения ее графика, строить графики функций;
способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы.
Планируемый результат урока:
знать необходимые и достаточные условия экстремума;
знать схему построения графиков функций;
уметь по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумов функций;
уметь по графику функции определять, сколько решений (в зависимости от параметра а ) имеет уравнение f(x) = a.
Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».
Ход урока:
1. Организационный момент.
Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.
Вводное слово учителя:
Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи объединены по сюжетному принципу.
Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.
2. Повторение теоретического материала.
Как находить экстремумы функции?
Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума)
Если f ґ(х)=0, то х0 – стационарная точка,
если f ґ(х) не существует, то х0 – критическая точка.
Т5 (достаточное условие существования экстремума)
а) x0 – точка max
f '(x) + -
f (x) x0 x
б) x0 – точка min
f ' (x) + -
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f (x) x
в) x0 – точка перегиба
f ' (x) + - f '(x) - + _________________________________ x __________________________________x
f (x) f(x)
3. Исследование функции по графику производной.
Задачи ЕГЭ (группа В)
Функция y=f(x) определена на промежутке [-6;3]. График производной изображен на рисунке.
у y=f ' (x) 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f ' (x) _ + _ + _
_______
·______________
·__________
·______________
·______________________
f (x) -5 -2 0 2
Задания для учащихся .
1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения:
Как называются точки -5, -2, 0, 2 ?
Ответить на вопросы:
Укажите число точек максимума. ( хmax=-2, хmin=2). Ответ: 2.
Найти число точек экстремумов. Ответ: 4.
Укажите число точек минимума функции. (xmin=-5, xmin=0) Ответ:2.
Укажите число промежутков возрастания функции. [-5;-2],[0;2]. Ответ: 2.
Укажите количество точек графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ. 13 EMBED Equation.3 1415-5; -2; 0; 213 EMBED Equation.3 1415 . Ответ: 4.
Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. [-2;0] Ответ: 2.
Укажите количество промежутков убывания функции. Ответ: 3.
Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3+2=5) Ответ: 5.
Укажите количество интервалов убывания функции. Ответ: 3.
4. Схема исследования свойств функции и построение графика функции.
Пример 1. а) Построить график функции y=5x3 – 3x5
б) Для каждого значения параметра а решить уравнение.
Решение:
а) у=5х3 - 3х5
1).D(y) = (-
·; +
·).
2). Функция нечетная.13 EMBED Equation.3 1415
3.)Нули функции: у=0 х3 ( 5 – 3х2) = 0,
х = 0, х = ± 13 EMBED Equation.3 1415
4). Промежутки монотонности :
у ' = 15х2 – 15 х4 ,
у ' = 0, 15х2 (1 – х2) = 0
х = 0, х = ±1 – стационарные точки.
у '(х) - + + -
______________________________________________
у(х) -1 0 1 х
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
хmin =-1, xmax=1, x=0 –точка перегиба
уmin = у(- 1)= - 5 + 3 = - 2
ymax = y(1) = 5 – 3 =2
y(0) = 0
5). Построим график функции:
б). Решим уравнение: 5х3 – 3х2 = а графически:
Пусть y= 5x3 -3x2, y = a.
При а 13 EMBED Equation.3 1415 (-
·; -2) 13 EMBED Equation.3 1415(2;
·) уравнение имеет 1 корень;
при а = -2, а = 2 уравнение имеет 2 корня;
при а 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет 3 корня.
5. Задачи централизованного тестирования.
1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5-1,5х4+х3+4.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5
у ' = 3х4 – 6х3 + 3х2 Решение:
у ' + + + х
3х2 (х2 – 2х + 1) = 0 __________________________
х2 (х – 1)2 = 0 у 0 1
Нет экстремумов
Ответ: 1
2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
Решение :
у ' =15х4 – 15х2
15х2 (х2 -1) = 0
х=0 – корень четной кратности
у ' + - - +
·
___________________________________
у - 1 0 1
х = ± 1
Промежуток убывания [-1; 1], длина промежутка 2.
Ответ: 3
3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4
Решение:
у ' =15х4 – 30х
15х ( х3 - 2) = 0 у ' + - +
х = 0, х =13 EMBED Equation.3 1415 - точки экстремумов ___________________________________ х
у
Ответ : 3
13 EMBED Equation.3 1415
4. Найдите значение функции у = 2х2 - 13 EMBED Equation.3 1415 в точке минимума.
Ответы: 1) -13 EMBED Equation.3 1415 2) -13 EMBED Equation.3 1415 3) -13 EMBED Equation.3 1415 4) -13 EMBED Equation.3 1415 5) 0
Решение:
у ' =4х -13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=0, 8х3/2 – 1 =0, х > 0, х = 13 EMBED Equation.3 1415
уmin = у(13 EMBED Equation.3 1415) = 2 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 = - 13 EMBED Equation.3 1415
у ' - +
_________
·________________
·__________х
у 0 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2
5. Найдите количество точек экстремума функции у = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0
Решение:
у =13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415
у ' = 13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415=0
х = ± 1 – стационарная точка
х = 0 - критическая точка
у ' + - - +
_______________
·______
·______
·_______ х хmax = -1, хmin = 1
у
-1 0 1
Ответ: 2
6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
у ' =2 (х -1) 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415 ОДЗ. х > 0
13 EMBED Equation.3 1415=0; 13 EMBED Equation.3 1415 = 0;
5х2 – 6х +1 = 0 х 1= 1, х2 =13 EMBED Equation.3 1415 - стационарные точки, х = 0 – критическая точка
х > 0
у ' + - +
__________
·________
·________
·________х хmin = 1
у 0 13 EMBED Equation.3 1415 1
Ответ: 2
7. Найти количество точек экстремумов функции у = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4
Решение:
у = 13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415
у ' = 13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=0
х = ± 3 – стационарные точки
х = 0 - критическая точка четной кратности
у ' + - - +
____________
·________
·_________
·_______ х хmax = -3, xmin = 3
у -3 0 3
Ответ: 1
8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 0 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415 5) 1
Решение:
у ' =4 (х – 1)3 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415=0; 13 EMBED Equation.3 1415=0
х = 1, х = 13 EMBED Equation.3 1415 - стационарные точки
х = 0 – критическая точка (х > 0)
у ' + - +
______
·_________
·_________
·_________х хmax = 13 EMBED Equation.3 1415
у 0 13 EMBED Equation.3 1415 1
Ответ: 4
6. Итоги урока.
Повторили условия существования экстремума.
По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли характер экстремумов.
По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько решений может иметь уравнение, содержащее параметр.
Познакомились с заданиями централизованного тестирования.
Приложения.
1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5 -1,5х4+х3+4.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5
2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5
3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.
Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4
4. Найдите значение функции у = 2х2 - 13 EMBED Equation.3 1415 в точке минимума.
Ответы: 1) -13 EMBED Equation.3 1415 2) -13 EMBED Equation.3 1415 3) -13 EMBED Equation.3 1415 4) -13 EMBED Equation.3 1415 5) 0
5. Найдите количество точек экстремума функции у = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0
6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 13 EMBED Equation.3 1415
7. Найти количество точек экстремумов функции у = 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4
8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 0 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415 5) 1
13PAGE 15
13PAGE 14115
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native