Методический материал Приемы быстрого устного счета
Материал из опыта работы по формированию у учащихся вычислительных навыков с помощью приёмов быстрого счёта.
Живаева Любовь Николаевна учитель математики Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения основной общеобразовательной школы с. Кижеватво Бессоновского района.
Одной из основных задач преподавания математики в школе является формирование у учащихся осознанных приёмов счёта и прочных вычислительных навыков. Зачастую при решении текстовых задач и вычислении значений числовых выражений учащиеся много времени теряют на выполнение арифметических действий, а при уменьшении времени, в спешке, допускают много ошибок. Я считаю, что эта тема актуальна, так как основа хорошего понимания математики – это, в первую очередь, умение считать, а уже потом рассуждать, находить рациональные способы решения тех или иных задач. К тому же устный счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая, в самых сложных жизненных ситуациях, находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.
Работая над методической проблемой: «Формирование у учащихся прочных вычислительных навыков с помощью приёмов быстрого счёта», у меня сложилась определённая система, которая помогает учащимся быстро производить вычислительные действия при наименьших затратах времени устно или производя незначительные письменные вычисления. Приёмы, которые, я использую на уроках, простые, доступные и эффективные. При систематическом использовании, их усваивают большинство учащихся. К тому же у детей повышается интерес к предмету.
В 5 – 6 классах я знакомлю учащихся и отрабатываю следующие приёмы быстрого счёта: Умножение на 4, на 8. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Примеры: 117х4=234х2=468; 335х4=670х2=1340.
Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Примеры: 217х8=434х4=868х2=1736; 254х8=508х4=1016х2=2032.
Умножение на двузначное число. Когда множимое однозначное число, мысленно переставляют множители и выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого, затем единицы и оба результата складывают.
Примеры: 6х28=28х6=120+48=168; 8х76=76х8=560+48=608.
Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например: 29х12=29х10+29х2=290+58=348; 41х16=41х10+41х6 =410+246=656. (Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.)
Умножение на 5, на 25, 125. Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10 т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Примеры: 74х5=740:2=370; 243х5=2430:2=1215. При умножении на 5 четного числа сначала делят его пополам и к полученному числу приписывают ноль. Примеры: 86х5=43х10=430; 468х5=234х10=2340. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100 и делят на 4. Если число кратно 4 делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Примеры: 73х25=7300:4=1825 (если число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют при остатке: к частному 1 – 25, 2 – 50, 3 – 75); 72х25=72:4х100=1800. При умножении на 125 – умножают на 1000 и делят на 8. Если число кратно 8-ми – делят на 8 и умножают на 1000. Примеры: 63х125=63000:8=7875; 32
·125=32:8
·1000=4000.
Умножение на 15, на 75. При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения. Примеры: 23х15=23х10+115=230+115=345; 437х15=4370+2185=6555. Если же число четное, то поступают еще проще к числу прибавляют его половину и результат умножают на 10. Примеры: 18х15=(18+9)х10=27х10=270; 372х15=(372+186)х10=5580. Чтобы число кратное 4-м умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300 (т.к. 75х4=300).
Примеры: 32х75=32:4х300=8х300=2400; 48х75=48:4х300=3600.
Умножение на 11 двузначных чисел.
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превыша ет 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.
Примеры: 72x11=7(7+2)2=792; 35x11=3(3+5)5=385.
Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которо го 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оста вить без изменения.
Примеры: 94х11=9(9+4)4=9(13)4 =(9+1)34=1034; 78х11=7(7+8)8=858.
Умножение на 22, 33, .... 99. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 х11, 55 = 5х11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
Примеры: 24х22 =24х2х11=48х11=528; 23х33=23х3х11=69х11=759;
18х44=18х4х11=72х11=792. Приём умножения при одновременном увели чении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении дру гого. Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а дру гой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится. Примеры: 44х5 =(44 :2)х(5х2)=22 х10=220; 28 х15 =(28:2)х(15х2) =14х30=420; 28х33= (28х3) х (33:3)=84х11 = 924; 24х25 = (24:4)х(25х4) = 6х100 = 600.
Умножение на 111,1111 и т.д. Усвоив приём умножения на11 можно легко умно жать на 111,1111 и т.д . Если сумма цифр меньше 10, надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага (количество шагов на один меньше, чем количество единиц в множителе 111,1111 и т.д.), сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами.
Примеры:
24 х 111= 2 (2 + 4) (2 + 4) 4 = 2664;
36 х 111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) 6 = 3996;
24 х 1111 = 2 (2 + 4) (2 + 4) (2 + 4) 4 = 26 664;
36 х 1111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) (3 + 6) 6 = 39 996.
72 х 111 111 = 7 999 992.
Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.
Примеры:
48 х 111 = 4 (4 + 8) (4 + 8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 + 1) (2 + 1) 28 = 5328;
75 х 111 = 7 (7 + 5) (7 + 5) 5 = 7 (12) (12) 5 = 8325.
В этом случае надо к первой цифре 7 прибавить 1, получим 8, далее 2 + 1 = 3;
а последние цифры 2 и 5 оставляем без измене ния.
Получаем ответ:8325
85 х 111 = 8 (13) (13) 5 = (8 + 1) (3 + 1) 35 = 9425;
69 х 111 = 6 (15) (15) 9 = (6 + 1) (5 + 1) 59 = 7659.
Умножение на 9, 99, 999 т.д.
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором
множителе, и из результата вычесть первый множитель:
286
·9=286
·(10 - 1)=2860 – 286=2574;
23
·99=23
·(100 - 1)=2300 – 23=2277;
18
·999=18
·(1000 - 1)=18000 – 18=17982.
Умножение на 9, 99, 999 и т.д. на число, имеющее с ним одинаковое количество цифр. Для того чтобы найти произведение на число записанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9:
8 x 9=(8-1)2=72; 46 x 99=(46-1)54=4554; 137 x 999= 136 863.
Умножение двузначного числа на 101, трехзначного числа на 1001 и т.д . Самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример: 57 х 101 = 5757. Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п. Пример: 132 х 1001 =132132 .
Умножение двузначных чисел. При умножении двузначных чисел, содержащих одинаковое количество десятков, к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на количество десятков чисел и прибавить произведение единиц данных чисел: 18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288; 17х 13=(17+3) х10 +7 х3=221; 23х24 = (23+4)х20+3х4=27х20+12=540+12=552; 47 х42= 49 х40+14=1960+14=1974.
Умножение на 37. (Нужно помнить, что 37 x 3 =111). При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111. 27 x3 7=(27:3) x (37x3)=9 x 111=999. Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37: 23 x 37=(24-1) x37=(24:3) x (37x3) - 37=8 х111-37= 888-37=851; 28 х37=(27+1) х37=9 х111+37=999+37=1036.
В 7,8 классах знакомлю учащихся и отрабатываю навыки быстрого возведения в квадрат и умножение с помощью формул сокращенного умножения. Приемы быстрого возведение в квадрат
Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5. Нужно умножить число десятков на число, на единицу больше, и к произведению приписать 25:
152 = 1 x 2(25) = 225; 652 = 6 x 7(25)=4225.
Возведение в квадрат двузначног числа, начинающего на 5.
Чтобы возвести в квадрат число, начинающееся на 5, надо к 52 прибавить число единиц и к полученному числу приписать справа квадрат единиц:
562=(25+6)(62)=3136; 592=(25+9)(92)=3481.
Возведение в квадрат любого двузначного числа(общий случай).
Вычислим 962 (используем формулу квадрата суммы двух выражений (а + в)2 = а2+2ав+в2)
Разложите двузначное число на составляющие, выделив количество единиц. В числе 96 количество единиц 6. Поэтому можно записать: 96 = 90 + 6.
Возведите в квадрат первое из чисел: 90 x 90 = 8100.
Перемножьте числа между собой и удвойте результат: 90 x 6 x 2 = 540 x 2 = 1080.
Возведите в квадрат второе число: 6 x 6 = 36. Сложите результаты: 962=8100 + 1080+ 36 = 9216.
472=(40+7)2 =1600 +560+ 49 =2209.
Умножение с помощью формул сокращенного умножения:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a-b)(a+b)=a2-b2
a2-b2= (a-b)(a+b)
Примеры:
92x88 =(90-2) x (90+2)=8100-4=8096
532=(50+3)2=2500+2x50x3+9=2809
39І - 36І = (39 – 36 )x( 39 + 36 ) = 3x75 =225.
Для закрепления навыков быстрого счёта совместно с учащимися создаём карточки – тренажеры. Карточки - тренажёры использую как для индивидуальной и коллективной работы на уроке, так и для самостоятельной работы ученика дома. Также с помощь карточек формирую устную речь учащихся, правильное использование математических терминов, предлагая им предварительно прочитывать выражение. Карточки составлены так, что по горизонтали располагаются однотипные примеры на одно и то же правило. По вертикали – примеры на разные правила. Сначала устный счёт выполняем построчно, с комментирование приёма счёта. Когда все основные правила и алгоритмы счёта изучены и отработаны, предлагаю выполнить задания столбиками. Учащиеся сначала прочитывают вслух пример, затем называют приём счёта и ответ. Когда навыки счёта отработаны до автоматизма учащиеся называют только ответы. Работа по карточкам способствую развитию внимания, так как в любое время процесс вычислений может продолжить любой на выбор учителя ученик. Со временем у учащихся формируются числовая зоркость, смекалка, вычислительная сноровка.
Карточка – тренажёр.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
23x4
57x4
72х4
132х4
214х4
352х4
632х4
813х4
2
35х8
56х8
78х8
124х8
352х8
512х8
723х8
911х8
3
6х28
8х76
5х64
9х87
29х12
41х16
52х24
63х31
4
74х5
364х5
788х5
942х5
63х5
247х5
669х5
819х5
5
32х25
128х25
448х25
672х25
64х25
136х25
640х25
804х25
6
48х125
72х125
112х125
256х125
144х125
152х125
88х125
304х125
7
18х15
46х15
62х15
88х15
23х15
67х15
53х15
81х15
8
36х75
44х75
28х75
120х75
804х75
32х75
56х75
364х75
9
63х11
81х11
72х11
45х11
76х11
87х11
48х11
93х11
10
62х22
23х44
27х33
14х77
86х55
41х99
35х66
15х88
11
44х5
28х15
32х33
72х25
51х18
25х88
81х99
125х16
12
24х11
36х111
72х1111
54х11111
48х111
75х111
86х1111
64х1111
13
47х9
257х99
27х999
46х99
402х999
2703х9999
137х999
828х999
14
57х101
88х101
132х1001
90х101
4546х10001
509х1001
791х1001
7608х10001
15
18х16
23х24
82х84
54х57
63х65
47х42
38х32
91х95
16
27х37
42х37
135х37
273х37
83х37
28х37
332х37
501х37
17
252
952
352
852
452
652
552
752
18
572
522
592
542
532
582
512
562
19
362
482
672
742
882
922
562
832
20
107х93
88х112
95х105
109х91
54х46
67х53
72х68
76х84
21
572 – 372
632 – 372
622 – 122
812 – 192
652 – 352
372 – 132
582 – 382
822 – 182
На внеклассных занятиях учащихся, имеющих повышенную мотивацию к предмету математика, знакомлю с приёмом перекрестного умножения, приёмом умножения способом «дополнений», приёмом возведения в квадрат методом «Обратная пирамида».
Приём перекрестного умножения. Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком». Пусть требуется перемножить 24 x 32. Мысленно располагаем число по следующей схеме - одно под другим.
Теперь последовательно производим следующие действия:
1) 4 x 2 = 8 это последняя цифра результата.
2) 2 x 2 = 4; 4 x 3 = 12; 4 + 12=16; 6 предпоследняя цифра результата; 1 запоминаем.
3) 2 x 3 = 6, да еще удержанная в уме единица, имеем 7 это первая цифра результата.
Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 768.
После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко.
Приём умножения, состоящий в употреблении так называемых «дополнений», удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100. Перемножить 92 x 96. «Дополнение» для 92 до 100 будет 8, для 96 4. Действие производят по следующей схеме:
множители: 92 и 96
«дополнения»: 8 и 4.
Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя «дополнения» множимого или наоборот; т. е. из 92 вычитают 4 или из 96 вычитают 8. В том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение «дополнений»: 8 x 4 = 32. Получаем результат 8832.
Пример: 95 x 93
множители: 98 и 93
«дополнения»: 2 и 7.
Вычисляем первые 2 цифры ответа : 98 - 7 = 91 или 93 - 2 = 91. К числу 91 приписываем произведение «дополнений» - 14. Получаем результат 9114.
Используя данный прием можно умножать и другие двузначные числа. Пример 78 x 77:
Множители:78 и 77.
Дополнения: 22 и 23.
78-23=55,
22 x 23=23 x 2 x 11=506,
5500+506=6006.
Возведение в квадрат методом «Обратная пирамида».
Рассмотрим схему возведения в квадрат на примерах:
67 x 67 = 4489
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку. Для числа 67 это - 36 и 49. Следующая строка представляет собой удвоенное произведение цифр числа, в данном примере цифр 6 и 7. Эта двойка (2) фигурирует во всех последующих примерах и специально выделена. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат.
Если какая-то цифра в квадрате своем дает однозначное число, или же удвоенное произведение каких-либо цифр является однозначным числом, то в ячейке, отведенной для записи данного результата в разряде десятков записывается "0", в разряде единиц - получившееся число, как в следующем примере:
381 x 381 = 145161
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если же, наоборот, при удвоении произведения цифр получилось трехзначное число, начинающееся на "1" (в том, что это будет именно единица, а не двойка или другая цифра, нетрудно убедиться, перебрав все варианты: из удвоенных произведений самое громоздкое - 9 x 9 x 2 = 81 x 2 = 162; из квадратов - 9 x 9=81), то эта единица переносится в соседнюю слева ячейку в разряд единиц (в примере на рисунке ячейки, в которые была "внесена" единица, выделены толстой линией).
3456789 * 3456789 = 11949390190521
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Учащиеся с высокой мотивацией к предмету также осваивают нахождение кубов двузначных чисел:
48 x 48 x 48 = 110592
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Умножение двузначных чисел с помощью несколько преобразованного метода «Обратная пирамида».
Пример: 29 x 45 = 1305. В первой строке в ряд записываются произведения чисел сначала десятков, затем – единиц. Для числе 29 и 45 это - 08 и 45. Следующие две строки – произведение единиц первого числа и десятков второго числа , в данном примере числа 36 и 10. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Данные способы вычисления способствуют повышению интереса к вычислительным навыкам и предмету математика в целом.
Литература:
Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. - М.: Учпедгиз.- 1967.
·150 с.
Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1945.
Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976.
Интернет - ресурсы:
- [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Рисунок 1ђ Заголовок 315