Методические материалы по теме Использование бесконечно малых и бесконечно больших величин при вычислении пределов.
Использование бесконечно малых и бесконечно больших величин
при вычислении пределов.
Танабаш А. В., учитель математики УВК
«Общеобразовательная школа I-III ступеней № 12 -
многопрофильный лицей», г. Горловка
Донецкой обл.
Число a называется пределом последовательности 13 EMBED Equation.3 1415, если для всякого сколь угодно малого положительного числа є найдется такое положительное число N, что | хп a| < є при п > N.
В этом случае записывают: 13 EMBED Equation.3 1415
Число А называется пределом функции f(x) при х( а, если для любого (>0 найдется такое ( >0, что | f(x) A |< є при |x-a| < (.
Записывают: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = A.
Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415 = A. если | f(x) A |< є при |x| >N.
Условно записывают 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, если |f(x)| >M при |x-a|<(, где М произвольное положительное число. В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х ( а.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, то функция 13 EMBED Equation.3 1415(х) называется бесконечно малой величиной при х ( а.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.
Если функция
·(x) есть бесконечно малая величина при 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 является бесконечно большой при 13 EMBED Equation.3 1415. И обратно, если функция 13 EMBED Equation.3 1415 бесконечно большая при 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 есть величина бесконечно малая при 13 EMBED Equation.3 1415.
При вычислении пределов часто используют следующие отношения эквивалентностей:
a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an ( a0xn при n ( 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3
·1415 при n ( 13 EMBED Equation.3 1415
Первый замечательный предел 13 EMBED Equation.3 1415
и следствия из него:
sin ((x) ( ((x), arcsin ((x) ( ((x);
tg ((x) ( ((x), arctg ((x) ( ((x).
Второй замечательный предел 13 EMBED Equation.3 1415
и следствия из него: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 ( ((x), ln( 1+((x)) ) ( ((x);
13 EMBED Equation.3 1415 ( ((x)lna, 13 EMBED Equation.3 1415 ( m((x).
где ((x) – бесконечно малая величина;
((х) – бесконечно большая величина.
Примеры использования бесконечно малых и бесконечно больших величин
при вычислении пределов.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
Примечание. При вычислении неопределённостей вида 13 EMBED Equation.3 1415 можно показать, что
0, если n < m,
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, если n = m,
13 EMBED Equation.3 1415, если n > m,
т.е. предел отношения двух многочленов 13 EMBED Equation.3 1415 равен 0, отношению коэффициентов при старших степенях или 13 EMBED Equation.3 1415, если показатель степени числителя n соответственно меньше, равен или больше показателя степени знаменателя m.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native